2.4正態(tài)分布04769PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)12.4正態(tài)分布正態(tài)分布04769引入引入 正態(tài)分布在統(tǒng)計(jì)學(xué)中是很重要的分布。我們知正態(tài)分布在統(tǒng)計(jì)學(xué)中是很重要的分布。我們知道，離散型隨機(jī)變量最多取可列個(gè)不同值，它等于道，離散型隨機(jī)變量最多取可列個(gè)不同值，它等于某一特定實(shí)數(shù)的概率可能大于某一特定實(shí)數(shù)的概率可能大于0，人們感興趣的是，人們感興趣的是它取某些特定值的概率，即感興趣的是其分布列；它取某些特定值的概率，即感興趣的是其分布列；連續(xù)型隨機(jī)變量可能取某個(gè)區(qū)間上的任何值，它等連續(xù)型隨機(jī)變量可能取某個(gè)區(qū)間上的任何值，它等于任何一個(gè)實(shí)數(shù)的概率都為于任何一個(gè)實(shí)數(shù)的概率都為0，所以通常感興趣的，所以通常感興趣的是它落在某個(gè)區(qū)間的概率。是它落在某

2、個(gè)區(qū)間的概率。離散型隨機(jī)變量的概率離散型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律用分布列描述，而連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律用分布列描述，而連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律用密度函數(shù)（曲線）描述。分布規(guī)律用密度函數(shù)（曲線）描述。復(fù)習(xí)100個(gè)產(chǎn)品尺寸的個(gè)產(chǎn)品尺寸的頻率分布直方圖頻率分布直方圖25.23525.29525.35525.41525.47525.535 產(chǎn)品 尺寸（mm)頻率組距復(fù)習(xí)200個(gè)產(chǎn)品尺寸的頻率分布直方圖25.23525.29525.35525.41525.47525.535 產(chǎn)品 尺寸（mm)頻率組距復(fù)習(xí)樣本容量增大時(shí)頻率分布直方圖頻率組距產(chǎn)品 尺寸(mm)總體密度曲線復(fù)習(xí)產(chǎn)品 尺寸(mm)總體

3、密度曲線高爾頓板高爾頓板11總體密度曲線0YX產(chǎn)品 尺寸(mm) 產(chǎn)品尺寸的總體密度曲線就是產(chǎn)品尺寸的總體密度曲線就是(或近似地是或近似地是)以下函數(shù)的圖象：以下函數(shù)的圖象：22()21( )2xf xe),(x1 、正態(tài)、正態(tài)(分布密度分布密度)曲線的定義：曲線的定義：函數(shù)函數(shù) 式中的實(shí)數(shù)式中的實(shí)數(shù)、(0)是參數(shù)，分別表示總體的是參數(shù)，分別表示總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差，稱平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差，稱f( x)的圖象稱為的圖象稱為正態(tài)曲線正態(tài)曲線)(,xcdab平均數(shù)XY 若用若用X表示落下的小球第表示落下的小球第1次與高爾頓板底部接觸次與高爾頓板底部接觸時(shí)的坐標(biāo)時(shí)的坐標(biāo),則則X是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量

4、.X落在區(qū)間落在區(qū)間(a,b的概率的概率為為:badxxbXaP)()(,22()21( )2xf xe),(x)(,x2.正態(tài)分布的定義正態(tài)分布的定義:一般地，如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)一般地，如果對(duì)于任何實(shí)數(shù) ab,隨機(jī)變量隨機(jī)變量X滿滿足足:badxxbXaP)()(, 則稱隨機(jī)變量則稱隨機(jī)變量X 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布. 正態(tài)分布由參數(shù)、唯一確定.正態(tài)分布記作N（ ，2）.其圖象稱為其圖象稱為正態(tài)曲線正態(tài)曲線. 如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則記服從正態(tài)分布，則記作作 X N（ ，2） 經(jīng)驗(yàn)表明，一個(gè)隨機(jī)變量如果是眾多經(jīng)驗(yàn)表明，一個(gè)隨機(jī)變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素

5、作的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似的服從正太用結(jié)果之和，它就服從或近似的服從正太分布。例如，高爾頓板實(shí)驗(yàn)中，小球在下分布。例如，高爾頓板實(shí)驗(yàn)中，小球在下落過(guò)程中要與眾多小木塊發(fā)生碰撞，每次落過(guò)程中要與眾多小木塊發(fā)生碰撞，每次碰撞的結(jié)果使得小球隨機(jī)地向左或向右下碰撞的結(jié)果使得小球隨機(jī)地向左或向右下落，因此小球第一次與高爾頓板底部接觸落，因此小球第一次與高爾頓板底部接觸時(shí)的坐標(biāo)時(shí)的坐標(biāo)X是眾多隨機(jī)碰撞的結(jié)果，所以它是眾多隨機(jī)碰撞的結(jié)果，所以它近似的服從正太分布。近似的服從正太分布。 在實(shí)際遇到的許多隨機(jī)現(xiàn)象都服從或近似在實(shí)際遇到的許多隨機(jī)現(xiàn)象都服從或近似服從正態(tài)分布：

6、服從正態(tài)分布：在生產(chǎn)中在生產(chǎn)中，在正常生產(chǎn)條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)；在正常生產(chǎn)條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)； 在測(cè)量中在測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果；測(cè)量結(jié)果； 在生物學(xué)中在生物學(xué)中，同一群體的某一特征；同一群體的某一特征； 在氣象中在氣象中，某地每年七月份的平均氣溫、平均濕度某地每年七月份的平均氣溫、平均濕度 以及降雨量等，水文中的水位；以及降雨量等，水文中的水位； 總之，正態(tài)分布廣泛存在于自然界、生總之，正態(tài)分布廣泛存在于自然界、生產(chǎn)及科學(xué)技術(shù)的許多領(lǐng)域中。產(chǎn)及科學(xué)技術(shù)的許多領(lǐng)域中。正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計(jì)中占有重要地位。正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計(jì)中占有重要地位。 的意義的意義產(chǎn)品 尺寸(mm)x1x2總體平均數(shù)總

7、體平均數(shù)反映總體隨機(jī)變量的反映總體隨機(jī)變量的 平均水平平均水平x3x4平均數(shù)x= 產(chǎn)品 尺寸(mm)總體平均數(shù)總體平均數(shù)反映總體隨機(jī)變量的反映總體隨機(jī)變量的 平均水平平均水平總體標(biāo)準(zhǔn)差總體標(biāo)準(zhǔn)差反映總體隨機(jī)變量的反映總體隨機(jī)變量的 集中與分散的程度集中與分散的程度平均數(shù)平均數(shù) 的意義的意義1 2 正態(tài)總體正態(tài)總體的函數(shù)表示式的函數(shù)表示式:當(dāng)= 0，=1時(shí)222)(21)(xexf),(x2221)(xexf標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體的函數(shù)表示式的函數(shù)表示式:),(x012-1-2xy-33=0=1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線21, 0(（，（，+）（1）當(dāng) = 時(shí),函數(shù)值為最大.(3) 的圖象關(guān)于 對(duì)稱.（2）

8、 的值域?yàn)?（4）當(dāng) 時(shí) 為增函數(shù).當(dāng) 時(shí) 為減函數(shù).)(xf)(xfxxx)(xf)(xf012-1-2xy-33=0=1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線正態(tài)總體正態(tài)總體的函數(shù)表示式的函數(shù)表示式222)(21)(xexf),(x =x例例1、下列函數(shù)是正態(tài)密度函數(shù)的是（、下列函數(shù)是正態(tài)密度函數(shù)的是（ ） A. B. C. D.22()21( ), ,(0)2xf xe 都是實(shí)數(shù)222( )2xf xe2(1)41( )2 2xf xe221( )2xf xeB 例例2、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體的函數(shù)為、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體的函數(shù)為（1）證明）證明f(x)是偶函數(shù)；是偶函數(shù)；（2）求）求f(x)的最大值；的最大值；（3）

9、利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)說(shuō)明）利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)說(shuō)明f(x)的增減性。的增減性。221( ),(,).2xf xex 練習(xí)：練習(xí)：1、若一個(gè)正態(tài)分布的概率函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)且該函、若一個(gè)正態(tài)分布的概率函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)且該函數(shù)的最大值等于數(shù)的最大值等于 ，求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式。的解析式。14 220 25 301510 xy535122、如圖，是一個(gè)正態(tài)曲線、如圖，是一個(gè)正態(tài)曲線，試根據(jù)圖象寫出其正態(tài)分，試根據(jù)圖象寫出其正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式布的概率密度函數(shù)的解析式，求出總體隨機(jī)變量的期望，求出總體隨機(jī)變量的期望和方差。和方差。3、正態(tài)曲線的性、正態(tài)曲線

10、的性質(zhì)質(zhì)012-1-2xy-3= -1=0.5012-1-2xy-33=0=1012-1-2xy-334=1=2具有具有兩頭低、中間高、左右對(duì)稱兩頭低、中間高、左右對(duì)稱的基本特征的基本特征22()21( ),(,)2xxex 012-1-2xy-3= -1=0.5012-1-2xy-33=0=1012-1-2xy-334=1=2（1 1）曲線在）曲線在x軸的上方，與軸的上方，與x軸不相交軸不相交. .（2）曲線是單峰的）曲線是單峰的,它關(guān)于直線它關(guān)于直線x=對(duì)稱對(duì)稱. 3 3、正態(tài)曲線的性質(zhì)、正態(tài)曲線的性質(zhì)（4）曲線與）曲線與x軸之間的面積為軸之間的面積為1（3）曲線在）曲線在x=處達(dá)到峰值處

11、達(dá)到峰值(最高點(diǎn)最高點(diǎn))1 1 2222()21( ),(,)2xxex 312=0.5=-1=0=1若若 固固定定, 隨隨 值的變化值的變化而沿而沿x軸軸平移平移, 故故 稱為位置稱為位置參數(shù)；參數(shù)；=0.5=1=2=0若若 固定固定, 大時(shí)大時(shí), 曲線矮曲線矮而胖；而胖； 小時(shí)小時(shí), 曲線曲線瘦而高瘦而高, 故稱故稱 為形狀參數(shù)。為形狀參數(shù)。=0.5012-1-2xy-33X=1=2(6)當(dāng)當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由一定時(shí)，曲線的形狀由確定確定 .越大，曲線越越大，曲線越“矮胖矮胖”，表示總體的分布越分散；，表示總體的分布越分散；越小，曲線越越小，曲線越“瘦高瘦高”，表示總體的分布越集中，表示

12、總體的分布越集中.（5）當(dāng)）當(dāng) x時(shí)時(shí),曲線下降曲線下降.并且當(dāng)曲線并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無(wú)限延伸時(shí)向左、右兩邊無(wú)限延伸時(shí),以以x軸為漸近線軸為漸近線,向它無(wú)限靠近向它無(wú)限靠近. 3 3、正態(tài)曲線的性質(zhì)、正態(tài)曲線的性質(zhì)22()21( )2xxe 動(dòng)畫動(dòng)畫S(-,-X)S(X,)S(-,-X)S(-x1, -x2)-x1 -x2 x2 x1S(x1,x2)=S(-x2,-x1) -a +ax=4、特殊區(qū)間的概率、特殊區(qū)間的概率:若若XN ,則對(duì)于任何實(shí)數(shù)則對(duì)于任何實(shí)數(shù)a0,概率概率 為如圖中的陰影部分的面積，對(duì)于固定的為如圖中的陰影部分的面積，對(duì)于固定的 和和 而言，該面而言，該面積隨著積隨著

13、的減少而變大。這說(shuō)明的減少而變大。這說(shuō)明 越小越小, 落在區(qū)間落在區(qū)間 的概率越大，即的概率越大，即X集中在集中在 周圍概率越大。周圍概率越大。2( ,) ,()( )aaPaax dx (,aa()0.6826,(22 )0.9544,(33 )0.9974.PXPXPX特別地有特別地有 我們從上圖看到，正態(tài)總體在我們從上圖看到，正態(tài)總體在 以外取值的概率只有以外取值的概率只有4.6，在，在 以外以外取值的概率只有取值的概率只有0.3 。2,23,3 由于這些概率值很?。ㄒ话悴怀^(guò)由于這些概率值很?。ㄒ话悴怀^(guò)5 ），），通常稱這些情況發(fā)生為通常稱這些情況發(fā)生為小概率事件小概率事件。()0.

14、6826,(22 )0.9544,(33 )0.9974.PXPXPX例例4、在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績(jī)、在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績(jī) 服從一個(gè)服從一個(gè)正態(tài)分布，即正態(tài)分布，即 N(90,100).（1）試求考試成績(jī)）試求考試成績(jī) 位于區(qū)間位于區(qū)間(70,110)上的概率是上的概率是多少？多少？（2）若這次考試共有）若這次考試共有2000名考生，試估計(jì)考試成績(jī)名考生，試估計(jì)考試成績(jī)?cè)谠?80,100)間的考生大約有多少人？間的考生大約有多少人？練習(xí)：練習(xí)：1、已知一次考試共有、已知一次考試共有60名同學(xué)參加，考生的名同學(xué)參加，考生的成績(jī)成績(jī)X ，據(jù)此估計(jì)，大約應(yīng)有，據(jù)此估計(jì)，大約應(yīng)有57人的分人的分?jǐn)?shù)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)？（數(shù)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)？（ ）A. (90,110 B. (95,125 C. (100,120 D.(105,1152(100,5 )C2、已知、已知XN (0,1)，則，則X在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)取值的概內(nèi)取值的概率等于（率等于（ ）3、設(shè)離散型隨機(jī)變量、設(shè)離散型隨機(jī)變量XN(0,1),則則 = , = .4、若、若XN(5,1),求求P(6X7).(, 2) (0)P X ( 22)PX D0.50.9544例例3、把一個(gè)正態(tài)曲線、把一個(gè)正態(tài)曲線a沿著橫軸方向向右移動(dòng)沿著橫軸方向向右移動(dòng)2個(gè)單個(gè)單位，得到新的一條曲線位，得到新的一條