《曲邊梯形的面積》課件3

1、曲邊梯形的面積情境創(chuàng)設(shè)情境創(chuàng)設(shè) 金門大橋金門大橋 （美國(guó)）（美國(guó)） 一般地一般地, ,如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間在某個(gè)區(qū)間I上的圖象是上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線一條連續(xù)不斷的曲線, ,那么就把它稱為區(qū)間那么就把它稱為區(qū)間I上的上的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù). .如不加說(shuō)明，以后研究的都是連續(xù)函數(shù)如不加說(shuō)明，以后研究的都是連續(xù)函數(shù) 1. 1.什么是區(qū)間什么是區(qū)間I I上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù). .aboxyaboxy和曲線和曲線 所圍成的所圍成的圖形稱為曲邊梯形。圖形稱為曲邊梯形。 曲邊梯形的定義：曲邊梯形的定義：由直線由直線 0),(,ybabxax)(xfy 概念形成概念形成

2、 2xy 案例探究案例探究 1xyo如何求由直線如何求由直線 與拋物線與拋物線 所圍成的平面圖形的面積所圍成的平面圖形的面積 S？2xy 0, 1, 0yxx看看怎樣求出下列圖形的面積?從中你有何啟示？思維導(dǎo)航不規(guī)則的幾何圖形可以分割成不規(guī)則的幾何圖形可以分割成若干個(gè)規(guī)則的幾何圖形來(lái)求解若干個(gè)規(guī)則的幾何圖形來(lái)求解魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”劉徽劉徽的這種研究方法對(duì)你有什么啟示?思維導(dǎo)航-割圓術(shù)割圓術(shù)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”劉徽劉徽的這種研究方法對(duì)你有什

3、么啟示?思維導(dǎo)航-割圓術(shù)割圓術(shù)“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”割圓術(shù)：劉徽在九章算術(shù)注中講到劉徽劉徽的這種研究方法對(duì)你有什么啟示?-割圓術(shù)割圓術(shù)思維導(dǎo)航 以“直”代“曲”無(wú)限逼近案例探究案例探究 2xy 1xyo如何求由直線如何求由直線 與拋物線與拋物線 所圍成的平面圖形的面積所圍成的平面圖形的面積 S？2xy 0, 1, 0yxx思考1：怎樣“以直代曲”？能整體以“直”代“曲嗎？思考2：怎樣分割最簡(jiǎn)單？nininii, 2 , 1,1 個(gè)區(qū)間為記第nninix11:長(zhǎng)度y=x2xyO11 1、分割、分割這樣這樣0,10,1區(qū)間區(qū)間分成n個(gè)小區(qū)間： 1 ,

4、1,2,1,1, 0nnnnn對(duì)應(yīng)的小曲邊梯形面積為SininSSSSS 211ininy=x2把底邊把底邊0,10,1分成分成n n等份等份, , 在每個(gè)分點(diǎn)作底邊在每個(gè)分點(diǎn)作底邊的垂線的垂線, ,1n2n1nn案例探究案例探究 2( )( )iifnn2( )( )iifnn2 2、近似代替(以直代曲）方案方案一一方案方案二二方案三方案三xyO11ininy=x2211()()iifnn案例探究案例探究 思考3：對(duì)每個(gè)小曲邊梯形如何“以直代曲”？怎樣使各個(gè)結(jié)果更接近真實(shí)值？深入思考 oy2xy 1xy2xy 1xoy2xy 1xoy2xy 1xo由方案一，由方案一，n越大，區(qū)間分割越細(xì)，面

5、積越大，區(qū)間分割越細(xì)，面積的近似值就越精確。當(dāng)分割無(wú)限變細(xì)時(shí)，的近似值就越精確。當(dāng)分割無(wú)限變細(xì)時(shí)，這個(gè)近似值就無(wú)限逼近所求曲邊梯形的面這個(gè)近似值就無(wú)限逼近所求曲邊梯形的面積積S。下面看第一種方案下面看第一種方案“以直代曲以直代曲”的具體操作過(guò)程的具體操作過(guò)程 ,1 ,n1n,n2,n1,n1, 0:n,1n1 , 01 個(gè)小區(qū)間分成將它等個(gè)點(diǎn)隔地插入上間在區(qū)間分割.n1n1inix,n, 2 , 1ini,n1ii 其長(zhǎng)度為個(gè)區(qū)間為記第ox1y2xy n1ini軸的個(gè)點(diǎn)作分別過(guò)上述x1n.,.,121 niinSSSSsn顯然它們的面積記作如圖個(gè)小曲邊梯形把曲邊梯形分成垂線 直線段近似軸的就是

6、用平行于上看從圖形處的函數(shù)值它近似地等于左端點(diǎn)不妨認(rèn)為似等于一個(gè)常數(shù)近的值變化很小函數(shù)上在區(qū)間時(shí)很小即很大當(dāng)如圖記近似代替xnifnixxfninixnxxf,.11,1,.222 ox1y2xy n1inin1i nix12xy yo., 2 , 1111, ,1,.2ninnixnifSSSSniniiiii 則有以直代曲小范圍內(nèi)即在局部近似地代替用小矩形的面積上在區(qū)間這樣邊地代替小曲邊梯形的曲ox1y2xy n1inin1i nix12xy yo nnixnifSSSnininiinn111,232111 為圖中陰影部分的面積由求和n1n1n102n1n1n2 61n2n1nn13.n2

7、11n1131SSSn的近似值從而可得n1i nix12xy yo .312111131lim11limlim,2111131,0,20, , 8 , 41 , 041 nnnifnSSSnnSxnnninnnn從而有趨向于時(shí)趨向于即趨向于無(wú)窮大當(dāng)可以看到上圖等份等分成分別將區(qū)間取極限 oy2xy 1xy2xy 1xoy2xy 1xoy2xy 1xo區(qū)間區(qū)間00，11的等分?jǐn)?shù)的等分?jǐn)?shù)n nS S的近似值的近似值20.125 000 0040.218 750 0080.273 437 50160.302 734 50320.317 871 09640.325 561 52 1280.329 43

8、7 262560.331 382 755120.332 357 4110240.332 845 21 20480.333 089 23 nS我們還可以我們還可以從數(shù)值上可從數(shù)值上可以看出這一以看出這一變化趨勢(shì)變化趨勢(shì)（請(qǐng)見(jiàn)表）（請(qǐng)見(jiàn)表） n1n2nknnxy2xy nnn2ii 1i 1i 12222311SSf()( )n nnn1 12(n1)niin1, iinn在區(qū)間上的左端點(diǎn)和右端點(diǎn)的函數(shù)值來(lái)計(jì)算有和區(qū)別 n1n2nknnxy2xy 2222331S12(n1)n1(1)(21)1111 (1)(2)n663nn nnnn （1）在分割時(shí)一定要等分嗎？不等分影響結(jié)果嗎？ （2）在近似代替時(shí)用小區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)處的函數(shù)值影響結(jié)果嗎 ？ （3）總結(jié)一般曲邊梯形面積的表達(dá)式？?jī)蓚€(gè)結(jié)論1.1.在分割時(shí)，不管采用等分與不等分，結(jié)果一樣。在分割時(shí)，不管采用等分與不等分，結(jié)果一樣。 2. 2. 在近似代替時(shí)，用小區(qū)間內(nèi)任在近似代替時(shí)，用小區(qū)間內(nèi)任 一點(diǎn)處的函數(shù)值