高二數(shù)學(xué)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

1、圓圓？問題問題1：具有什么性質(zhì)的點的軌跡稱為圓？平面內(nèi)與一定點距離等于定長的點的軌跡稱為圓平面內(nèi)與一定點距離等于定長的點的軌跡稱為圓.問題問題2：圖：圖中哪個點是定點？哪個點是動點？動點具有什么性質(zhì)？圓心和半徑都反映了圓的什么特點？ 圓心圓心C是定點，圓周上的點是定點，圓周上的點M是動點，它是動點，它們到圓心距離等于定長們到圓心距離等于定長|MC|=r，圓心和半徑分，圓心和半徑分別確定了圓的位置別確定了圓的位置(定位）和大小（定型）定位）和大?。ǘㄐ停﹩栴}問題3：求曲線的方程的一般步驟是什么？其中哪幾個步驟必不可少？（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對例如）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對例如(

2、x,y)表示曲線上表示曲線上任意一點任意一點M的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；（2）寫出適合條件）寫出適合條件 p 的點的點M的集合的集合P=M|p(M)； （3）用坐標(biāo)表示條件）用坐標(biāo)表示條件p(M)，列出方程，列出方程f(x,y)=0； （4）化方程）化方程f(x,y)=0為最簡形式；為最簡形式； （5）證明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點）證明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點 其中步驟其中步驟(1)(3)(4)必不可少必不可少下面我們用求曲線方程的一般步驟來建立圓的標(biāo)準(zhǔn)方程( , )C a br求圓心是，半徑是 的圓的方程。解：設(shè)M(x,y)是圓上任意一點，xyOrM根據(jù)圓的定義|M

3、C|=rC由兩點間距離公式，得22xaybr把式兩邊平方，得222xaybr說明：1.特點：明確給出了特點：明確給出了圓心圓心和和半徑半徑。2.確定圓的方程必須具備確定圓的方程必須具備三個三個獨立的條件。獨立的條件。練習(xí)練習(xí) 1.寫出下列各圓的方程：寫出下列各圓的方程： （1）圓心在原點，半徑是）圓心在原點，半徑是3；（3）經(jīng)過點）經(jīng)過點P(5,1)，圓心在點，圓心在點C(8,-3)229xy22345xy（2）圓心在點）圓心在點C(3,4)，半徑是，半徑是 ；5228325xy練習(xí)練習(xí)2.寫出下列各圓的圓心坐標(biāo)和半徑寫出下列各圓的圓心坐標(biāo)和半徑（1）2216xy（2）22129xy（3）22

4、2xaya1,06（-1，2） 3,0|aa(4) (2x-2)2+(2y+4)2=22221），半徑，圓心（ 例1、 求滿足下列條件的各圓的方程:解:已知圓心是C(1,3),那么只要再求出圓的半徑r,就能寫出圓的方程. 因為圓C和直線3x-4y-7=0相切,所以半徑r等于圓心C到這條直線的距離.根據(jù)點到直線的距離公式,得OXYM(1,3).)3() 1.2525622516)4(37341322yxr（是因此，所求的圓的方程3x-4y-7=0(1)以以C(1,3)為圓心為圓心,并且和直線并且和直線3x-4y-7=0相切的圓相切的圓.(2)圓心在x軸上,半徑為5且過點A(2,-3)的圓.解:設(shè)

5、圓心在x軸上,半徑為5的方程為(x-a)2+y2=52.點A(2,-3)在圓上, (2-a)2+(-3)2=52,a=-2或6.所求的圓的方程為:(x+2)2+y2=25或(x-6)2+y2=25.方法總結(jié):此方法屬于待定系數(shù)法.(3)過點A(1,2)和B(1,10)且與直線x-2y-1=0相切的圓的方程.解:設(shè)所求圓方程為(x-a)2+(y-b)2=r2線段AB的垂直平分線為y=6,圓心坐標(biāo)為(a,6),圓的方程可以寫成(x-a)2+(y-6)2=r2直線x-2y-1=0與圓相切,解得a=-7或3, r2=80或20.所求圓的方程為(x+7)2+(y-6)2=80或(x-3)2+(y-6)2

6、=20XYOX-2y-1=01A(1,2)B(1,10)C.)26() 1(2241162aa(a,6)評注:1.求圓的方程常用方法(1)定義法,(2)待定系數(shù)法.2.解題時注意充分利用圓的幾何性質(zhì).3.用待定系數(shù)法求圓的方程一般步驟為:(1)根據(jù)題意,設(shè)所求方程為(x-a)2+(y-b)2=r2;(2)根據(jù)已知條件,建立關(guān)于a,b,r的方程或方程組;(3)解方程或方程組,求出a,b,r的值,并把它們代入所設(shè)方程得所求解方程.例例2.已知圓的方程是已知圓的方程是x2+y2=r2，求經(jīng)過圓上一點，求經(jīng)過圓上一點M(x0,y0) 的切線的方程。的切線的方程。解：如圖，xyOM(x0,y0)設(shè)切線的

7、斜率為k半徑OM的斜率為k1,因為圓的切線垂直于過切點的半徑，于是11kk 010ykx00 xky 經(jīng)過點M的切線方程是0000 xyyxxy 整理得，x0 x+y0y=x02+y02因為點M(x0,y0)在圓上，所以x02+y02=r2所求切線方程是x0 x+y0y=r2當(dāng)點M在坐標(biāo)軸上時，可以驗證上面方程同樣適用。 例例2 已知圓的方程是已知圓的方程是 ，求經(jīng)過圓上一點，求經(jīng)過圓上一點 的切線的方程。的切線的方程。222ryx),(00yxMP(x , y ),(00yxM 由勾股定理：由勾股定理：|OM|2+|MP|2=|OP|2解法二（利用平面幾何知識）：解法二（利用平面幾何知識）：

8、在直角三角形在直角三角形OMP中中yxOx0 x +y0 y = r2P(x , y ),(00yxMyxO 例例2 已知圓的方程是已知圓的方程是 ，求經(jīng)過圓上一點，求經(jīng)過圓上一點 的切線的方程。的切線的方程。222ryx),(00yxM解法三（利用平面向量知識）：解法三（利用平面向量知識）：OM MP= 0OM MPx0 x +y0 y = r2x2 + y2 = r2練習(xí)練習(xí)3.(1)寫出過圓寫出過圓x2+y2=10上一點上一點M 的切線的方程的切線的方程 2, 62610 xy（2）求過點）求過點A（5，15）向圓）向圓x2+y2=25所引的切線方程。所引的切線方程。（2）解：經(jīng)驗證點）

9、解：經(jīng)驗證點A在已知圓外在已知圓外 ，設(shè)所求切線的切點為，設(shè)所求切線的切點為M（x0,y0）,則切線方程為：則切線方程為： x0 x+ y0 y=25又點又點A在切線上，所以：在切線上，所以： 5x0+15 y0 =25 252020 yx又05,340000yxyx，或解方程組得所以，所求切線的方程為所以，所求切線的方程為4x-3y+25=0或或x=5練習(xí)練習(xí)4、猜想過圓、猜想過圓(x-a)+(y-b)=r上一點上一點(x。,y。)的切線方程的切線方程并給予證明。并給予證明。 切線方程為:()(。)+()(。)=r練習(xí)練習(xí)5.已知圓的方程是已知圓的方程是x2+y2=1，求求（1）斜率等于）斜

10、率等于1的切線的方程；的切線的方程；（2）在）在y軸上截距是軸上截距是 的切線的方程。的切線的方程。2所以切線方程為：y = x2提示：設(shè)切線方程為 y=x+b ,由圓心到切線的距離等于半徑1，得： |b|12+(-1)2=1 解得b=22（2）在y軸上截距是 的切線方程。y = x+2例 3、某施工隊要建一座圓拱橋，其跨度為20m， 拱高為4m。求該圓拱橋所在的圓的方程。解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)圓心坐標(biāo)是（0，b）圓的半徑是r ,則圓的方程是x2+(y-b)2=r2 。把P（0，4） B（10，0）代入圓的方程得方程組：02+(4-b)2= r2102+(0-b)2=r2解得：b= -1

11、0.5 r2=14.52所以圓的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52A （-10，0）B （10，0）P （0，4）yxO 析： (x-a)2+(y-b)2=r2 變一：施工隊認(rèn)為跨度遠了，準(zhǔn)備在中間每隔4m建一根柱子。試給他們計算中間兩根柱子的長度。yxA B P O E F G H C D R T x2+(y+10.5)2=14.52把點P2的橫坐標(biāo)x= -2 代入圓的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52因為y0,所以y=14.52-(-2)2 -10.514.36-10.5=3.86(m)答：支柱答：支柱A2P2的長度約為的長度約為3.86m。 變一：施工隊認(rèn)為跨度遠了，準(zhǔn)備在中間每隔4m建一根柱子。試給他們計算中間兩根柱子的長度。yxA B P O E F G H C D R T 變二：已知一條滿載貨物的集裝箱船，該船及貨物離水面的高度是2米，船寬4米，問該船能否通過該橋？若能，那么船在什么區(qū)域內(nèi)可通過？若不能，說明理由。x2+(y+10.5)2=14.52小結(jié)：1、求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程實質(zhì)就是求 a、b、r2、求圓的切線方程實質(zhì)就是求直線的方程3、有關(guān)圓的實際應(yīng)用問題關(guān)鍵就是抽象出數(shù)學(xué)模