高等數(shù)學一節(jié)常數(shù)項級數(shù)的概念及其性質ppt課件

1、一、問題的提出一、問題的提出圓的面積圓的面積A AR正六邊形的面積正六邊形的面積正十二邊形的面積正十二邊形的面積1a21aa 正正 邊形的面積邊形的面積n23 naaa 21 naaaA21定義一：定義一： nuuuu321 則則稱為無窮級數(shù)稱為無窮級數(shù). .普通項普通項.121 niinnuuuus定義二：級數(shù)的第定義二：級數(shù)的第n n項部分和：項部分和：二、常數(shù)項級數(shù)的概念二、常數(shù)項級數(shù)的概念 1nnu,., 21uu設設給給定定一一個個數(shù)數(shù)列列,lim )1(ssnn 若若.1收斂收斂稱級數(shù)稱級數(shù) nnu 1,nnus的的和和為為則則稱稱此此極極限限值值;1 nnsu記作記作,lim)2

2、(不存在不存在若若nns .1發(fā)散發(fā)散則稱級數(shù)則稱級數(shù) nnu定義三：定義三：解解:,1|)1(時時當當 r12 nnarararas,1)1(rran ,1時時當當 r, 0lim nnr由由 nnslim則則,1時時當當 r,lim nnr由由,lim nns則則收斂；收斂；發(fā)散；發(fā)散；., 0, )(1211為為常常數(shù)數(shù)其其中中的的收收斂斂性性或或稱稱等等比比級級數(shù)數(shù)討討論論幾幾何何級級數(shù)數(shù)raarararaarnnn 例例1,1ra ,1)2(時時當當 r,1時時當當 r,1時時當當 r, nasn發(fā)散；發(fā)散；, aaaa級級數(shù)數(shù)變變?yōu)闉?lim不不存存在在nns 發(fā)散；發(fā)散；:11

3、nnar等等比比級級數(shù)數(shù).,11;,1 發(fā)發(fā)散散時時當當和和為為收收斂斂時時當當rrar.)1(11的的收收斂斂性性討討論論級級數(shù)數(shù) nnn)1(1: nnun由由解解:例例2nn )1(,111 nn ns知：知：),( 1 n111 n,故原級數(shù)收斂故原級數(shù)收斂. 1且和等于且和等于),111(.)3121()211( nn1lim nns.)11ln(1的收斂性的收斂性討論級數(shù)討論級數(shù) nn解解:例例3)11ln(.)311ln()211ln()11ln(nsn .故原級數(shù)發(fā)散故原級數(shù)發(fā)散nns limnn1ln.34ln23ln2ln )1.34232ln(nn ).1ln( n)1l

4、n(limnn 三、級數(shù)的根本性質三、級數(shù)的根本性質.,011斂斂散散性性相相同同與與級級數(shù)數(shù)無無關關且且與與若若 nnnnauuna性質性質1 1證明：證明：,.21nnuuus .21nnauauauq ,nnasq 則則無無關關時時，且且與與當當na0 收收斂斂，收收斂斂級級數(shù)數(shù) 11nnnnauu,11發(fā)發(fā)散散發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù) nnnnauu.即即斂斂散散性性相相同同,11均均收收斂斂與與若若級級數(shù)數(shù) nnnnvu性質性質2 2 1)(nnnvu則級數(shù)則級數(shù)也也收收斂斂，且且.)(111 nnnnnnnvuvu證明：證明：,1 nnus設設,1 nnvq則則)(lim)(lim111

5、niiniinniiinvuvu niinniinvu11limlimqs .11 nnnnvu 1)(nnnvu即即 收斂級數(shù)可以逐項相加和逐項相減收斂級數(shù)可以逐項相加和逐項相減. .,11均均收收斂斂與與若若級級數(shù)數(shù) nnnnvu性質性質2 2 1)(nnnvu則則級級數(shù)數(shù)也收斂，且也收斂，且.)(111 nnnnnnnvuvu證明證明: :,21 nkkkuuu對對于于nkkknuuu 21 ,kknss )(limlimkknnnnss 則則.kss 性質性質3 3 在級數(shù)在級數(shù) 中恣意去掉、加上、改動有限項中恣意去掉、加上、改動有限項, , 級數(shù)的收斂性不變級數(shù)的收斂性不變. . 1

6、nnu以去掉前以去掉前 k k 項為例項為例,1收斂收斂若級數(shù)若級數(shù) nnu證明證明,1sunn 設設 nu由由于于, 0lim nnu則則,limssnn 則則,1 nnss)(limlim1 nnnnnssu得得1limlim nnnnssss . 0 性質性質4 4.其其逆逆不不真真關于級數(shù)收斂的必要條件的闡明：關于級數(shù)收斂的必要條件的闡明：1.1.假設級數(shù)的普通項不趨于零假設級數(shù)的普通項不趨于零, ,那么級數(shù)發(fā)散；那么級數(shù)發(fā)散；,1)1(4332211 nnn例例如如發(fā)散發(fā)散2.2.必要條件不是充分條件必要條件不是充分條件: :)11ln(limlimnunnn 有有 ,例例如如.但但

7、級級數(shù)數(shù)是是發(fā)發(fā)散散的的 1)11ln(nn級數(shù)級數(shù)0 解解:.)(,111的收斂性的收斂性討論討論發(fā)散發(fā)散收斂收斂已知已知 nnnnnnnbaba.)(1均發(fā)散均發(fā)散 nnnba.)(1為為例例加加以以證證明明以以 nnnba,)(1收斂收斂假設假設 nnnba:,知知則則由由收收斂斂級級數(shù)數(shù)的的性性質質 1)(nnnnaba 1nnb,收斂收斂.1發(fā)散矛盾發(fā)散矛盾與與 nnb.)1收收斂斂（故故 nnnba常數(shù)項級數(shù)的根本概念常數(shù)項級數(shù)的根本概念(部分和部分和,收斂收斂,發(fā)散發(fā)散);收斂級數(shù)的性質；收斂級數(shù)的性質；級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件;級數(shù)的根本審斂法：定義法級數(shù)的根本審斂法：定義法.概念及其性質概念