20XX年考研數(shù)學(xué)二真習(xí)題與解析

1、2019年考研數(shù)學(xué)二真題解析一、選擇題 18小題每小題4分，共32分1當(dāng)時(shí)，若與是同階無(wú)窮小，則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（C）【詳解】當(dāng)時(shí)，所以，所以2曲線的拐點(diǎn)是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（D）【詳解】，；令得，且，所以是曲線的拐點(diǎn)；而對(duì)于點(diǎn)，由于，而，所以不是曲線的拐點(diǎn)3下列反常積分發(fā)散的是 （ ）（A） （B） (C） （D）【答案】（D）【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，是關(guān)于的一階無(wú)窮小，當(dāng)然發(fā)散；（2）用定義：，當(dāng)然發(fā)散4已知微分方程的通解為，則依次為（ ）（A） （B） (C） （D）【答案】（D）【詳解】（1）由非齊次線性方程的通解可看出是特征方程的實(shí)根

2、，從而確定；（2）顯然，是非齊次方程的特解，代入原方程確定5已知平面區(qū)域，記， ，則 （ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（A）【詳解】（1）顯然在區(qū)域，此時(shí)由結(jié)論當(dāng)時(shí)知道，所以；（2）當(dāng)時(shí)，令，則，；令得到在唯一駐點(diǎn)，且，也就是在取得極小值，在同時(shí)取得在上的最大值，也就有了結(jié)論，當(dāng)時(shí)，也就得到了；由（1）、（2）可得到6設(shè)函數(shù)的二階導(dǎo)函數(shù)在處連續(xù)，則是兩條曲線，在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處相切及曲率相等的 （ ） （A）充分不必要條件 （B）充分必要條件 （C）必要不充分條件 （D）既不充分也不必要條件【答案】（A）【詳解】充分性：（1）當(dāng)進(jìn)，由洛必達(dá)法則，也就是兩條曲線在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處相切；（2）由曲

3、率公式可知兩條曲線在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處曲率相等必要性不正確的原因在于，雖然相切能得到，但在相切前提下，曲率相等，只能得到，不能確定，當(dāng)然得不到7 設(shè)是四階矩陣，為其伴隨矩陣，若線性方程組的基礎(chǔ)解系中只有兩個(gè)向量，則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（A）【詳解】線性方程組基礎(chǔ)解系中只有兩個(gè)向量，也就是，所以8設(shè)是三階實(shí)對(duì)稱矩陣，是三階單位矩陣，若，且，則二次型的規(guī)范形是 （ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（C）【詳解】假設(shè)是矩陣的特征值，由條件可得，也就是矩陣特征值只可能是和而，所以三個(gè)特征值只能是，根據(jù)慣性定理，二次型的規(guī)范型為二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.

4、把答案填在題中橫線上）9 【答案】解： 10曲線在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線在的截距為 【答案】【詳解】，所以切線方程為，在的截距為11.設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，則 .【答案】【詳解】，12曲線的弧長(zhǎng)為 【答案】【詳解】13已知函數(shù)，則 【答案】【詳解】（1）用定積分的分部積分：（2）轉(zhuǎn)換為二重積分：14已知矩陣，表示元素的代數(shù)余子式，則 【答案】【詳解】三、解答題15（本題滿分10分）已知函數(shù)，求，并求函數(shù)的極值【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在處，所以在處不可導(dǎo)綜合上述：；令得到當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；故是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值為；是函數(shù)的極大值點(diǎn)，極大值為；是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值為16（本題滿分10分）求不定積分【

5、詳解】17（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)是微分方程滿足條件的特解（1）求的表達(dá)式；（2）設(shè)平面區(qū)域，求繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積【詳解】（1）這是一個(gè)一階線性非齊次微分方程先求解對(duì)應(yīng)的線性齊次方程的通解：，其中為任意常數(shù)；再用常數(shù)變易法求通解，設(shè)為其解，代入方程，得，也就是通解為：把初始條件代入，得，從而得到（2）旋轉(zhuǎn)體的體積為18（本題滿分10分）設(shè)平面區(qū)域，計(jì)算二重積分【詳解】顯然積分區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱，由對(duì)稱性，顯然；19（本題滿分10分）設(shè)是正整數(shù)，記為曲線求曲線與軸所形成圖形的面積，求，并求【詳解】先求曲線與軸的交點(diǎn)：令得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由不定積分可得，所求面積為當(dāng)為奇數(shù)時(shí)， 同理：顯然，

6、有所以20（本題滿分11分）已知函數(shù)滿足關(guān)系式求的值，使得在變換之下，上述等式可化為函數(shù)的不含一階偏導(dǎo)數(shù)的等式【詳解】在變換之下，；把上述式子代入關(guān)系式，得到根據(jù)要求，顯然當(dāng)時(shí)，可化為函數(shù)的不含一階偏導(dǎo)數(shù)的等式21（本題滿分11分）已知函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，證明：（1）至少存在一點(diǎn)，使得；（2）至少存在一點(diǎn)，使得證明 （1）令，則，則由于在連續(xù)，則在上可導(dǎo)，且，則由拉格朗日中值定理，至少存在一點(diǎn)，使得，也就是；對(duì)在上用羅爾定理 ，則至少存在一點(diǎn)，使得；（2）令，則顯然，在具有二階導(dǎo)數(shù)，且對(duì)分別在上用拉格朗日中值定理，至少存在一點(diǎn)，使得；至少存在一點(diǎn)，使得；對(duì)在上用拉格朗日中值定理，則至少存在一點(diǎn)，使得，也就是22（本題滿分11分）已知向量組：；向量組：若向量組和向量組等價(jià)，求常數(shù)的值，并將用線性表示【詳解】向量組和向量組等價(jià)的充分必要條件是（1）當(dāng)時(shí)，顯然， ，兩個(gè)向量組等價(jià)此時(shí)，方程組的通解為，也就是，其中為任意常數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，繼續(xù)進(jìn)行初等行變換如下：顯然，當(dāng)且時(shí)，同時(shí)，也就是，兩個(gè)向量組等價(jià)這時(shí)，可由線性表示，表示法唯一：23（本題滿分11分）已知矩陣與相似（1）求之值；（2）求可逆矩陣，使得【詳解】（1）由矩陣相似的必要條件可知：，即，解得