抽象函數(shù)的單調性專題

1、抽象函數(shù)的單調性專題突破一類：一次函數(shù)型函數(shù)滿足：|f(a+b=f(a)+f(b)+耳或f(a_b)二f(a)_f(b)+k例1、f(x)對任意x,yeR都有：f(x+y)=f(x)+f(y)，當x0時,f(x)0時，f(x)2(1)求證：f(x)在R上是增函數(shù)；(2)若f=2，解不等式f(2a3)0時，f(x)2，f=5,求不等式f(a22a2)3的解集。2、定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對任意x,yGR都有f(xy)=f(x)f(y)，且當x0時,f(x)0(1)求證f(x)為奇函數(shù)；(2)若f(k3x)+f(3x-9x-2)V0對任意xR恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.二類：對數(shù)函數(shù)型函數(shù)滿

2、足：f(agb)=f(a)+f(b)|或/(彳)=/(a)-/)例1、f(x)是定義在x0的函數(shù)，且f(xy)=f(x)+f(y);當xl時有f(x)0;f(3)=-1.(1)f(1)和f()的值；(2)證明f(x)在x0上是減函數(shù)；(3)解不等式f(x)+f(2-x)2。例2、定義在(0,+8)上函數(shù)y=f(x)對任意的正數(shù)a,b均有：f(a)=f(a)-f(b)，且當x0,b(I)求f(1)的值；(II)判斷f(x)的單調性，x【專練】：1、定義在(0,+8)上的函數(shù)f(x)對任意的正實數(shù)x,y有f()=f(x)-f(y)且當x1時,yf(x)0.求：(1)f(1)的值.若f(6)=1,解

3、不等式f(x+3)-f(丄)1121212時f(x)0,又f=1，(1)求證：f(x)是偶函數(shù)；(2)f(x)在(0,+8)上是增函數(shù)(3)解不等式f(2x2-1)1時，f(x)0。(1)求證：f(-)=f(x)-f(y)；(2)若f=1，解不等式f(x+1)-f(2x)0時，f(x)1,且對任意x,yeR,有f(x+y)=f(x)-f(y),又知f=2.(1)求f(0)的值；求證：對任意xeR都有f(x)0；(3)解不等式f(3xx2)4；【專練】：1、定義在R上的函數(shù)y=f(x)對任意的m,n都有f(m+n)=f(m)gf(n)，且當x0時，0f(x)0；(II)求證：y=f(x)在R上為

4、減函數(shù);(III)解不等式f(x)f(2x-x2)l。2、若非零函數(shù)f(x)對任意實數(shù)a,b均有f(a+b)=f(a)-f(b)，且當x1；(1)求證：f(x)0；(2)求證：f(x)為減函數(shù)(3)當f(4)=時，解不等式f(x3)-f(5x2)；164四類：冪函數(shù)型函數(shù)滿足：卩心g)二f(a”或/(a)二fb)例1、已知函數(shù)f(x)滿足：對任意x,yeR，都有f(xy)=f(x)gf(y),f(-1)=1,f(27)=9,且當0x0,且f(a+1)39，求a的取值范圍。五類：其他類數(shù)函數(shù)型例1、定義在一1,1上的奇函數(shù)y=f(x)有f=1，且當mne-1,1時,總有:m+n(I)證明：f(x

5、)在-1,1上為增函數(shù)，(ll)解不等式：f(x+)f(亠)，伸)若f(x)2，均有f(x)0；對任意的x,yeR+，均有f(X+1)+f(y+1)=f(xy+1)；(1)試求f的值；(2)求證：f(x)在(1,+8)上是單調遞增；(3)已知對任意的0e(0,兀)，不等式f(cos20+asin0)3恒成立，求a的取值范圍，2、已知函數(shù)f(x)的定義域為xlx#knk丘Z，且對于定義域內的任何x、y，有f(xy)f(x)：f(y)+1、.=f(y)-f(x)成立,且f(a)=1(a為正常數(shù))，當0x0.(I)判斷f(x)奇偶性；(II)證明f(x)為周期函數(shù);(III)求f(x)在2a,3a上的最小值和最大值.3、已知f(x)是定義在-1,1上的奇函數(shù)，且f(1)=1，若任意的a、be1,1，總有(a+b)(f(a)+f(b)0.(1)判斷函數(shù)f(x)在-1,1上的單