人教版九年級(jí)上第22章二次函數(shù)精品課堂二次函數(shù)與一元二次方程導(dǎo)學(xué)案

1、.第22章二次函數(shù)精品課堂二次函數(shù)與一元二次方程【問題探究】王強(qiáng)在一次高爾夫球的練習(xí)中，在某處擊球，其飛行道路滿足拋物線，其中m是球的飛行高度，m是球飛出的程度間隔 ，結(jié)果球離球洞的程度間隔 還有2 m1懇求出球飛行的最大程度間隔 。2假設(shè)王強(qiáng)再一次從此處擊球，要想讓球飛行的最大高度不變且球剛好進(jìn)洞，那么球飛行道路應(yīng)滿足怎樣的拋物線，求出其解析式答案：1令，得： 解得：， 球飛行的最大程度間隔 是8 m 2要讓球剛好進(jìn)洞而飛行最大高度不變，那么球飛行的最大程度間隔 為10 m拋物線的對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)為 設(shè)此時(shí)對(duì)應(yīng)的拋物線解析式為 又點(diǎn)在此拋物線上， 解得： 【新課引入】提問：1、二次函數(shù)與軸的交

2、點(diǎn)坐標(biāo)是什么？答案：二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。令，即 解得：所以二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為和2、一解元二次方程答案： 解： 解得，由此可知：當(dāng)時(shí)，即，也就是說，是一元二次方程的一個(gè)根。 同樣，當(dāng)時(shí)，即，也就是說，是一元二次方程的另一個(gè)根?？偨Y(jié)：一般地，假如二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)、，那么一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、。 反之也成立?！究偨Y(jié)歸納】一、二次函數(shù)圖象與一元二次方程的關(guān)系一般地，二次函數(shù)的圖象與一元二次方程的根有如下關(guān)系： 1、假如二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； 2、假如二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么一元二次方程有兩個(gè)相

3、等的實(shí)數(shù)根； 3、假如二次函數(shù)的圖象與x軸沒有公共點(diǎn)，那么一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根；二、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系 決定拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù) 1、 拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)； 2、 拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；3、 拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。三、二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式之間的關(guān)系 關(guān)系圖表所示如下：判別式二次函數(shù)一元二次方程一元二次不等式或的解集圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，且一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的解集為的解集為的解集為的解集為拋物線與x軸相切于這一點(diǎn)，此時(shí)稱拋物線與x軸相切一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根的解集為的所有實(shí)數(shù)不等式無解不等式無解的解集為所有實(shí)數(shù)拋物線

4、與x軸無交點(diǎn)，此時(shí)稱拋物線與x軸相離一元二次方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解或稱無實(shí)數(shù)根的解集為所有實(shí)數(shù)的解集為所有實(shí)數(shù)不等式無解的解集為所有實(shí)數(shù)【精選例題】一二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系例1、1拋物線與軸有個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)槠渑袆e式0，相應(yīng)二次方程的根的情況為2關(guān)于的二次函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)，那么的范圍是且且解析：1；沒有實(shí)數(shù)根。2前思后想：在二次函數(shù)中，令，就得到一元二次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，所以一元二次方程的根就是二次函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)坐標(biāo)。牛刀小試：1、關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么相應(yīng)二次函數(shù)與軸必然相交于點(diǎn)，此時(shí)。2、函數(shù)是常數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0121或2 3、二次函數(shù)（1） 假設(shè)拋物線與x軸有

5、兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求k的取值范圍。（2） 假設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，求k的取值。4、函數(shù)1求證：不管為何實(shí)數(shù)，此二次函數(shù)的圖象與軸都有兩個(gè)不同交點(diǎn)；2假設(shè)函數(shù)有最小值，求函數(shù)表達(dá)式答案：1、一；4 。 2、3、在一元二次方程中，1=當(dāng)k5時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。2=，k=5時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)在x軸上。4、1，不管為何值時(shí)，都有，此時(shí)二次函數(shù)圖象與軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)2，或，所求函數(shù)式為或。二二次函數(shù)圖象和一元二次方程的關(guān)系圖1例2. 二次函數(shù)的圖象如圖1所示，那么的取值范圍是A、3 B、3C、03D、03解析：觀察圖1，拋物線與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的轉(zhuǎn)化關(guān)系，得一元二

6、次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根0解得3又拋物線開口向上，0xyO13的取值范圍是03，選D例3、二次函數(shù)的部分圖象如圖2所示，那么關(guān)于的一元二次方程的解為解析：由圖象得，拋物線對(duì)稱軸是過點(diǎn)1，0且平行于軸的直線拋物線與軸一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)3設(shè)拋物線與軸另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為每對(duì)對(duì)稱點(diǎn)到對(duì)稱軸的間隔 相等，解得-1根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的轉(zhuǎn)化關(guān)系，得一元二次方程的解為-1和3前思后想：二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為一元二次方程的解的個(gè)數(shù)求解。牛刀小試：1、函數(shù)的圖象如圖3所示，那么以下結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng)是 A、 B、C、兩根之和為負(fù) 圖3D、兩根之積為正 2、如圖4所示，函數(shù)的圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)

7、，那么交點(diǎn)的橫坐標(biāo)圖43、函數(shù)的圖象如下圖，那么關(guān)于的一元二次方程的根的情況是3有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)根有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根沒有實(shí)數(shù)根答案：1、D2、3、三拋物線與直線的交點(diǎn)例4、關(guān)于的二次函數(shù)與，這兩個(gè)二次函數(shù)的圖象中的一條與軸交于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn)。（1） 試判斷哪個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A、B兩點(diǎn)；（2） 假設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為，試求B點(diǎn)坐標(biāo)；（3） 在2的條件下，對(duì)于經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的二次函數(shù)，當(dāng)取何值時(shí)，的值隨值增大而減??？解析：（1） 對(duì)于關(guān)于的二次函數(shù)， 由于， 所以此函數(shù)的圖象與軸沒有交點(diǎn)。對(duì)于關(guān)于的二次函數(shù)，由于， 所以此函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。故圖象經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的二

8、次函數(shù)為。（2） 將A-1,0代入，得。 整理得， 解得，或。 當(dāng) 時(shí)，。令，得。解得。此時(shí)B點(diǎn)坐標(biāo)是B1，0。 當(dāng)時(shí)，。令，得。解得。此時(shí)B點(diǎn)坐標(biāo)是B3，0。3時(shí)，二次函數(shù)為，此函數(shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)值隨的值增大而減?。?時(shí)，二次函數(shù)為，此函數(shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)值隨的值增大而減小。前思后想：1、 由來判斷二次函數(shù)與軸是否有交點(diǎn)；2、 把A點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，求出m，再解方程；3、 利用二次函數(shù)的性質(zhì)，先找出對(duì)稱軸。牛刀小試1、假設(shè)拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)是-2，0，那么另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是_。2、拋物線和直線，當(dāng)m為何實(shí)數(shù)時(shí)，拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)？答案：1

9、、4，02、令，整理得， 當(dāng)拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)， 即， 所以m取任意實(shí)數(shù)，拋物線與直線都有兩個(gè)交點(diǎn)四用圖象法求一元二次方程的近似根例5.根據(jù)以下表格的對(duì)應(yīng)值：x3.233.243.253.26y=0.060.020.030.09判斷方程a0，a，b，c為常數(shù)一個(gè)解x的范圍是 .A3x3.23 B.3.23x3.24 C.3.24x3.25 D.3.25 x3.26 解析：此題主要考察二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系.由于二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根,所以此題實(shí)際上確定拋物線與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍,觀察表格的數(shù)據(jù)變化可知3.24x3.

10、25時(shí),拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn),所以方程a0，a，b，c為常數(shù)一個(gè)解x的范圍是3.24x3.25. 選C。前思后想：此題主要考察二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解決問題的思路是通過表格觀察函數(shù)值在什么范圍內(nèi)由負(fù)變正，這個(gè)范圍就是對(duì)應(yīng)的方程的根的范圍.例6.利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解解析：（1） 作圖：作出拋物線和直線；（2） 判斷：左邊交點(diǎn)橫坐標(biāo)在-1與-2之間，另一個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)在3與4之間；（3） 利用計(jì)算器進(jìn)展探究：是方程的近似解；（4） 用求根公式來驗(yàn)證一下：對(duì)于方程，整理得，。因此利用圖象求得方程的近似解。前思后想：判斷一元二次方程的解的范圍,本質(zhì)是判斷相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象與

11、x軸交點(diǎn)的范圍，正確理解二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.牛刀小試：1、利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似根。準(zhǔn)確到0.12、根據(jù)以下表格中二次函數(shù)的自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)值，判斷方程為常數(shù)的一個(gè)解的范圍是6.176.186.196.203、下表是滿足二次函數(shù)y=ax2+bx+c的五組數(shù)據(jù)，x1是方程ax2+bx+c=0的一個(gè)解，那么以下選項(xiàng)中正確的選項(xiàng)是1.61.82.02.22.4-0.8.-0.54-0.200.220.72A、1.61.8 B、1.82.0 C、2.02.2 D、2.22.4答案：1、畫圖略，；2、此題以圖表的形式給出信息，探求一元二次方程的一個(gè)解的范圍，根

12、據(jù)表格提供的信息，在6.18到6.19之間一定有一個(gè)x的值，使0，因?yàn)橐辉畏匠痰慕馐嵌魏瘮?shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以方程的一個(gè)解的范圍是，故答案為C。3、C五二次三項(xiàng)式、一元二次方程、一元二次不等式之間的關(guān)系例7. 解不等式。解析：解法一： 設(shè)， 它大致圖象如右圖所示，觀察圖象可知：當(dāng)時(shí)，拋物線在軸下方，即， 所以不等式的解集時(shí)。 解法二：由原不等式得 設(shè)， 在同一坐標(biāo)系中它們的大致圖象如右圖所示得交點(diǎn)坐標(biāo)為A-1,1，B2,4觀察圖象可知：當(dāng)時(shí)，拋物線在直線下發(fā)，即， 所以不等式的解集時(shí)。前思后想：1、 用構(gòu)造二次函數(shù)的方法來解一元二次不等式，需要明確它們之間的內(nèi)在聯(lián)絡(luò)。2、 假設(shè)二

13、次函數(shù)的圖象在x軸的上方或下方，那么或0，此時(shí)或0的解集為全體實(shí)數(shù)或無解。牛刀小試：1、二次函數(shù)的圖象和軸有交點(diǎn)，那么的取值范圍是 A、 B、 C、 D、2、拋物線與直線m為常數(shù) A、沒有交點(diǎn) B、只有一個(gè)交點(diǎn) C、有兩個(gè)交點(diǎn) D、至少有一個(gè)交點(diǎn)3、二次函數(shù)y=ax2+bx+ca0的圖象如下左圖所示，當(dāng)y0時(shí)，x的取值范圍是A、-1x3 B、x3 C、x-1 D、x3或x-1第4題第3題4、二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如上右圖所示，那么關(guān)于x的不等式bx+a0的解集是A、 B、 C、 D、 例9、如圖1，一名男生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度單位長(zhǎng)度：m與程度間隔 單位長(zhǎng)度：m之間的關(guān)系是那么他將

14、鉛球推出的間隔 是 m解析：當(dāng)y=0時(shí)，得，解得 米， 舍去所以他將鉛球推出的間隔 是10米前思后想：1、在解有關(guān)問題時(shí)，應(yīng)結(jié)合詳細(xì)的函數(shù)畫出相應(yīng)草圖，充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想求解。2、這是一道二次函數(shù)基此題，利用所學(xué)的知識(shí)考察了學(xué)生的應(yīng)用才能，難度不是很大因此，平常要注重問題的研究，以培養(yǎng)學(xué)生的分析才能，此題表達(dá)了新課標(biāo)的理念：“人人學(xué)必需的數(shù)學(xué)，人人學(xué)有用的數(shù)學(xué) 牛刀小試：1、某菜農(nóng)搭建了一個(gè)橫截面為拋物線的大棚，建立如下圖的直角坐標(biāo)系后，拋物線的表達(dá)式為.1假設(shè)菜農(nóng)的身高是1.60米，他在不彎腰的情況下，橫向活動(dòng)的范圍是幾米？準(zhǔn)確到0.01米2大棚的寬度是多少？3大棚的最高點(diǎn)離地面幾米？2、某電腦公司開發(fā)出一種軟件，從研發(fā)到年初上市后，經(jīng)歷了從虧損到盈利的過程，如下圖的二次函數(shù)圖象部分刻畫了該公司年初以來累計(jì)利潤(rùn)萬元與銷售時(shí)間月之間的函數(shù)關(guān)系即個(gè)月累計(jì)潤(rùn)總和與之間的關(guān)系，根據(jù)圖象提供的信息解答以下問