成考專升本高等數(shù)學(xué)二重點(diǎn)及解析精簡版

1、高等數(shù)學(xué)（二）重點(diǎn)知識(shí)及解析（占 80 分左右）I、函數(shù)、極限一、基本初等函數(shù)（又稱簡單函數(shù)）：（1）常值函數(shù)：yc（2）募函數(shù)：yxa（3）指數(shù)函數(shù)：yax（a0,且a1）（4）對(duì)數(shù)函數(shù)：ylogax（ao,且a1）（5）三角函數(shù)：ysinx,ycosx,ytanx,ycotx（6）反三角函數(shù)：yarcsinx,yarccosx,yarctanx,yarccotx二、復(fù)合函數(shù)：要會(huì)判斷一個(gè)復(fù)合函數(shù)是由哪幾個(gè)簡單函數(shù)復(fù)合而成的。例如：|ylncosx是由ylnu,ucosx這兩個(gè)個(gè)簡單函數(shù)復(fù)合而成.L一t3x 一,vv一八一、_.或.丁例如：yarctane是由yarctanu,ue和v3x這

2、三個(gè)簡單函數(shù)復(fù)合而成.該部分是后面求導(dǎo)的關(guān)鍵！三、極限的計(jì)算1、利用函數(shù)連續(xù)性求極限（代入法）：對(duì)于一般的極限式（即非未定式），只要將x0代入到函數(shù)表達(dá)式中，函數(shù)值即是極限值，即limf（x）f（x0）oxx0注意：（1）常數(shù)極限等于他本身，與自變量的變化趨勢(shì)無關(guān)，即limCC0（2）該方法的使用前提是當(dāng)xx0的時(shí)候，而x時(shí)則不能用此方法。例 1：lim44,lim33,limlg2lg2,limxx1x2nI,.x3x1例 2：limx0 x1的Mlimtan（x1）tan（21tan1（非特殊角的三角函數(shù)值不用計(jì)算出來）x2x1212、未定式極限的運(yùn)算法（1）對(duì)于0未定式：分子、分母提取公

3、因式，然后消去公因式后，將 x0代入后函數(shù)值即是極限值。0_2023?0101r-x29例 1：計(jì)算limx3x30未定式，提取公因式0(x3)(x3)解：原式=limlim(x3)6x3x3x3.一x2x10.例 2：計(jì)算lim2-未定式，提取公因式x1x102x1x10解：原式=lim=lim=0 x1x1x1x1x12(2)對(duì)于未定式：分子、分母同時(shí)除以未知量的最高次募，然后利用無窮大的倒數(shù)是無窮小的這一關(guān)系進(jìn)行計(jì)算。.2n3例 1：計(jì)算lim2n上一未定式，分子分母同時(shí)除以n3n1202解：原式lim一n一-無窮大倒數(shù)是無窮小n13033.n3、利用等價(jià)無窮小的代換求極限(1)定義：設(shè)

4、和是同一變化過程中的兩個(gè)無窮小，如果 lim=1,稱與是等價(jià)無窮小，記作(2)TE理：設(shè)、均為無分小，又，旦lim存在則lim=hm或lim?lim?(3)常用的等價(jià)無窮小代換：當(dāng)x0時(shí)，sinxx,tanxx當(dāng)x0時(shí)，sin2x2x,tan(3x)3xn距?口，.sin2x2x,22例 2：極限lim=lim一=lim一=一x05xx05xx055tan3x3x=lim=lim33xx0 xx0例 2：計(jì)算limx3x22x12x3x25.未定式，分子分母同除以解：原式=limx3_2_工xxx.0212220無窮大倒數(shù)是無窮小，因此分子是0 分母是 2sin2x用 2x等價(jià)代換tan3x用

5、3x等價(jià)代換例 3：極限limx0n、一元函數(shù)的微分學(xué)、導(dǎo)數(shù)的表示符號(hào)(1)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)記作:f(X0),yxx0dydx(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)記作:f(x),y或？dx二、求導(dǎo)公式(必須熟記)、(1)(c)0(C為常數(shù))(2)(x)x(3)(ex)ex(4)(Inx)1x(5)(sinx)cosx(6)(cosx)sinx(arcsinx)1x2例：1、x=3x2、6(8)(arctanx)21x12c-x23sin=0,c14、05、-2x三、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算運(yùn)算公式(設(shè) U,V 是關(guān)于x22x36、x1X 的函數(shù)，求解時(shí)把已知題目中的函數(shù)代入公式中的U

6、和 V 即可，代入后(1)(uv)uv(2)(u?v)uvuv特別地(Cu)Cu(C為常數(shù))(3)(u)vuvuv2vCT；-1 一一一、,.，4_例1：|已知函數(shù)yx3cosx2,求y.總用4c-33斛：y=x3cosx2=4x3sinx0=4x3sinxrTT1一一、“一 2 一一一E-,、2.2斛：f(x)=xInxxInx=2xInxx21=2xInxxx所以f(e)=2eInee2ee3e(注意：ine=i,ini=0)四、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)1、方法例如求復(fù)合函數(shù)ysinx2的導(dǎo)數(shù).(1)首先判斷該復(fù)合函數(shù)是由哪幾個(gè)簡單函數(shù)復(fù)合而成的如ysinx2由ysinu和ux2這兩個(gè)簡單函數(shù)復(fù)合而

7、成(2)用導(dǎo)數(shù)公式求出每個(gè)簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即dy=cosu,du=2X(3)每個(gè)簡單函數(shù)導(dǎo)數(shù)的乘想即為復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；注意中間變量要用原變量 X 替代回去.,dydy-du2?=2XCOsu=2XCOsXdxdudx2、方法二(直接求導(dǎo)法)：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于構(gòu)成該復(fù)合函數(shù)的簡單函數(shù)導(dǎo)數(shù)的乘積。如果對(duì)導(dǎo)數(shù)公式熟悉，對(duì)復(fù)合函數(shù)的過程清楚，可以不必寫出中間變量而直接對(duì)復(fù)合函數(shù)從外往里求導(dǎo).例1：設(shè)函數(shù)ycos(3x),求y.斛：y=cox(3x)=sin(3x)(3x)=sin(3x)(3)=3sin(3x)例 2：慳函數(shù)ye1nx，求y.AT?lnxlnx1lnx斛：y=e=e(lnx)=-ex注

8、,總十個(gè)復(fù)合函數(shù)求幾次導(dǎo)，取決于它由幾個(gè)簡單函數(shù)復(fù)合而成。五、高階導(dǎo)數(shù)1、二階導(dǎo)數(shù)記作：y,f(x)或d?dx我們把二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)稱為高階導(dǎo)數(shù)2、求法：(1)二階導(dǎo)數(shù)就是對(duì)一階導(dǎo)數(shù)再求一次導(dǎo)(2)三階導(dǎo)數(shù)就是對(duì)一階導(dǎo)數(shù)求兩次導(dǎo)，對(duì)二階導(dǎo)求一次導(dǎo)例1：知已矢口y5sinx,求y.例 3:已知函數(shù)f(x)1X2，求f(X).一x解：f(x)=一2.22XX1X1XX2X11X221X222X7Xx,y。，fxx0,y0,z-zxx0,y0zzyx0,y0，解：y=5cosx,.y=5sinx2x例2：知已矢口ye，求yxo-解：:y=e2x2x=2e2x,y=2e2x2x=4e2x即yxo=

9、4六、微分的求法：(1)求出函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù)f(x).一_(2)再乘以dx即可.即dyf(x)dx.例1：知已矢口ylnx2,求dy.一，.2121一2斛：y=lnx=x=2x=xxxdy=2dxx例2:性函數(shù)yx4cosx,求dy.應(yīng)力44434 斛：y=xcosxxcosx=4xcosxxsinx34dy=4xcosxxsinxdx田、二元函數(shù)的微分學(xué)一、多元函數(shù)的定義：由兩個(gè)或兩個(gè)以上的自變量所構(gòu)成的函數(shù)，稱為多元函數(shù)。其自變量的變化范圍稱為定義域,，通常記作D。例如：二元函數(shù)通常記作：zf(x,y),(x,y)D二、二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)1、偏導(dǎo)數(shù)的表示方法：(1)設(shè)二元函數(shù)zf(x,y

10、),則函數(shù)z在區(qū)域 D 內(nèi)對(duì)x和對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)記為:zz,fx(x,y),zx；，fy(x,y),zyxy(2)設(shè)二元函數(shù)zf(x,y),則函數(shù)z在點(diǎn)x0,y0處對(duì)x和對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)記為:2、偏導(dǎo)數(shù)的求法(1)對(duì)x求偏導(dǎo)時(shí)，只要將y看成是常量，將x看成是變量，直接對(duì)x求導(dǎo)即可.(2)對(duì)y求偏導(dǎo)時(shí)，只要將 x 看成是常量，將y看成是變量，直接對(duì)y求導(dǎo)即可.如果要求函數(shù)在點(diǎn)xo,y0處的偏導(dǎo)數(shù)，只要求出上述偏導(dǎo)函數(shù)后將x0和y0代入即可n-71-，一“32Z一Z例 1：已知函數(shù)zxy2yx,求一和一.xyZ_2_2Z3.斛：一=3xy2y,=x4xyxyn-2Z_Z例 2：已知函數(shù)Zxsin2y,求和

11、.xyZZ_2_解：一=2xsin2y,=2xcos2yxy三、全微分1、全微分公式：函數(shù)Zf(x,y)在點(diǎn)(x,y)處全微分公式為：dZdxZdyxy2、全微分求法：(1)、先求出兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù).(2)、然后代入上述公式即可xy例 1：性函數(shù)Zsin(xy)3x2y1,求dZ.解：=ycos(xy)6x,=xcos(xy)1xy1dzdxdyycos(xy)6xdxxcos(xy)1dyxy例 2：忸函數(shù)ze2xy，求dz.解：,1=2e2xy,=e2xy1dzzdxdy2e2xydxe2xydyxyxy四、二階偏導(dǎo)的表示方法和求法：,八/Z2Zk 一，4”(1)()=2=fxx(x,y)=

12、zxx兩次都對(duì)x求偏導(dǎo)xxx,z、z-()=f(x,y)=z先對(duì)x求偏導(dǎo)，再對(duì)y求偏導(dǎo)yxxyIV、一元函數(shù)的積分學(xué)都有F(x)f(x),則稱F(x)是f(x)在區(qū)間 I 上的一個(gè)原函數(shù).例 1：(sinx)cosx,因此sinx是cosx的一個(gè)原函數(shù)，cosx是sinx的導(dǎo)數(shù).由于(sinxc)cosx,可見只要函數(shù)有一個(gè)原函數(shù)，那么他的原函數(shù)就有無窮多個(gè)r-一一一.1,例 2:設(shè)f(x)的一個(gè)原函數(shù)為一，求(2)(3)-(-)=xy=fyx(x,y)=zyxyx先對(duì)y求偏導(dǎo)，再對(duì)x求偏導(dǎo)(4)Zz2z，、，()2fyy(x,y)=zyyyyy兩次都對(duì)y求偏導(dǎo)可見二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)共四種，它

13、們都是x,y的函數(shù)。在求二階偏導(dǎo)的時(shí)候一定要注意對(duì)變量的求導(dǎo)次序(寫在符號(hào)前面的變量先求偏導(dǎo))例 1：設(shè)函數(shù)z323xy3xyxy2z3和x2z-2.，一z_2解：=一=3x2x3y3zo3-=2xyy9xy22得一2=6xy2x=6x2y9y2=6x2y9y22=2x318xyy例 2:設(shè)函數(shù)ycosx,求2z2，x解：:x2ysinx得一-xycosx,2z=sinxxy、原函數(shù)的定義：設(shè)F(x)是區(qū)間 I上的一個(gè)可導(dǎo)函數(shù), 對(duì)于區(qū)間I 上的任意一點(diǎn) x,一，11解：因?yàn)橐皇莊(x)的一個(gè)原函數(shù),xL,、1一一、，1F(x)=,所以f(x)=F(x)=一f(x).得f(x)=-2x2,汁1

14、-3(汪：一3xx1)79例 2:又如:(四)、基本積分公式0dxxdxexdx（和導(dǎo)數(shù)公式一樣,必須熟記）Csinxdxdx1x23dxkdx6cosxarctanx3xC,2tanxdtanxcos1xdcosxkxC(k為常數(shù))1)41dxxcosxdxsinxC8dx1=x2lnxCarcsinxC2sinxdx32.Uudu3lncosxC、不定積分的計(jì)算-2cosxtanC-3C（利用換元法，設(shè)tanx-.2.3-.lnxdlnx-lnx2C31、直接積分法：對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行恒等變形，并用積分性質(zhì)和積分公式進(jìn)行積分的方法。2242,.42.x1dx=x2x1dx=xdx2xdx5dx

15、=5例 2:31(12sinx-)dx1dx2sinxdx3dxxx2cosx3lnx2、湊微分法（1）適用前提：如果被積函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)相乘（或相除）或者被積函數(shù)是復(fù)合函數(shù)（通常為較為簡單的復(fù)合函數(shù)）的情況，此時(shí)可以考慮用湊微分法、不定積分f(x)dxF(x)C(其中F(x)f(x)、不定積分的性質(zhì)f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dxkf(x)dxkf(x)dx(其中k為常數(shù))（一）、定義：我們把f（x）的所有原函數(shù)稱為f（x）在區(qū)間 I 上的不定積分，記作:注意：不定積分是原函數(shù)的的全體，因此計(jì)算結(jié)果常數(shù)C 勿忘！（2）湊微分法解法步驟.湊微分2換元3直接積分法4反換元例 1：際不定

16、積分xcosx2dx解：原式=cosx2d-x2=cosx2dx2（1.湊微分）將xdx湊成dx222212.=-cosudu（2.換兀）將x換元成u21.-=-sinuC（3.直接積分法）求出u的不定積分21.22 一，一=-sinxC（4.反換兀）u再用x反換兀2例 2:旭不定積分lnxdxx2-1.解：原式=ln2xd（lnx）（1.湊微分）將一dx湊成dlnxx=u2du（2.換元）將Inx換元成u3=C（3.直接積分法）求出u的不定積分3（4.反換元）u再用lnx反換元何丁族不定積分e3x2dx.一.11解：原式=e3x2d（3x2）（1.湊微分）將dx湊成d（3x2）331=-ed

17、u（2.換兀）將3x2換兀成u31u 一=-eC（3.直接積分法）求出u的不定積分313x2=-eC（4.反換兀）u再用3x2反換兀3注意：淡微分時(shí)要注意湊完微分后前后變量要統(tǒng)一！如果能熟練掌握換元過程，此時(shí)就可以不必寫出中間變量，而直接進(jìn)行積分。4.3,_3.3.s1nx例 4：sinxcosxdx=sinxdsinx=4C（將dx湊成1d3x3例 5:x1x2dx=12、1x2d（1x2）=11312C（將xdx湊成一d1x）23、分部積分法(考到概率為40%左右，要了解的可參考重點(diǎn)解析“詳細(xì)版”)三、不定積分(一)、定積分的定義：由曲邊梯形的面積引出定義公式bA=f(x)dx(A為曲邊梯

18、形的面積)a其中f(x)為被積函數(shù)，a,b為積分區(qū)間，a為積分下限，b為積分上限。用定積分所要注意的事項(xiàng)： 1、 因?yàn)槎ǚe分是曲邊梯形的面積,零。因此定積分的值個(gè)常數(shù),所以對(duì)定積分求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)值必為dx1arctanxdx0，022tsintd2、當(dāng) a=b 時(shí),bf(x)dx=0a因定積分上限ba,當(dāng)ba 時(shí),f(x)dx=abf(x)dx例:1sinxdx0,11cosx(二)、定積分的計(jì)算1、變上限積分的計(jì)算32f(x)dx23f(x)dx(1)記作定義：積分上限x為變量時(shí)的定積分稱為變上限積分，變上限積分是上限x(x)f(t)dtax的函數(shù),(2)變上限積分的導(dǎo)數(shù)：xf(t)dtf(x)將x代入到f(t)即可a例 1：及f(x)xsintdt， 則0(x)sinx.tdtx3x2、牛頓萊布尼茨公式(1)公式：如果F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在a,b上的一個(gè)原函數(shù)，則有f(x)dx=F(x)ba=F(b)F(a)連續(xù)函數(shù)f(x)在a,b上定積分，就是f(x)的一個(gè)原函數(shù)F(x)在a,b上的增量(上限值減下限值)。而連續(xù)函數(shù)f(x)的不定積分，就是f(x)的全體原函數(shù)(原函數(shù)后面加常數(shù)C)可見定積分和不定積分的計(jì)算都是圍繞求原函數(shù)進(jìn)行的(2)由公式可知：02co