借題發(fā)揮融會(huì)貫通

1、借題發(fā)揮融會(huì)貫通新課程標(biāo)準(zhǔn)中提倡“通過解決問題的反思，獲得解決問題的經(jīng)驗(yàn)”。數(shù)學(xué)教學(xué)離不開例題習(xí)題，而教學(xué)中如何選擇例題習(xí)題，從而挖掘教材潛在的智能價(jià)值，充分展示教學(xué)功能，并使課本知識有效地濃縮。通過不同角度、不同層次、不同情形、不同背景的變式，使一題多變，從而揭示不同知識點(diǎn)的聯(lián)系,使學(xué)生加深知識的理解與內(nèi)化，使知識系統(tǒng)化，克服某些思維定勢，發(fā)散學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、全面性和創(chuàng)新性，提高學(xué)生解決實(shí)際問題和應(yīng)變的能力。EGAC(原題展示)如圖，分別以厶ABC的邊AB、AC為一邊向外作正方形AEDB和正方形ACFG，連結(jié)CE、BG。求證：BG=CE【本題來源于浙教版八下課本第147頁作業(yè)

2、題第3題，考查正方形、三角形全等的知識，考查的是幾何圖形識別、分析以及推理的基礎(chǔ)知識和基本技能。此題潛在價(jià)值很大：可以添加探索新結(jié)論；可以改變條件，探索結(jié)論；可以通過圖形位置改變，讓圖形動(dòng)起來，變成動(dòng)態(tài)問題；也可以把正方形改為矩形、正三角形、圓，把三角形改為梯形；還可以將整個(gè)圖形引入直角坐標(biāo)系中和函數(shù)聯(lián)系起來。這樣的解題發(fā)揮，加深知識間的聯(lián)系，融會(huì)貫通。】變式一：條件不變、增加探究結(jié)論觀察圖形猜想CE與BG之間的位置關(guān)系，并證明你的猜想。(3)圖中哪個(gè)三角形是由哪個(gè)三角形變換得到？請說出是怎樣的變換?【本題在條件不變下繼續(xù)探索其它結(jié)論，使不同層次的學(xué)生得到不同得到發(fā)展，使學(xué)生經(jīng)歷獲得通過猜想到

3、驗(yàn)證的解決問題方法，培養(yǎng)學(xué)生探究能力與解決問題的能力】變式二：添加條件、探究新結(jié)論(4)如上圖，AB=11,AC=7,連結(jié)EG，求BC2EG2的值【本題應(yīng)用勾股定理知識解決，考查輔助線添法以及轉(zhuǎn)化思想?！烤毩?xí)1：(2007甘肅隴南中考題)四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接(1)求證：AE=CG；GFGF(2)觀察圖形，猜想AE與CG之間的位置關(guān)系，并證明你的猜想.變式三：改變條件，探究原結(jié)論把上題的“正方形ABCD、DEFG”改為“矩形ABCD、DEFG(長寬不等)”上面兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？若不成立，請問在什么條件下成立？【本題條件正方形改為矩形，探索前面兩個(gè)結(jié)論是否成立，若不成立，探索成

4、立的條件。兩個(gè)矩形長和寬成比例時(shí)，AE±CG可以運(yùn)用三角形相似證明，但AEmCG由全等到相似，使】學(xué)生把相關(guān)知識貫穿在一起相互比較，加深理解，使知識融會(huì)貫通。變式四：圖形旋轉(zhuǎn)，探究原結(jié)論(2) 如練習(xí)1題條件，正方形ABCD繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使AD與GD重合時(shí)如圖（1）,上述兩個(gè)結(jié)論是否成立？（4）正方形ABCD繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，如圖（2），上述兩個(gè)結(jié)論是否成立？（5）如圖（2）,連結(jié)BF,求CG:BF:AE的值.【讓題設(shè)條件與圖形“動(dòng)”起來，形成“一題多變”或“一圖多變”的系列化問題?？朔季S定勢和圖形位置定勢，使學(xué)生習(xí)慣于“開放”與“探究”的思維，揭示利用全等知識證明的本

5、質(zhì)，熟練地應(yīng)用知識和技能，準(zhǔn)確把握解題方向。第（5）小題連結(jié)BD、DF，構(gòu)造相似三角形，利用相似比求解，滲透轉(zhuǎn)化思想】練習(xí)2：（2008年義烏市中考題）如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)G與C、D不重合），以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連結(jié)BG，DE我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系：（1）猜想如圖1中線段BG、線段DE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系；將圖1中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順時(shí)針（或逆時(shí)針）方向旋轉(zhuǎn)任意角度：，得到如圖2、如圖3，并選取圖2證明你的判斷.圖1（2）將原題中正方形改為矩形（如圖46),且AB=a,

6、BC=b,CE=ka,CG=kb(a=b,k0)，第（1）題中得到的結(jié)論D畀，哪些不成立？若成立，以圖6由.5為例簡要說明理情形.請你通過觀察、測量等方法判斷中得到的結(jié)論是否仍然成立1(3)在第題圖5中，連結(jié)DG、BE，且a=3,b=2,k=，求BE2DG2的2值.變式五：根據(jù)圖形或變式圖形求面積如圖，A在線段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面積分別為7和11，則CDE的面積等于。1. 如圖，直線上有三個(gè)正方形a、b、c，若a、c的面積分別為5和11，則b的面積為()A.4B.6C.16D.55如圖，梯形ABCD中，AB/DC,厶DC+/BCD=90°，且DC=2AB，分別以D

7、A、AB、BC為邊向梯形外作正方形，其面積分別為SS2、S3，則S1,S2,S3之間的關(guān)系是.【本題根據(jù)幾何圖形求邊長與面積，充分滲透數(shù)學(xué)結(jié)合思想。第1題利用旋轉(zhuǎn)得到厶ADGDCDE的面積相等，第2題利用全等三角形和勾股定理，第3題根據(jù)角度和為直角作輔助線將梯形轉(zhuǎn)化為直角三角形，然后利用相似比將三個(gè)正方形的邊長轉(zhuǎn)化為直角三角形中，再利用勾股定理得到解答。】1、2、1、2、ABGH、BCEF、ACDI,練習(xí)3:在直線l上依次擺放著七個(gè)正方形斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是正方形的面積依次是SS?、S3、S4,練習(xí)4:如圖，分別以RtXBC的三邊向形外作正方形若直角邊BC=1,AC=2，則六邊形DE

8、FGHI的面積。變式六：圖形改變，探究定點(diǎn)定值問題作正方形CADF和CBEG，求證：不論點(diǎn)C的位置在AB的同側(cè)怎樣變化,AEB如圖，已知C為定線段AB外一動(dòng)點(diǎn)，分別以AB、BC為邊在ABC外線段DE的中點(diǎn)M為定點(diǎn)?！颈绢}是一道幾何定點(diǎn)定值問題，這類題目的題設(shè)和結(jié)論中既有不變的幾何量，也有變化的幾何量，注意挖掘那些隱含著的定量及變量，然后轉(zhuǎn)化為一般的幾何證明問題，這是分析和解決定點(diǎn)定值問題的著眼點(diǎn)?！孔兪狡撸鹤儞Q條件結(jié)論，提高探索能力等？如圖，在ABC中，/C=90。，以AC、BC為邊向ABC外分別作正方形CBHF和正方形ACDE,連結(jié)DF,過點(diǎn)C作CG1AB,垂足為G,且CG的反向延長線與DF

9、交于點(diǎn)I。11(1)求證：CI=AB=DF22(2) 當(dāng)ZACB老0。時(shí)，以上結(jié)論成立嗎？若不成立，關(guān)系又怎樣？(3)當(dāng)ZACB為鈍角，且分別向ABC內(nèi)作正方形CBHF和ACDE，問：此時(shí)線段CI與AB間的數(shù)量關(guān)1系如何？CI是否平分DF?線段CI與一AB是否相2【本題難度較大，它增加條件，要求解決新的問題，要求正確添加輔助線構(gòu)造平行四邊形與全等三角形,第1小題是常規(guī)題，第2、3小題又是探索題，在條件變化時(shí)，探究原結(jié)論是否成立或有什么新的關(guān)系?！縀變式八：改變條件，挖掘內(nèi)在聯(lián)系如圖，分別以厶ABC的邊AB、AC為一邊向外作正三角形ABD和正三角形ACE，連結(jié)CD、BE。(1)求證：BE=DC(

10、2)求直線猜想CD與直線BE的夾角【本題把向外作正方形改為正三角形，但本質(zhì)還是運(yùn)用三角形的全等知識解決，萬變不離其宗，設(shè)計(jì)目的是通過辨析，揭示問題的實(shí)質(zhì)，訓(xùn)練學(xué)生對知識的靈活運(yùn)用，使知識進(jìn)一步理解和內(nèi)化，培養(yǎng)思維的準(zhǔn)確性，提高解決問題的能力以及應(yīng)變能力?！縁E變式九：根據(jù)結(jié)論，探究條件如圖，在ABC中，分別以AB,AC,BC為邊在BC的同側(cè)作等邊三角形ABD,ACE,BC(1)求證：四邊形DAEF是平行四邊形；(2)探究下列問題當(dāng)ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形DAEF是矩形？ 當(dāng)ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形DAEF是菱形？當(dāng)ABC滿足什么條件時(shí)，以D,A,E,F為頂點(diǎn)的四邊形不存在?【本題把由兩

11、邊向外作正三角形改為由三邊向外作正三角形，考查平行四邊形、矩形、菱形以及三角形等知識，是一道幾何綜合題?？疾閷W(xué)生對知識的綜合運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生分析問題能力和邏輯推理能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的全面性與創(chuàng)新性，滲透分類與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法?！緼D練習(xí)5:(2008年廣東佛山市中考題)如圖，ACD.ABE、BCF均為直線BC同側(cè)的等邊三角形(1)當(dāng)AB執(zhí)C時(shí)，證明四邊形ADFE為平行四邊形；當(dāng)AB=AC時(shí)，順次連結(jié)A、D、F、E四點(diǎn)所構(gòu)成的圖形有哪幾類？直接寫出構(gòu)成圖形的類型和相應(yīng)的條件變式十：添加背景材料，與函數(shù)相結(jié)合如圖，在RtXBC中，/BAC=90°ACB=30°,BC=2，四邊形

12、ABDE和ACFG均為正方形.(1)以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC與x軸重合，畫出直角坐標(biāo)系，并求點(diǎn)E、F、G的坐標(biāo).1(2)在(1)的圖形中，如果點(diǎn)A是一次函數(shù)yx2上的一個(gè)動(dòng)2點(diǎn)，點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，正方形ABCD和AOEF的面積和最小？最小面積是多少？(3) 在(2)的情況下，求經(jīng)過A、B、O三點(diǎn)的拋物線的解析式?！颈绢}添加直角坐標(biāo)系，與函數(shù)結(jié)合，是一道代數(shù)與幾何的綜合題，又是一道解決動(dòng)態(tài)的問題，充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和建函數(shù)模型求面積和的最小值，考查了解直角三角形，圖形與坐標(biāo)、一次函數(shù)、二次函數(shù)以及動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題等知識，訓(xùn)練學(xué)生對知識的靈活運(yùn)用，培養(yǎng)思維的準(zhǔn)確性，培養(yǎng)學(xué)生綜合分析問題能力、處理實(shí)際問

13、題能力和應(yīng)變能力，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終目的是學(xué)以致用?！烤毩?xí)6:如圖，OM與y軸相切于點(diǎn)C,與x軸交于A,B兩點(diǎn)，A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一元二次方程x2-4x3=0的兩個(gè)根，以AB為邊向x軸下方作正方形.(1)tan4BC=?正方形ABDE的邊上是否存在點(diǎn)P，使ABPsoc，求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo).(3)若OM以1個(gè)單位每秒的速度豎直向下勻速移動(dòng)，當(dāng)OM與正方形ABDE重疊部分的面積等于OM面1積的一時(shí)，求移動(dòng)的時(shí)間.6感悟與反思：針對課本的習(xí)題從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景的情況下變式，添加探索結(jié)論；改變5/6條件；改變問題形式；圖形位置改變，讓圖形動(dòng)起來，變成動(dòng)態(tài)問題；把正方形改為矩形、正三角形、圓，把三角形改為梯形；將整個(gè)圖形引入直角坐標(biāo)系中和函數(shù)聯(lián)系起來。通過這