數(shù)學(xué)中的推理和證明

1、一、數(shù)學(xué)中的推理一、數(shù)學(xué)中的推理1.1.推理的意義和結(jié)構(gòu)推理的意義和結(jié)構(gòu) 從一個(gè)或幾個(gè)已知的命題得到一個(gè)從一個(gè)或幾個(gè)已知的命題得到一個(gè)新命題的思維形式叫做推理新命題的思維形式叫做推理. . 其中，已知的命題叫做前提（或條其中，已知的命題叫做前提（或條件），得到的新命題叫做結(jié)論件），得到的新命題叫做結(jié)論. .在形式邏輯中，常把一個(gè)推理形式表示為：在形式邏輯中，常把一個(gè)推理形式表示為： 結(jié)論前提或或“前提前提結(jié)論結(jié)論” 例如： 所有的矩形對(duì)角線相等所有的矩形對(duì)角線相等 黑人是黑頭發(fā)黑人是黑頭發(fā) 都是由兩個(gè)前提得到一個(gè)結(jié)論的推理都是由兩個(gè)前提得到一個(gè)結(jié)論的推理. . 正方形對(duì)角線相等正方形是矩形中國(guó)

2、人是黑人中國(guó)人是黑頭發(fā)如果舍棄了前提與結(jié)論中的命題的具體內(nèi)容，僅保如果舍棄了前提與結(jié)論中的命題的具體內(nèi)容，僅保留其邏輯結(jié)構(gòu)，便得到抽象的推理形式留其邏輯結(jié)構(gòu)，便得到抽象的推理形式. .以上兩例以上兩例的推理形式分別是：的推理形式分別是： PSMS是所有的是所有的是所有的PMPSMSMP是所有的是所有的是所有的 由三段論知識(shí)可知，第一個(gè)推理形式是正由三段論知識(shí)可知，第一個(gè)推理形式是正確的，第二個(gè)推理形式是錯(cuò)誤的確的，第二個(gè)推理形式是錯(cuò)誤的. . 一個(gè)正確的推理，必須是推理一個(gè)正確的推理，必須是推理的前提真實(shí)、推理的形式有效的前提真實(shí)、推理的形式有效. .如：如：因?yàn)橐驗(yàn)?負(fù)數(shù)大于負(fù)數(shù)大于0 0，

3、-5-5是負(fù)數(shù)，是負(fù)數(shù)， 所以所以 -5-5大于大于0.0. 因?yàn)橐驗(yàn)?整數(shù)是有理數(shù)，分?jǐn)?shù)是有理數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，分?jǐn)?shù)是有理數(shù)， 所以所以 整數(shù)是分?jǐn)?shù)整數(shù)是分?jǐn)?shù). .前提不真實(shí)前提不真實(shí)推理的形式錯(cuò)誤推理的形式錯(cuò)誤2.2.推理的規(guī)則推理的規(guī)則凡是正確的推理形式，就是推理規(guī)則凡是正確的推理形式，就是推理規(guī)則. .規(guī)則規(guī)則1 1：若：若p pq真，則真，則p真；若真；若p pq真，則真，則q真真. 即：（即：（ p pq ）p; （ p pq ）q.規(guī)則規(guī)則2：若：若 p pq真，且真，且p真，則真，則q真真. 即：（即：（ p pq） p p q.規(guī)則規(guī)則3：若：若 p pq真，且真，且p 真，

4、則真，則q 真真. 即：（即：（ p pq） p p q. 規(guī)則規(guī)則4：若：若 p pq真，且真，且p 真，則真，則q 真真. 即：即： （ p pq） p p q.同樣有：（同樣有：（ p pq） q p p.規(guī)則規(guī)則5：若：若 p pq真，且真，且qr 真，則真，則 p p r 真真. 即：即： （p pq）（qr） （ p p r ）.規(guī)則規(guī)則6 6：若集合：若集合A A中的每一個(gè)元素中的每一個(gè)元素x x都具有屬性都具有屬性F F，則，則集合集合A A的任一非空子集的任一非空子集B B中的每一個(gè)元素中的每一個(gè)元素y y，也具有，也具有屬性屬性F.F.即：即： 這條規(guī)則是邏輯上的一條演繹推

5、理規(guī)則，是這條規(guī)則是邏輯上的一條演繹推理規(guī)則，是作為公理提出來(lái)的，它保證了由全稱命題為真可作為公理提出來(lái)的，它保證了由全稱命題為真可以推出相應(yīng)的特稱命題為真以推出相應(yīng)的特稱命題為真.)()()(xFByBAxFAx二二. .推理的種類推理的種類1.1.演繹推理演繹推理演繹推理，又稱演繹法，又稱為論證推理，它是思演繹推理，又稱演繹法，又稱為論證推理，它是思維進(jìn)程中從一般到特殊的推理維進(jìn)程中從一般到特殊的推理. .演繹推理主要有三段論、關(guān)系推理、聯(lián)言推理、選演繹推理主要有三段論、關(guān)系推理、聯(lián)言推理、選言推理、假言推理和模態(tài)推理等推理模式言推理、假言推理和模態(tài)推理等推理模式. .一般一般特殊特殊何為

6、三段論？何為三段論？由兩個(gè)前提推出一個(gè)結(jié)論的演繹推理叫做三由兩個(gè)前提推出一個(gè)結(jié)論的演繹推理叫做三段論段論. .例例1. 1. 任何一個(gè)自然數(shù)都大于或等于零，任何一個(gè)自然數(shù)都大于或等于零， 是自然數(shù)是自然數(shù). . 所以，所以， .n0n例例2. 2. 如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等，如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等， 是對(duì)頂角，是對(duì)頂角， 所以，所以， . .BA 和BA總結(jié)：總結(jié)： 大前提大前提 小前提小前提 結(jié)論結(jié)論根據(jù)前提中命題的不同形式又可以將三段論分為直言三段論根據(jù)前提中命題的不同形式又可以將三段論分為直言三段論和假言三段論和假言三段論. .當(dāng)三段論的兩個(gè)命題都是直言命題時(shí)，

7、這種三段論稱為直言當(dāng)三段論的兩個(gè)命題都是直言命題時(shí)，這種三段論稱為直言三段論三段論. .當(dāng)三段論的前提中包含假言命題時(shí)，這種三段論稱為假言三當(dāng)三段論的前提中包含假言命題時(shí)，這種三段論稱為假言三段論段論. .u直言命題是斷定思維對(duì)象具有或不具有某直言命題是斷定思維對(duì)象具有或不具有某種性質(zhì)的命題；種性質(zhì)的命題；u假言命題是有條件地?cái)喽ㄊ挛锏哪撤N情況假言命題是有條件地?cái)喽ㄊ挛锏哪撤N情況存在的命題，在數(shù)學(xué)上假言命題一般用存在的命題，在數(shù)學(xué)上假言命題一般用“如如果果，那么，那么”或者或者“當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)，則則”這兩種形式來(lái)表達(dá)這兩種形式來(lái)表達(dá). . 一個(gè)數(shù)學(xué)上的證明是論證推理，呈現(xiàn)一個(gè)數(shù)學(xué)上的證明是論

8、證推理，呈現(xiàn)在我們面前的科學(xué)數(shù)學(xué)是一門以論證推理在我們面前的科學(xué)數(shù)學(xué)是一門以論證推理為特征的演繹科學(xué)為特征的演繹科學(xué). . 但是，這僅僅是科學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)方面，科學(xué)但是，這僅僅是科學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)方面，科學(xué)數(shù)學(xué)所呈現(xiàn)的東西已經(jīng)是科學(xué)數(shù)學(xué)建造過(guò)數(shù)學(xué)所呈現(xiàn)的東西已經(jīng)是科學(xué)數(shù)學(xué)建造過(guò)程的尾聲，是數(shù)學(xué)家創(chuàng)造性工作結(jié)出的果程的尾聲，是數(shù)學(xué)家創(chuàng)造性工作結(jié)出的果實(shí)，而在整理成這些定型的邏輯論證材料實(shí)，而在整理成這些定型的邏輯論證材料之前，有著更為漫長(zhǎng)的探索發(fā)現(xiàn)過(guò)程，這之前，有著更為漫長(zhǎng)的探索發(fā)現(xiàn)過(guò)程，這就是科學(xué)數(shù)學(xué)的另一個(gè)側(cè)面就是科學(xué)數(shù)學(xué)的另一個(gè)側(cè)面數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的方法之一：合情推理的方法之一：合情推理. .合

9、情推理一詞來(lái)自于合情推理一詞來(lái)自于 Plausible reasoning Plausible reasoning ，又譯為似真推理又譯為似真推理. .波利亞說(shuō)：數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性工作成果是論證推理，波利亞說(shuō)：數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性工作成果是論證推理，即證明；但是這個(gè)證明是通過(guò)合情推理、通過(guò)即證明；但是這個(gè)證明是通過(guò)合情推理、通過(guò)猜想而發(fā)現(xiàn)的。只要數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程稍能反映猜想而發(fā)現(xiàn)的。只要數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程稍能反映出數(shù)學(xué)發(fā)明過(guò)程的話，那么應(yīng)當(dāng)讓猜測(cè)、合情出數(shù)學(xué)發(fā)明過(guò)程的話，那么應(yīng)當(dāng)讓猜測(cè)、合情推理占有適當(dāng)?shù)奈恢猛评碚加羞m當(dāng)?shù)奈恢? .因此，波利亞曾多次呼吁因此，波利亞曾多次呼吁讓我們教猜想吧！讓我們教猜想吧！數(shù)

10、學(xué)中的合情推理主要有：歸納推數(shù)學(xué)中的合情推理主要有：歸納推理、類比推理、直覺(jué)、頓悟等理、類比推理、直覺(jué)、頓悟等. .這里主要談?wù)剼w納推理與類比推理這里主要談?wù)剼w納推理與類比推理. .2. 歸納推理歸納推理 1 1）定義）定義 把某類事物中個(gè)別事物所具有的規(guī)律把某類事物中個(gè)別事物所具有的規(guī)律作為該類事物的普遍規(guī)律，這種思維進(jìn)程作為該類事物的普遍規(guī)律，這種思維進(jìn)程中由特殊到一般的推理稱為歸納推理或稱中由特殊到一般的推理稱為歸納推理或稱歸納法歸納法. .特殊特殊一般一般屬于歸納推理納法、經(jīng)驗(yàn)歸納法）不完全歸納法（實(shí)驗(yàn)歸數(shù)學(xué)歸納法）屬于演繹推理（比如完全歸納法歸納法 我們借助于歸納推理可以從大量的個(gè)別

11、事例中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)我們借助于歸納推理可以從大量的個(gè)別事例中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理，引出新的數(shù)學(xué)命題真理，引出新的數(shù)學(xué)命題. .但此時(shí)的數(shù)學(xué)命題還只是一種猜想，但此時(shí)的數(shù)學(xué)命題還只是一種猜想，它往往是冒風(fēng)險(xiǎn)的、有爭(zhēng)議的和暫時(shí)成立的。要使它成為真它往往是冒風(fēng)險(xiǎn)的、有爭(zhēng)議的和暫時(shí)成立的。要使它成為真正的普遍命題，還要借助于論證推理進(jìn)行嚴(yán)格的證明正的普遍命題，還要借助于論證推理進(jìn)行嚴(yán)格的證明. .歸納推理的特點(diǎn)：歸納推理的特點(diǎn)：創(chuàng)造性較強(qiáng)而可靠性較弱創(chuàng)造性較強(qiáng)而可靠性較弱. .從具體從具體問(wèn)題或問(wèn)題或具體素具體素材出發(fā)材出發(fā)實(shí)驗(yàn)和觀察實(shí)驗(yàn)和觀察經(jīng)驗(yàn)歸納經(jīng)驗(yàn)歸納（歸納推理）（歸納推理）推廣推廣形成普遍形成普遍命題命題

12、（猜想）（猜想）證明證明 歸納推理在數(shù)學(xué)創(chuàng)造活動(dòng)歸納推理在數(shù)學(xué)創(chuàng)造活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)真理的一般過(guò)程：中發(fā)現(xiàn)真理的一般過(guò)程：( (反駁反駁) )2 2） 歸納推理成功的例子歸納推理成功的例子 物理學(xué)中的波義耳物理學(xué)中的波義耳馬略特定理、化學(xué)中馬略特定理、化學(xué)中的門捷列夫元素周期表、數(shù)學(xué)中勾股定理等等都的門捷列夫元素周期表、數(shù)學(xué)中勾股定理等等都是運(yùn)用歸納推理發(fā)現(xiàn)真理的典型例證是運(yùn)用歸納推理發(fā)現(xiàn)真理的典型例證. .波義耳波義耳馬略特定理馬略特定理: :溫度不變時(shí)，一定質(zhì)量的氣體的壓強(qiáng)跟它的體積成反比.該定律對(duì)理想氣體才嚴(yán)格成立，但可近似反映實(shí)際氣體的性質(zhì).例1. 凸多面體的歐拉（Euler）公式的發(fā)現(xiàn)道路.

13、 （P182-187 王子興）正多面體頂點(diǎn)數(shù)面數(shù)棱數(shù)正四面體正六面體正八面體正十二面體正二十面體三棱錐五棱柱規(guī)律：規(guī)律：X(P)=F+V-E=2 稱任一凸多面體的歐拉示性數(shù)等于稱任一凸多面體的歐拉示性數(shù)等于2.驗(yàn)證：這些正多面體都滿足這條規(guī)律嗎？驗(yàn)證：這些正多面體都滿足這條規(guī)律嗎？問(wèn)題：?jiǎn)栴}：證明正多面體只有五種證明正多面體只有五種. .例2. 楊輝三角形、牛頓（Newton）二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)道路. （P187-189 王子興）3 3） 歸納推理失敗的例子歸納推理失敗的例子例例3. 3. 費(fèi)馬（費(fèi)馬（FermatFermat）素?cái)?shù)（）素?cái)?shù)（16641664年）的猜想年）的猜想 P193-194

14、 P193-194 王子興）王子興）.12)(6553712)4(25712)3(1712)2(512) 1 (312)0(2_2222243210是素?cái)?shù)，猜想，對(duì)所有自然數(shù)是素?cái)?shù)，是素?cái)?shù)，是素?cái)?shù)，是素?cái)?shù)，是素?cái)?shù)，nnfnfffff.12)5(6700417641429496729712)5(17325522不是素?cái)?shù)即年發(fā)現(xiàn)在然而，善于計(jì)算的歐拉ff4 4）歸納推理結(jié)論未定的例子）歸納推理結(jié)論未定的例子例4. 偶數(shù)哥德巴赫（Goldbach）猜想奇數(shù)哥德巴赫猜想 （N 是不小于9的奇數(shù)） Vinogradov 1937 證明偶數(shù)哥德巴赫猜想 （N 是不小于6的偶數(shù)） 也即 （1+1）321pp

15、pN21ppN目前最好的結(jié)果是陳景潤(rùn)目前最好的結(jié)果是陳景潤(rùn)19661966年的（年的（1+21+2）. . 偶偶 數(shù)數(shù)哥德巴哥德巴赫猜想赫猜想奇奇 數(shù)數(shù)哥德巴哥德巴赫猜想赫猜想213ppN陳景潤(rùn)1966證明（1+2）例例5.5.梅森猜想（梅森猜想（MersenneMersenne，又譯為默森尼），又譯為默森尼） （P197-198 P197-198 王子興）王子興）例例6.6.柯召柯召孫琦猜想孫琦猜想 （P199 P199 王子興）王子興）5 5）完全歸納推理和不完全歸納推理）完全歸納推理和不完全歸納推理（1 1）完全歸納推理：也稱完全歸納法，是根）完全歸納推理：也稱完全歸納法，是根據(jù)某類事物

16、中每一對(duì)象或每一子類的情況，據(jù)某類事物中每一對(duì)象或每一子類的情況，作出該類事物的一般性結(jié)論的推理作出該類事物的一般性結(jié)論的推理. .完全歸納推理的形式為：完全歸納推理的形式為：FAxxxxAFxFxFxFxnn類事物具有性質(zhì)具有性質(zhì)具有性質(zhì)具有性質(zhì)具有性質(zhì)),(321321FAAAAAAFAFAFAFAnn類事物具有性質(zhì)具有性質(zhì)具有性質(zhì)具有性質(zhì)具有性質(zhì))(321321或或者者 完全歸納推理的每一個(gè)前完全歸納推理的每一個(gè)前提如果都是真實(shí)的，那么其結(jié)提如果都是真實(shí)的，那么其結(jié)論一定正確，所以它是一種嚴(yán)論一定正確，所以它是一種嚴(yán)格的推理方法，在數(shù)學(xué)中可以格的推理方法，在數(shù)學(xué)中可以作為嚴(yán)格的推理方法作

17、為嚴(yán)格的推理方法. .（2 2）不完全歸納推理：也稱不完全歸納法，）不完全歸納推理：也稱不完全歸納法，是根據(jù)某類事物中的一部分對(duì)象的情況，是根據(jù)某類事物中的一部分對(duì)象的情況，作出關(guān)于該類事物的一般性結(jié)論的推理作出關(guān)于該類事物的一般性結(jié)論的推理. .不完全歸納推理的一般形式：不完全歸納推理的一般形式：FAAAFAFAFAFAknkn類事物具有性質(zhì)具有性質(zhì)具有性質(zhì)具有性質(zhì)具有性質(zhì)_1321)(例如：費(fèi)馬素?cái)?shù)猜想就是一個(gè)不完全歸推理的例子例如：費(fèi)馬素?cái)?shù)猜想就是一個(gè)不完全歸推理的例子. .12)(6553712)4(25712)3(1712)2(512) 1 (312)0(2_2222243210是素

18、數(shù)，所以，對(duì)所有自然數(shù)是素?cái)?shù)，是素?cái)?shù)，是素?cái)?shù)，是素?cái)?shù)，是素?cái)?shù)，nnfnfffff由于不完全歸納僅僅列舉了歸納對(duì)象的一部分，因此前由于不完全歸納僅僅列舉了歸納對(duì)象的一部分，因此前提和結(jié)論之間未必有必然的聯(lián)系提和結(jié)論之間未必有必然的聯(lián)系. .其結(jié)論的真實(shí)性，還需要經(jīng)過(guò)理論的證明和實(shí)踐的檢驗(yàn)其結(jié)論的真實(shí)性，還需要經(jīng)過(guò)理論的證明和實(shí)踐的檢驗(yàn). .雖然不完全歸納法不能作為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理方法，但在雖然不完全歸納法不能作為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理方法，但在探索數(shù)學(xué)真理的過(guò)程中，探索數(shù)學(xué)真理的過(guò)程中，它能幫助我們迅速發(fā)現(xiàn)事物它能幫助我們迅速發(fā)現(xiàn)事物的特征、屬性和規(guī)律的特征、屬性和規(guī)律，為我們提供研究方向，提供猜，為我們

19、提供研究方向，提供猜想的基礎(chǔ)和依據(jù)想的基礎(chǔ)和依據(jù). .同時(shí)，同時(shí)，不完全歸納法在數(shù)學(xué)教學(xué)和解不完全歸納法在數(shù)學(xué)教學(xué)和解題過(guò)程中也有著廣泛的應(yīng)用（先猜后證）題過(guò)程中也有著廣泛的應(yīng)用（先猜后證）. .5 5）歸納推理在問(wèn)題解決中的作用和意義）歸納推理在問(wèn)題解決中的作用和意義用歸納推理發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的結(jié)論用歸納推理發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的結(jié)論 兩種形式：兩種形式： 由特殊事物直接猜測(cè)結(jié)論由特殊事物直接猜測(cè)結(jié)論根據(jù)規(guī)律先猜測(cè)一個(gè)結(jié)論的加強(qiáng)式（或一個(gè)遞推關(guān)根據(jù)規(guī)律先猜測(cè)一個(gè)結(jié)論的加強(qiáng)式（或一個(gè)遞推關(guān)系），然后憑借結(jié)論的加強(qiáng)式（或遞推關(guān)系）去發(fā)系），然后憑借結(jié)論的加強(qiáng)式（或遞推關(guān)系）去發(fā)現(xiàn)結(jié)論現(xiàn)結(jié)論例例7. 7. （1993

20、1993年全國(guó)高考題）年全國(guó)高考題） （P200 P200 王子興）王子興）例例8. 8. 一個(gè)不等式的證明一個(gè)不等式的證明. nrqprqpNncbacbacbacbacbaprqqprrqpnnn且都是非負(fù)整數(shù)，、，其中，都是正數(shù)，求證：、設(shè)用歸納推理發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的途徑用歸納推理發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的途徑證明：先考慮特殊情形：（）（）.,31, 3333不等式成立時(shí)不等式即是：當(dāng)abccbarqpn.012, 3222333accbbacbarqpn時(shí)不等式即是：，當(dāng).,3)2(3332332332333333333成立三式相加有：同理有：有：中，令在）的啟發(fā)，可以得到：受（成立下證不等式accb

21、bacbaacacbcbabaabacaabccba22232c32b321.,.)3(成立三式相加有：根據(jù)類比有：是非負(fù)整數(shù)，且都、，），由于一般的情形：由（prqqprrqpnnnprqnnnqprnnnrqpnnncbacbacbacbacbapcrbacbaqcpbacbarcqbanrqprqpNnnqnrnp23.類比推理類比推理1) 1) 何為類比推理何為類比推理類比推理是根據(jù)兩個(gè)不同的對(duì)象的某些方面類比推理是根據(jù)兩個(gè)不同的對(duì)象的某些方面（如特征、屬性、關(guān)系等）相同或相似，（如特征、屬性、關(guān)系等）相同或相似，推出它們?cè)谄渌矫嬉部赡芟嗤蛳嗨频耐瞥鏊鼈冊(cè)谄渌矫嬉部赡芟嗤蛳嗨频?/p>

22、思維形式，它是思維進(jìn)程中由特殊到特殊思維形式，它是思維進(jìn)程中由特殊到特殊的推理的推理. .特殊特殊特殊特殊類比推理的一般性例子：類比推理的一般性例子：飛機(jī)的發(fā)明、潛水艇的設(shè)計(jì)思路、航海偏光天文羅飛機(jī)的發(fā)明、潛水艇的設(shè)計(jì)思路、航海偏光天文羅盤的制造（仿蜜蜂的太陽(yáng)偏光定向功能）、雷達(dá)盤的制造（仿蜜蜂的太陽(yáng)偏光定向功能）、雷達(dá)的發(fā)明（仿蝙蝠等）的發(fā)明（仿蝙蝠等）近代仿生學(xué)的成果近代仿生學(xué)的成果 牛頓把天體運(yùn)動(dòng)與自由落體運(yùn)動(dòng)作類比發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有牛頓把天體運(yùn)動(dòng)與自由落體運(yùn)動(dòng)作類比發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力定律引力定律數(shù)學(xué)上的類比數(shù)學(xué)上的類比從一個(gè)故事說(shuō)起：從一個(gè)故事說(shuō)起： 從前有一個(gè)國(guó)王，暴虐任性。一次，他對(duì)一位大臣說(shuō)

23、：從前有一個(gè)國(guó)王，暴虐任性。一次，他對(duì)一位大臣說(shuō)： “我吃的雞蛋都是母雞生的，現(xiàn)在想嘗嘗公雞蛋的滋味，命令你三天內(nèi)我吃的雞蛋都是母雞生的，現(xiàn)在想嘗嘗公雞蛋的滋味，命令你三天內(nèi)把公雞蛋找來(lái)，我將重賞你；如果三天內(nèi)找不到公雞蛋，我就要在第四天的把公雞蛋找來(lái)，我將重賞你；如果三天內(nèi)找不到公雞蛋，我就要在第四天的早晨處死你。早晨處死你?！?大臣知道厄運(yùn)將至，但又不敢公開(kāi)違抗，只有悲傷地離開(kāi)了朝廷。大臣知道厄運(yùn)將至，但又不敢公開(kāi)違抗，只有悲傷地離開(kāi)了朝廷。 三天過(guò)去了，大臣無(wú)法找到公雞蛋。最后的一個(gè)夜晚，他顯得異常煩躁。三天過(guò)去了，大臣無(wú)法找到公雞蛋。最后的一個(gè)夜晚，他顯得異常煩躁。大臣的小兒子是一個(gè)很

24、聰明的少年，看到爸爸如此焦急，知道一定是大禍臨大臣的小兒子是一個(gè)很聰明的少年，看到爸爸如此焦急，知道一定是大禍臨頭了。便問(wèn)道：頭了。便問(wèn)道：“爸爸有什么煩悶的事呢？爸爸有什么煩悶的事呢？” “你小孩子家，我講了又有什么用？你小孩子家，我講了又有什么用？”大臣有氣無(wú)力地回答。大臣有氣無(wú)力地回答。 “不，爸爸！告訴我吧，或許我能為你分憂。不，爸爸！告訴我吧，或許我能為你分憂。”少年緊握爸爸的雙手，少年緊握爸爸的雙手，使勁地?fù)u晃著。使勁地?fù)u晃著。 大臣深情地望著自己的孩子，終于說(shuō)出了事情的原委。少年沉思大臣深情地望著自己的孩子，終于說(shuō)出了事情的原委。少年沉思了一會(huì)，勸爸爸不要著急，他有辦法逢兇化吉。

25、了一會(huì)，勸爸爸不要著急，他有辦法逢兇化吉。第四天的一早，少年代替大臣上了朝。第四天的一早，少年代替大臣上了朝?！澳惆职衷趺床粊?lái)呢？你爸爸怎么不來(lái)呢？”國(guó)王問(wèn)道。國(guó)王問(wèn)道?！皢⒎A國(guó)王，我爸爸在家生孩子。啟稟國(guó)王，我爸爸在家生孩子?！鄙倌瓴换挪幻Φ鼗卮?。少年不慌不忙地回答。 少年的回答引起國(guó)王和大臣們一陣哄笑。少年的回答引起國(guó)王和大臣們一陣哄笑。繼而，國(guó)王生氣了：繼而，國(guó)王生氣了：“胡說(shuō)！男人怎么會(huì)生孩子？胡說(shuō)！男人怎么會(huì)生孩子？”“是的，國(guó)王。男人是不能生孩子的，正如公雞不能下蛋一樣。是的，國(guó)王。男人是不能生孩子的，正如公雞不能下蛋一樣?！鄙倌曜プr(shí)機(jī)，一句話說(shuō)得國(guó)王張口結(jié)舌，無(wú)言相對(duì)，最后只好

26、赦免了少年抓住時(shí)機(jī)，一句話說(shuō)得國(guó)王張口結(jié)舌，無(wú)言相對(duì)，最后只好赦免了大臣。大臣。 生活中有很多現(xiàn)象是類似的。我們常常根據(jù)兩個(gè)類似系統(tǒng)的生活中有很多現(xiàn)象是類似的。我們常常根據(jù)兩個(gè)類似系統(tǒng)的某一系統(tǒng)中某一公認(rèn)為正確的判斷，來(lái)對(duì)另一系統(tǒng)作出類似的判斷，某一系統(tǒng)中某一公認(rèn)為正確的判斷，來(lái)對(duì)另一系統(tǒng)作出類似的判斷，這種方法叫做類比。這種方法叫做類比?！肮u是不會(huì)生蛋的公雞是不會(huì)生蛋的”，這是公認(rèn)的事實(shí)，可，這是公認(rèn)的事實(shí)，可是國(guó)王卻違背了這個(gè)真理。是國(guó)王卻違背了這個(gè)真理?！肮u不能生蛋公雞不能生蛋”與與“男人不能生孩子男人不能生孩子”是類似的兩個(gè)現(xiàn)象。為了證實(shí)是類似的兩個(gè)現(xiàn)象。為了證實(shí)“公雞不能生蛋公雞

27、不能生蛋”是正確的，就用是正確的，就用“男人不能生孩子男人不能生孩子”這一公認(rèn)的事實(shí)來(lái)類比，從而達(dá)到否定國(guó)王謬這一公認(rèn)的事實(shí)來(lái)類比，從而達(dá)到否定國(guó)王謬論的目的。論的目的。類比的方法在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用。平面上三條直線可以圍成一個(gè)三角類比的方法在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用。平面上三條直線可以圍成一個(gè)三角形，空間四個(gè)平面可以圍成一個(gè)四面體（三棱錐）。三角形與四面體形，空間四個(gè)平面可以圍成一個(gè)四面體（三棱錐）。三角形與四面體是兩個(gè)類似的幾何圖形，它們之間可以類比。我們從三角形已有性質(zhì)是兩個(gè)類似的幾何圖形，它們之間可以類比。我們從三角形已有性質(zhì)出發(fā)，可以推測(cè)四面體是否也有類似的性質(zhì)。出發(fā)，可以推測(cè)四面體是否也

28、有類似的性質(zhì)。 三角形有三角形有3 3個(gè)頂點(diǎn)，四面體有個(gè)頂點(diǎn)，四面體有4 4個(gè)頂點(diǎn)；個(gè)頂點(diǎn)； 三角形有三角形有3 3條邊，四面體有條邊，四面體有4 4個(gè)面；個(gè)面； 三角形有三角形有3 3個(gè)角，四面體有個(gè)角，四面體有6 6個(gè)二面角。個(gè)二面角。 任何一個(gè)三角形都有一個(gè)內(nèi)切圓，任何一個(gè)四面體是否也必有一個(gè)內(nèi)任何一個(gè)三角形都有一個(gè)內(nèi)切圓，任何一個(gè)四面體是否也必有一個(gè)內(nèi)切球（與四面體四個(gè)面相切的球）？答案是肯定的。切球（與四面體四個(gè)面相切的球）？答案是肯定的。 任何一個(gè)三角形總有一個(gè)外接圓，任何一個(gè)四面體是否必有一個(gè)外接任何一個(gè)三角形總有一個(gè)外接圓，任何一個(gè)四面體是否必有一個(gè)外接球（即過(guò)四個(gè)頂點(diǎn)的球）？

29、答案也是肯定的。球（即過(guò)四個(gè)頂點(diǎn)的球）？答案也是肯定的。 天文學(xué)家開(kāi)卜勒曾說(shuō)過(guò)：天文學(xué)家開(kāi)卜勒曾說(shuō)過(guò)：“我珍視類比勝于任何別我珍視類比勝于任何別的東西，它是我最可信賴的老師，它能揭示自然的東西，它是我最可信賴的老師，它能揭示自然界的秘密，在幾何學(xué)中它應(yīng)該是最不容忽視的。界的秘密，在幾何學(xué)中它應(yīng)該是最不容忽視的。”數(shù)學(xué)家拉普拉斯也說(shuō)過(guò)：數(shù)學(xué)家拉普拉斯也說(shuō)過(guò)：“甚至在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真甚至在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比。理的主要工具也是歸納和類比。”讓我們?cè)谌粘Ｗ屛覀冊(cè)谌粘Ｉ詈蛿?shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中，更好地發(fā)揮類比這個(gè)工具的生活和數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中，更好地發(fā)揮類比這個(gè)工具的作用吧！作用吧！類比推理與歸納推理

30、一樣，也是一種合情推類比推理與歸納推理一樣，也是一種合情推理，其結(jié)論正確與否，必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的證理，其結(jié)論正確與否，必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的證明（用演繹推理論證）明（用演繹推理論證）因此，類比推理也是一種創(chuàng)造性較強(qiáng)而可靠因此，類比推理也是一種創(chuàng)造性較強(qiáng)而可靠性較弱的方法性較弱的方法. .類比推理的一般形式：類比推理的一般形式：PBFFFBPFFFAnn類事物具有性質(zhì)具有性質(zhì)具有性質(zhì)_,2121類比推理在數(shù)學(xué)創(chuàng)造活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)真理的一般過(guò)程：類比推理在數(shù)學(xué)創(chuàng)造活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)真理的一般過(guò)程：從具從具體問(wèn)體問(wèn)題或題或具體具體素材素材出發(fā)出發(fā)類類 比比（類比推理）（類比推理）聯(lián)想聯(lián)想形成形成普遍普遍命題命題（猜想）（猜想

31、）證明證明預(yù)見(jiàn)預(yù)見(jiàn)2 2）類比推理與歸納推理的關(guān)系）類比推理與歸納推理的關(guān)系 歸納推理是從特殊事物的性質(zhì)得到歸納推理是從特殊事物的性質(zhì)得到一般對(duì)象的性質(zhì)，是一種縱向思維；類一般對(duì)象的性質(zhì)，是一種縱向思維；類比推理卻是一種橫向思維，是借助于兩比推理卻是一種橫向思維，是借助于兩個(gè)事物（兩個(gè)系統(tǒng)）在某些部分上的一個(gè)事物（兩個(gè)系統(tǒng)）在某些部分上的一致性來(lái)推測(cè)在另外一些部分上的一致性致性來(lái)推測(cè)在另外一些部分上的一致性. .例例1.1.分析算術(shù)平均與幾何平均不等式的發(fā)現(xiàn)過(guò)程分析算術(shù)平均與幾何平均不等式的發(fā)現(xiàn)過(guò)程 見(jiàn)見(jiàn) P207-208 P207-208 王子興王子興3 3）類比推理成功的例子）類比推理成功

32、的例子例例2.無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù) 之和的發(fā)現(xiàn)道路（見(jiàn)之和的發(fā)現(xiàn)道路（見(jiàn) P209 王子興）王子興）.類比推理的成功是數(shù)學(xué)內(nèi)在統(tǒng)一性的一種表現(xiàn)類比推理的成功是數(shù)學(xué)內(nèi)在統(tǒng)一性的一種表現(xiàn). . 數(shù)學(xué)類比推理能力的提高，依賴于對(duì)數(shù)學(xué)統(tǒng)一性的數(shù)學(xué)類比推理能力的提高，依賴于對(duì)數(shù)學(xué)統(tǒng)一性的深刻理解深刻理解. . 4913612511614114 4）類比推理失敗的例子）類比推理失敗的例子 類比推理和歸納推理一樣，也是一種合情推類比推理和歸納推理一樣，也是一種合情推理，其結(jié)論帶有偶然性和片面性理，其結(jié)論帶有偶然性和片面性. . 其原因在于任其原因在于任何相似的兩個(gè)對(duì)象之間，總有一定的差異性，推何相似的兩個(gè)對(duì)象之

33、間，總有一定的差異性，推出的屬性如果正好是兩者的差異性，此時(shí)類比推出的屬性如果正好是兩者的差異性，此時(shí)類比推理就會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤理就會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤. . 也就是說(shuō)，事物之間的相似屬也就是說(shuō)，事物之間的相似屬性（或共有屬性）和推出的屬性之間不一定有必性（或共有屬性）和推出的屬性之間不一定有必然的聯(lián)系，因此由類比推理得出的結(jié)論，有的可然的聯(lián)系，因此由類比推理得出的結(jié)論，有的可能是對(duì)的，也有的可能是錯(cuò)的能是對(duì)的，也有的可能是錯(cuò)的. .例例3.3.關(guān)于無(wú)窮級(jí)數(shù)關(guān)于無(wú)窮級(jí)數(shù) 的斂散性的斂散性. .見(jiàn)見(jiàn) P214 P214 王子興王子興 8171615141312115 5）類比推理在問(wèn)題解決中的作用和意義）類比推

34、理在問(wèn)題解決中的作用和意義 波利亞：波利亞：“類比似乎在一切發(fā)現(xiàn)中有作用，類比似乎在一切發(fā)現(xiàn)中有作用，而且在某些發(fā)現(xiàn)中有它巨大的作用而且在某些發(fā)現(xiàn)中有它巨大的作用”. “. “類比是類比是提出新命題和獲得發(fā)現(xiàn)取之不盡的源泉提出新命題和獲得發(fā)現(xiàn)取之不盡的源泉”. .類比在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的兩個(gè)作用：類比在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的兩個(gè)作用：發(fā)現(xiàn)新的命題，直至發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域；發(fā)現(xiàn)新的命題，直至發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域；發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決的途徑和方法發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決的途徑和方法 例例5. 5. 19791979年全國(guó)高考題年全國(guó)高考題 見(jiàn)見(jiàn) P216 P216 王子興王子興 三、數(shù)學(xué)中的證明三、數(shù)學(xué)中的證明1.1.證明的意義和結(jié)構(gòu)證明

35、的意義和結(jié)構(gòu) 證明就是根據(jù)一些已經(jīng)確定真實(shí)性的證明就是根據(jù)一些已經(jīng)確定真實(shí)性的命題來(lái)斷定某一命題真實(shí)性的思維過(guò)程命題來(lái)斷定某一命題真實(shí)性的思維過(guò)程. . 數(shù)學(xué)中的證明是應(yīng)用已經(jīng)確定其真實(shí)數(shù)學(xué)中的證明是應(yīng)用已經(jīng)確定其真實(shí)性的公理、定理、定義、公式、性質(zhì)等數(shù)性的公理、定理、定義、公式、性質(zhì)等數(shù)學(xué)命題來(lái)論證某一數(shù)學(xué)命題的推理過(guò)程學(xué)命題來(lái)論證某一數(shù)學(xué)命題的推理過(guò)程. .任何邏輯證明都是由論題、論據(jù)和論證三部分組成任何邏輯證明都是由論題、論據(jù)和論證三部分組成. .u論題是需要證明其真實(shí)性的命題；論題是需要證明其真實(shí)性的命題；u論據(jù)是確定論題為真所依據(jù)的那些命題；論據(jù)是確定論題為真所依據(jù)的那些命題；u論證

36、就是指由論據(jù)出發(fā)進(jìn)行一系列推理來(lái)確定論題論證就是指由論據(jù)出發(fā)進(jìn)行一系列推理來(lái)確定論題真實(shí)性的過(guò)程真實(shí)性的過(guò)程. .中學(xué)數(shù)學(xué)中的證明通常分為已知、求證、證明三部分中學(xué)數(shù)學(xué)中的證明通常分為已知、求證、證明三部分. .2.2.證明的規(guī)則證明的規(guī)則 數(shù)學(xué)證明是邏輯論證的一種，也是數(shù)數(shù)學(xué)證明是邏輯論證的一種，也是數(shù)學(xué)思維的過(guò)程，學(xué)思維的過(guò)程，正確的數(shù)學(xué)證明應(yīng)該遵循正確的數(shù)學(xué)證明應(yīng)該遵循邏輯論證的一般規(guī)則邏輯論證的一般規(guī)則. .規(guī)則規(guī)則1. 1. 論題必須明確且保持同一（防止論題必須明確且保持同一（防止“論題論題不清、換題論證不清、換題論證”的錯(cuò)誤的發(fā)生）；的錯(cuò)誤的發(fā)生）；規(guī)則規(guī)則2. 2. 論據(jù)必須真實(shí)

37、、充分（防止論據(jù)必須真實(shí)、充分（防止“虛假理由、虛假理由、不能推出不能推出”的錯(cuò)誤的發(fā)生）；的錯(cuò)誤的發(fā)生）；規(guī)則規(guī)則3. 3. 論證必須遵循推理規(guī)則，不得循環(huán)論證論證必須遵循推理規(guī)則，不得循環(huán)論證. .3.3.數(shù)學(xué)中常用的證明方法數(shù)學(xué)中常用的證明方法數(shù)學(xué)證明數(shù)學(xué)證明按思維方式分類按思維方式分類歸納法歸納法演繹法演繹法按思維的方向分類按思維的方向分類分析法分析法綜合法綜合法按證明的形式分類按證明的形式分類直接證法直接證法間接證法間接證法反證法反證法同一法同一法歸謬法歸謬法窮舉法窮舉法（1 1）分析法與綜合法）分析法與綜合法 在數(shù)學(xué)證明中，如果思考推理的方向在數(shù)學(xué)證明中，如果思考推理的方向是從求證

38、追溯到已知，即從未知到已知，是從求證追溯到已知，即從未知到已知，這種證明方法稱之為分析法；反之，如果這種證明方法稱之為分析法；反之，如果思考推理的方向是從已知到求證，即從已思考推理的方向是從已知到求證，即從已知到未知，這種證明方法稱之為綜合法知到未知，這種證明方法稱之為綜合法. .（2 2）直接證法與間接證法）直接證法與間接證法在數(shù)學(xué)證明中，直接從正面證明論題的真實(shí)在數(shù)學(xué)證明中，直接從正面證明論題的真實(shí)性的方法，稱為直接證法性的方法，稱為直接證法. .如果不是直接證明論題的真實(shí)性，而是通過(guò)如果不是直接證明論題的真實(shí)性，而是通過(guò)證明論題的否定命題不真證明論題的否定命題不真，或者，或者證明論題證明

39、論題的等效命題成立的等效命題成立，從而肯定論題的真實(shí)性，從而肯定論題的真實(shí)性的證明方法，稱為間接證法，間接證法主的證明方法，稱為間接證法，間接證法主要有要有反證法反證法和和同一法同一法. .u 反證法反證法通過(guò)證明論題的否定命題不真，從而肯定原論題真實(shí)的證明方法.分為歸謬法和窮舉法兩種.反證法的一般步驟：反證法的一般步驟： 假設(shè)論題的結(jié)論不成立（即結(jié)論的否定成立）； 從論題的條件和否定的結(jié)論出發(fā)，進(jìn)行推理，得出與已知公理、定理、定義、論題條件或否定結(jié)論相矛盾的結(jié)果； 根據(jù)排中律，最后肯定原論題成立.例例1 1：求證：求證： 不是有理數(shù)不是有理數(shù). .2.22.2222.222,22221211222不是有理數(shù)質(zhì)矛盾，從而可知，互、的倍數(shù)，與假設(shè)都是與這樣，的倍數(shù)也必定是的倍數(shù)，從而是即整理得：，是正整數(shù)）