數(shù)理統(tǒng)計考試題及參考答案

1、數(shù)理統(tǒng)計考試題及參考答案一、填空題(每小題3分，共15分)1,設(shè)總體X和Y相互獨立，且都服從正態(tài)分布N(0,32),而(X1,X2L,X9)和(YZL,Y9)是分X,IXc別來自X和Y的樣本，則UT19服從的分布是.解：t(9).Y12LY92-、I。2,設(shè)4與N都是總體未知參數(shù)的估計，且？比？2有效，則？與馬的期望與方差滿足二解：E(?)E("D(7)D(?).3, “兩個總體相等性檢驗”的方法有與.解：秩和檢驗、游程總數(shù)檢驗.4,單因素試驗方差分析的數(shù)學(xué)模型含有的三個基本假定是二解：正態(tài)性、方差齊性、獨立性.5,多元線性回歸模型YX0中，0的最小二乘估計是彳=.解：?=(XX)1

2、XY.二、單項選擇題(每小題3分，共15分)21,設(shè)(X1,X2,L,Xn)(n2)為來自總體N(0,1)的一個樣本，X為樣本均值，S為樣本方差，則D_(A)nX:N(0,1)；(B)nS2:2(n)；2(C)_:t(n)；(D)(n)1:F(1,n1).SX：1 22,若總體X:N(,2),其中2已知，當(dāng)置信度1保持不變時，如果樣本容量n增大，則的置信區(qū)間B_.(A)長度變大；(B)長度變小；(C)長度不變；(D)前述都有可能.3,在假設(shè)檢驗中，分別用，表示犯第一類錯誤和第二類錯誤的概率，則當(dāng)樣本容量n一定時，下列說法中正確的是C.(A)減小時也減?。?B)增大時也增大；(C),其中一個減小

3、，另一個會增大；(D)(A)和(B)同時成立.4,對于單因素試驗方差分析的數(shù)學(xué)模型，設(shè)&為總離差平方和，Se為誤差平方和，Sa為效應(yīng)平方和，則總有A一Sa0(A)StSeSa；(B)g%1)；(C)SA/(r1)：F(r1,nr)；(D)SA與Se相互獨立.Se/(nr)5,在一元回歸分析中，判定系數(shù)定義為R2包，則B.St(A)R接近0時回歸效果顯著；(B)R2接近1時回歸效果顯著；2(C)R接近時回歸效果顯著；(D)前述都不對.22二、(本題10分)設(shè)總體X:N(1,)、Y:N(2,),(Xi,X2,L,XnJ和(Yi,K,L,Yn2)分別是來自X和Y的樣本，且兩個樣本相互獨立，X

4、、Y和SX、S2分別是它們的樣本均值和樣本方差，證明(XY)(sn證明：12丁n2易知):t(n1n2),其中s2(m1)SX(n21管口電2N(122),n%U(XY)(i2):n(0,i),1Xin1“由定理可知_2(n11)Sx,2:2S1),_2(11)Sy2(n21).由獨立性和2分布的可加性可得_2_22,(nn22).(A1)Sxn1)Sy22由U與V得獨立性和t分布的定義可得(XY)(12)U,V/(n1n22)t(n1n22).四、(本題10分)已知總體X的概率密度函數(shù)為f(x)1-e0,x0,其中未知參數(shù)其它0,(Xi,X2,L,Xn)為取自總體的一個樣本，求的矩估計量，并

5、證明該估計量是無偏估計量.1-1n解：(1)v1EXxf(x)dxxedx，用由一XiX代替，所以0ni1(2)E(?)E(X)1nE(Xi)E(X),所以該估計量是無偏估計.五、（本題10分）設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為f(x;)(1)x,0x1,其中未知參數(shù)的極大似然估計.（Xi,X2,LXn）是來自總體X的一個樣本，試求參數(shù)解:L()1)n(ni1xi),0xi其它當(dāng)0xi1時，lnL()nln(1)nln1xi，令dlnL()nnlnxii1六、（本題10分）設(shè)總體X的密度函數(shù)為f(x；)0,>0;0;未知參數(shù)0,（X1,X2,LXn）為總體的一個樣本，證明1，X是一的一個UMVUE

6、證明：由指數(shù)分布的總體滿足正則條件可得2I()E-lnf(x；)1的的無偏估計方差的C-R下界為P)2nI()另一方面E(X)1/,Var(X)即X得方差達到C-R下界，故X是1的UMVUE七、（本題10分）合格蘋果的重量標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)小于公斤.在一批蘋果中隨機取9個蘋果稱重，得其樣本0.05下，可否認(rèn)為該批蘋果重量標(biāo)準(zhǔn)差達到要求標(biāo)準(zhǔn)差為S0.007公斤,（2）如果調(diào)整顯著性水平試問：（1）在顯著性水平0.025,結(jié)果會怎樣?參考數(shù)據(jù)：0.025(9)19.023,2.05(9)16.919,0.025(8)17.535,22.05(8)15.507.解：（1）H0：220.005,_2n1S22具

7、體計算得:_280.007_2-0.005求.280.050.005,；05(8)15.507,.15.6815.507,所以拒絕假設(shè)H。，即認(rèn)為蘋果重量標(biāo)準(zhǔn)差指標(biāo)未達到要(2)新設(shè)H0:20.005,由220.02517.535,80.007220.005215.6817.535,則接受假設(shè),即可以認(rèn)為蘋果重量標(biāo)準(zhǔn)差指標(biāo)達到要求.八、（本題10分）已知兩個總體X與Y獨立，X（12),Y(22,2),（XX2,L,XG和（Y1,Y2,L，/）分別是來自X和Y的樣本,2求t的置信度為1的置信區(qū)間.2解：設(shè)sX,S2分別表示總體x,Y的樣本方差，由抽樣分布定理可知由F分布的定義可得對于置信度1(n1)sX.2(R1),(n11)SX(n11)2(n21)S2e/(n2/2(n11,71)1,n21)(n21底.2/(n21),的置信度為1九、解:1)和Fi/2(AiFFi/2(n11,出1,n21).1）使得1,n21)1sX/sYFi/2(n11,n21)的置信