數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)02多元函數(shù)與靜態(tài)分析

1、多變量函數(shù)微分學(xué)與矩陣?yán)碚撟兞拷?jīng)濟(jì)學(xué)中的實(shí)際問題，往往由許多因素組成?？煞譃閮深悾?) 原因因素，數(shù)學(xué)上稱作自變量，經(jīng)濟(jì)學(xué)上稱作外生變量（不可控因素）；2) 結(jié)果因素，數(shù)學(xué)上稱作因變量，經(jīng)濟(jì)學(xué)上稱作內(nèi)生變量（可控因素，即模型的解）。函數(shù)我們主要研究?jī)?nèi)生變量與外生變量之間的關(guān)系，數(shù)學(xué)上用因變量與自變量之間的函數(shù)關(guān)系來(lái)描述。單變量函數(shù)的微分學(xué)及應(yīng)用經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際概念定義為一個(gè)經(jīng)濟(jì)量x在原有值x0的基礎(chǔ)上再增加一個(gè)單位而導(dǎo)致的另一個(gè)經(jīng)濟(jì)量f(x)的增量。設(shè)y = f(x)是定義在集合S上的一元函數(shù)，導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)研究中稱為邊際。利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行經(jīng)濟(jì)分析，簡(jiǎn)稱邊際分析。例如，需求量Qd = f (P)對(duì)價(jià)格P

2、的導(dǎo)數(shù)稱為需求對(duì)價(jià)格的邊際需求量。勞動(dòng)的邊際產(chǎn)量是指再雇用一個(gè)單位的勞動(dòng)所增加的產(chǎn)量。假設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為Q = F (L)，當(dāng)前勞動(dòng)為L(zhǎng)0個(gè)單位，則勞動(dòng)的邊際產(chǎn)量為例如，設(shè)有生產(chǎn)函數(shù)Q = F (L) = L1/2 / 2， L0 =100。計(jì)算知F (L0) = F (100) = 0.025，F(xiàn) (101)-F (100) = 0.0249?？梢妼?dǎo)數(shù)F¢ (100)是邊際產(chǎn)量F (101)- F (100)的一個(gè)很好的近似值Lagrangian中值定理若f(x)在a，b上連續(xù)，在(a，b)上可導(dǎo)，則至少存在一個(gè)(a，b)使下式成立f (b)- f (a) =(b-a)Taylor中值

3、定理設(shè)(a，b)，f(x)在(a，b)內(nèi)有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)(a，b)時(shí)，存在在x0與x之間，使得下式成立其中，是的高階無(wú)窮小。單調(diào)性、凸凹性、極值f(x)單調(diào)的充分條件設(shè)函數(shù)f(x)在a，b上連續(xù)，在(a，b)上可導(dǎo)，則(1) f(x)在a，b上嚴(yán)格單調(diào)增加的充分條件是在(a，b)上恒有f(x) > 0；(2) f(x)在a，b上嚴(yán)格單調(diào)減少的充分條件是在(a，b)上恒有f(x) < 0。f (x)單調(diào)的充分條件若對(duì)任意x1，x2(a，b)，f(x2) (或)f(x1)+ f (x1) ( x2- x1)，則f (x)在(a，b)上單調(diào)增加（減少）。凸凹性定義 （1）稱函數(shù)

4、f (x)在(a，b)上是凸的（或凹的），若對(duì)任意0，1，對(duì)任意x1，x2(a，b)，恒有下式成立f (x1 + (1-) x2) (或)f (x1) + (1-) f (x2)（2）若上式中的嚴(yán)格不等式恒成立，則稱函數(shù)f(x)是(a，b)上的嚴(yán)格凸（或凹）函數(shù)。由定義易知，嚴(yán)格凸（或凹）函數(shù)一定是凸（或凹）函數(shù)。凸凹性判斷法判定法之一（利用一階導(dǎo)數(shù)）設(shè)函數(shù)f (x)在(a，b)上可導(dǎo)，則f (x)在(a，b)上為凸（或凹）函數(shù)的充要條件是若對(duì)任意x1，x2(a，b)，f(x2) (或)f(x1)+ f (x1) ( x2- x1)，當(dāng)上面的嚴(yán)格不等式對(duì)任意x1，x2(a，b)且x1x2成立時(shí)

5、，即為嚴(yán)格凸（或凹）函數(shù)的充要條件。判定法之二（利用二階導(dǎo)數(shù)）若函數(shù)f(x)在(a，b)上是二階連續(xù)可微的，則f (x)是(a，b)上的凸（或凹）函數(shù)的充要條件是對(duì)任意x(a，b)有f (x)0 (或f(x)0)，而f (x)是(a，b)上的嚴(yán)格凸（或凹）函數(shù)的充分條件是上面的嚴(yán)格不等式成立。極值的必要條件設(shè)函數(shù)f (x)在x0可導(dǎo)，且在x0取得極值，則f (x0) = 0幾何解釋：曲線在函數(shù)取得極值的點(diǎn)x0處的切線是水平的。極值的充分條件(I)（一階充分條件）設(shè)f(x)在x0的一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)且f(x0) = 0。（1）若x取x0左側(cè)鄰近的值時(shí)，f(x)的符號(hào)恒為正；當(dāng)x取x0右側(cè)鄰近的值時(shí)，

6、f(x)的符號(hào)恒為負(fù)，則f(x)在x0處取得極大值;（2）若x取x0左側(cè)鄰近的值時(shí)，f(x)的符號(hào)恒為負(fù)；當(dāng)x取x0右側(cè)鄰近的值時(shí)，f(x)的符號(hào)恒為正，則f(x)在x0處取得極小值。（二階充分條件）設(shè)f(x0) = 0，f (x)在x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f(x0)0。（1）當(dāng)f(x0) < 0時(shí)，f (x)在x0處取得極大值；（2）當(dāng)f(x0) > 0時(shí)，f (x)在x0處取得極小值。（N 階充分條件）設(shè)f(x0) = f(x0) = f(N-1)(x0) = 0，f (N )(x0)0。（1）當(dāng)N為偶數(shù)且f (N )(x0) < 0時(shí)，f (x)在x0處取得極大值；（2）當(dāng)

7、N為偶數(shù)且f (N )(x0) > 0時(shí)，f (x)在x0處取得極小值；（3）當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，(x0，f (x0) 為拐點(diǎn)。Weierstrass定理：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值。經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用供求理論需求向下傾斜規(guī)律觀察由需求表得到的需求曲線Qd = f (p)，它是向下傾斜的；換言之，需求量與價(jià)格成反向變動(dòng)。需求彈性價(jià)格的變化如何影響需求的變化？可用需求函數(shù)Qd = f (p)關(guān)于價(jià)格p的導(dǎo)數(shù)f(p)來(lái)衡量，f(p)稱作邊際需求。邊際需求是否受價(jià)格和需求量的單位的影響？經(jīng)濟(jì)學(xué)者希望需求對(duì)價(jià)格的變化的靈敏度不受所選擇單位的影響，該靈敏度可用來(lái)比較具有不同貨幣、不同重量和體積單位的

8、不同國(guó)家的消費(fèi)行為。解決辦法是用一個(gè)經(jīng)濟(jì)量的變化的百分率而不是它的增量來(lái)度量該量的變化。設(shè)某個(gè)經(jīng)濟(jì)量q的初值是q0，后變化為q1。則用(q1-q0)/q0描述q的變化，而不用q = q1-q0。前者不依賴于q的度量單位，稱作q的變化的百分率，也稱之為q的增長(zhǎng)率。彈性用兩個(gè)經(jīng)濟(jì)量變化的百分率的比值來(lái)刻劃一個(gè)量量對(duì)另一個(gè)量的影響程度。這個(gè)比值稱作彈性。需求的價(jià)格彈性Edp分類完全無(wú)彈性不管價(jià)格如何變動(dòng)，需求量固定不變。缺乏彈性價(jià)格的任何變動(dòng)，會(huì)引起需求量較小程度的變化；或1%價(jià)格的變化導(dǎo)致少于1%需求量的變化。單一彈性價(jià)格的任何變動(dòng)，會(huì)引起需求量同等程度的變化；或需求變化的百分率與價(jià)格變化的百分率

9、完全相同。富有彈性價(jià)格的任何變動(dòng)會(huì)引起需求量較大程度的變化；或1%價(jià)格的變化導(dǎo)致大于1%需求量的變化。完全彈性價(jià)格的任何變動(dòng)，會(huì)引起需求量無(wú)限的變動(dòng)。線性需求函數(shù)的點(diǎn)彈性例：線性函數(shù)的彈性例：冪函數(shù)的彈性需求價(jià)格彈性與消費(fèi)者總支出的關(guān)系考慮完全壟斷市場(chǎng)。當(dāng)某種商品的價(jià)格p上升，消費(fèi)者總支出pQd將如何變化呢？變化是不確定的。這是因?yàn)镻和Qd反向變化。但有下面的結(jié)論。1) 價(jià)格的增加導(dǎo)致總支出的增加的充要條件是商品的需求缺乏彈性；2) 價(jià)格的增加導(dǎo)致總支出的減少的充要條件是商品的需求富有彈性;3) 無(wú)論價(jià)格上升或下降，總支出不變的充要條件是商品的需求是單一彈性。證明：設(shè)商品的需求函數(shù)為Q = f

10、(p)，則總支出為E(p) =pQ。進(jìn)而需求收入彈性指消費(fèi)者收入的相對(duì)變動(dòng)所引起的需求量的變動(dòng)。供給價(jià)格彈性（類似）多變量函數(shù)微分法及其應(yīng)用生產(chǎn)、成本、利潤(rùn)、效用、需求函數(shù)等往往是一組經(jīng)濟(jì)變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)，對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)上的多元函數(shù)。定義從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)是指一個(gè)規(guī)則，它對(duì)A中任一元素指定B中唯一的元素與之對(duì)應(yīng)。記作f：AB。當(dāng)集A是Rn中的一個(gè)子集，集合B是R中的一個(gè)子集時(shí)，則稱f是一個(gè)定義在集合A上的多元函數(shù)。經(jīng)濟(jì)學(xué)中的例子f：R n R（實(shí)值函數(shù)）例1 初級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)：需求函數(shù)是一元函數(shù)Qd = F (P)；中高級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)：某商品的需求量不僅受自己價(jià)格的影響，還要考慮受市場(chǎng)中

11、其它商品的價(jià)格和收入I的影響。如商品1的的需求量Q1不僅受自己價(jià)格p1的影響，還要受市場(chǎng)中商品2的價(jià)格p2和收入I 的影響，數(shù)學(xué)上表示為：Q1 = f (p1，p2，I) 例如，常數(shù)彈性需求函數(shù)：f：R nR m（向量值函數(shù)）用n種投入生產(chǎn)的m種產(chǎn)品的廠商的生產(chǎn)函數(shù)表示為f：(I1，I2，In)(O1，O2，Om)幾個(gè)特殊函數(shù) 線性函數(shù)定義3.1.2 稱f：R k R m是一個(gè)線性函數(shù)或線性變換，若對(duì)任意的x，yRk，rRm有，f (x + y) = f (x) + f ( y)，f (rx) = r f (x)。線性函數(shù)f：R kR可表示為線性函數(shù)f：R kRm可表示為f (x) = Ax。

12、其中Amk，x = (x1，x2，xk)T二次型：多元函數(shù)的微分偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法將x1，x22，xi-1，xi1，xn看作常數(shù)，將xi看作變量，則f (x1， x2，xn)是xi的一元函數(shù)，求此一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即得偏導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)解釋：邊際邊際產(chǎn)量生產(chǎn)函數(shù)Q = F (K，L)，則保持當(dāng)前不變（L = L*）時(shí)，產(chǎn)出Q關(guān)于資本的變化率邊際效用設(shè)產(chǎn)品1，2，n的效用函數(shù)為U (x1， x2， xn)，則該函數(shù)在點(diǎn)（x1*， x2*， xn*）處關(guān)于xi的偏導(dǎo)數(shù)可估計(jì)在消費(fèi)水平(x1*， x2*， ¼， xn*)的基礎(chǔ)上再追加一個(gè)單位的產(chǎn)品i而增加的效用，叫產(chǎn)品i的邊際效用，記作MUi(x

13、1*， x2*， ¼， xn*)。彈性需求價(jià)格彈性設(shè)商品1的需求函數(shù)Q1 = Q1(p1，p2，I)，求商品1的需求價(jià)格彈性需求交叉價(jià)格彈性研究一種商品的需求對(duì)其它商品價(jià)格變化的靈敏度全微分定義 函數(shù)z = f (x1， x2，xn)可微的條件定理 3.2.1 (必要條件)函數(shù)f (x1， x2，xn)可微，則該函數(shù)在點(diǎn)(x1， x2，xn)的偏導(dǎo)數(shù)必定存在，定理 3.2.2 (充分條件)如果函數(shù)f (x1， x2，xn)在點(diǎn)(x1， x2，xn)的偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，則該函數(shù)f (x1， x2)在點(diǎn)（x1*， x2*）處可微，且函數(shù)f (x1， x2，xn)的全微分為Jacobian

14、導(dǎo)數(shù)與梯度f(wàn)的Jacobian導(dǎo)數(shù)定義為例：，其中梯度：F：RnRm的Jacobian導(dǎo)數(shù)設(shè)x =(x1，x2，xn)Rn，fi (x) R，F(xiàn) (x) = (f1(x1，x2，xn)，f2 (x1，x2，xn)，fm (x1，x2，xn)T，則F在x*處的Jacobian導(dǎo)數(shù)定義為高階偏導(dǎo)數(shù)與Hessian矩陣設(shè)有函數(shù)z = f (x1， x2，xn)當(dāng)f連續(xù)可微時(shí)，Hessian矩陣是對(duì)稱矩陣。乘積法則1） 設(shè)f(x)=g(x)h(x)，則。-2） f (x) = g (x)·h (x)：R m ®R，這里g (x)： R m ®R n，h (x)：R m &

15、#174;R n則f (x)的Jacobian的導(dǎo)數(shù)為3） f (x) =a (x) g (x)：R®R n，這里a (x)：R ®R，g (x)：R ®R n則f (x)的Jacobian的導(dǎo)數(shù)為4） 已知f (x) = h (x)g(x)：Rm ®Rn，這里g(x)：Rm ®Rn， h (x)：Rm ®R則f (x)的Jacobian的導(dǎo)數(shù)為復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則多元向量值復(fù)合函數(shù)定理3.4.1 設(shè)g：Rs ®Rm，f：Rm ®Rn可微，則復(fù)合函數(shù) f (g(x)：Rs ®Rn也可微，且Dxf (g(x)

16、= Df (g(x)Dg(x),這里Df(g(x)是n´m階矩陣，表示函數(shù)f(·)在g(x)處的Jacobian導(dǎo)數(shù)；Dg(x)是m´s階矩陣，表示g(x)在x處的Jacobian導(dǎo)數(shù)；Dxf(g(x)是n´s階矩陣隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)函數(shù)的表達(dá)方式顯式表達(dá)法在等號(hào)的左端僅含有因變量的符號(hào)，而右端是含有自變量的式子，用這種方式表達(dá)的函數(shù)叫做顯函數(shù)。例如生產(chǎn)函數(shù)Q = K3/ 4L1/ 4隱式表達(dá)法非顯式表達(dá)的函數(shù)稱為隱函數(shù)。方程x + y3-1 = 0表示一個(gè)函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)自變量x在區(qū)間內(nèi)取值時(shí)，由這個(gè)方程可確定變量y的唯一的值與之對(duì)應(yīng)。隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

17、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的必要性隱函數(shù)求導(dǎo)法（一個(gè)方程）隱函數(shù)求導(dǎo)法（隱函數(shù)定理）方程組情形靜態(tài)分析（均衡分析）均衡均衡是一組選定的相關(guān)的變量，經(jīng)過彼此調(diào)整以使其所構(gòu)成的模型不存在任何內(nèi)在的變化趨勢(shì)?！斑x定的”一詞強(qiáng)調(diào)一個(gè)事實(shí)確實(shí)存在一些變量，由于分析者的選擇而未被包括在模型中。因此，這里討論的均衡只與所選擇的特定的變量集合有關(guān)。若模型擴(kuò)大后包括一些其它變量，則適合原來(lái)較小模型的均衡狀態(tài)不再適用擴(kuò)大后的模型?！跋嚓P(guān)的”一詞意味著為了獲得均衡，模型中的所有變量必須同時(shí)處于靜止?fàn)顟B(tài)；此外，每個(gè)變量的靜止?fàn)顟B(tài)必須與其它變量的靜止?fàn)顟B(tài)相容；否則，有些變量將改變，進(jìn)而引起其它變量發(fā)生連鎖變化，這樣不能說存在平衡。“內(nèi)在

18、的”意味著在定義均衡時(shí)，所涉及的靜止?fàn)顟B(tài)僅以模型中的內(nèi)部力量的平衡為基礎(chǔ)，而假設(shè)外部因素不變。這意味著參數(shù)和外生變量被視為常數(shù)。當(dāng)外部因素確實(shí)改變時(shí)，可能導(dǎo)致定義在新參數(shù)值基礎(chǔ)上的新均衡；但在定義新均衡時(shí)，又假定新參數(shù)值保持不變。靜態(tài)學(xué)本質(zhì)上，一個(gè)特定模型的均衡，是以缺乏變化趨勢(shì)為特征的一種狀態(tài)。鑒于這個(gè)原因，把均衡分析（更確切地說，均衡狀態(tài)是什么的研究）叫做靜態(tài)學(xué)均衡分類目的均衡（goal equilibrium）期望的那類均衡，即優(yōu)化問題中處理的均衡叫做目的均衡非目的均衡（nongoal equilibrium）這種均衡并不是由于對(duì)特定的目標(biāo)的刻意追求，而是由于非個(gè)人的或超人的經(jīng)濟(jì)力量的相

19、互作用和調(diào)節(jié)。例如，在給定供求條件下由市場(chǎng)達(dá)到的均衡，在給定消費(fèi)和投資方式下的國(guó)民收入的均衡，均屬此例。幾個(gè)靜態(tài)分析模型在靜態(tài)均衡模型中，標(biāo)準(zhǔn)的問題是求出滿足模型均衡條件的一組內(nèi)生變量的值。這是因?yàn)槲覀円坏┐_定了這組值，實(shí)際上也就確定了均衡條件。局部市場(chǎng)均衡：它是指在一個(gè)孤立市場(chǎng)中的價(jià)格決定模型。線性模型例 標(biāo)準(zhǔn)的假設(shè)是：當(dāng)且僅當(dāng)超額需求為零（Qd = Qs），即市場(chǎng)出清時(shí)，市場(chǎng)就實(shí)現(xiàn)均衡。一般市場(chǎng)均衡上面討論了孤立的市場(chǎng)模型，在那里商品的Qd和Qs僅僅是該商品價(jià)格的函數(shù)。然而在現(xiàn)實(shí)世界中，沒有一種商品是這樣孤立存在的，每一種商品都有許多替代品和互補(bǔ)品。因此，為了更切合實(shí)際地描述一個(gè)商品需求函

20、數(shù)，不但應(yīng)考慮到商品需求量受自身價(jià)格的影響，還應(yīng)考慮受全部或大部分相關(guān)商品的需求量和價(jià)格的影響。對(duì)供給函數(shù)應(yīng)作類似的考慮。但是，一旦其它商品價(jià)格和需求量被納入考慮范圍，模型的結(jié)構(gòu)必須擴(kuò)大，以便能求出其它商品的均衡價(jià)格和均衡數(shù)量。因此，多種商品的價(jià)格和數(shù)量必須一并以內(nèi)生變量納入模型。同時(shí)考慮幾種相關(guān)的商品時(shí)，均衡條件為模型中的每一個(gè)商品都不存在超額需求。因?yàn)橹灰幸环N商品存在超額需求，該商品的價(jià)格就需調(diào)整，進(jìn)而影響到其它商品的需求數(shù)量和供給數(shù)量，從而導(dǎo)致所有商品的價(jià)格變化?？傊?，n種商品的市場(chǎng)模型的均衡條件為：每個(gè)商品的需求量與供給量相等。一般市場(chǎng)均衡求解：解的存在性和唯一性若模型（2）中的系數(shù)

21、都是數(shù)值的，則模型的解（變量的均衡值）也將是數(shù)值的。一般地，若模型中的系數(shù)像（1）那樣含有參數(shù)，則模型的解（變量的均衡值）也將含有參數(shù)。靜態(tài)分析的限制在前面討論市場(chǎng)的靜態(tài)均衡時(shí)，我們主要關(guān)心的是求模型中內(nèi)生變量的均衡值。在這個(gè)分析中，我們忽略了一個(gè)基本點(diǎn)：就是最終達(dá)到均衡的變量的調(diào)整和再調(diào)整的實(shí)際過程。我們僅僅考慮了何處達(dá)到均衡狀態(tài)，但對(duì)何時(shí)達(dá)到均衡狀態(tài)以及達(dá)到均衡狀態(tài)的過程中會(huì)出現(xiàn)何種問題并不關(guān)心。因此靜態(tài)分析未考慮兩個(gè)重要問題1）由于調(diào)整過程可能需很長(zhǎng)時(shí)間才能完成，所以若模型中的外部力量（外生變量）在此期間經(jīng)歷著某些變化，那么在特定均衡分析框架內(nèi)確定的這個(gè)均衡將在它最終達(dá)到之前，就失去了其實(shí)際意義。這就是均衡狀態(tài)的轉(zhuǎn)移問題。2）即使允許調(diào)整過程不受干擾地進(jìn)行下去，均衡分析中設(shè)計(jì)出的均衡狀態(tài)可能不能共同達(dá)到這就是所謂的“不穩(wěn)定均衡”，其特征是調(diào)整過程會(huì)驅(qū)使變量逐漸偏離而不是逐漸趨近于均衡狀態(tài)均衡狀態(tài)隨著外部變化的轉(zhuǎn)移（shift）的分析，屬于一類分析，叫比較靜態(tài)分析。均衡的可達(dá)性和穩(wěn)定性問題屬于動(dòng)態(tài)分析的范疇動(dòng)態(tài)分析將在數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)II中介紹顯然，這兩種分析可彌補(bǔ)均衡分析的不足。比較靜態(tài)分析的本質(zhì)什么是比較靜態(tài)分析就是把與不同組的參數(shù)和（或）外生變量的值對(duì)應(yīng)的不同的均衡狀態(tài)進(jìn)行比較。出于此目的，總假設(shè)給定一個(gè)初始均衡狀態(tài)。如在孤立市場(chǎng)模型中，初始均