第七節(jié)二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)ppt課件

1、第七章第七章 微分方程微分方程第六節(jié)第六節(jié) 高階線性微分方程高階線性微分方程二階線性微分方程的概念二階線性微分方程的概念二階線性微分方程的一般形式是二階線性微分方程的一般形式是),()()(22xfyxQdxdyxPdxyd )1(其中其中)(xP丶丶)(xQ及及)(xf是自變量是自變量x的已知函數(shù)的已知函數(shù),函數(shù)函數(shù))(xf稱為方程稱為方程(1)的自由項(xiàng)的自由項(xiàng).當(dāng)當(dāng)0)( xf時(shí)時(shí),方程方程(1)成為成為, 0)()(22 yxQdxdyxPdxyd這個(gè)方程稱為二階齊次線性微分方程這個(gè)方程稱為二階齊次線性微分方程, 相應(yīng)地相應(yīng)地,方程方程(1)稱為二階非齊次線性微分方程稱為二階非齊次線性微

2、分方程.二階線性微分方程的概念二階線性微分方程的概念方程方程(1)稱為二階非齊次線性微分方程稱為二階非齊次線性微分方程.本節(jié)所討論的二階線性微分方程的解的一些性質(zhì)本節(jié)所討論的二階線性微分方程的解的一些性質(zhì),還可以推廣到還可以推廣到n階線性微分方程階線性微分方程yxPyxPyxPynnnn)()()(1)1(1)( ).(xf 二階線性微分方程解的定理二階線性微分方程解的定理0)()(22 yxQdxdyxPdxyd)1(定理定理1 如果函數(shù)如果函數(shù))(1xy與與)(2xy是方程是方程(1)的兩個(gè)的兩個(gè)解解, 那么那么)()(2211xyCxyCy )2(也是方程也是方程(1)的解的解, 其中其

3、中21,CC是任意常數(shù)是任意常數(shù).函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)定義定義1 設(shè)設(shè))(),(21xyxy是定義在區(qū)間是定義在區(qū)間I內(nèi)內(nèi)數(shù)數(shù).如果存在兩個(gè)不全為零的常數(shù)如果存在兩個(gè)不全為零的常數(shù),21kk使得在區(qū)使得在區(qū)間間I內(nèi)恒有內(nèi)恒有, 0)()(2211 xykxyk則稱這兩個(gè)函數(shù)則稱這兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)線性相關(guān)內(nèi)線性相關(guān).否則稱線性無關(guān)否則稱線性無關(guān).的兩個(gè)函的兩個(gè)函二階線性微分方程解的定理二階線性微分方程解的定理0)()(22 yxQdxdyxPdxyd)1(定理定理 2假設(shè)假設(shè))(1xy與與)(2xy是方程是方程(1)的兩個(gè)線性無的兩個(gè)線性無關(guān)的特解關(guān)的特解,那

4、么那么)()(2211xyCxyCy 就是方程就是方程(1)的通解的通解,其中其中21,CC是任意常數(shù)是任意常數(shù).二階線性微分方程解的定理二階線性微分方程解的定理)()()(22xfyxQdxdyxPdxyd )1(0)()(22 yxQdxdyxPdxyd)2(定理定理 3設(shè)設(shè) y是方程是方程(1)的一個(gè)特解的一個(gè)特解,而而Y是其對(duì)應(yīng)是其對(duì)應(yīng)的齊次方程的齊次方程(2)的通解的通解, 那么那么 yYy)3(就是二階非齊次線性微分方程就是二階非齊次線性微分方程(1)的通解的通解.二階線性微分方程解的定理二階線性微分方程解的定理定理定理4設(shè)設(shè) 1y與與 2y分別是方程分別是方程)()()(1xfy

5、xQyxPy 與與)()()(2xfyxQyxPy 的特解的特解, 那么那么 21yy是方程是方程)()()()(21xfxfyxQyxPy )1(的特解的特解.二階線性微分方程解的定理二階線性微分方程解的定理定理定理5設(shè)設(shè)21iyy 是方程是方程)()()()(21xifxfyxQyxPy 的解的解,其中其中)(),(),(),(21xfxfxQxP為實(shí)值函數(shù)為實(shí)值函數(shù),i為純虛數(shù)為純虛數(shù).那么那么1y與與2y分別是方程分別是方程)()()(1xfyxQyxPy 與與)()()(2xfyxQyxPy 的解的解.例例1 知知,21xxexey ,2xxexey xxxeexey 23是某二階非

6、齊次線性微分方程的三個(gè)特解：是某二階非齊次線性微分方程的三個(gè)特解：求此方程的通解求此方程的通解;)1(寫出此微分方程寫出此微分方程;)2(求此微分方程滿足求此微分方程滿足6)0(, 7)0( yy的特解的特解.)3(齊次線性微分方程的解法齊次線性微分方程的解法, 0)()(22 yxQdxdyxPdxyd)1(設(shè)設(shè)1y是方程是方程(1)的一個(gè)已知非零特解的一個(gè)已知非零特解,作變量替換作變量替換,1uyy )2(,11dxdyudxduydxdy ,2212122122dxydudxdydxdudxudydxyd 解線性微分方程的降階法解線性微分方程的降階法,2212122122dxydudxd

7、ydxdudxudydxyd 把它們代入把它們代入(1)式式, 得得 dxduyxPdxdydxudy)(2(11221, 0)()(1122 yxQdxdyxPdxyd)3(再作變量替換再作變量替換, zdxdu 得得, 0)(2(111 zyxPdxdydxdzy解線性微分方程的降階法解線性微分方程的降階法, 0)(2(111 zyxPdxdydxdzy分離變量得分離變量得,)(2111dxxPdxdyydzz 兩邊積分得兩邊積分得dxxPeyCz)(212 2(C為任意常數(shù)為任意常數(shù)).對(duì)對(duì)zdxdu 積分積分, 得得1)(2121CdxeyCudxxP 1(C為任意常數(shù)為任意常數(shù)).代

8、回原變量代回原變量, 就得到方程就得到方程(1)的通解的通解解線性微分方程的降階法解線性微分方程的降階法1)(2121CdxeyCudxxP 1(C為任意常數(shù)為任意常數(shù)).代回原變量代回原變量, 就得到方程就得到方程(1)的通解的通解.1)(21211 dxeyCCyydxxP這個(gè)公式稱為二階線性微分方程的劉維爾公式這個(gè)公式稱為二階線性微分方程的劉維爾公式.例例2 知知xxysin1 是方程是方程0222 ydxdyxdxyd個(gè)解個(gè)解, 試求方程的通解試求方程的通解.的一的一.1)(21211 dxeyCCyydxxP常數(shù)變易法常數(shù)變易法設(shè)有二階非齊次線性方程設(shè)有二階非齊次線性方程)()()(

9、22xfyxQdxdyxPdxyd )1(如果其對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為如果其對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為,2211yCyCy 設(shè)非齊次方程設(shè)非齊次方程(1)的特解為的特解為2211yuyuy )2(其中其中)(),(2211xuuxuu 是兩個(gè)特定函數(shù)是兩個(gè)特定函數(shù),對(duì)對(duì) y求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù),得得, 22112211uyuyyuyuy 常數(shù)變易法常數(shù)變易法, 22112211uyuyyuyuy 我們補(bǔ)充如下條件我們補(bǔ)充如下條件:. 02211 uyuy,22112211yuyuyuyuy 得方程組得方程組.)(022112211 xfuyuyuyuy常數(shù)變易法常數(shù)變易法得方程組得方程組.)(022112211 xfuyuyuyuy)3(, 0)(1221 yyyyxw上述方程組有唯一解上述方程組有唯一解.解得解得,)()()(2122121xwxfyyyyyxfyu .)()()(1122112xwxfyyyyyxfyu 常數(shù)變易法常數(shù)變易法積分并取其一個(gè)原函數(shù)積分并取其一個(gè)原函數(shù),得得 ,)()(21dxxwxfyu ,)()(12dxxwxfyu于是于是,所求特解為所求特解為.)()()()(