二階導數(shù)的應用

1、二、二階導數(shù)的應用4.5 函數(shù)極值的判定定理4.6 如果函數(shù)f(x)在x0附近有連續(xù)的二階導數(shù)f(x)，且f(x0)0，f(x)0，那么若f(x0)0，則函數(shù)f(x)在點x0處取得極大值若f(x0)0，則函數(shù)f(x)在點x0處取得極小值例4.11 求下列函數(shù)的極值 f(x)2x33x2 f(x)sinxcosx，x0,2解：f(x)6x26x，f(x)12x6令6x26x0，得駐點為x11，x20f(1)60，f(0)60把x11，x20代入原函數(shù)計算得f(1)1、f(0)0當x1時，y極小1，x0時，y極大0例4.11 求下列函數(shù)的極值 f(x)sinxcosx，x0,2解: f(x)cos

2、xsinx，令cosxsinx0，得駐點為x1 ，x2 ，又f(x)sinxcosx，把x1 ，x2 代入原函數(shù)計算得f( ) 、f( ) 。所以當x 時，y極大 ，x 時，y極小注意 如果f(x0)0，f(x0)0或不存在，本定理無效，則需要考察點x0兩邊f(xié)(x)的符號來判定是否為函數(shù)的極值點。445440245cos45sin)45( 024cos4sin)4( ff452245224544.6 函數(shù)的凹凸性和拐點1. 曲線的凹凸性 設函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)內可導，如果對應的曲線段位于其每一點的切線的上方，則稱曲線在(a,b)內是凹的， 如果對應的曲線段位于其每一點的切線的下方，則

3、稱曲線在(a,b)內是凸的。 從圖象上來看，曲線段向上彎曲是凹的，曲線段向下彎曲是凸的。定理4.7設函數(shù)yf(x)在(a,b)內具有二階導數(shù)，如果在(a,b)內f(x)0，那么對應的曲線在(a,b)內是凹的，如果在(a,b)內f(x)0，那么對應的曲線在(a,b)內是凸的。例4.13 判定曲線y 的凹凸性解：y f(x) ，f(x) ， 無拐點但有間斷點x0 當x0時，f”(x)0，曲線在(,0)內為凸的， 當x0時，f(x)0，曲線在(0,)內是凹的。x1x121x31x例4.14 判定曲線ycosx在(0,2)的凹凸性解：ysinx，ycosx， 令y0，得x1 ，x2 當x(0, )時，

4、f”(x)0，曲線在(0, )內為凸的， 當x( )時，f”(x)0，曲線在( )內是凹的， 當x( ,2)時，f”(x)0，曲線在( ,2)內為凸的。2232223,223,223232. 曲線的拐點 曲線上凸部和凹部的分界點叫做拐點。 因此拐點一定是使f(x)0的點，但是使f(x)0的點不一定都是拐點。求拐點的一般步驟 求二階導數(shù)f(x)； 求出f(x)0的全部實根； 對于每一個實根x0，檢查f”(x)在x0左右兩側的符號，如果x0兩側f(x)的符號不同，則點(x0,f(x0)是曲線的拐點；如果x0兩側f”(x)的符號相同，則點(x0,f(x0)不是曲線的拐點。例4.15 求曲線yx34x

5、4的凹凸區(qū)間和拐點解：yx24，y2x,令2x0，得x0 當x0時，y”0，曲線在(,0)內為凸的， 當x0時，y0，曲線在(0,)內是凹的。 在x0的左右兩側，y”由正變負，所以(0,4)為曲線上的拐點。例4.16 討論曲線yx41的凹凸性和拐點解：f(x)12x2 當x0時，f(x)0，而f(0)0 因此曲線yx41在(,)內都是凹的， 點(0,1)不是拐點。4.7 函數(shù)圖象的描繪 利用函數(shù)的一、二階導數(shù)的性質，我們可以較準確地用描點法描繪函數(shù)的圖象。一般步驟為： 確定函數(shù)的定義域、奇偶性、周期性，求出函數(shù)圖象和兩坐標軸的交點； 計算f(x)，令f(x)0求出f(x)的駐點、極值點和增減區(qū)

6、間； 計算f“(x)，令f”(x)0求出f(x)的拐點和凹凸區(qū)間； 計算駐點、拐點處的函數(shù)值； 列表，描繪函數(shù)的圖象。三、高階導數(shù)的應用4.8 用多項式近似表達函數(shù)泰勒公式 如果我們能用一個簡單的函數(shù)來近似地表示一個比較復雜的函數(shù)，這樣將會帶來很大的方便。 一般地說，多項式函數(shù)是最簡單的函數(shù)。那么我們怎樣把一個函數(shù)近似地化為多項式函數(shù)呢? 定理4.8 設f(x)在x0點及其附近有直到n1階的連續(xù)導數(shù)，那么 其中Rn(x) (在0與x之間) 上式稱為函數(shù)f(x)在x0點附近關于x的泰勒展開式簡稱泰勒公式。式中的Rn(x)叫做拉格朗日余項。)(!)0(! 2)0()0( )0()()(2xRxnf

7、xfxffxfnnn1)1()!1()(nnxnf 當x0時，拉格朗日余項Rn(x)是關于xn的高階無窮小量，可表示為Rn(x)O(xn)。 O(xn)稱為皮亞諾余項。 這樣，函數(shù)f(x)在x0點附近的泰勒展開式又表示為： 一般地，函數(shù)f(x)在xx0點附近泰勒展開式為：)(!)0(! 2)0( )0( )0()()(2nnnxOxnfxfxffxfnnnxxOxxnxfxxxfxxxfxfxf)()(!)()(! 2)( )( )()(000)(2000004.9 幾個初等函數(shù)的泰勒公式例4.19 求函數(shù)f(x)ex在x0點的泰勒展開式解：f(x)f(x)f(n)(x)ex f(0)f(0)

8、f(0)f(n)(0)1 于是，ex在x0點的泰勒展開式為： 在上式中，令x1，可得求e的近似公式)(! 212nnxxOnxxxe!1!2111ne例4.20 求函數(shù)f(x)sinx在x0點的泰勒展開式解：f(x)cosx，f(x)-sinx，f(x)-cosx f(4)(x)sinx， f(0)0，f(0)1，f(0)0，f(x)1 f(4)(0)0， f(2n1)(0)(1)n1，f(2n)(0)0 于是，sinx在x0點的泰勒展開式為：)()!12() 1(! 5! 3sin212153nnnxOnxxxxx例4.21 求函數(shù)f(x)cosx在x0點的泰勒展開式解：f(x)-sinx，

9、f(x)-cosx，f(x)sinx f(4)(x)cosx， f(0)1，f(0)0，f(0)1，f(x)0 f(4)(0)1， f(2n1)(0)0，f(2n)(0)(1)n于是，cosx在x0點的泰勒展開式為：)()!2() 1(! 4! 21cos12242nnnxOnxxxx例4.22求函數(shù)f(x)ln(1x)在x0點的泰勒展開式解：f(x) ，f(x)- ， f(x) ，f(4)(x)- ， f(0)0，f(0)1，f(0)-1!，f(x)2! f(4)(0)-3!，f(n)(0)(1)n1(n1)!于是，ln(1x)在x0點的泰勒展開式為：x112)1 (1x3)1 (2x4)1

10、 (6x)(32)1ln(32nnxOnxxxxx4.10 羅必塔法則1. 不定式定理4.9 如果當xa時函數(shù)f(x)、g(x)都趨向于零，在點a的某一鄰域內(點a除外)，f(x)、g(x)均存在，g(x)0，且 存在(或無窮大)，則)()(limxgxfax)( )( lim)()(limxgxfxgxfaxax00證明：根據(jù)柯西定理有在x與a之間，當xa時a ， 這說明求可導函數(shù)與商的極限時可以轉化為求它們導數(shù)的商的極限。 當x時，上述定理也成立。)( )( )()()()(gfagxgafxf0)(limxfax0)(limxgax0)()(agaf)( )( lim)( )( lim)

11、()()()(lim)()(lim0 xgxfgfagxgafxfxgxfaxaxax例4.23 求極限解：當x0時原式是 型的不定式，用羅必塔法則有例4.24 求極限解：當x1時原式是 型的不定式，用羅必塔法則有20cos1limxxx0000212sinlimcos1lim020 xxxxxx123lim2331xxxxxx23266lim12333lim123lim12212331xxxxxxxxxxxxx例4.25 求極限解：當x時原式是 型的不定式，用羅必塔法則有xarctgxx12lim0011lim111lim12lim2222xxxxxarctgxxxx2. 不定式定理4.10 如果當xa時函數(shù)f(x)、g(x)都趨向于無窮大，在點a的某一鄰域內(點a除外)，f(x)、g(x)均存在，g(x)0且 存在(或無窮大)，則當x時，上述定理也成立。)()(limxgxfax)( )( lim)()(limxgxfxgxfaxax例4.26 求解：當x0+時原式是 型的不定式，用羅必塔法則有例4.27 證明當a0時， 0證明：根據(jù)羅必塔法則 這表明，無論是一個多么小的正數(shù)，x趨于的速度都比lnx趨于的速度快。nxmxxs