教研環(huán)雅勾股定理講義

1、優(yōu)質(zhì)資料歡迎下載環(huán)球雅思藪育學(xué)"教師講義副校長(zhǎng)/組長(zhǎng)簽字：簽字日期：年級(jí)：上課次數(shù)：學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：學(xué)科教師：課題課型口預(yù)習(xí)課口同步課復(fù)習(xí)課口習(xí)題課授課日期及時(shí)段年月日教學(xué)目的重難點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容18.1勾股定理【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)1：勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方.(即：a2+b2=c2)備注：(1)“直角二角形”是應(yīng)用勾股定理的前提條件，在解題時(shí)首先要看題中是否具備這個(gè)條件，只有具備這個(gè)條件才能利用勾股定理求第三邊。(2)在AABC中，通常/C的對(duì)邊看成c,把/B的對(duì)邊看成b,把/A的對(duì)邊看成a,在等式a2+b2=c2中，c為直角三角形的斜邊，a,b為直角三

2、角形的兩條直角邊，它們之間的關(guān)系不能混淆，公式還可以變形成a=*'c-b,b=Vc-a,c=va+b，還有a=c-b,b=c-a。(3)勾股定理把“形”和“數(shù)”有機(jī)的結(jié)合起來(lái)，即把直角三角形這一“形”與三邊關(guān)系的這一“數(shù)”有機(jī)的結(jié)合起來(lái)，充分地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法。例1:在ABC中，/C=90°,AB=7,BC=5貝U邊AC的長(zhǎng)為。例2:若一直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為12和5,則第三邊長(zhǎng)為()A、13B、13或J119C、13或5D、15例3:.直角一角形的斜邊為20cm,兩條直角邊之比為3：4,那么這個(gè)直角一角形的周長(zhǎng)為A.27cmB.30cmC.40cmD.48cm優(yōu)質(zhì)

3、資料歡迎下載知識(shí)點(diǎn)2:勾股定理的證明方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.圖（1）中降小=Q+"=成，所以J+獷=J.Ci方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.圖（2）中一=<?=徵）2+4x1氈，所以=J十及.方法三：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形.Db$3=%"鈍=2xjb+#,所以J例1:（1）如圖1是一個(gè)重要公式的幾何解釋，請(qǐng)你寫(xiě)出這個(gè)公式；（2）伽菲爾德（1881年任美國(guó)第20屆總統(tǒng)）利用（1）中的公式和圖2證明了勾月定理（1876年4月1日發(fā)表在新英格蘭教育日志上），現(xiàn)請(qǐng)你嘗試證明過(guò)程.說(shuō)明：a2+b2

4、=c2.優(yōu)質(zhì)資料歡迎下載例2：圖(1)是由四個(gè)長(zhǎng)與寬分別為a,b的長(zhǎng)方形圍成的空心正方形，其中空心部分也是正方形。(1)根據(jù)圖一利用面積不同的表示方法寫(xiě)出一個(gè)代數(shù)恒等式(2)依次連接長(zhǎng)方形的對(duì)角線，對(duì)角線圍成一個(gè)正方形，如圖二，若長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)為c,請(qǐng)利用圖二驗(yàn)證勾股定理。圖1圖2知識(shí)點(diǎn)3:勾股定理的應(yīng)用(1)已知直角三角形的任意兩條邊長(zhǎng)，求第三邊；(2)用于解決帶有平方關(guān)系的證明問(wèn)題；(3)與勾股定理有關(guān)的面積計(jì)算；(4)勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用.備注：(1)運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，必須是在直角三角形的前提下，不可不加分析就用勾股定理進(jìn)行計(jì)算(2)運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算時(shí)，一定要確定哪

5、條邊是直角，哪條邊是斜邊。(3)規(guī)律方法：在解決實(shí)際問(wèn)題過(guò)程中，往往利用勾股定理列方程(組)，在有些實(shí)際問(wèn)題中，要先構(gòu)造直角三角形，然后化非直角三角形為直角三角形或?qū)?shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形模型來(lái)解決。例1：如圖，在RtMBC中，/ACB=90O,AC=3BC=4CD_LAB于點(diǎn)D,求CD的長(zhǎng)。優(yōu)質(zhì)資料歡迎下載例2:如圖，在AABC中，AB=AC=20BC=3?D是BC上一點(diǎn)，且DA_LAC于A,求BD的長(zhǎng)。例3:如圖，鐵路上AB兩站（視為直線上兩點(diǎn)）相距25km,CD為兩村莊（視為兩個(gè)點(diǎn)），D屋AB于A,CB±AB于B.已知AD=15km,CB=10km,現(xiàn)要在鐵路上建一個(gè)土特產(chǎn)品

6、收購(gòu)站E,使得C、D兩村莊到E站的距離相等,例4:平面上A,B兩處各有甲，乙兩只螞蟻，他們都發(fā)現(xiàn)C處有食物，已知點(diǎn)C在A的東南方向，在B的西南方向，甲乙兩只螞蟻同時(shí)從A,B兩地出發(fā)向C處爬行，速度都是30厘米/分鐘，結(jié)果甲螞蟻用了2分鐘，乙螞蟻用了2分40秒，兩只螞蟻原來(lái)所處的地點(diǎn)相距多遠(yuǎn)？知識(shí)點(diǎn)四：利用勾股定理作長(zhǎng)為<n（n大于1的正整數(shù)）的線段實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)的，有理數(shù)在數(shù)軸上容易找到與它對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，而在數(shù)軸上直接標(biāo)出無(wú)理數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)比較難，由此可以借助勾股定理作直線邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，它的斜邊長(zhǎng)等于，2,再作直角邊長(zhǎng)為J2,1的直角三角形，它的斜邊長(zhǎng)為43,類似的，可以作

7、出長(zhǎng)為（n為大于1的正整數(shù)）的線段。優(yōu)質(zhì)資料歡迎下載備注：(1)對(duì)于特殊的jn(n為大于1的正整數(shù))，可以用不同的方法來(lái)求，如七丁3可以用1和J12來(lái)求，也可以用，32+22一=J13來(lái)求，顯然后者更為簡(jiǎn)便。(2)能在數(shù)軸上找到表示而(n為大于1的正整數(shù))這一點(diǎn)的位置，同時(shí)也可以找到表示-JG這一點(diǎn)的位置。例1:在數(shù)軸上作出表示,您,J3,J4,J5的點(diǎn)。例2：在數(shù)軸上表示出<10的點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)5：多維解題方略類型一：利用勾股定理求線段的長(zhǎng)度例1:如圖，RtABC中，/C=90%AD平分/CABDE_LAB于點(diǎn)E,若AC=6BC=8,CD=3(1)求DE的長(zhǎng)(2)求&ADB的面積C

8、DB優(yōu)質(zhì)資料歡迎下載例2:如圖，在四邊形ABCM,/BAD=900,/DBC=900,AD=3AB=4,BC=12,求CD的長(zhǎng)。例3:如圖，在ABC中，/C=90°,D為BC邊的中點(diǎn)，DELAB于E,則AE2-BE2等于（）A.AC2B.BD2C.BC2D.DE2例4:如圖，直線l上有三個(gè)正方形11D.16a,b,c,若a,c的面積分別為5和11,則b的面積為（例5:如圖，已知：在AABC中，ZC=90口，M是BC的中點(diǎn)，MDAB于D,求證：AEaC+bD.優(yōu)質(zhì)資料歡迎下載類型二：利用勾股定理作圖例1:如圖，是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格(1)在圖一中畫(huà)出長(zhǎng)度為<10的線段A

9、B;(2)在圖二中畫(huà)出邊長(zhǎng)都是無(wú)理數(shù)的三角形ABC(3)在圖三畫(huà)出各點(diǎn)為頂點(diǎn)且面積為5的正方形。例2:如圖，方格紙中每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1(1)請(qǐng)你在圖中畫(huà)出以小正方形的頂點(diǎn)為端點(diǎn)且長(zhǎng)度為5的所有限度；請(qǐng)你在圖中畫(huà)出以小正方形的頂點(diǎn)為端點(diǎn)且長(zhǎng)度為無(wú)理數(shù)的一條線段AB,并說(shuō)說(shuō)你這樣畫(huà)的理由。優(yōu)質(zhì)資料歡迎下載類型三：有關(guān)勾股定理的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題例1:如圖，一個(gè)長(zhǎng)為10cm的梯子斜靠在墻上，梯子底端距墻底6s(1)若梯子的底端水平向外滑動(dòng)1m,梯子的頂端下滑多少米？(2)如果梯子頂端向下滑動(dòng)的距離等于底端向外滑動(dòng)的距離，那么梯子底端向外滑動(dòng)的距離是多少米?例2:如圖，一架梯子長(zhǎng)25米，梯子頂端斜靠

10、在一面垂直于地面的墻的窗框底邊上，梯子底端離墻7米。(1)這個(gè)窗框的底邊距離地面的高度是多少？(2)如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向向外滑動(dòng)了多少米？例3:如圖，圓柱形容器中，高為1.2m,底面周長(zhǎng)為1m,在容器內(nèi)壁離容器底部0.3m的點(diǎn)B處有一蚊子，此時(shí)只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3m與蚊子相對(duì)的點(diǎn)A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為m(容器厚度忽略不計(jì))優(yōu)質(zhì)資料歡迎下載例4：如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為1cm和3cm,高為6cm,如果用一細(xì)線從""A開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B,那么所用細(xì)線最短需要。Jem類型四：勾股定理中的折疊問(wèn)題例1:如圖

11、，在長(zhǎng)方形ABCM,AB=3cm在CM上找一點(diǎn)F,沿直線AE把AADEW疊，若點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處，且AABF的面積是6cm2,求DE的長(zhǎng)。DBFC例2:如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cmBC=8cm現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則C色于多少？例3:如圖，長(zhǎng)方形紙片ABCM,已知AD=8,折疊紙片使AB邊與對(duì)角線AC重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，折痕為AE,且EF=3,則AB的長(zhǎng)為（）A.3B.4C.5D.6優(yōu)質(zhì)資料歡迎下載例4:將矩形ABCD(AB<ADD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C落在C處，BC交AD于E,AD=8cm,AB=4cm,求三角

12、形BED的面積。18.2勾股定理逆定理知識(shí)點(diǎn)1：勾股定理逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c,滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是直角三角形的基本步驟：(1)首先確定最大邊，不妨設(shè)最大邊長(zhǎng)為c；222222(2)驗(yàn)證c與a+b是否具有相等關(guān)系，若a+b=c,則ABC是以/C為直角的直角三角形，反之，則不是直角三角形.例1:如圖，/C=900,AC=3,BC=4,AD=12,BD=13，則AD_LAB么？說(shuō)明理由例2:如圖，四邊形ABCD43,AB1AD,AB=2AD=2,3,CD=3,BC=5,貝U/BDC=度。C優(yōu)質(zhì)資料歡迎

13、下載例3:下列各組數(shù)中不能作為直角三角形三邊長(zhǎng)的是（）A、3,4,77B、1,1,V2C、6,12,13D、百例4：已知AABC中，/A、/B、/C的對(duì)邊分別為a、b、c,下列條件不能判定AABC為直角三角形的是（）A>A:B:C=1:2:3B、a:b:c=1：1：22C、a:b:c=3：4:5D、a:b:c=1:2:3例5：若MBC的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,那么AABC是（）A、等腰三角形B、直角三角形C、銳角三角形D、鈍角三角形知識(shí)點(diǎn)2:勾股數(shù)222滿足不定萬(wàn)程x+y=z的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以x、y、z為

14、三邊長(zhǎng)的三角形一一定是直角三角形.常見(jiàn)的勾股數(shù)：3、4、5;5、12、13;8、15、17;7、24、25;9、40、41.如果（a、b、c）是勾股數(shù)，當(dāng)t為正整數(shù)時(shí)，以at、bt、ct為三角形的三邊長(zhǎng)，此三角形必為直角三角形.備注：勾股數(shù)可用下列方法求得：（1）對(duì)于正整數(shù)mn（m>rj）來(lái)說(shuō)，m2+n2,m2-n2,2mn就是一組勾股數(shù)。（2）另外，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派還研究出了確定勾股數(shù)的另外一種方法：若m為奇數(shù)（m>3）,則a=m,b=1（m2-1）和c=（m2+1）是勾股數(shù)22例1：下列各組數(shù)是勾股數(shù)嗎？為什么（1） 7,24,25（2） 0.3,0.4,0.5例2:將直角三角形

15、的三條邊長(zhǎng)同時(shí)擴(kuò)大同一倍數(shù)，得到的三角形是（）（A）鈍角三角形（B）銳角三角形（Q直角三角形（D）等腰三角形.知識(shí)點(diǎn)3:勾股定理的逆定理的應(yīng)用勾股定理的逆定理可用于判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，可用較短兩邊的平方和與最長(zhǎng)邊的平方作比較，若它們正好相等，則三角形為直角三角形，且最長(zhǎng)邊所對(duì)的角為直角。優(yōu)質(zhì)資料歡迎下載備注：(1)勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，已知三角形的三邊長(zhǎng)，且滿足兩條較短邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方，即可判斷此三角形為直角三角形，最長(zhǎng)邊所對(duì)的角為直角(2)勾股定理與勾股定理的逆定理的聯(lián)系與區(qū)別：聯(lián)系：兩者都與三角形的三邊有關(guān)；兩者都與直角三角形有關(guān)兩者是

16、互逆定理區(qū)別：勾股定理以直角三角形為條件，進(jìn)而得到這個(gè)直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系，即a2+b2=c2；勾股定理的逆定理是以一個(gè)三角形的三邊滿足a2+b2=c2的數(shù)量關(guān)系為條件，進(jìn)而得到這個(gè)三角形是直角三角形，兩者的條件和結(jié)論相反，前者是直角三角形的性質(zhì)，而后者是直角三角形的判定。例1：一個(gè)零件的形狀如圖，按規(guī)定這個(gè)零件中/A和/DBCtB應(yīng)為直角，工人師傅得到這個(gè)零件的尺寸如圖，那么這個(gè)零件符合要求么？B433卻圖29例2:如圖，在AABC中，CD是AB邊上的圖，AC=4,BC=3BD=-5(1)求AD的長(zhǎng)；(2)在ABC是直角三角形嗎？為什么？知識(shí)點(diǎn)4:多維解題方略類型一：運(yùn)用勾股定理的逆定理

17、證明三角形為直角三角形例1：在ABC中，BC=m2-n2,AC=2mnAB=m2+n2(en),求證：ABB直角三角形。優(yōu)質(zhì)資料歡迎下載例2：如圖，EF分別是正方形ABC珅BC和CD邊上的點(diǎn)，且AB=4,CE=1BCF為CD的中點(diǎn)，連接AFAE4問(wèn)AAEF是什么三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由例3：如果一個(gè)三角形的三邊a、b、c滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,試說(shuō)明這個(gè)三角形是直角三角形。類型二：利用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形為直角三角形，然后，在這個(gè)三角形中進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算例1:如圖所示的一塊地，已知AD=4mC®3mAD，DCAB=13mBG=12m求這塊地的面積.例2

18、:如圖所示，直角梯形ABC邛,AD/BC,/B=90°,AA3>/5,AB=1胞，BC=&/5,E是AB上一點(diǎn),EF.優(yōu)質(zhì)資料歡迎下載例3:已知：如圖，ABC中，/CA由120°,AB=4,AC=2,ADLBC,D是垂足，求AD的長(zhǎng).類型三：勾股數(shù)的相關(guān)問(wèn)題例1：古希臘的哲學(xué)家柏拉圖曾指出，如果m表示大于1的整數(shù)a=2m,b=m2-1,c=m2+1,那么a,b,c為勾股數(shù)，你認(rèn)為他說(shuō)得對(duì)么？如果對(duì)，你能利用這個(gè)結(jié)論得出一些勾股數(shù)么？例2：據(jù)我國(guó)古代周髀算經(jīng)記載，公元前1120年商高對(duì)周公說(shuō)，將一根直尺折成一個(gè)直角，兩端連接得到一個(gè)直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五.后人概括為“勾三、股四、弦五”.(