數(shù)學(xué)場(chǎng)論初步

1、*4 場(chǎng)論初步 在物理學(xué)中, 曲線積分和曲面積分有著廣泛的應(yīng)用. 物理學(xué)家為了既能形象地表達(dá)有關(guān)的物理量, 又能方便地使用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行邏輯表達(dá)和數(shù)據(jù)計(jì)算, 使用了一些特殊的術(shù)語(yǔ)和記號(hào), 在此基礎(chǔ)上產(chǎn)生了場(chǎng)論.一、場(chǎng)的概念五、管量場(chǎng)與有勢(shì)場(chǎng) 四、旋度場(chǎng) 三、散度場(chǎng) 二、梯度場(chǎng) 一、場(chǎng)的概念 若對(duì)全空間或其中某一區(qū)域若對(duì)全空間或其中某一區(qū)域 V 中每一點(diǎn)中每一點(diǎn) M, 都有一都有一 個(gè)數(shù)量個(gè)數(shù)量 (或向量或向量) 與之對(duì)應(yīng)與之對(duì)應(yīng), 則稱在則稱在 V 上給定了一個(gè)上給定了一個(gè) 數(shù)量場(chǎng)數(shù)量場(chǎng) (或向量場(chǎng)或向量場(chǎng)). 例如例如: 溫度和密度都是數(shù)量場(chǎng)溫度和密度都是數(shù)量場(chǎng), M 的位置可由坐標(biāo)確定的位置

2、可由坐標(biāo)確定. 因此給定了某個(gè)數(shù)量場(chǎng)就因此給定了某個(gè)數(shù)量場(chǎng)就總是設(shè)它對(duì)每總是設(shè)它對(duì)每個(gè)變量都有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)個(gè)變量都有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù). .同理同理, ,每每 重力和速度都是向量場(chǎng)重力和速度都是向量場(chǎng). 在引進(jìn)了直角坐標(biāo)系后在引進(jìn)了直角坐標(biāo)系后, 點(diǎn)點(diǎn) 等于給定了一個(gè)等于給定了一個(gè)數(shù)量函數(shù)數(shù)量函數(shù) ( , , ),u x y z在以下討論中在以下討論中 個(gè)向量場(chǎng)都與某個(gè)向量函數(shù)個(gè)向量場(chǎng)都與某個(gè)向量函數(shù) ( , , )( , , ) i( , , ) j( , , )kA x y zP x y zQ x y zR x y z 相對(duì)應(yīng)相對(duì)應(yīng). 這里這里 P, Q, R 為所定義區(qū)域上的數(shù)量函數(shù)為所定

3、義區(qū)域上的數(shù)量函數(shù), 并假定它們有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)并假定它們有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù). 設(shè)設(shè) L 為向量場(chǎng)中一條曲線為向量場(chǎng)中一條曲線. 若若 L 上每點(diǎn)上每點(diǎn) M 處的切線處的切線 ddd,xyzPQR方向都與向量函數(shù)方向都與向量函數(shù) 在該點(diǎn)的方向一致在該點(diǎn)的方向一致, 即即 A磁力線等都是向量場(chǎng)線磁力線等都是向量場(chǎng)線.注注 場(chǎng)的性質(zhì)是它本身的屬性場(chǎng)的性質(zhì)是它本身的屬性, 和坐標(biāo)系的引進(jìn)無(wú)關(guān)和坐標(biāo)系的引進(jìn)無(wú)關(guān). 引入或選擇某種坐標(biāo)系是為了便于通過(guò)數(shù)學(xué)方法來(lái)引入或選擇某種坐標(biāo)系是為了便于通過(guò)數(shù)學(xué)方法來(lái) 進(jìn)行計(jì)算和研究它的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算和研究它的性質(zhì). 則稱曲線則稱曲線 L 為向量場(chǎng)為向量場(chǎng) 的的向量場(chǎng)線向

4、量場(chǎng)線. 例如電力線、例如電力線、 A二、梯度場(chǎng) 在第十七章在第十七章3 中我們已經(jīng)介紹了梯度的概念中我們已經(jīng)介紹了梯度的概念, 它它 grad ijk.uuuuxyz方向上的方向?qū)?shù)方向上的方向?qū)?shù). grad u 是由數(shù)量場(chǎng)是由數(shù)量場(chǎng) u 派生出來(lái)的一個(gè)向量場(chǎng)派生出來(lái)的一個(gè)向量場(chǎng), 稱為稱為 是由數(shù)量函數(shù)是由數(shù)量函數(shù) 所定義的向量函數(shù)所定義的向量函數(shù)( , , )u x y z grad u 的方向就是使方向?qū)У姆较蚓褪鞘狗较驅(qū)?梯度場(chǎng)梯度場(chǎng). 由前文知道由前文知道, ul數(shù)數(shù) 達(dá)到最大值的方向達(dá)到最大值的方向, grad u就是在這個(gè)方就是在這個(gè)方 ( , , )u x y z( , ,

5、 )u x y zc 因?yàn)閿?shù)量場(chǎng)因?yàn)閿?shù)量場(chǎng) 的等值面的等值面 的法的法線線 方向?yàn)榉较驗(yàn)?,uuuxyz所以所以 grad u 恒與恒與 u 的的等值面等值面 正交正交. ,xyz 當(dāng)把它作為運(yùn)算符號(hào)來(lái)看待時(shí)當(dāng)把它作為運(yùn)算符號(hào)來(lái)看待時(shí), 梯度可寫(xiě)作梯度可寫(xiě)作 grad.uu 引進(jìn)符號(hào)向量引進(jìn)符號(hào)向量 1. 若若 u, v 是數(shù)量函數(shù)是數(shù)量函數(shù), 則則 ().uvuv 2. 若若 u, v 是數(shù)量函數(shù)是數(shù)量函數(shù), 則則 ()()() .u vuvu v 特別地有特別地有 2()2 () .uuu 梯度有以下一些用梯度有以下一些用 表示的基本性質(zhì)表示的基本性質(zhì): 注注 通常稱為哈密頓通常稱為哈密頓

6、 (Hamilton) 算符算符( (或算子或算子) ), 讀讀 作作 “Nabla”.4. 若若 ( ) ,( , , ) ,ff uuu x y z則則( ).ff uu 12(,) ,mff u uu( , , ) ,iiuu x y z5. 若若 則則 1.miiiffuu這些公式讀者可利用定義來(lái)直接驗(yàn)證這些公式讀者可利用定義來(lái)直接驗(yàn)證.3. 若若 ( , , ) ,( , , ) ,rx y zx y z 則則 dd.r mr試求的梯度.試求的梯度.解解 2,.mmx y zrrrr r 若以若以 0rOM 表表示示上的單位向量上的單位向量, 則有則有 02.mmrrr 222,rO

7、Mxyz 例例1 設(shè)質(zhì)量為設(shè)質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn), 質(zhì)量為質(zhì)量為 1 的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn) 位于位于 ( , , ),M x y z 記記 它表示兩質(zhì)點(diǎn)間的引力它表示兩質(zhì)點(diǎn)間的引力, 方向朝著原點(diǎn)方向朝著原點(diǎn), 大小與質(zhì)量大小與質(zhì)量 的乘積成正比的乘積成正比, 與兩點(diǎn)間距離的平方成反比與兩點(diǎn)間距離的平方成反比. mr這說(shuō)明了引力場(chǎng)是數(shù)量場(chǎng)這說(shuō)明了引力場(chǎng)是數(shù)量場(chǎng) 的梯度場(chǎng)的梯度場(chǎng), 因此因此常稱常稱 mr為為引力勢(shì)引力勢(shì).三、散 度 場(chǎng) 為為 V 上的一個(gè)向量場(chǎng)上的一個(gè)向量場(chǎng). 稱如下數(shù)量函數(shù)稱如下數(shù)量函數(shù): ( , , )PQRD x y zxyzdiv .PQRAxyz設(shè)設(shè) (

8、, , )( , , ) i( , , ) j( , , )kA x y zP x y zQ x y zR x y z A為為 的的散度散度. 這是由向量場(chǎng)這是由向量場(chǎng) 派生出來(lái)的一個(gè)數(shù)量派生出來(lái)的一個(gè)數(shù)量 A場(chǎng)場(chǎng), 也稱也稱散度場(chǎng)散度場(chǎng), 記作記作 高斯公式可寫(xiě)成如下向量形式高斯公式可寫(xiě)成如下向量形式:divdd .(1)VSA VAS divddiv ()d ,VSA VA MVAS 設(shè)設(shè) (cos,cos,cos )n 為曲面為曲面 S 在各點(diǎn)的單位在各點(diǎn)的單位 法向量法向量,記記 , 稱為稱為 S 的的面積元素向量面積元素向量. 于于是是 ddSnS 對(duì)上式中的三重積分應(yīng)用中對(duì)上式中的

9、三重積分應(yīng)用中值定理值定理, 使得使得 ,MV在在 V 中任取一點(diǎn)中任取一點(diǎn) 0.M0M0(),VM記記作作令令 V 收縮到收縮到 001div()limd .(2)VMSA MASV 這個(gè)等式可以看作是散度的另一種定義形式這個(gè)等式可以看作是散度的另一種定義形式. 0,MM 則同時(shí)有則同時(shí)有 對(duì)上式取極限對(duì)上式取極限, 得到得到 的不可壓縮流體的不可壓縮流體, 經(jīng)過(guò)封閉曲面經(jīng)過(guò)封閉曲面 S 的流量是的流量是 d .SAS 0div()A M 于是于是(2)式表明式表明 是流量對(duì)體積是流量對(duì)體積 V 的變化率的變化率, 若若0div ()0,A M 說(shuō)明在每一單位時(shí)間內(nèi)有一定數(shù)說(shuō)明在每一單位時(shí)間

10、內(nèi)有一定數(shù) 散度的物理意義散度的物理意義 聯(lián)系本章聯(lián)系本章2中提到的中提到的, 流速為流速為 A并稱它為并稱它為 在點(diǎn)在點(diǎn)0M的的流量密度流量密度. A稱這點(diǎn)為稱這點(diǎn)為 “匯匯”. div.AA 容易由定義直接推得散度的以下一些基本性質(zhì)容易由定義直接推得散度的以下一些基本性質(zhì):量的流體流出這一點(diǎn)量的流體流出這一點(diǎn), 則稱這一點(diǎn)則稱這一點(diǎn) 為為 “源源”. 0M若若 0div ()0,A M 說(shuō)明流體在這一點(diǎn)說(shuō)明流體在這一點(diǎn) 被吸收被吸收, 則則 0M若在每一點(diǎn)都有若在每一點(diǎn)都有 則稱則稱 為為 “無(wú)源場(chǎng)無(wú)源場(chǎng)”. Adiv0,A A 的散度也可表示為的散度也可表示為矢性算符矢性算符 與與 的數(shù)

11、性積的數(shù)性積: A().ABAB ().AAA 3. 若若( , , )x y z 是一數(shù)量函數(shù)是一數(shù)量函數(shù), 則則 222222.xyz 算符算符() , 的的內(nèi)內(nèi)積積常常記記作作拉拉普普拉拉斯斯算算符符 于是于是 . 1. 若若 是向量函數(shù)是向量函數(shù), 則則,A B 2. 若若 是數(shù)量函數(shù)是數(shù)量函數(shù), 是向量函數(shù)是向量函數(shù), 則則 A例例2 求例求例1中引力場(chǎng)中引力場(chǎng)2,mx y zFrrr r 所產(chǎn)生的散所產(chǎn)生的散 度場(chǎng)度場(chǎng). 解解 因?yàn)橐驗(yàn)?2222,rxyz 所以所以 2223 2( , , ),()mFx y zxyz 2223/22223/20.()()yzyzxyzxyz 22

12、23/2()xFmxxyz因此引力場(chǎng)因此引力場(chǎng) 在每一點(diǎn)處的散度都為零在每一點(diǎn)處的散度都為零 ( 除原點(diǎn)沒(méi)除原點(diǎn)沒(méi)F有定義外有定義外 ).為為 V 上的一個(gè)向量場(chǎng)上的一個(gè)向量場(chǎng). 稱如下向量函數(shù)稱如下向量函數(shù): 設(shè)設(shè) ( , , )( , , ) i( , , ) j( , , )kA x y zP x y zQ x y zR x y z 場(chǎng)場(chǎng), 也稱也稱旋度場(chǎng)旋度場(chǎng), 記作記作 四、旋 度 場(chǎng) ( , , )i +j+kRQPRQPF x y zyzzxxy roti +j+k.RQPRQPAyzzxxy A為為 的的旋度旋度. 是由向量場(chǎng)是由向量場(chǎng) 派生出來(lái)的一個(gè)向量派生出來(lái)的一個(gè)向量 A

13、F為便于記憶起見(jiàn)為便于記憶起見(jiàn), 可用行列式形式來(lái)表示旋度可用行列式形式來(lái)表示旋度:ijkrot.AxyzPQR類(lèi)似于用散度表示的高斯公式類(lèi)似于用散度表示的高斯公式 (1), 現(xiàn)在可用旋度來(lái)現(xiàn)在可用旋度來(lái) 表示斯托克斯公式表示斯托克斯公式: rotdd .(3)LSASAs 其中其中 為前述對(duì)于曲面為前述對(duì)于曲面 S 的面積元素向量的面積元素向量; 而而dSds 則是對(duì)于曲線則是對(duì)于曲線 L 的的弧長(zhǎng)元素向量弧長(zhǎng)元素向量. 對(duì)后者說(shuō)明如下對(duì)后者說(shuō)明如下:設(shè)設(shè)(cos ,cos,cos )t 是曲線是曲線 L 在各點(diǎn)處的正向在各點(diǎn)處的正向單位切單位切向量向量, 弧長(zhǎng)元素向量即為弧長(zhǎng)元素向量即為

14、dd .sts 把公式把公式 (3) 改寫(xiě)成改寫(xiě)成 rotdd .(4) LSA nSA ts對(duì)上式中的曲面積分應(yīng)用中對(duì)上式中的曲面積分應(yīng)用中值定理值定理, 使得使得 ,MS在在 S 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn) 0.M0M0(),SM記記作作令令 S 收縮到收縮到 這個(gè)等式也可以看作是旋度的另一種定義形式這個(gè)等式也可以看作是旋度的另一種定義形式. 0,MM 則同時(shí)有則同時(shí)有 對(duì)上式取極限對(duì)上式取極限, 得到得到 rotdrotd .LMSA nSA nSA ts 001rotlimd .(5)LSMMA nA tsS 為了由為了由 (5) 式直觀描述旋度的物理意義式直觀描述旋度的物理意義, 不妨將其

15、不妨將其中中 的曲面塊的曲面塊 S 改換為平面區(qū)域改換為平面區(qū)域 D ( ( 圖圖 22-12 ) ), 這時(shí)這時(shí) (5) 2212 圖圖 0n D0ML0rot()A M式又被改寫(xiě)為式又被改寫(xiě)為001rotlimd .(6)LDMMA nA tsD 在流速場(chǎng)在流速場(chǎng) 中中, 曲線積分曲線積分 是沿閉曲線是沿閉曲線 L dLA ts A的的環(huán)流環(huán)流量量, 它表示流速為它表示流速為 的不可壓縮流體的不可壓縮流體, 在單位在單位 A時(shí)間內(nèi)沿曲線時(shí)間內(nèi)沿曲線 L 流過(guò)的總量流過(guò)的總量. 這樣這樣, 1dLA tsD 就反映了流體關(guān)于就反映了流體關(guān)于 L 所圍面積的平均環(huán)流密度所圍面積的平均環(huán)流密度.

16、 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), (6) 式右邊這個(gè)極限式右邊這個(gè)極限, 就是流速場(chǎng)就是流速場(chǎng) 在在 0DMA點(diǎn)點(diǎn) 處按右手法則繞處按右手法則繞 的環(huán)流密度的環(huán)流密度. 0Mn 另一方面另一方面, (6) 式左邊的式左邊的 是是0rotMA n 0rot()A M在在 上的投影上的投影. 由此可見(jiàn)由此可見(jiàn), 當(dāng)所取的當(dāng)所取的 與與 0()n M 0()n M 0rot()A M同向時(shí)同向時(shí), 該投影為最大該投影為最大. 綜合起來(lái)就可以說(shuō)綜合起來(lái)就可以說(shuō): 這同時(shí)指出了旋度的兩個(gè)基本屬性這同時(shí)指出了旋度的兩個(gè)基本屬性:(i) 的方向是的方向是 在點(diǎn)在點(diǎn) 處環(huán)流密度最大處環(huán)流密度最大 0rot()A MA0M的方向

17、的方向; (ii) 0| rot() |A M即為上述最大環(huán)流密度的數(shù)值即為上述最大環(huán)流密度的數(shù)值. 在在 上的投影上的投影. ” 0rot()A Mn “ 流速場(chǎng)流速場(chǎng) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處繞處繞 的的環(huán)流密度環(huán)流密度, 等于旋度等于旋度 A0Mn 為了更好地認(rèn)識(shí)旋度的物理意義及這一名稱的來(lái)源為了更好地認(rèn)識(shí)旋度的物理意義及這一名稱的來(lái)源, 我們討論剛體繞定軸旋轉(zhuǎn)的問(wèn)題我們討論剛體繞定軸旋轉(zhuǎn)的問(wèn)題. 設(shè)一剛體以角速設(shè)一剛體以角速 與旋轉(zhuǎn)方向符合右手法則與旋轉(zhuǎn)方向符合右手法則. 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 稱向量場(chǎng)稱向量場(chǎng) 為為 “無(wú)旋場(chǎng)無(wú)旋場(chǎng)” . rot()0A M A 度度繞某軸旋轉(zhuǎn)繞某軸旋轉(zhuǎn), 則則 的方向沿

18、著旋轉(zhuǎn)軸的方向沿著旋轉(zhuǎn)軸, 其指向其指向 2213 圖圖vO r Pv若取定旋轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)若取定旋轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn) O 作為原點(diǎn)作為原點(diǎn)( (圖圖22-13) ), 剛體剛體上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn) P 的線速度的線速度 v,vr rOP 可表示為可表示為 其中其中 是是 P 的徑向量的徑向量, 設(shè)設(shè) ( , , )x y z( , , ).rx y z P 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為 , 便有便有 又設(shè)又設(shè) (,).xyz 于是于是 (,),yzzxxyvzyxzyx rot(2, 2, 2)2,xyzv 1rot .2v . 就是旋轉(zhuǎn)的角速度就是旋轉(zhuǎn)的角速度 這也說(shuō)明了旋度這個(gè)名稱的這也說(shuō)明了旋度這個(gè)名稱的 r

19、ot.AA A表示表示應(yīng)用算符應(yīng)用算符的旋度是的旋度是旋度有如下一些基本性質(zhì)旋度有如下一些基本性質(zhì):(),ABAB 這結(jié)果表明線速度這結(jié)果表明線速度 的旋度除相差一個(gè)常數(shù)因子外的旋度除相差一個(gè)常數(shù)因子外, v來(lái)源來(lái)源. 1. 若若 是向量函數(shù)是向量函數(shù), 則則 ,A B ()()() A BABBA (),ABBAAB ()()()()().A BBAABB AA B ()(),AAA 2()()().AAAAA 2. 若若 是數(shù)量函數(shù)是數(shù)量函數(shù), 是向量函數(shù)是向量函數(shù), 則則A()0,A 0, 這些等式可通過(guò)梯度、散度、旋度等定義來(lái)驗(yàn)證這些等式可通過(guò)梯度、散度、旋度等定義來(lái)驗(yàn)證.()(),A

20、BBA五、管量場(chǎng)與有勢(shì)場(chǎng) 式知道式知道, 此時(shí)沿任何封閉此時(shí)沿任何封閉曲面的曲面積分都等于零曲面的曲面積分都等于零. 中作一向量管中作一向量管 ( (圖圖22-14) ), 即由向量線圍成的管狀的即由向量線圍成的管狀的 若一個(gè)向量場(chǎng)若一個(gè)向量場(chǎng) 的散度恒的散度恒 A為零為零, 即即 我們?cè)覀冊(cè)?div0,A 稱稱 為無(wú)源場(chǎng)為無(wú)源場(chǎng). 從高斯公從高斯公 A我們又把我們又把 稱作稱作管量場(chǎng)管量場(chǎng). 這是因?yàn)檫@是因?yàn)? 若在向量場(chǎng)若在向量場(chǎng) AA3S2S2214 圖圖1SA12,SS3S曲面曲面. 用斷面用斷面 去截它去截它, 以以 表示所截出的管表示所截出的管 的表面的表面, 這這就得到了由就得

21、到了由123,SSS所圍成的封閉曲面所圍成的封閉曲面 S. 于是由于是由(1)式得出式得出123dddd0.SSSSASASASAS 外側(cè)外側(cè)外側(cè)外側(cè)外側(cè)外側(cè)而向量線與曲面而向量線與曲面3S的法線正交的法線正交, 所以所以3d0,SAS 外側(cè)外側(cè)12dd0,SSASAS 外側(cè)外側(cè)外側(cè)外側(cè)這等式說(shuō)明了流體通過(guò)向量管的任意斷面的流量是這等式說(shuō)明了流體通過(guò)向量管的任意斷面的流量是 間單連通區(qū)域內(nèi)沿任何封閉曲線的曲線積分都等于間單連通區(qū)域內(nèi)沿任何封閉曲線的曲線積分都等于 12dd . SSASAS內(nèi)側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè)外側(cè)相同的相同的, 所以把場(chǎng)所以把場(chǎng) 稱為管量場(chǎng)稱為管量場(chǎng). 如例如例2, 由由 的梯的梯 mrAmr度度所成的引力場(chǎng)所成的引力場(chǎng) 是一個(gè)