反常積分初步少學(xué)時(shí)ppt課件

1、 6.5 反常積分初步一、無(wú)窮限積分二、瑕積分B三、 函數(shù)與 函數(shù)1. 定義定義定義定義6.26.2.),)()316(d)(,)()(),)(上上的的無(wú)無(wú)窮窮限限積積分分在在無(wú)無(wú)窮窮區(qū)區(qū)間間為為符符號(hào)號(hào)上上可可積積，則則稱稱在在，且且對(duì)對(duì)任任意意實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)上上有有定定義義，在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) axfxxfbaxfabbaxfa一、無(wú)窮限積分.d)()326(符號(hào)，無(wú)數(shù)值意義符號(hào)，無(wú)數(shù)值意義發(fā)散，這時(shí)它只是一個(gè)發(fā)散，這時(shí)它只是一個(gè)分分不存在，則稱無(wú)窮限積不存在，則稱無(wú)窮限積若極限若極限 axxf)336(d)(limd)( babaxxfxxf窮限積分的值，記作窮限積分的值，記作并且定義極

2、限值為該無(wú)并且定義極限值為該無(wú)收收斂斂，存存在在，則則稱稱無(wú)無(wú)窮窮限限積積分分若若極極限限 ababxxfxxfd)()326(d)(lim定義定義6.3.,()()236(d)(,)()(,()(上的無(wú)窮限積分上的無(wú)窮限積分在無(wú)窮區(qū)間在無(wú)窮區(qū)間為為上可積，則稱上可積，則稱在在，意實(shí)數(shù)意實(shí)數(shù)上有定義，且對(duì)任上有定義，且對(duì)任在區(qū)間在區(qū)間設(shè)設(shè)bxfxxfbaxfbaabxfb )336(d)(limd)(d)(d)(lim baabbbaaxxfxxfxxfxxf收斂，且收斂，且存在，稱無(wú)窮限積分存在，稱無(wú)窮限積分若極限若極限.d)(發(fā)散發(fā)散稱無(wú)窮限積分稱無(wú)窮限積分若上述極限不存在，則若上述極限不

3、存在，則 bxxf定義定義 6.4)346(d)(d)(d)(d)(d)(d)(),()( ccccxxfxxfxxfxxfxxfxxfcxf收斂，記作收斂，記作分分都收斂，則稱無(wú)窮限積都收斂，則稱無(wú)窮限積與與，積分，積分實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)內(nèi)有定義，若對(duì)任意內(nèi)有定義，若對(duì)任意在在設(shè)設(shè).d)(發(fā)散發(fā)散稱積分稱積分，則，則，只要有一個(gè)積分發(fā)散，只要有一個(gè)積分發(fā)散當(dāng)上式右端兩個(gè)積分中當(dāng)上式右端兩個(gè)積分中 xxf例例 1討論以下無(wú)窮限積分的斂散性討論以下無(wú)窮限積分的斂散性 ：;d11)1(02xx ;de)2(0 xx .dsin)3(xx 解解，有，有對(duì)任意對(duì)任意0)1( bbbxxx002arctand11

4、 barctan ，且由于且由于2arctanlim bb.2d1102收收斂斂于于因因此此xx ，有有對(duì)對(duì)任任意意0)2( b00edebxbxx be1 .1de0收斂于收斂于因此因此xx ，且且由由于于0elim bb，和和中包含兩個(gè)無(wú)窮限積分中包含兩個(gè)無(wú)窮限積分由于由于xxxxxxdsindsindsin)3(00 bbxxx00cosdsin bcos1 不不存存在在，且且由由于于bbcoslim ，中中，對(duì)對(duì)任任意意在在0dsin0 bxx發(fā)發(fā)散散，因因此此xxdsin0 .dsin發(fā)散發(fā)散從而從而xx 性質(zhì)性質(zhì) 6.6.)(d)(d)(的的斂斂散散性性具具有有相相同同與與abxx

5、fxxfba 性質(zhì)性質(zhì) 6.7.)0(d)(d)(有有相相同同的的斂斂散散性性具具為為常常數(shù)數(shù)與與 AxxfxxAfaa性質(zhì)性質(zhì) 6.8收斂，且收斂，且收斂，則收斂，則與與設(shè)設(shè) aaaxxgxfxxgxxfd)()(d)(d)(.d)(d)(d)()( aaaxxgxxfxxgxf.d)(萊萊布布尼尼茨茨公公式式的的牛牛頓頓的的計(jì)計(jì)算算也也有有類類似似關(guān)關(guān)于于無(wú)無(wú)窮窮限限積積分分 axxf性質(zhì)性質(zhì) 6.9)356()()()(d)()(lim)()(lim),)()( aFFxFxxfxFFxFaxfxFaaxx，則，則存在，記存在，記且且上的原函數(shù)，上的原函數(shù)，在在是是設(shè)設(shè)而且定積分的換元法

6、在無(wú)窮限積分中也成立而且定積分的換元法在無(wú)窮限積分中也成立 .例例 2討論以下無(wú)窮限積分的斂散性討論以下無(wú)窮限積分的斂散性 .;de)1(0 xxx;d)2(1 pxx;de1e)3(2 xxx.d)4(12 xxx解解由分部積分公式可得由分部積分公式可得)1( 00dedexxxxx 00deexxxx 0ex1 xxxxx elime0其其中中要留意，不能出現(xiàn)如下運(yùn)算要留意，不能出現(xiàn)如下運(yùn)算 ee0 xx.0elim xxx0 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1)2( p 11lnd1xxx ，時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)1 p 1111d1pxxxpp 1111ppp，時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)散散，在在故故1d11 pxxp.111 pp時(shí)時(shí)收

7、收斂斂于于在在由于由于)3( xxxxx22e1dede1e，則則令令xte 0221de1dettxx 0arctant2 由于由于)4( 112)1(ddxxxxxxxxxd1111 11lnxx2ln 1 . 定義定義定義定義 6.7收斂，收斂，存在，則稱瑕積分存在，則稱瑕積分若極限若極限上的瑕積分上的瑕積分在在為為稱稱的瑕點(diǎn)，的瑕點(diǎn)，為為時(shí)無(wú)界，則稱時(shí)無(wú)界，則稱在在但但上可積，上可積，在在，對(duì)任意對(duì)任意上有定義，并且上有定義，并且在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) bababaxxfxxfbaxfxxfxfaaxxfbaxfabbaxfd)(d)(lim.,()(d)()()(,)()0(0,(

8、)(0 即即并以此極限值為其值，并以此極限值為其值，)366(d)(limd)(0 babaxxfxxf 二、瑕積分.d)(發(fā)發(fā)散散積積分分若若極極限限不不存存在在，則則稱稱瑕瑕 baxxf的收斂性：的收斂性：可以類似地定義瑕積分可以類似地定義瑕積分時(shí)無(wú)界，時(shí)無(wú)界，在在為瑕點(diǎn)時(shí)，即函數(shù)為瑕點(diǎn)時(shí)，即函數(shù)當(dāng)當(dāng) baxxfbxxfbd)()()376(d)(limd)(d)(d)(lim00 babababaxxfxxfxxfxxf即即且且定定義義其其值值為為極極限限值值，斂斂，收收存存在在，稱稱瑕瑕積積分分若若.d)(d)(lim0發(fā)散發(fā)散不存在，則稱瑕積分不存在，則稱瑕積分若極限若極限 baba

9、xxfxxf ，時(shí)時(shí)無(wú)無(wú)界界當(dāng)當(dāng)cx bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)()386(d)(limd)(lim00 bccaxxfxxf .d)(發(fā)發(fā)散散否否則則稱稱瑕瑕積積分分 baxxf，內(nèi)內(nèi)部部一一點(diǎn)點(diǎn)在在一一般般地地，如如果果cbaxf),()(,bca 即即收收斂斂，且且收收斂斂時(shí)時(shí)，稱稱瑕瑕積積分分皆皆與與那那么么規(guī)規(guī)定定兩兩個(gè)個(gè)瑕瑕積積分分 babccaxxfxxfxxfd)(d)(d)(例例 5討論以下瑕積分的斂散性：討論以下瑕積分的斂散性：;d)1(1)2(20 32 xx;dln)1(10 xxx.d)(1)3( bapxax解解. )1 , 0(0)1( 是是瑕

10、瑕點(diǎn)點(diǎn)，對(duì)對(duì)任任意意x 11dln2dln xxxxx 11d1ln2 xxxx)2ln(21 x 44ln2 ，由由洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則得得0lnlim0 ，則則4dlnlim10 xxx.4dln10 收斂于收斂于即瑕積分即瑕積分xxx是瑕點(diǎn)，是瑕點(diǎn)，1)2( x 10301032013limd)1(1limxxx)1(lim330 3 ；收收斂斂于于因因此此瑕瑕積積分分3d)1(110 32 xx，收斂于收斂于同樣可求得瑕積分同樣可求得瑕積分3d)1(121 32 xx，先先考考慮慮瑕瑕積積分分 10 32d)1(1xx.6d)1(120 32 收收斂斂于于因因此此瑕瑕積積分分xx是是瑕

11、瑕點(diǎn)點(diǎn)，ax )3(babaaxxax lnd1 ln)ln( ab時(shí)，時(shí)，1 pbapbappaxxax 1)(d)(11 1,1)(1,1ppabpp時(shí)，時(shí)，對(duì)任何對(duì)任何1),0( pab )(1111ppabp 因此因此 bapbapxaxxax d)(1limd)(10時(shí)發(fā)散；時(shí)發(fā)散；當(dāng)當(dāng)即瑕積分即瑕積分1d)(1 pxaxbap.1)(11pabpp 時(shí)時(shí)收收斂斂于于當(dāng)當(dāng)例例 6 判別以下瑕積分的斂散性：判別以下瑕積分的斂散性：;d1)1(022 axxa.d1)2(11 xx解解是瑕點(diǎn)，是瑕點(diǎn)，ax )1( 20022dcoscosd1xtataxxaa 20dt,2 .2d102

12、2收收斂斂于于即即瑕瑕積積分分 axxa，則，則令令taxsin 是是瑕瑕點(diǎn)點(diǎn)，0)2( x，與與分分別別考考慮慮瑕瑕積積分分 1001d1d1xxxx.d1)3(511發(fā)散發(fā)散的結(jié)論知的結(jié)論知由例由例 xx留意留意 以下計(jì)算是錯(cuò)誤的：以下計(jì)算是錯(cuò)誤的：1111lnd1 xxx, 0 .0ln1點(diǎn)點(diǎn)不不連連續(xù)續(xù)在在的的原原函函數(shù)數(shù)這這是是因因?yàn)闉?xxxB函數(shù)函數(shù) .1函數(shù)，記為函數(shù)，記為的函數(shù)稱為的函數(shù)稱為為參變量為參變量作作稱為參變量稱為參變量其中其中反常積分反常積分 )(de01xxx)396(de)(01 xxx 性質(zhì)性質(zhì)6.106.10滿足下列關(guān)系：滿足下列關(guān)系：)( ; )()1(

13、)1( ;1)1()2( . )(!)1()3(為自然數(shù)為自然數(shù)nnn 三、 函數(shù)與 函數(shù)證明證明 由分部積分公式可得由分部積分公式可得 0de)1(xxx 0dexx 010deexxxxx )( 0de)1(xx 0ex1 ，則則中中取取在在n )()1()()1(nnn )1()1( nnn)1(12)1( nn!n 函數(shù)函數(shù)B.2函數(shù)，記為函數(shù)，記為函數(shù)就稱為函數(shù)就稱為的的，作為參變量作為參變量反常積分反常積分Bd)1(1011qpxxxqp )406(d)1(),(B1011 xxxqpqp性質(zhì)性質(zhì) 6.11 B 函數(shù)滿足以下條件：函數(shù)滿足以下條件：;),(B),(B)1(pqqp

14、;), 1(B1)1, 1(B)2(qpqpqqp .)()()(),(B)3(qpqpqp 證明證明，則則中中令令在在tx 1)406( 1011d)1(),(Bxxxqpqp 1011d)1(tttpq),(Bpq 10d)1()1, 1(Bxxxqpqp 101)d(1)1(xxxxqp 1011101d)1(d)1(xxxxxxqpqp 1011d)1(), 1(Bxxxqpqp得得中中利利用用分分部部積積分分公公式式可可在在 1011d)1(xxxqp 1011011)1(d1d)1(qpqpxxqxxx 10101d)1(1)1(1xxxqpxxqqpqp)1, 1(B1 qpqp因此因此)1, 1(B1), 1(B)1, 1(B qpqpqpqp求得求得)., 1(B1)1, 1(Bqpqpqqp 例例 9；，求求 2121,21B)1(.de)2(02 xx求求解解(1) 由于由于 102d121,21Bxxx是瑕點(diǎn)，由配方法可得是瑕點(diǎn)，由配方法可得，其中其中10 xx 1