雙曲線第二定義

1、例例1.求一漸近線為求一漸近線為3x+4y=0,一個焦點為一個焦點為(4,0)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程方程.解：解：:由已知可設(shè)雙曲線12222byax) 00(ba，焦點為，雙曲線一漸近線為) 04(43xy.443cab，222bac222)43(4aa ，252562 a.251442b.1251442525622yx故雙曲線方程為)0( ,)43)(43(yxyx：令解：設(shè)雙曲線方程為161692591616116922yx即的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程。點過有相同的漸進(jìn)線，且經(jīng)：求與雙曲線練習(xí))2 , 5(11625122Pyx)0( ,162522yx解：設(shè)雙曲線方程為：代入雙曲線方程

2、得：將)2 , 5(P16425254311275422yx雙曲線方程為：1 1、定義：、定義：平面內(nèi)到一個平面內(nèi)到一個 定點定點F和一條和一條定直線定直線 l 的距的距離的比為常數(shù)離的比為常數(shù)e(0e1)的點的點 M的軌跡，叫的軌跡，叫橢圓橢圓。 定點定點F叫叫焦點焦點，定直線，定直線 l 叫叫準(zhǔn)線準(zhǔn)線。一、橢圓的第二定義一、橢圓的第二定義：（一）知識回顧：（一）知識回顧：橢圓有兩個焦點橢圓有兩個焦點F1，F(xiàn)2，兩條準(zhǔn)線，兩條準(zhǔn)線 l1 , l2F1F2Ml1l2d1d2F2(c,0)Ox F1 oyPNF2F1oxyPMNy=a2/c y=-a2/cMF2焦點在焦點在X軸上時軸上時, 設(shè)設(shè)

3、 P(x0，y0) 是橢圓上的點，則是橢圓上的點，則:焦半徑公式為焦半徑公式為:|PF1|=a+ex0, |PF2|=a-ex0焦點在焦點在y軸上時軸上時, 設(shè)設(shè) P(x0，y0) 是橢圓上的點，則是橢圓上的點，則:焦半徑公式為焦半徑公式為: |PF1|=a +ey0， |PF2|=a-ey0橢圓橢圓 + =1上的點上的點P與其兩焦點與其兩焦點F1、F2的連線段分別叫做橢圓的左的連線段分別叫做橢圓的左焦半徑和右焦半徑焦半徑和右焦半徑,統(tǒng)稱統(tǒng)稱“焦半徑焦半徑”。ax22by22左加右減，下加上減左加右減，下加上減2 2、定義式：、定義式： edMFedMF2211|3 3、焦半徑公式：、焦半徑公

4、式：焦點在焦點在X軸上：軸上：MF1| = a + ex , |MF2| = a - ex焦點在焦點在Y軸上軸上：MF1| = a + ey , |MF2| = a - ey左加右減，下加上減左加右減，下加上減例例2、.45516:)05()(的軌跡，求點的距離的比是常數(shù)的距離和它到定直線，到定點，點MxlFyxM解：解：xy516xl：.F(5,0)OM（x,y）的距離，則到直線是點設(shè)lMd45|dMFd.45|516|)5(22xyx即化簡得.14416922yx191622yx即.68的雙曲線、分別為的軌跡是實軸、虛軸長點 M.)0(:)0()(2的軌跡，求點距離的比是常數(shù)的的距離和它到

5、定直線，與定點，點MacaccaxlcFyxM解：解：xyl l.FF OM的距離，則到直線是點設(shè)lMd由題意知acdMF|d.|)(222accaxycx即化簡. )()(22222222acayaxac，則設(shè)222bac12222byax方程化為)0, 0(ba.22的雙曲線、分別為的軌跡是實軸、虛軸長點baM.雙曲線的第二定義：雙曲線的第二定義：(1).MFlceea動點與一個定點 的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)，則這個點的軌跡是雙曲線2222221:(0);xyabaF cxc雙曲線中右焦點， ，對應(yīng)的右準(zhǔn)線方程是.)0(21caxcF對應(yīng)的左準(zhǔn)線方程是，左焦點yl l.FF

6、OMd.x“三定三定”： 定點是焦點；定點是焦點；定直線是準(zhǔn)線；定直線是準(zhǔn)線；定值是離心率定值是離心率.(定點不在定直線上定點不在定直線上)F1F2xy2axc2axc 22221(0,0)xyababaaac兩條準(zhǔn)線比雙曲兩條準(zhǔn)線比雙曲線的頂點更接近線的頂點更接近中心中心A1A2OF22axc準(zhǔn)線方程：2axc，求證：是雙曲線右支上任意點）（的焦點已知雙曲線),(),0 ,(0 ,)0, 0( 100212222yxPcFcFbabyax例例2、證明：證明：，01|exaPFP說明：說明：|PF1|, |PF2|稱為雙曲線的焦半徑稱為雙曲線的焦半徑.cax2雙曲線的左準(zhǔn)線為：由雙曲線的第二定

7、義得accaxPF201|01|:|exaPF整理得：由雙曲線的第一定義得0122|exaaPFPF)|(|min2acPFe其中 為雙曲線的離心率.yl l.F2F1O.02|exaPFx)|(|min1caPF| |,|),(),0 ,(0 ,)0, 0( 12100212222PFPFyxPcFcFbabyax，求是雙曲線左支上任意點）（的焦點已知雙曲線練習(xí)練習(xí)證明：證明：Pcax2雙曲線的左準(zhǔn)線為：由雙曲線的第二定義得acxcaPF021|01|:|exaPF整理得：由雙曲線的第一定義得0122|exaaPFPFyl l.F2F1O.xF1F2xy（二）（二）M2位于雙曲線左支位于雙曲

8、線左支),(111yxM1 11|M Fexa121|M Fexa222(,)Mx y（一）（一）M1位于雙曲線右支位于雙曲線右支212|M Fexa222|M Fexa 焦半徑公式：焦半徑公式：O思考：焦點在思考：焦點在y軸上呢？軸上呢？(x, y 互換互換).兩準(zhǔn)線間的距離：兩準(zhǔn)線間的距離：.準(zhǔn)線方程：準(zhǔn)線方程：c ca ac ca ax x2 22 2y或c c2 2a ad d2 2.焦準(zhǔn)距：焦點到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離焦準(zhǔn)距：焦點到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離c cb bd d2 24.雙曲線的焦半徑公式：雙曲線的焦半徑公式：點點M(x,y)在左支上時：在左支上時： |MF1|aex， |MF2|=aex

9、點點M(x,y)在右支上時：在右支上時： |MF1|aex， |MF2|=aex常用結(jié)論常用結(jié)論:).0,(),0,(21cFcF 設(shè)雙曲線設(shè)雙曲線 的焦點為：的焦點為：0 0) )b b1 1( (a ab by ya ax x2 22 22 22 2 ,05、通經(jīng)：過焦點垂直與實軸的弦、通經(jīng)：過焦點垂直與實軸的弦課堂練習(xí)課堂練習(xí)的兩準(zhǔn)線間的距離等于的兩準(zhǔn)線間的距離等于( )( )2 2、雙曲線、雙曲線13422xy的焦點坐標(biāo)、的焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程準(zhǔn)線方程1 1、求雙曲線、求雙曲線191622yx和離心率，并用第二定義描述該雙曲線。和離心率，并用第二定義描述該雙曲線。516x準(zhǔn)線方程)0 ,

10、 5(F焦點坐標(biāo)45e離心率（A） （B） （C） （D）77677858516B3、若改為求若改為求P到左準(zhǔn)線的距離，答案如何？有幾種解法？到左準(zhǔn)線的距離，答案如何？有幾種解法？ F1F2xycax2cax2OPPD5328108dd用橢圓的第二定義求解的一個問題，請仿照用橢圓的第二定義求解的一個問題，請仿照此題，設(shè)計一個用雙曲線的第二定義求解的此題，設(shè)計一個用雙曲線的第二定義求解的問題，并給出解答。問題，并給出解答。)2 , 1 (A1121622yx一個問題：已知點一個問題：已知點 在橢圓在橢圓4在學(xué)習(xí)橢圓的知識時，曾解決過這樣在學(xué)習(xí)橢圓的知識時，曾解決過這樣)0 , 2(F內(nèi)部，內(nèi)部，

11、 是橢圓的一個焦點，在橢圓上是橢圓的一個焦點，在橢圓上|2|PFPA 求一點求一點P，求，求 的最小值，這是的最小值，這是21dPF|2 PFd AFPdPd:2122結(jié)合圖形得即，則比值定義得：的距離為到右準(zhǔn)線，設(shè)點解：由題意得dPAPFPAdPFdPFdPe值。的值最小，并求出最小，使得上求一點在雙曲線），（）、，（例如：已知點PFPAPyxFA2113,021322d轉(zhuǎn)化。中的二定義將用雙曲線的第分析：本題的關(guān)鍵是利PFPFPA2121Pp），為：（這時最小值為：1332,2532Pcaxyo.F.A.的最小值呢？若改為求PFPA 2)21(22PFPAPFPA的最小值求右支上一點，定點

12、是雙曲線的右焦點為：已知雙曲線方程為練|53|),2 , 9(,116912222MFMAAMFyxMy.F2F1O.xA得：解：由雙曲線第二定義)( ,|2到右準(zhǔn)線的距離為MdedMFdMF35|2即dMAMFMA|53|2536599)|(|2mincaxdMAA的最小值。求曲線右支上一點，定點是雙的右焦點為：已知雙曲線方程為練習(xí)|),2 , 9(,116922222MFMAAMFyxMy.F2F1O.xA得：解：由雙曲線第一定義62|21aMFMF6|12 MFMF即6|12MFMAMFMA621062146|)6|(|221min1AFMFMAxyo22221xyabMe1ca（一）雙曲線第二定義：當(dāng)點到一定點的距離和它到一定直線的距離之比是常數(shù)，這個點的軌跡是雙曲線。2,()axa cc（二）準(zhǔn)線方程：（三）焦半