第2章 平面問題的基本理論_習(xí)題

1、 選擇坐標(biāo)系如圖。選擇坐標(biāo)系如圖。因該表面無(wú)任何面力，因該表面無(wú)任何面力，fx、fy、fz = 0,故表面上故表面上(z , zx , zy)=0在近表面很薄一層在近表面很薄一層(z , zx , zy)0 接近平面應(yīng)力問題接近平面應(yīng)力問題。例例2（習(xí)題（習(xí)題2-4） 按平面應(yīng)變問題特征來分析，按平面應(yīng)變問題特征來分析，本題中本題中oxyzoxyz 只有xxyyxyxyx,y ,x,y ,x,y思考題思考題 設(shè)有厚度很大設(shè)有厚度很大(即即 z 向很長(zhǎng)向很長(zhǎng))的基礎(chǔ)梁放置在地基上的基礎(chǔ)梁放置在地基上,如果如果想把它近似地簡(jiǎn)化為平面問題處理想把它近似地簡(jiǎn)化為平面問題處理,問應(yīng)如何考慮問應(yīng)如何考慮?

2、 思考題思考題 ).(21yuxv1.試證明微分體繞試證明微分體繞 z 軸的平均轉(zhuǎn)動(dòng)分量是軸的平均轉(zhuǎn)動(dòng)分量是 2.當(dāng)應(yīng)變?yōu)槌Ａ繒r(shí)，當(dāng)應(yīng)變?yōu)槌Ａ繒r(shí)，x=a , y=b , xy=c ，試求出對(duì)應(yīng)的位移分量。試求出對(duì)應(yīng)的位移分量。選擇習(xí)題選擇習(xí)題 27、219。 思考題思考題 1.試證：由主應(yīng)力可以求出主應(yīng)變，且兩者方向一致。試證：由主應(yīng)力可以求出主應(yīng)變，且兩者方向一致。2.試證：三個(gè)主應(yīng)力均為壓應(yīng)力，有時(shí)可以產(chǎn)生拉裂現(xiàn)象。試證：三個(gè)主應(yīng)力均為壓應(yīng)力，有時(shí)可以產(chǎn)生拉裂現(xiàn)象。 試根據(jù)空間問題的物理方程進(jìn)行解釋。試根據(jù)空間問題的物理方程進(jìn)行解釋。3.試證：在自重作用下，圓環(huán)（平面應(yīng)力問題）試證：在自重

3、作用下，圓環(huán)（平面應(yīng)力問題） 比圓筒（平面應(yīng)變問題）的變形大。比圓筒（平面應(yīng)變問題）的變形大。 試根據(jù)它們的物理方程來解釋這種現(xiàn)象。試根據(jù)它們的物理方程來解釋這種現(xiàn)象。.)( 0,)(0.)( )(0.)( 0,)(0.)( 0)(01q,2hy,lxq,2hy,lxv,u,x2hyyx2hyy2hyyx2hyylxxylxx0 x0 x邊界邊界邊界邊界lh/2h/2qyxoyyxxyyyxx1qlh/2h/2qyxoyyxxyyyxx1q 例例1 列出邊界條件：列出邊界條件： 例例2 列出邊界條件：列出邊界條件：0.)( ,)()(0.)( 0,)(2baxxyaxxbyyxyybyqaxb

4、y邊界：邊界：yxoqqqqbbaaxyyyxxyxoqqqqbbaaxyyyxx思考題思考題 oxy(c)(a)(d)(b)qxnyABAxyoAMygoxy(c)(a)(d)(b)qxnyABAxyoAMyg1、若在斜邊界面上，受有常量的法向分布?jí)毫?、若在斜邊界面上，受有常量的法向分布?jí)毫作用，試列出應(yīng)力邊界條件，作用，試列出應(yīng)力邊界條件，(圖圖(a)。2、證明在無(wú)面力作用的、證明在無(wú)面力作用的0A邊上，邊上，y不等于零（圖不等于零（圖 (b)）。）。3、證明在凸角、證明在凸角A點(diǎn)附近，當(dāng)無(wú)面力作用時(shí)，其應(yīng)力為零（圖點(diǎn)附近，當(dāng)無(wú)面力作用時(shí)，其應(yīng)力為零（圖(c)）。）。4、試導(dǎo)出在無(wú)面力作

5、用時(shí)，、試導(dǎo)出在無(wú)面力作用時(shí)，AB邊界上的邊界上的 x , y , xy 之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。(圖圖(d)。5、試比較平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題的基本方程和邊界條件的異同，并、試比較平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題的基本方程和邊界條件的異同，并進(jìn)一步說明它們的解答的異同。進(jìn)一步說明它們的解答的異同。選擇習(xí)題選擇習(xí)題 213例例1 試列出圖中的邊界條件。試列出圖中的邊界條件。 . , 0 , 2/; 0 ,)( , 2/12qhylxqhyxyyxyy。sxhhxyxhhxxhhxFyMyyFyd)(,d)(,d)(02/2/02/2/02/2/解：解：(a)在主要邊界在主要邊界y = h/2應(yīng)精

6、確滿足下列邊應(yīng)精確滿足下列邊界條件：界條件： 在小邊界在小邊界x = l，當(dāng)平衡微分方程和其它各，當(dāng)平衡微分方程和其它各邊界條件都已滿足的條件下，三個(gè)積分的邊邊界條件都已滿足的條件下，三個(gè)積分的邊界條件必然滿足，可以不必校核。界條件必然滿足，可以不必校核。 在小邊界在小邊界x = 0應(yīng)用圣維應(yīng)用圣維南原理，列出三個(gè)積分南原理，列出三個(gè)積分的近似邊界條件，當(dāng)板的近似邊界條件，當(dāng)板厚厚 =1時(shí)，時(shí)，例例2 試列出圖中的邊界條件。試列出圖中的邊界條件。 解：解：(a)在主要邊界在主要邊界x= 0, b，應(yīng)精確滿足下列邊界，應(yīng)精確滿足下列邊界條件：條件： 在小邊界在小邊界y = 0應(yīng)用圣維應(yīng)用圣維南原

7、理，列出三個(gè)積分南原理，列出三個(gè)積分的近似邊界條件，當(dāng)板的近似邊界條件，當(dāng)板厚厚 =1時(shí)，時(shí)，。qlxgyxxyxxyx , 0 ; 0 , 0030FOxyqh(b)gyb/2 b/2) 1,(bh030FOxyqh(b)gyb/2 b/2) 1,(bh。2d)(,43d)(,23d)(000000FxbFxxFxybyxybyyby注意：注意：在列力矩的條件時(shí)兩邊均是在列力矩的條件時(shí)兩邊均是對(duì)原點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)O的力矩的力矩來計(jì)算的。來計(jì)算的。對(duì)于對(duì)于y = h的小邊界可以的小邊界可以不必校核。不必校核。四、按位移求解（位移法）的優(yōu)缺點(diǎn)：四、按位移求解（位移法）的優(yōu)缺點(diǎn)：適用性廣適用性廣 可適用于

8、任何邊界條件?？蛇m用于任何邊界條件。求函數(shù)式解答困難，但在近似解法求函數(shù)式解答困難，但在近似解法（變分法、差分法、有限單元法）（變分法、差分法、有限單元法）中有著廣泛的應(yīng)用。中有著廣泛的應(yīng)用。例例1 考慮兩端固定的一維桿件?？紤]兩端固定的一維桿件。 圖圖(a)，只受重力作用，只受重力作用，fx=0 , fy=g。試用位移法求解。試用位移法求解。xoyloyxggxoyloyxgg解：為了簡(jiǎn)化，設(shè)解：為了簡(jiǎn)化，設(shè) = 0 位移位移u = 0,v = v ( y ) 按位移求解，位移應(yīng)滿足式按位移求解，位移應(yīng)滿足式(b),(c),(d)。代入式代入式(b),第一式自然滿足，第一式自然滿足， 第二式

9、成為第二式成為.22Egyv.22BAyyEgv y = 0 , l ，位移邊界條件，位移邊界條件(v)y=0=0 B=0 (v)y=l=0 .2lEgA).2(2),2(2),(22ylgylEgylyEgvyy思考題思考題 1、 試用位移法求解圖試用位移法求解圖(b)的位移和的位移和應(yīng)力。應(yīng)力。 2、試將彈性力學(xué)中平面問題的位移、試將彈性力學(xué)中平面問題的位移法與結(jié)構(gòu)力學(xué)的位移法相比，有那法與結(jié)構(gòu)力學(xué)的位移法相比，有那些相同些相同 和不同之處？和不同之處？選擇習(xí)題選擇習(xí)題 210。xoyloyxggxoyloyxgg圖圖(b)圖圖(a) 例例2 厚度厚度 =1的懸臂梁，受一端的集中力的懸臂梁

10、，受一端的集中力 F 的作用。已求得其位移的解答是的作用。已求得其位移的解答是。EIFlEIFxlEIFxEIFxyvyIGFhEIFlIGFyEIFyEIyFxu3262,)82(662323222332 試檢查此組位移是否是圖示問題的解答。試檢查此組位移是否是圖示問題的解答。h/2h/2AxylFO) 1,(hlh/2h/2AxylFO) 1,(hl解：此組位移解答若為圖示問題的解答，則應(yīng)解：此組位移解答若為圖示問題的解答，則應(yīng)滿足下列條件滿足下列條件 1、 區(qū)域內(nèi)用位移表示的平衡微分方程區(qū)域內(nèi)用位移表示的平衡微分方程 2、應(yīng)力邊界條件：在所有受面力的邊界上滿、應(yīng)力邊界條件：在所有受面力的

11、邊界上滿足。其中在小邊界足。其中在小邊界S上可以應(yīng)用圣維南原理，用上可以應(yīng)用圣維南原理，用三個(gè)積分的邊界條件來代替。三個(gè)積分的邊界條件來代替。 3、位移邊界條件：本題在、位移邊界條件：本題在x = l 的小邊界上，的小邊界上，已考慮利用圣維南原理，使三個(gè)積分的應(yīng)力邊已考慮利用圣維南原理，使三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件已經(jīng)滿足。界條件已經(jīng)滿足。 因此，只需校核下列三個(gè)剛體的約束條件因此，只需校核下列三個(gè)剛體的約束條件： A點(diǎn)（ x = l及y = 0），. 0),(xuvu 讀者可校核這組讀者可校核這組位移是否滿足上述條位移是否滿足上述條件，如滿足，則是該件，如滿足，則是該問題之解。問題之解。Cxyc

12、CxyyBxAybDyCByAxyaxyyxxyyxxyyx , 0 )(; , , )(; , , )(2223.22222yxxyxyyx例例1 試考慮下列平面問題的應(yīng)變分量是否可能存在試考慮下列平面問題的應(yīng)變分量是否可能存在 解：應(yīng)變分量存在的必要條件是滿足形變解：應(yīng)變分量存在的必要條件是滿足形變相容條件，即相容條件，即（a）相容；（）相容；（b）須滿足）須滿足B = 0, 2A=C ；（；（c）不相容。除非）不相容。除非C = 0。 例例2 在無(wú)體力情況下，試考慮下列應(yīng)力分量是否可能在彈性體中存在在無(wú)體力情況下，試考慮下列應(yīng)力分量是否可能在彈性體中存在(相容性相容性)：; ),( ),

13、( )(; , , )(2222CxyyxByxAbFyExDyCxByAxaxyyxxyyx解：彈性體中的應(yīng)力，在單連體中必須滿足相容方程。解：彈性體中的應(yīng)力，在單連體中必須滿足相容方程。（a）此組應(yīng)力滿足相容方程。）此組應(yīng)力滿足相容方程。 （b）為了滿足相容方程，其系數(shù)必須滿足）為了滿足相容方程，其系數(shù)必須滿足A + B = 0思考題思考題 1.試比較按位移求解的方法和按應(yīng)力求解的方法，并與結(jié)構(gòu)力學(xué)中的位移法和力法試比較按位移求解的方法和按應(yīng)力求解的方法，并與結(jié)構(gòu)力學(xué)中的位移法和力法作比較。作比較。2.若若 x = ay2 , y = bx2 , xy = (a + b)xy 是否可能成為

14、彈性體中的形變？是否可能成為彈性體中的形變？3.若若fx = fy = 0, x = ax2,y = bxy2,xy = 0是否可能為彈是否可能為彈 性體中的應(yīng)力？性體中的應(yīng)力？選擇習(xí)題選擇習(xí)題 216、217。 axChqxyCyCyhqyyxhqxyyx132213332362)46(202qh)202(22qhqlxy) 1,(hlloqqlh/2h/2202qh)202(22qhqlxy) 1,(hlloqqlh/2h/2例例3 圖中的梁，受到如圖所示的荷載的作用，圖中的梁，受到如圖所示的荷載的作用，試用下列應(yīng)力表達(dá)式求解其應(yīng)力，試用下列應(yīng)力表達(dá)式求解其應(yīng)力， 解：本題是按應(yīng)力求解的，

15、在應(yīng)力法中，應(yīng)力分量在單連體中必須滿足解：本題是按應(yīng)力求解的，在應(yīng)力法中，應(yīng)力分量在單連體中必須滿足（1）平衡微分方程；（）平衡微分方程；（2）相容）相容方程方程 將應(yīng)力分量（將應(yīng)力分量（a）代入平衡微分）代入平衡微分方程和相容方程，兩者都能滿足。方程和相容方程，兩者都能滿足。（3）應(yīng)力邊界條件（在）應(yīng)力邊界條件（在S = S上）。上）。在主要邊界上，在主要邊界上，20 xy足。將得即代入后滿C，C , 0 ,2.2 得,2)8(2即 , ,2 ; 23 , 0)46( , 0 ,221221331123yyxyhyqCqChChhqqhyhqCChhqxhy axChqxyCyCyhqyyx

16、hqxyyx132213332362)46(202qh)202(22qhqlxy) 1,(hlloqqlh/2h/2202qh)202(22qhqlxy) 1,(hlloqqlh/2h/2例例3 圖中的梁，受到如圖所示的荷載的作用，圖中的梁，受到如圖所示的荷載的作用，試用下列應(yīng)力表達(dá)式求解其應(yīng)力，試用下列應(yīng)力表達(dá)式求解其應(yīng)力， 解：解： 將將C1,C2代入代入(a),得到應(yīng)力公式得到應(yīng)力公式,)() 14(23),22321(),23(22233223bhyhqxhyhyqyxhqyxyyx。202qh)202(22qhqlxy) 1,(hlloqqlh/2h/2202qh)202(22qhq

17、lxy) 1,(hlloqqlh/2h/2例例3 解解)() 14(23),22321(),23(22233223bhyhqxhyhyqyxhqyxyyx。 . 20d , 0d ,4 , 0 , 0202/2/-02/2/-33qhyyyhyqxxxhhxxhhxxy）（而主矩為）（其主矢量為).202(d , 0 ),46( .d ),14(23 , 222/2/-32302/2/-22qhqlyyyylhqqlyhyhqllxlxxhhxxxyhhxy）（而主矩為其主矢量為）（其主矢量為 將式（將式（b）表達(dá)式代入次要邊界條件，）表達(dá)式代入次要邊界條件，由此可見，在次要邊界上的積分邊界條

18、件均能滿足。因此，式（由此可見，在次要邊界上的積分邊界條件均能滿足。因此，式（b）是圖示問題之解。）是圖示問題之解。 例例4 在材料力學(xué)中，當(dāng)矩形截面梁（厚在材料力學(xué)中，當(dāng)矩形截面梁（厚 =1）受任意的橫向荷載）受任意的橫向荷載q(x)作用而彎曲時(shí)，作用而彎曲時(shí)，彎曲應(yīng)力公式為彎曲應(yīng)力公式為.)(yIxMx q(x)xy) 1,(hlloh/2h/2q(x)xy) 1,(hlloh/2h/2 qxFFxMssdd dd（a）試由平衡微分方程（不計(jì)體力）導(dǎo)出切）試由平衡微分方程（不計(jì)體力）導(dǎo)出切應(yīng)力應(yīng)力xy和擠壓應(yīng)力和擠壓應(yīng)力y的公式。的公式。（提示：注意關(guān)系式（提示：注意關(guān)系式 積分后得出的任

19、意函數(shù)，可由梁的上下積分后得出的任意函數(shù)，可由梁的上下邊界條件來確定。）邊界條件來確定。） （b）當(dāng)）當(dāng)q為常數(shù)時(shí)，試檢驗(yàn)應(yīng)力分量是否滿為常數(shù)時(shí)，試檢驗(yàn)應(yīng)力分量是否滿足相容方程，試在足相容方程，試在x中加上一項(xiàng)對(duì)平衡中加上一項(xiàng)對(duì)平衡沒有影響的函數(shù)沒有影響的函數(shù)f (y)，再由相容方程確定，再由相容方程確定f (y),并校核梁的左右邊界條件。并校核梁的左右邊界條件。.)(yIxMx q(x)xy) 1,(hlloh/2h/2q(x)xy) 1,(hlloh/2h/2 qxFFxMssdd dd例例4 解：本題引用材料力學(xué)的彎應(yīng)力解：本題引用材料力學(xué)的彎應(yīng)力x的解，的解，作為初步的應(yīng)力的假設(shè)，再按

20、應(yīng)力法求解。作為初步的應(yīng)力的假設(shè)，再按應(yīng)力法求解。應(yīng)力分量必須滿足應(yīng)力分量必須滿足（1）平衡微分方程；）平衡微分方程；（2）相容方程；）相容方程；（3）應(yīng)力邊界條件（在）應(yīng)力邊界條件（在S = S上）上）。 , 0yxyxx.ddIyFIyxMysyx),(212xfIyFsyx （a）不計(jì)體力，將）不計(jì)體力，將 代入平衡微分方程第代入平衡微分方程第一式，得一式，得 兩邊對(duì)兩邊對(duì) y 積分，得積分，得 再由上下的邊界條件再由上下的邊界條件)( ).28 , , ,8 )( 2221cyhSISFIhFxfsyxyxs（其中得代入得將將yx代入平衡微分方程的第二式代入平衡微分方程的第二式, 第二

21、章第二章 習(xí)題提示與答案習(xí)題提示與答案 21 是是22 是是23 按習(xí)題按習(xí)題21分析。分析。24 按習(xí)題按習(xí)題22分析。分析。25 在在M=0的條件中，將出現(xiàn)二、三階微量。當(dāng)略去三階微量后，得出的切應(yīng)的條件中，將出現(xiàn)二、三階微量。當(dāng)略去三階微量后，得出的切應(yīng)力互等定理完全相同。力互等定理完全相同。26 同上題。在平面問題中，考慮到二階微量的精度時(shí)，所得出的平衡微分方同上題。在平面問題中，考慮到二階微量的精度時(shí)，所得出的平衡微分方程都相程都相同。其區(qū)別只是在三階微量（即更高階微量）上，可以略去不計(jì)。同。其區(qū)別只是在三階微量（即更高階微量）上，可以略去不計(jì)。27 應(yīng)用的基本假定是：平衡微分方程和幾何方程應(yīng)用的基本假定是：平衡微分方程和幾何方程連續(xù)性和小變形，物理方程連續(xù)性和小變形，物理方程理想彈性體。理想彈性體。28 在大邊界上，應(yīng)分別列出兩個(gè)精確的邊界條件；在小邊界（即次要邊界）上，在大邊界上，應(yīng)分別列出兩