橢圓各類題型分類匯總

1、橢圓經(jīng)典例題分類匯總1 .橢圓第一定義的應(yīng)用例1橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為4(2,0),其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程.例2已知橢圓pL = 1的離心率 = 1,求攵的值. k+8 92例3 已知方程工+_ = 一1表示橢圓，求k的取值范圍.k-5 3-k例4 已知x2sina-)/cosc = 1 (0«241)表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，求夕的取值范圍.例5已知?jiǎng)訄AP過定點(diǎn)A(-3,0),且在定圓B：(x-3)2 + y2=64的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心戶的軌跡方程.2 .焦半徑及焦三角的應(yīng)用例1已知橢圓亍+? = 1,大、外為兩焦點(diǎn)，問能否在橢圓上找一點(diǎn)",使團(tuán)到左準(zhǔn)

2、線/的距離卜則是附用與附周的等比中項(xiàng)若存在，貝“求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.例2已知橢圓方程二+:=1(">>0),長軸端點(diǎn)為A, A,焦點(diǎn)為 crF29 P是橢圓上一點(diǎn)，“P&=8, 4FiPF?=a .求：的面積(用4、b、。表示).3 .第二定義應(yīng)用例1橢圓.+5=1的右焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)A(1，點(diǎn)用在橢圓上，當(dāng)|AM| + 2|A"為最小值時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).例2已知橢圓卡+今=1上一點(diǎn)0到右焦點(diǎn)工的距離為俗1),求尸 到左準(zhǔn)線的距離.例3已知橢圓+ g = l內(nèi)有一點(diǎn)耳、F?分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)p是橢圓上一點(diǎn).(1)求心+|尸用的最大值

3、、最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P坐標(biāo);(2)求四+為尸周的最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)夕的坐標(biāo).24 .參數(shù)方程應(yīng)用例1求橢圓二十)，2=1上的點(diǎn)到直線x y + 6 = 0的距離的最小值.例2C1)寫出橢圓9+9 = 1的參數(shù)方程；(2)求橢圓內(nèi)接矩形的最大面積.例3橢圓(a>>0)與x軸正向交于點(diǎn)A若這個(gè)橢圓上總存在點(diǎn)P,使OP _LAP(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，求其離心率e的取值范圍.5 .相交情況下一弦長公式的應(yīng)用例1已知橢圓4x2 + y? =1及直線y = x + 7.(1)當(dāng)機(jī)為何值時(shí)，直線與橢圓有公共點(diǎn)(2)若直線被橢圓截得的弦長為浮，求直線的方程.例2已知長軸為12,短軸長為6,焦點(diǎn)在x軸上的橢

4、圓，過它對(duì)的左 焦點(diǎn)”作傾斜解為巳的直線交橢圓于A, 8兩點(diǎn)，求弦A3的長.6 .相交情況下一點(diǎn)差法的應(yīng)用例1已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在入軸上的橢圓與直線x + y-l =。交于A、 8兩點(diǎn)，M為A8中點(diǎn)，QW的斜率為，橢圓的短軸長為2,求橢圓的 方程.例2已知橢圓與+），2 = 1,求過點(diǎn)且被尸平分的弦所在的直線方程.例3已知橢圓二+)，2 = 1, (D求過點(diǎn)且被p平分的弦所在直 212 2)線的方程；(2)求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；(3)過A(2,l)引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；(4)橢圓上有兩點(diǎn)尸、Q ,。為原點(diǎn)，且有直線OP、OQ斜率滿足L . L _L八OP 八。

5、0 一 T，求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程.例4已知橢圓c：1 + ! = l,試確定?的取值范圍，使得對(duì)于直線/： y = 4x + m , 橢圓C上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對(duì)稱.例5已知尸(4,2)是直線/被橢圓三+4=1所截得的線段的中點(diǎn)，求直 369線/的方程.橢圓經(jīng)典例題分類匯總1,橢圓第一定義的應(yīng)用例1橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2,0),其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.分析：題目沒有指出焦點(diǎn)的位置，要考慮兩種位置.解：(1 )當(dāng)A(2,0)為長軸端點(diǎn)時(shí)，4 = 2, /? = 1,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+ = 1 ; 41(2)當(dāng)A(2,0)為短軸端點(diǎn)時(shí)，/? = 2 , =4,橢圓的標(biāo)

6、準(zhǔn)方程為：+22 = i ； 416說明：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個(gè)，給出一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)和對(duì)稱軸的位置，是不能確定橢圓的橫豎的，因而要考慮兩種情況.例2已知橢圓-+ £ = 1的離心率- I,求k的值. k + 8 92分析：分兩種情況進(jìn)行討論.解：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在X軸上時(shí)，/=攵+ 8,=9,得H=攵一1 .由6 = 1,2得攵=4.當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，/=9, =攵+ 8,得c2=l-k.由e = _L,得1 = 1,即攵=-*.2944二滿足條件的女=4或攵=一*.說明：本題易出現(xiàn)漏解.排除錯(cuò)誤的辦法是：因?yàn)锳+8與9的大小關(guān)系不定，所以橢圓的焦點(diǎn)可能在X軸上，也可能在y軸上.故必

7、 須進(jìn)行討論.例5 已知方程工+工=-1表示橢圓，求k的取值范圍. k-5 3-k>-5<0,解：由13-攵<0, 得3<%v5,且W4.k 5 手 3 k,滿足條件的k的取值范圍是3 < k v 5 ,且k04.說明：本題易出現(xiàn)如下錯(cuò)解：由，"一5<“得3Vz<5,故k的取值范圍 3 k < 0,是3<k<5.出錯(cuò)的原因是沒有注意橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中>。>0這個(gè)條件，當(dāng)4 = /?時(shí)，并不表示橢圓.例6 已知/sina-y2cosa = l （0<。4乃）表示焦點(diǎn)在y軸上的桶E,求a的取值范圍.分析：依據(jù)已知

8、條件確定。的三角函數(shù)的大小關(guān)系.再根據(jù)三角函數(shù) 的單調(diào)性，求出夕的取值范圍.解：方程可化為* = 1 .因?yàn)榻裹c(diǎn)在），軸上，所以sin a cosa>> 0 cosa sine?因止匕sin。> 0且tane v -1從而& e （一,二江）. 2 4說明：（1）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知一1>0, >0,這是容易忽視的 sina cosa地方.由焦點(diǎn)在），軸上，知/=，/=_.（3）求。的取值范圍cosasine時(shí)，應(yīng)注意題目中的條件例5已知?jiǎng)訄AP過定點(diǎn)A（-3,0）,且在定圓8：（x-3）2 + /= 64的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心夕的軌跡方程.分析：關(guān)鍵是

9、根據(jù)題意，列出點(diǎn)P滿足的關(guān)系式.弋解：如圖所示，設(shè)動(dòng)圓P和定圓8內(nèi)切于點(diǎn)M,動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)，即定點(diǎn)a（一 3,0）和定圓圓心8（3,0）距離之和恰好等于定圓半徑，即歸4+歸耳=盧/+盧4=怛”|=8 .，點(diǎn)P的軌跡是以A, B為兩焦點(diǎn),半長軸為4,半短軸長為0 =斥才=萬的橢圓的方程：+ = 1.167說明：本題是先根據(jù)橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后根據(jù)橢圓的 標(biāo)準(zhǔn)方程，求軌跡的方程.這是求軌跡方程的一種重要思想方法.2.焦半徑及焦三角的應(yīng)用例I已知橢圓、入為兩焦點(diǎn)，問能否在橢圓上找一點(diǎn)使例到左準(zhǔn)線/的距離mm是M用與附片的等比中項(xiàng)若存在，則求出左準(zhǔn)線/的方程是x = Y ,/ |MN| =

10、 4 + x/又由焦半徑公式知:MF = a-ex =2-x , MF2 = a + ex = 2 +x1. 22|MAf=l"用沖訃（%+4）2=（2-912 + 9；整理得5工：+322+48 = 0.解之得內(nèi)=4或再=£另一方面一 2<XK2.則與矛盾，所以滿足條件的點(diǎn)例不存在.例2已知橢圓方程:+=1（>0）,長軸端點(diǎn)為A,4，焦點(diǎn)為 cr d片,P是橢圓上一點(diǎn)，/40&=0，AFxPF2=a.求：AFPF2的面積（用“、b、a表示）.分析：求面積要結(jié)合余弦定理及定義求角a的兩鄰邊，從而利用S、=L/AinC 求面積.1 2解：如圖，設(shè)尸（X,）

11、，），由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)P（x,），），由橢圓的對(duì) 稱性，不妨設(shè)尸在第一象限.由余弦定理知： 比囚2=|尸6+|尸6一2|尸用伊居k05。= 462.由橢圓定義知：|P制+ |P引=2，則2得=b2 tan 2故S =3尸貝.|尸二必。 =- 2Z? sina 凹性 2111 1 212 1+costz3.第二定義應(yīng)用例1橢圓二十二=1的右焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)A（l，e）,點(diǎn)M在橢圓上，當(dāng) 16 12|AM + 2|MF為最小值時(shí)，求點(diǎn)"的坐標(biāo).分析：本題的關(guān)鍵是求出離心率e = 把2附可轉(zhuǎn)化為例到右準(zhǔn)線的距離，從而得最小值. 一般地，AM + -MF均可用此法.解：由已知：a = 4

12、, c = 2 .所以e = L右準(zhǔn)線/： x = 8 .2過A作AQ_L/,垂足為0,交橢圓于故附0 = 2明目,顯然 |am+2|m臼的最小值為wq,即“為所求點(diǎn)，因此加=有，且M在橢 圓上.故均=2宕,所以加（2后行）.說明：本題關(guān)鍵在于未知式|aM +21M目中的“2”的處理.事實(shí) 上，如圖，e = ；,即附句是"到右準(zhǔn)線的距離的一半，即圖中的MQ, 問題轉(zhuǎn)化為求橢圓上一點(diǎn)例，使"到A的距離與到右準(zhǔn)線距離之和取 最小值.例2已知橢圓二十二=1上一點(diǎn)P到右焦點(diǎn)居的距離為人S>1）,求尸 4/r lr到左準(zhǔn)線的距離.分析：利用橢圓的兩個(gè)定義，或利用第二定義和橢圓兩

13、準(zhǔn)線的距 離求解.解法一：由-+二=1,得 a = 2b , c = y/3b , e =.4b2 b22由橢圓定義,PF+PF = 2a=Ab,得|產(chǎn)用=4/2 T尸圖=劭_”.由橢圓第二定義，%=e, 4為P到左準(zhǔn)線的距離，即P到左準(zhǔn)線的距離為2、仇.解法二：.叫=6,4為P到右準(zhǔn)線的距離，e = £ =工，4a 2又橢圓兩準(zhǔn)線的距離為2=9人e 3c 3尸到左準(zhǔn)線的距離為 2 2 /，= 2®. 33說明：運(yùn)用橢圓的第二定義時(shí)，要注意焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的同側(cè)性.否 則就會(huì)產(chǎn)生誤解.橢圓有兩個(gè)定義，是從不同的角度反映橢圓的特征，解題時(shí)要靈活選 擇，運(yùn)用自如.一般地，如遇到動(dòng)點(diǎn)到

14、兩個(gè)定點(diǎn)的問題，用橢圓第一 定義；如果遇到動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離問題，則用橢圓的第二定義.例3已知橢圓口+ ? = 1內(nèi)有一點(diǎn)月、F2分別是橢圓的左、 右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn).(1)求陽+|尸制的最大值、最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)尸坐標(biāo)；(2)求陽+ 3尸片的最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。的坐標(biāo).2分析：本題考查橢圓中的最值問題，通常探求變量的最值有兩種方法：一是目標(biāo)函數(shù)當(dāng)，即代數(shù)方法.二是數(shù)形結(jié)合，即幾何方法.本 題若按先建立目標(biāo)函數(shù)，再求最值，則不易解決；若抓住橢圓的定義, 轉(zhuǎn)化目標(biāo)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，就能簡捷求解.解:(1)如上圖，2a = 6, F2(2,0) , AF2 = 42f設(shè)P是橢圓上任一點(diǎn)， 由|P司

15、+ 用=勿=6,P/>PF2-AF2, J1PH+歸用耳夕用+ |P可一|A引= 2|A周=6-血，等號(hào)僅當(dāng)歸4 =盧瑪卜日瑪| 時(shí)成立，此時(shí)尸、A、入共線.第二得兩交由|R4|W|P周+ |A周,|尸4+戶用W|P用+|P聞+|A聞= 2a + |A周= 6+75 , 等號(hào)僅當(dāng)忸4=|P圖+|A國時(shí)成立，此時(shí)尸、A、F2共線.建立A、F2的直線方程x+y-2 = 0,解方程組<尸（2U&拒）、尸（2+"&、歷）.1 7 147 14-7 147 14綜上所述，P點(diǎn)與4重合時(shí)，|24|+|用取最小值6-&, P點(diǎn)與外重合時(shí)，PH + |P國取最大值

16、6 +、歷.（2）如下圖，設(shè)P是橢圓上任一點(diǎn)，作尸。垂直橢圓右準(zhǔn)線，Q為垂足，由 =3, c = 2 , *, = ,由橢圓第二定義知!' 'J = e = , /.3陷 3pq = 1pf29 ：.p+-pf2 = p+p ,要使其和最小需有A、P、。共 乙乙線，即求A到右準(zhǔn)線距離.右準(zhǔn)線方程為工=2. 2到右準(zhǔn)線距離為Z.此時(shí)尸點(diǎn)縱坐標(biāo)與A點(diǎn)縱坐標(biāo)相同為1, 2代入橢圓得滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)（竺，1）.說明：求|尸川+!尸引的最小值，就是用第二定義轉(zhuǎn)化后，過A向相 （應(yīng)準(zhǔn)線作垂線段.巧用焦點(diǎn)半徑|p勾與點(diǎn)準(zhǔn)距|p互化是解決有關(guān)問題的重要手段.4.參數(shù)方程應(yīng)用例1求橢圓二十），

17、2=1上的點(diǎn)到直線x-y + 6 = 0的距離的最小值.分析：先寫出橢圓的參數(shù)方程，由點(diǎn)到直線的距離建立三角函數(shù) 關(guān)系式，求出距離的最小值.解：橢圓的參數(shù)方程為卜= 6cos8,設(shè)橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)為 y = sin 0.Qlcosasine),則點(diǎn)到直線的距離為田 cos。-sine + 6 2sin 一8卜6"=72二 立.當(dāng)sin £=-1時(shí)，4最小值=2血.I 3說明：當(dāng)直接設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)不易解決問題時(shí)，可建立曲線的參數(shù)方 程.例2(1)寫出橢圓二+£ = 1的參數(shù)方程；(2)求橢圓內(nèi)接矩形的最94大面積.分析：本題考查橢圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用.為簡化運(yùn)算和減少未

18、 知數(shù)的個(gè)數(shù)，常用橢圓的參數(shù)方程表示曲線上一點(diǎn)坐標(biāo)，所求問題便 化歸為三角問題.am /A fx = 3cos解：(G e R).y = 2sin0設(shè)橢圓內(nèi)接矩形面積為s,由對(duì)稱性知，矩形的鄰邊分別平行于x軸和y軸，設(shè)（3cose,2sin。）為矩形在第一象限的頂點(diǎn)，7T (0<0<-),則 S =4x3cosx2sin = 12sin2<12故橢圓內(nèi)接矩形的最大面積為12.說明：通過橢圓參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題，一般地, 與圓錐曲線有關(guān)的最值問題，用參數(shù)方程形式較簡便.例3 橢圓二十:=1 （。）與八軸正向交于點(diǎn)A,若這個(gè)橢E上總 a b-存在點(diǎn)P,使OP_LAP

19、（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），求其離心率e的取值范圍.分析：TO、A為定點(diǎn)，尸為動(dòng)點(diǎn)，可以尸點(diǎn)坐標(biāo)作為參數(shù)，把 OPVAP,轉(zhuǎn)化為P點(diǎn)坐標(biāo)的一個(gè)等量關(guān)系，再利用坐標(biāo)的范圍建立 關(guān)于4、C的一個(gè)不等式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于。的不等式.為減少參數(shù)， 易考慮運(yùn)用橢圓參數(shù)方程.解：設(shè)橢圓的參數(shù)方程是尸"Cose jO）, y = bsinO則橢圓上的點(diǎn) P（acQsO, Z?sinO）, A（a , 0）,: OPLAP, bsinO bsn0 - . 1cicqsO acosO-a,2即(a2 - b2)cos2 0 - a2 cosO+b2 =0 ,解得 cos。= 1 或 cos® =cr -b

20、2V -1 <cos< 1* cos = 1 （舍去），-1 <T < 1 ,又獷=/一c2cr-lr/. 0 < - < 2 ,e > -, 又 0 v e v 1,< e v 1 c222說明：若已知橢圓離心率范圍（苧,1）,求證在橢圓上總存在點(diǎn)產(chǎn) 2使。0AP .如何證明5.相交情況下一弦長公式的應(yīng)用例1已知橢圓4/ + V =1及直線y = x + 7.(1)當(dāng)加為何值時(shí)，直線與橢圓有公共點(diǎn)(2)若直線被橢圓截得的弦長為浮，求直線的方程.解：(1 )把直線方程y = x+z代入橢圓方程4x2 + y2=l得4x2 +(工 + /力=1 ,

21、即 5x2 +2mx+nr -1=0 . A =（2/）？ -4x5x（/+20 之0 , 解得(2)設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為內(nèi)，聲,由(1)得* +x2 =2mm2-1根據(jù)弦長公式得、存.小界生胃1=爭解得m = 0 .方程為y = x .說明：處理有關(guān)直線與橢圓的位置關(guān)系問題及有關(guān)弦長問題，采用的 方法與處理直線和圓的有所區(qū)別.這里解決直線與橢圓的交點(diǎn)問題，一般考慮判別式A；解決弦 長問題，一般應(yīng)用弦長公式.用弦長公式，若能合理運(yùn)用韋達(dá)定理（即根與系數(shù)的關(guān)系）， 可大大簡化運(yùn)算過程.例2已知長軸為12,短軸長為6,焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，過它對(duì)的左 焦點(diǎn)”作傾斜解為巳的直線交橢圓于A,

22、 8兩點(diǎn)，求弦A8的長.分析：可以利用弦長公式|4國= ）（1 +攵2）（匹+巧）2-4內(nèi)勺求 得，也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點(diǎn)半徑來求.解：（法1）利用直線與橢圓相交的弦長公式求解.|A8| = Jl + kx 引=4+/2）（須+）24演4-因?yàn)?4 = 6, b = 3 , 所以c = 373 .因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，所以橢圓方程為（+£,左焦點(diǎn)小3瓜。），從而直線方程為由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得:13x2 + 72+36x8 = 0 . i殳5,與 為方程兩根,所以5答_ 36x8frxx2， k - J3 , 48AB = Jl + k，|xj-x2| = yl

23、(i + k2)(x+x2)2 -4xx2=:1（法2）利用橢圓的定義及余弦定理求解.由題意可知橢圓方程為小5=1 ,設(shè)|A娟=7,怛制= 72,則|A國=12-7, BF2 = 2-n .在中,|阻2=.+歸父-2|同我用cos?, 即(12-/7/)2 = / + 36 3 - 2 - /n 6-73 ;2同理在町居中，用余弦定理得=_,所以4-V3-4 + V3m + n =1348（法3）利用焦半徑求解.先根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立的方程13/+72方x + 36x8 = 0求出方程的兩根為，它們分別是A, 8的橫坐標(biāo).再根據(jù)焦半徑|A周=a + ex”怛制= a + % . 從而求出|Aq=

24、|A用+怛用6,相交情況下一點(diǎn)差法的應(yīng)用例1已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在工軸上的橢圓與直線x + y-l =。交于A、 8兩點(diǎn)，M為A8中點(diǎn)，的斜率為，橢圓的短軸長為2,求橢圓的 方程.解：由題意，設(shè)橢圓方程為X 2，了+廠=x+y-1=0 由”得(1 + 4)02-2小=0,X, +x2 _ 1 + cJ2 a1 + a2/. + y2= 為所求.4說明：（1）此題求橢圓方程采用的是待定系數(shù)法；（2）直線與曲 線的綜合問題，經(jīng)常要借用根與系數(shù)的關(guān)系，來解決弦長、弦中點(diǎn)、 弦斜率問題.例2已知橢圓工+），2 = 1,求過點(diǎn)p L；且被。平分的弦所在的直線2 2 2 ；方程.分析一：已知一點(diǎn)求直線，關(guān)

25、鍵是求斜率，故設(shè)斜率為k,利用 條件求攵.解法一：設(shè)所求直線的斜率為k,則直線方程為y-；代入橢圓方程，并整理得( + 2k2)x2 -(2k2 -2k)x + k2 -k + = 0 .由韋達(dá)定理得內(nèi)+/=2H-丁尸是弦中點(diǎn)，：.xl+x2=.故得k=L2所以所求直線方程為2x + 4y-3 = 0.分析二：設(shè)弦兩端坐標(biāo)為(外,為)、(x2, %)，列關(guān)于為、丫1、>,2 的方程組，從而求斜率：二匹.解法二：設(shè)過尸的直線與橢圓交于A«,%)、8(%刈)，則 12 2 >由題意得爭才=1,<+)=1,X)+ Xy = 1,(3)Ji+%=1一得: 2將、代入得31=

26、一1，即直線的斜率為- 內(nèi)一工2 22所求直線方程為2x + 4y-3 = 0.說明：(1)有關(guān)弦中點(diǎn)的問題，主要有三種類型：過定點(diǎn)且被定點(diǎn)平 分的弦；平行弦的中點(diǎn)軌跡；過定點(diǎn)的弦中點(diǎn)軌跡.(2)解法二是“點(diǎn)差法”，解決有關(guān)弦中點(diǎn)問題的題較方便，要 點(diǎn)是巧代斜率.(3)有關(guān)弦及弦中點(diǎn)問題常用的方法是：“韋達(dá)定理應(yīng)用”及“點(diǎn) 差法有關(guān)二次曲線問題也適用.例3已知橢圓二+ V = 1, (1)求過點(diǎn)且被P平分的弦所在直 212 2,線的方程；(2)求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；(3)過A1)引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；(4)橢圓上有兩點(diǎn)尸、Q,。為原點(diǎn)，且有直線”、。斜率滿足求線

27、段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程.分析：此題中四問都跟弦中點(diǎn)有關(guān)，因此可考慮設(shè)弦端坐標(biāo)的方法.解：設(shè)弦兩端點(diǎn)分別為yj, N（x?, >,2）,線段MN的中點(diǎn)R（x, y）, 則x：+2y：=2,一得工;+ 2y； = 2, /、/、/、，廿（區(qū) + 占 X 再一9）+ 2（乃 + % Xy %）=。+ x2 = 2x,+ ）?2 = 2y，由題意知X尸X2，則上式兩端同除以X1 -%，有&+/）2（M+%）"2' =。，為一占將代入得x + 2y&!& = 0.為一 超（D將1，）,=代入，得宜二匹=，故所求直線方程為： 22x - x222x + 4y

28、 - 3 = 0.將代入橢圓方程x2 +2）3 = 2得6y2 -6y- = 0 , zX = 36-4x6x，>0符合 44題意，2x + 4y-3 = 0為所求.（2 ） 將空匹=2代入得所求軌跡方程為： 王一超x + 4y = 0 .（橢圓內(nèi)部分）（3 ）將上& =:二代入得所求軌跡方程為：玉 _ & x _ 2x2+2y2-2x-2y = 0 .（橢圓內(nèi)部分）（4）由+得：片！ + （）,： +式）=2,，將平方并整理得4+對(duì)=4/一2中2，），一2,仍，將代入得：公：2內(nèi)小+（4八29，2）=2 ,再將1% =內(nèi)代入式得：2x2 -xx2 + 4y2 -2（-X

29、jX2 =2 ,2 2）即 x2+ = l. 2此即為所求軌跡方程.當(dāng)然，此題除了設(shè)弦端坐標(biāo)的方法，還可 用其它方法解決.例4已知橢圓c：q +二=1,試確定/”的取值范圍，使得對(duì)于直線I fit， 橢圓。上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對(duì)稱.分析：若設(shè)橢圓上A, B兩點(diǎn)關(guān)于直線/對(duì)稱，則已知條件等價(jià)于:直線48，/ ；弦A3的中點(diǎn)M在/上.利用上述條件建立團(tuán)的不等式即可求得?的取值范圍.解：（法1）設(shè)橢圓上A（*，x）, 8（公，左）兩點(diǎn)關(guān)于直線/對(duì)稱，直線5 與/交于MQoQo）點(diǎn)./的斜率號(hào)=4 , /.設(shè)直線A8的方程為y = -x + n,由方程組 4=一:消去），得I 224- = 1,

30、4313x2 - Snx 4-16/?2 - 48 = 0。 /. xx + x,=. 于是 x。= - = ,- 13213112%F+F即點(diǎn)例的坐標(biāo)為（,）.,點(diǎn)M在直線y = 4x+m上, 13 13/? = 4X + /?. 解得 =134將式代入式得13x2 + 26mx+169療- 48 = 0；A , B是橢圓上的兩點(diǎn)，A = (26機(jī)尸-4x13(169- 48) >0 .解得一出< 尸.1313（法 2）同解法 1 得出 / = - - m , / x0 = （- - m） = -in ,4134!3113y0 =Xq -in =x （/n）-m = -3m , 即 M 點(diǎn)坐標(biāo)為（一加,-3m） 4444；4 , B為橢圓上的兩點(diǎn)，Z. M點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，.5 +應(yīng)1,解得亞 加蟲. 431313（法3）設(shè)AQ,y）, 8（電，力）是橢圓上關(guān)于/對(duì)稱的兩點(diǎn),直線A8與/的 交點(diǎn)M的坐標(biāo)為（曲,九）.2222A , 8在橢圓上，.工+'=1 ,+= 兩式相減得43433（2 +x2Xx, -x2） + 4（y, + y2Xyj - y2） = 0,即 32%（%一片）+ 42丁0（/一力）=。，=-芯 4yo -又 二直線 AB±/ , ；. k mH =7 , /-二4 = -1,即%=34 o 4yo又"點(diǎn)在直線/上