弟7章介質波導和介質諧振器

1、第第7 7章章 介質波導和介質諧振器介質波導和介質諧振器頻率的升高對于微帶的主要問題是：高次模的出現(xiàn)，頻率的升高對于微帶的主要問題是：高次模的出現(xiàn)，色散的影響和衰減的加大。色散的影響和衰減的加大。 毫米波，亞毫米波傳輸線基本要求毫米波，亞毫米波傳輸線基本要求l 頻帶寬頻帶寬l 低損耗低損耗( (傳輸損耗和輻射損耗傳輸損耗和輻射損耗) )l 便于集成便于集成l 制造簡便制造簡便主要是懸置帶線，鰭線，介質波導，這里將主要是懸置帶線，鰭線，介質波導，這里將重點討論重點討論圓柱介質波導。圓柱介質波導。 光纖光纖(Optical Fiber)即光導纖維，我們討論通信所即光導纖維，我們討論通信所用的階躍光

2、纖。用的階躍光纖。 它的簡化模型是中心纖芯半徑為它的簡化模型是中心纖芯半徑為a，折射率為折射率為n1；層半徑為層半徑為b，折射率為折射率為n2；外部空氣折射率為外部空氣折射率為n0，并并滿足滿足1211nnn 實際上是波導多模光纖實際上是波導多模光纖, ,到到rb認為已衰減完。我認為已衰減完。我們注意到近年來已開始研究單模光纖，在這種情況下，們注意到近年來已開始研究單模光纖，在這種情況下，我們只要分兩層考慮。我們只要分兩層考慮。7-1 7-1 簡單的介質波導簡單的介質波導毫米波介質波導和光纖是一類表面波傳輸線。毫米波介質波導和光纖是一類表面波傳輸線。其導模為表面波。其導模為表面波。一、介質板波

3、導一、介質板波導 dzxcsfcsfcsf波在邊界上將產(chǎn)生全反射，波在邊界上將產(chǎn)生全反射，電磁波在介質板內及表面沿電磁波在介質板內及表面沿z z方向傳播。場滿足方向傳播。場滿足0EjHHjE 22()0EkH 設波沿設波沿z z向傳播，傳播常數(shù)向傳播，傳播常數(shù) ，電磁場與，電磁場與y y無關無關TE TE 模模TM TM 模模2222()0yyEkEx2222()0yyHkHx0 xyHE xyEH 01yzEHjx 1yzHEjx 1 1、本征值方程、本征值方程 TETE導模為例，要求介質板內為振蕩波型，板外為衰導模為例，要求介質板內為振蕩波型，板外為衰減波型減波型設設()0cos()00c

4、sx dcyffxsE exdEEk xxdE ex0為廣義相位常數(shù)，用于調整不對稱介質板波為廣義相位常數(shù)，用于調整不對稱介質板波導中場的最大值或零點位置。導中場的最大值或零點位置。 22 1/2022 1/2022 1/20()()()ccrcrfrsfskkkk邊界條件：在邊界條件：在x x0 0，x xd d處電磁場切向分量處電磁場切向分量EyEy 和和HzHz連續(xù)連續(xù)00cos(0)sinfscffssEExk EE00cos()()sin()fcfccffcfccEk dExdk Ek dE00cos(0)sinfscffssEExk EE0tg/scfk00cos()()sin()

5、fcfccffcfccEk dExdk Ek dE0tg()/cfccfk dk2()tg()(0,1,2,)cfcscfcfcskk dnnk 本征值方程本征值方程2()tg()(0,1,2,)cfcscfcfcskk dnnk 22 1/2022 1/2022 1/20()()()ccrcrfrsfskkkk4 4個方程可以確定個方程可以確定 ,cfcsk TEnTEn模模TMnTMn模模22()tg()(0,1,2,)rfcfccsscfcscfrfcskk dnnk ,yyEH,yyEH,yyEHcfscfscfs00,TE TM11,TE TM22,TE TM最低次最低次TETE和和

6、TMTM模的場分布模的場分布 2 2、截止條件、截止條件 當當 和和 中有一個小于零，場在相應介質中中有一個小于零，場在相應介質中向橫向輻射，形成輻射模，波導截止。向橫向輻射，形成輻射模，波導截止。cssccs截止條件截止條件 22000srs 或或TETE模：模：2()tg()(0,1,2,)cfcscfcfcskk dnnk 22000srs 或或22 1/2022 1/2022 1/20()()()ccrcrfrsfskkkk220()rfcfrskk220()srccrk0tg()(0,1,2,)rsrcrfrsrfrsk dnn0tg()(0,1,2,)rsrcrfrsrfrsk d

7、nn截止頻率截止頻率 ,0r2a ctgnrsrcrfrsrEfcrTsnfdTMTM模的截止頻率模的截止頻率 ,0arctg2nrfrsrcrcrfrsrfcrTMsnfdl不同金屬波導，介質波導截止時，不同金屬波導，介質波導截止時，0l非對稱介質波導，非對稱介質波導，TETE0 0模的截止頻率最低模的截止頻率最低 l介質波導中表面波導模相速度大于介質板中光速，介質波導中表面波導模相速度大于介質板中光速，小于周圍媒質中相速。小于周圍媒質中相速。000cfs l對稱波導，對稱波導，TEnTEn模和模和TMnTMn模是簡并。截止頻率為模是簡并。截止頻率為 0002cfnfd 主模主模TETE0

8、0和和TMTM0 0的截止頻的截止頻率為零率為零3 3、功率傳輸、功率傳輸 介質板波導單位寬度的平均功率流介質板波導單位寬度的平均功率流 201|22yxyPE H dxEdx 022022002()2202cos ()1144scxsdfcfx dcdffefffeffE edxEk xdxE edxE H dE d有效寬度有效寬度 11effcsdd二、矩形介質波導二、矩形介質波導 xy2a2b1234512345, 場主要集中在芯內傳播，場主要集中在芯內傳播，分為分為ymnE：主要場分量為：主要場分量為EyEy和和HxHx，極化主要在，極化主要在y y方向方向xmnE：主要場分量為：主要

9、場分量為ExEx和和HyHy，極化主要在，極化主要在x x方向方向1 1、 模模應用介質板波導結果，考慮邊界條件應用介質板波導結果，考慮邊界條件 ,xxa yb E xmnE連續(xù)連續(xù),xyHH連續(xù)連續(xù)得特征方程得特征方程0zH 主要極化在主要極化在x x方向方向123322223123()tg(2)()rxrrxrrxrkk ak 45245()tg(2)yyykk bk xkyk22210()2,3irrixkki22210()4,5irriykki傳播常數(shù)傳播常數(shù) 222 1/201()rxykkkymnE2 2、 模模0zE 主要極化在主要極化在y y方向方向特征方程特征方程145542

10、245145()tg(2)()ryrryrryrkk bk 23223()tg(2)xxxkk ak 22210()2,3irrixkki22210()4,5irriykki222 1/201()rxykkkxmnE與與 相同相同三、圓形介質波導三、圓形介質波導 2axyzrr0 介質波導從理論方面著手介質波導從理論方面著手將首推將首推Hondros和和Debye (1910)(1910)。19661966年作為光纖使年作為光纖使用，用，19701970年獲得低耗光纖。年獲得低耗光纖。 圓柱介質波導屬于開波導圓柱介質波導屬于開波導系統(tǒng)系統(tǒng)( (Open Waveguide System) )，

11、因而求解區(qū)域自因而求解區(qū)域自然是全空間然是全空間( (full space) ) 半徑為半徑為a，介質的介電常數(shù)為介質的介電常數(shù)為 1， 0，周圍空，周圍空間是間是 0， 0，所給出的所給出的Z軸與圓柱軸重合。軸與圓柱軸重合。圓形介質波導結構不支持純圓形介質波導結構不支持純TEmnTEmn模和模和TMmnTMmn模。但支模。但支持持TE0nTE0n模和模和TM0nTM0n模。一般存在模。一般存在HEmnHEmn模和模和EHmnEHmn模，主模，主模為模為HE11HE11模。模。2/00/00/00/00/rzzrzczEHrHErrjHHrrkEEr 縱向場方法縱向場方法 220ziziizi

12、ziEEkHH22200ziziiziziEEn kHH1 1、圓柱介質波導的場方程、圓柱介質波導的場方程 圓柱性介質波導內外縱向場均滿足圓柱性介質波導內外縱向場均滿足 或者或者 222220022000iiiiinkk nk 考慮到波導系統(tǒng)考慮到波導系統(tǒng)( (只考慮只考慮入射波入射波) )。有。有 / zj 22222ttZ 省略省略e-j z因子，令因子，令 ( )( )ziiziiEAR rHB又導出兩個常微分方程又導出兩個常微分方程222222222202( )( )0( )( )( )0idmdd R rdR rrrn krmR rdrdr 因為介質波導的開波導特因為介質波導的開波導

13、特點，對于介質波導內部，有點，對于介質波導內部，有22210n k必定是駐波型解，只能是必定是駐波型解，只能是第一類第一類Bessel函數(shù)函數(shù)。而在介。而在介質波導外部質波導外部 22220n k是衰減場，只能取是衰減場，只能取第二類第二類HankerHanker函數(shù)。函數(shù)。cos( )sinjmmCCem111(2)222( )() ()( )() ()mcmcR rD Jk rraR rD Hk rra2222222210010001222222000crckk nkk 其中其中根據(jù)邊界根據(jù)邊界r=a的條件的條件( (注意開波導系統(tǒng)是連續(xù)條件注意開波導系統(tǒng)是連續(xù)條件) ) ,zzE HEH

14、在在r=ar=a處連續(xù)處連續(xù) 2222210pqkkaa12,ccpk a qk a 2222222210010001222222000crckk nkk 令令 2 2、圓柱介質波導得本征方程和、圓柱介質波導得本征方程和色散方程色散方程12121212zzzzEEHHEEHH邊界條件邊界條件得本征方程得本征方程 222224()()()()()rrmpqpqXYXYpq2220(2/) (1)rpqa(2)(2)( )( )11,( )( )mmmmJpHqXYp Jpq Hq模數(shù)的色散方程或特征方程，由此導出傳播因模數(shù)的色散方程或特征方程，由此導出傳播因子子 。介電常數(shù)越大，色散越嚴重。介電

15、常數(shù)越大，色散越嚴重。22 1/21/20()(1)rvpqk a3 3、介質波導模式、介質波導模式 引入歸一化頻率引入歸一化頻率由特征方程由特征方程222224()()()()()rrmpqpqXYXYpq( )( ) onX pY qTE模模1( )( ) onrX pY q TM模模其中，其中，n n表示場沿半徑方向分布的最大值個數(shù)。表示場沿半徑方向分布的最大值個數(shù)。它可以分成兩套獨立分量：它可以分成兩套獨立分量：當當m=0m=0的情況，的情況，兩套獨立分量兩套獨立分量00 , , , zrnzrnHEHTEEEHTM和模和模模模 介質波導的最大特點是介質波導的最大特點是Ez和和Hz會同

16、時存在，會同時存在，從概念上只有這樣才會滿足阻抗條件從概念上只有這樣才會滿足阻抗條件存在存在 mnEH模模mnHE 模模4 4、截止條件、截止條件 介質波導存在介質波導存在TE0n，TM0n，EHmn，HEmn模式模式 22210crkk22220ckk22000k 考慮考慮 金屬圓柱波導與介質圓柱波導比較金屬圓柱波導與介質圓柱波導比較 金屬圓柱波導金屬圓柱波導 220iiiiiEEkHH全空間分區(qū)域求解全空間分區(qū)域求解封閉內區(qū)域求解封閉內區(qū)域求解1100zraEE22211222221212121200,cczzzzkkkkraEEHHEEHH11TE,TM TE模模式式, ,是是主主模模0

17、10nmnmn11TE , TM ;EH, HEHE混混合合模模式式是是主主模模邊界條件邊界條件N N旋轉周期條件旋轉周期條件0 0點有限條件點有限條件場連續(xù)條件場連續(xù)條件N N旋轉周期條件旋轉周期條件0 0點有限條件點有限條件點有限條件點有限條件內部正常傳輸條件內部正常傳輸條件場連續(xù)條件場連續(xù)條件21prcc2112pmnrprcacc 21gc212pmnra ccff20200ckk n截止截止條件條件四、光纖四、光纖 一、光纖結構和參數(shù)一、光纖結構和參數(shù) 階躍光纖芯為主：階躍光纖芯為主：纖芯纖芯折射率折射率n1n1；包層折射率；包層折射率n2n2典型值：典型值：11.48n 21(1)

18、nn0.01 種類：照明光纖；圖像傳輸光纖；通信光纖種類：照明光纖；圖像傳輸光纖；通信光纖 尺寸：尺寸：纖芯纖芯 包層包層8 12 m125 m單模階躍光纖單模階躍光纖 50200 m125400 m多模階躍光纖多模階躍光纖 50 100 m125 140 m多模漸變光纖多模漸變光纖 1 1、折射率分布、折射率分布 1/2121 2 ( / ) ( )nr aran rnra 常用階躍光纖（均勻光纖）常用階躍光纖（均勻光纖） 2常用拋物線漸變折射率光纖常用拋物線漸變折射率光纖 為纖芯半徑，為纖芯半徑， a纖芯包層折射率差纖芯包層折射率差 2212122112nnnnnn 2 2、數(shù)值孔徑、數(shù)值

19、孔徑NANA 數(shù)值孔徑數(shù)值孔徑NANA是光纖可能接受外來入射光的最大是光纖可能接受外來入射光的最大接受角的正弦，表征光纖的光聚集能力的量度。能接受角的正弦，表征光纖的光聚集能力的量度。能傳至另一端的最大投射角傳至另一端的最大投射角孔徑角孔徑角依賴芯和包層折射率，投射于光纖端面光的位置。依賴芯和包層折射率，投射于光纖端面光的位置。00n1n2n芯包層界面產(chǎn)生全反射芯包層界面產(chǎn)生全反射22 1/21/2211202100()sin1 (/)nnnnnnn數(shù)值孔徑數(shù)值孔徑NANA00,max22 1/2121sin()2NAnnnn2222222122222222201022222222201012

20、1()()12ccvuwk ak ak nak n ank a nk a nn3 3、歸一化頻率、歸一化頻率 u和和w是光纖的基本參量，是光纖的基本參量，v決定傳輸?shù)哪?shù)，它與決定傳輸?shù)哪?shù)，它與光波頻率成正比，（光波頻率成正比，（ ） vkw000 光纖的可接受立體角為光纖的可接受立體角為 222012()nn 纖芯截面積纖芯截面積 2Aa進入光纖總的模數(shù)進入光纖總的模數(shù) 22222122222()2AaMnn 02 aNA是決定光纖種可傳輸多少模是決定光纖種可傳輸多少模的無量綱參數(shù)。的無量綱參數(shù)。由數(shù)值孔徑由數(shù)值孔徑 00,max22 1/2121sin()2NAnnnn二、階躍光纖的模式

21、與特性二、階躍光纖的模式與特性 xyzr1n2n2a2b1 1、階躍光纖的導模、階躍光纖的導模 階躍光纖近似為包層半徑階躍光纖近似為包層半徑b 的圓形介質波導的圓形介質波導220ziziiziziEEkHH縱向場均滿足縱向場均滿足 1,2i 考慮考慮 0r 纖芯內導模場有限纖芯內導模場有限 r 纖芯外場必須衰減纖芯外場必須衰減 則則 纖芯內解為第一纖芯內解為第一類類m m階階BesselBessel函數(shù)；函數(shù)；102sin()cossin()cosmczmcmAJk rramEmCKk rram102cos()sincos()sinmczmcmBJk rramHmDKk rram纖芯外為第纖芯

22、外為第二類二類m m階修正階修正BesselBessel函數(shù)函數(shù)色散關系色散關系 22222211012222222202cckkk nkkk n020222zrzcizzcizrizcizziciEjmEjHkrrHjjmEEkrrHjmHjEkrrEjjmHHkrr 由縱向場方法，由縱向場方法，獲得橫向場分量獲得橫向場分量 定義定義 1/2222101cuk ak na纖芯的歸一化橫向傳播常數(shù)纖芯的歸一化橫向傳播常數(shù) 1/2222202cwk ak na包層歸一化橫向衰減常數(shù)包層歸一化橫向衰減常數(shù) 因為因為 /,(/ )wr amwrKwr ae 又又 ,(/ )0mrKwr a 0w 即

23、即 2k截止條件截止條件 截止條件表明導模場不在局限在纖芯內。截止條件表明導模場不在局限在纖芯內。 此外，纖芯內場有限，要求此外，纖芯內場有限，要求u u為實數(shù)為實數(shù) 即即 1k Bessel函數(shù)函數(shù) 修正修正Bessel函數(shù)函數(shù)導模的傳播常數(shù)導模的傳播常數(shù) 022101k nkkk n邊界條件是邊界條件是r=ar=a時時12zzEE12zzHH12EE12HH得系數(shù)之間關系得系數(shù)之間關系 ( )( )0( )( )0mmmmAJuCKwBJuDKw0202( )( )( / )( / )( )( )0(/ )(/ )mmmmmJujjABJuu aau amKwjjCDKww aaw a20

24、122022( )( )( / )( / )( )( )0(/ )(/ )mmmmjnmJujAJuBu au aajnmKwjCKwDw aw aa2 2、特征方程、特征方程 22222122211()()XYk Xk Ymuw( )( ),( )( )mmmmJuKwXYuJuwKw2222212uwkkaa1/2222101cuk ak na1/2222202cwk ak na考慮考慮 2222221uwk wwa2222222wuk uua222222222212012()()wuk wk ukwu22120222211kuwuw22222122211()()XYk Xk Ymuw21

25、212222211()()XYXYmuwuw特征方程特征方程 21212222211()()XYXYmuwuw022101k nkkk n兩者結合，可獲得離散兩者結合，可獲得離散值獲值獲u u值，值，即獲得即獲得 色散關系色散關系 3 3、導波模的討論、導波模的討論 1 1）、）、m m0 0情況情況 0XY0000( )( )0( )( )J uKwuJ uwKw對應對應 TE0nTE0n模模 ,rzEHH和和1100( )( )0( )( )J uK wuJ uwKw120XY102000( )( )0( )( )J uKwuJ uwKw對應對應TM0nTM0n模模 ,rzE HE和和TE

26、onTEon 和和 TMonTMon模模2 2）、）、 情況情況1m 引入弱光導纖維條件引入弱光導纖維條件(n1n2)/n11，即即n1n2( 1= 2)，特征方程簡化為特征方程簡化為22( )( )11( )( )mmmmJuKwmuJuwKwuw 21212222211()()XYXYmuwuw混合模混合模 混合模（混合模（HEmnHEmn縱磁模）和（縱磁模）和（EHmnEHmn縱電模）縱電模） 222211( )( )( )( )11mmmmmuwJuKwuJuwKwmuwEHmnEHmn模模HEmnHEmn模模3)3)、LPLP模模 LP(線極化模線極化模Linearly Polari

27、zed Mode) )是是Gloge根據(jù)滿根據(jù)滿足相同近似特征方程足相同近似特征方程, ,其相位周數(shù)簡并而提出的。其相位周數(shù)簡并而提出的。LP模命名模命名EHmn，HEmn( (m1) )均有均有sinm 和和cosm 簡并簡并 121, kk 特征方程簡化為特征方程簡化為 22( )( )11( )( )mmmmJuKwmuJuwKwuw 當當 0m 對于弱導光纖對于弱導光纖 0101( )( ),( )( )J uJ u KwK w TE0nTE0n和和TM0nTM0n的簡化特征方程相同，產(chǎn)生簡并的簡化特征方程相同，產(chǎn)生簡并 1100( )( )0( )( )J uK wuJ uwKwTE

28、0nTE0n和和TM0nTM0n模模 對于對于 1m 111111( )( )( )22( )( )( )( )( )( )mmmmmmmmmJuJuJumJuJuJuumJuJuJuu111111( )( )( )22( )( )( )( )( )( )mmmmmmmmmKwKwKwmKwKwKwwmKwKwKww 22( )( )11( )( )mmmmJuKwmuJuwKwuw 11( )( )( )( )mmmmJuKwuJuwKwEHmnEHmn模模 11( )( )( )( )mmmmJuKwuJuwKwHEmnHEmn模模 統(tǒng)一表示成統(tǒng)一表示成 11( )( )( )( )lll

29、luJuwKwJ uK w 111lmmTE0nTE0n和和TM0nTM0n模模EHmnEHmn模模HEmnHEmn模模LP模模原命名原命名簡并模簡并模近似特征方程近似特征方程LPos(m=0)HE1s2LP1n(m=1)TE0nTM0nHE2n4LPmn(m2)EHm-1,nHEm+1,n4JuuJ uwKwK w01011( )( )( )( )111010uJ uJuwK wKw( )( )( )( ) 1111uJuJuwKwKwmmmm( )( )( )( ) LP命名命名原有命原有命名名電場分布電場分布Ez場強分布場強分布LP01HE11LP11TE01TM01HE21LP21EH11HE31 然而如果然而如果 中，隨中，隨 減小，減小， 逐漸趨于逐漸趨于 4 4、截止條件和截止頻率、截止條件和截止頻率 在正常情況下，在正常情況下， ，纖芯外層場纖芯外層場隨指數(shù)規(guī)律隨指數(shù)規(guī)律Km(rKm(r) )衰減，這時電磁能量集中在纖芯衰減，這時電磁能量集中在纖芯之內，波的相速度之內，波的相速度 小于周圍介質種光速小于周圍介質種光速 。0201k nk np2