第8講：外測(cè)度

1、目的：懂得如何從長(zhǎng)方體的體積概念導(dǎo)出 外測(cè)度概念，了解外測(cè)度與體積概 念的異同。重點(diǎn)與難點(diǎn)：外測(cè)度的定義，不可測(cè)集的 存在性。 正如引言中所說，要研究一般函數(shù)的積分，首先要建立一般集合的“長(zhǎng)度”概念，這一工作可以追溯到19世紀(jì)人們關(guān)于容量的研究，其中具有代表性的人物是Peano（皮嚴(yán)諾）、Jordon（約當(dāng)）以及Lebesgue的老師Borel（波雷爾）。然而，Lebesgue的工作替代了十九世紀(jì)的創(chuàng)造，特別是他改進(jìn)了Borel的測(cè)度論。 一外測(cè)度的定義 問題問題1 1：回憶平面內(nèi)的面積、：回憶平面內(nèi)的面積、3 3維空間中維空間中 長(zhǎng)方體的體積概念，如何定義長(zhǎng)方體的體積概念，如何定義n n 維

2、空間中長(zhǎng)方體的體積？維空間中長(zhǎng)方體的體積？ 問題問題2 2：有限個(gè)互不相交的長(zhǎng)方體之并的：有限個(gè)互不相交的長(zhǎng)方體之并的 體積是什么？體積是什么？問題問題3 3：回憶：回憶RiemannRiemann積分的定義及其幾何積分的定義及其幾何 意義，由此啟發(fā)我們?nèi)绾味x一般意義，由此啟發(fā)我們?nèi)绾味x一般 集合的集合的“面積面積”或或“體積體積”？ 眾所周知，在 中，開矩形的面積為 ，在 中，開長(zhǎng)方體的體積為 。很自然地，我們也稱 中的開集dycbxayxI,),()()(cdabhzldycbxazyxI,),(2R3RnR)()()(lhcdabnbxaxxxIiiin,1,i ),(21為開長(zhǎng)方體

3、，并定義其體積為 如果 是一個(gè)一般的集合怎么辦呢？熟悉RiemannRiemann積分的人可能比較自然地會(huì)想到，用一些長(zhǎng)方體去分割它，然后以長(zhǎng)方體的體積之和近似代替 的體積。但值得注意的是，由于 是一般的集合，它可能不含任何開長(zhǎng)方體，例如若 是有理數(shù)niiiabI1)(nRE EEE 集，它不可能充滿任何長(zhǎng)方體。因此，我們不能象Riemann積分那樣企圖采用長(zhǎng)方體內(nèi)外來擠的辦法來定義一般集合的“長(zhǎng)度”。盡管如此，Riemann積分的思想還是給了我們極大的啟示，它依然是我們的出發(fā)點(diǎn)，只不過具體做法稍不同。定義定義1 1 設(shè) 是 的點(diǎn)集， 是 中的一列開長(zhǎng)方體， ，則 確定一個(gè)非負(fù)的數(shù) （或 ）。

4、記 稱 為 的LebesgueLebesgue外測(cè)度外測(cè)度。EEInn11nnInRnR1nnIu是開長(zhǎng)方體nnnnnIEIIuuEm, |inf11*EEm*二. 外測(cè)度的性質(zhì) 問題問題4 4：回憶：回憶RiemannRiemann積分具有什么性積分具有什么性 質(zhì)，由此猜測(cè)外測(cè)度應(yīng)具有什么質(zhì)，由此猜測(cè)外測(cè)度應(yīng)具有什么 性質(zhì)？性質(zhì)？ 應(yīng)該注意到，由于沒有假定 是有界集，所 以 有可能是 ，就象 的長(zhǎng)度 是 一樣。 由于在 中任意平移一個(gè)長(zhǎng)方體并不 改變其體積，所以外測(cè)度也具有平移不變平移不變 性性，此外外測(cè)度還有如下幾個(gè)基本性質(zhì)： nR),( aEm*E性質(zhì)1 。性質(zhì)2 若 ， 則 。性質(zhì)3

5、。0, 0*mEmBmAm*BA1*1*)(nnnnAmAm問題問題5 5：RiemannRiemann積分具有有限可加性，積分具有有限可加性， 兩個(gè)互不相交的集合之并的外測(cè)兩個(gè)互不相交的集合之并的外測(cè) 度是否為這兩個(gè)集合的外測(cè)度之度是否為這兩個(gè)集合的外測(cè)度之 和？為什么？和？為什么？ 性質(zhì)1是顯而易見的。如果注意到當(dāng) 時(shí)，凡是能蓋住 的開長(zhǎng)方體序列一定也能蓋住 ，則由外測(cè)度定義很容易得到 。事實(shí)上，蓋 住 的 開 長(zhǎng) 方 體 序 列 的 全 體 比 蓋 住 的開長(zhǎng)方體序列全體更多。 為證性質(zhì)3，可采用如下辦法，對(duì)任意 ，由外測(cè)度定義知，對(duì)每個(gè) ，存在開長(zhǎng)方體序列 ，滿足1knkIBA0BAB

6、mAm*ABn從而 ，且于是,|)(1*111*nnnknknnAmIAm1*1*11)2(|nnnnnnknkAmAmI,111nkknnnIA, |2|)(1*1knknnknkIAmIii,)(1nknkAIi由 的任意性知 。 看起來似乎外測(cè)度概念推廣了通常的體積概念，我們所期待的問題已經(jīng)解決，但是，當(dāng)我們完成了在某個(gè)原始概念基礎(chǔ)上推廣或建立一個(gè)新的概念后，首先必須回過頭 1*1*)(nnnnAmAm來審查一下這一概念是否具有合理性，所謂合理性就應(yīng)包括下面兩個(gè)方面的問題： 1、它是否的確為原始概念的自然推廣？ 2、它是否繼承了原始概念的基本特征？按 上述方式定義的外測(cè)度是不是長(zhǎng)方體體

7、積概念的一種推廣呢？這就要看看當(dāng) 是長(zhǎng)方體時(shí)，其體積與外測(cè)度是否相等。為方便計(jì)算，以 為例來說明這件事，一般情形可類似證明。假設(shè) 是矩形或是從某個(gè)矩形挖去有限個(gè)開矩形后剩II2n下的部分， 是 的閉包（顯然 與 有通常的體積）。下面用歸納法證明，如果 是任意有限個(gè)蓋住 的開矩形。則 。如果 是某個(gè)開矩形，它將 蓋住時(shí)，則顯然有 。假設(shè) 是 個(gè)開矩形將 蓋住時(shí)，有 。IIkII,1I|1IIniiII1I|1II kkII,1|1IIkiiII往證蓋住 的 個(gè)開矩形 也滿足記 ，則 仍是從矩形中挖去有限個(gè)開矩形后剩下的部分，且 將 蓋?。ㄊ聦?shí)上，不難證明： ）。由歸納假設(shè)知kII,11k11,k

8、II |11IIkii10kIII0I10kIII11kkIIIII ，于是 所以對(duì)任意有限個(gè)蓋住 的開矩形 ，有 。 IIIIIIIIIkkokkikii1011111|nII,1I|1IInii|01IIkii下設(shè) 是任一列開矩形將 蓋住，則由有限覆蓋定理知存在有限個(gè) ，它們也將 蓋住，于是 ，進(jìn)而 。由 的任意性知 。 由外測(cè)度的定義，不難看到 。于是I 1iiImiiII,1I|1IInkik|1IIii 1iiIIIIm*0)(*IIm即 。 故 。特別地，當(dāng) 是長(zhǎng)方體時(shí)， 。至于相反的不等式則是顯然的。綜上得 。 這說明外測(cè)度確是“體積”（或“面積”、“長(zhǎng)度”）概念的自然拓廣。至此

9、，集合的ImImIImImIm*)()(ImIm*IIm*IIm*IIm*I“體積”問題似乎已得到解決，但事情遠(yuǎn)非如此簡(jiǎn)單。 既然外測(cè)度是體積概念的自然推廣，那么當(dāng) 時(shí)，應(yīng)有 。因?yàn)閰^(qū)間的長(zhǎng)度或立體的體積都是具有可加性的。遣憾的是，外測(cè)度并非對(duì)所有的集合都具有可加性。事實(shí)上，如果對(duì)任意 BABmAmBAm*)(兩個(gè)不交的集合 都有 ，則不難推知對(duì)任意有限個(gè)互不相交的點(diǎn)集 ，也有進(jìn)而對(duì)任意一列互不相交的點(diǎn)集 ，有BA,BmAmBAm*)(nEE,1niiniiEmEm1*1*)(,1nEEniiniiiiEmEmEm1*1*1*)()(令 便知相反的不等式由外測(cè)度的性質(zhì)3立得，所以這就是說，只要

10、外測(cè)度具有可加性，則它一定具有可數(shù)可加性。然而下面的例子說明，外測(cè)度并不具有這種性質(zhì)。n1*1*)(iiiiEmEm1*1*)(iiiiEmEm 例1 對(duì)任意 ，令 顯然 ，故 非空，而且對(duì)任意 ，如果 ，則 。事實(shí)上，若 ，則對(duì)任意 及 ， 均為有理數(shù)， 也為為理數(shù)，于是 及 ) 1 , 0(x),1 , 0(是有理數(shù)xRxxRxxR) 1 , 0(x) 1 , 0 (, yxyxRR yxRR yxRR xRyRxx,xx,yyxx都為有理數(shù)，這說明 ， ，由 的任意性知 （實(shí)際上 是有理數(shù) ）。 這樣， 可以分解成一些互不相交的 之并，對(duì)每個(gè) ，從中任取一點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)集合 ，當(dāng)然 。記 為

11、 中有理數(shù)全體，yRxRyxRR , 1iiIyxyxRRRRyx )1 ,0(xRxRS)1 ,0(S)1 , 1(|SxrxSnn即 是將 平移 后得到的，顯然 ，而且當(dāng) 時(shí)， 。若不然，存在 ，則存在 ，使 ，于是 為有理數(shù)，但由 的構(gòu)造，若 ，則 屬于不同的 ，即 不能為有理數(shù)，因此只能有 ，然而這將導(dǎo)致 ，再次得到矛盾，所以 與 一定不交。yx Smn SnSnr)2 , 1(nSmnSS mnSS Syx,mnryrxnmrryxyx,yxRR ,yxyx mnrr mSnS下證 ，任取 ，則 ，由 的構(gòu)造， 是單點(diǎn)集，設(shè)為 ，于是 是有理數(shù)，且 ，因此存在某個(gè) ，使 ，這樣 。即

12、 。 綜上得 。如果外測(cè)度具有可加性，則1)1 ,0(nnSxRS S) 1 , 0(xxRxxrnnx)1 , 1(x1)1 ,0(nnS)2, 1()1 ,0(1nnSnnSrx注意 是經(jīng)過 平移 后得到的，故 ，于是由 的收斂性知 ，然而這樣導(dǎo)致 。這個(gè)矛盾說明外測(cè)度的確不具有可加性。SnS1*1*)32 , 1()() 1 , 0(1nnnnmSmSmmnrSmSmn*1*nnSm0*Sm301 問題出在哪里呢？是不是外測(cè)度的定義有缺陷？從上面的例子可以看到，整個(gè)的證明并未用到外測(cè)度的具體構(gòu)造，這就是說，只要一種關(guān)于集合的函數(shù)（常稱為集函數(shù)）具備性質(zhì)1、2、3及可加性，就不可避免地會(huì)碰

13、到上述矛盾。而性質(zhì)1、2、3與可加性又是必須具備的條件。由此可見，問題不在于外測(cè)度的定義方法有毛病，而是碰到了一種無法克服的困難。換句話說，總有一些集合，其測(cè)度是不具有可加性的，既然無法克服這個(gè)困難，最好的辦法是把這些集合排除在外，只考慮那些具有可加性的集合。我們把前者稱為不可測(cè)集不可測(cè)集，后者稱為可測(cè)集可測(cè)集。三. 可測(cè)集的定義問題問題6 6：回憶：回憶RiemannRiemann積分的存在性定理，積分的存在性定理， 它啟發(fā)我們應(yīng)如何定義一般的可測(cè)它啟發(fā)我們應(yīng)如何定義一般的可測(cè) 集？集？如何判斷一個(gè)集合是可測(cè)或不可測(cè)的呢？有兩種方法來作出判斷，其一是采用內(nèi)外測(cè)度的辦法，回憶微積分中求曲邊梯形

14、的面積時(shí)，通過將函數(shù)的定義區(qū)間分割成若干小區(qū)間，然后以這些小區(qū)間為邊作若干小矩形包住曲邊梯形，同時(shí)又讓曲邊梯形包住以這些小區(qū)間為邊的另一些小矩形，如果當(dāng)劃分越來越細(xì)時(shí)，內(nèi)外小矩形面積之和趨于同一個(gè)值，則曲邊梯形的面積就存在。否則就不存在，內(nèi)外測(cè)度方法與此很相似，集合E 的外測(cè)度是包住E 的一些小長(zhǎng)方體和體積之和的下確界，如何作內(nèi)測(cè)度呢？ 為敘述方便，以直線上有界點(diǎn)集 為例，不妨設(shè) ，若 可測(cè)， 也應(yīng)可測(cè)，于是應(yīng)有 。如果開區(qū)間 蓋住了 ，則 ，因此一種自然的方式是定義 的內(nèi)測(cè)度為： EEba),(EIbann1),(1nnI),(baE EEba),(EmabEmbamEbam*),(),(E

15、當(dāng) 時(shí)，稱 是可測(cè)集。 直觀地解釋內(nèi)測(cè)度就是將 挖去一些開區(qū)間后剩下部分的長(zhǎng)度之上確界。回憶一下直線上有界閉集的構(gòu)造不難發(fā)現(xiàn)，內(nèi)測(cè)度其實(shí)就是包含在 中的閉集的測(cè)度之上確界；而閉集的測(cè)度可以定義為某個(gè)包含它的閉區(qū)間長(zhǎng)度減去其余集的構(gòu)成區(qū)間長(zhǎng)度之和。E),(*EbamabEmEmEm*E),(ba 但是將這一方法推廣到 中會(huì)帶來一些技術(shù)上的麻煩，所以下面我們采用另外一種方法。 如果 是可測(cè)集（注意，我們尚未定義可測(cè)集）。 也應(yīng)當(dāng)是可測(cè)的，于是應(yīng)有 。但 ，由外測(cè)度性質(zhì)3 至少有一個(gè)為 ，所以上述等式恒成立。 nRE nREREncnccRmEEmEmEm*)(nEm*cEmEm*,由此并不能得到關(guān)

16、于可測(cè)性的任何實(shí)質(zhì)性信息，因此，我們將 限制在任意的開長(zhǎng)方體 上，考慮 與 是否可加，即對(duì)任意開長(zhǎng)方體 ，下式是否總成立： 假如對(duì)一切開長(zhǎng)方體上式總成立，則可以證明對(duì)任意集合 ，下式也成立nRT IEEI cEI I)()(*cEImEImIm)()(*EImEIm事實(shí)上，對(duì)任意 ，存在開長(zhǎng)方體序列 ，使 ，且 。由于0)()(*CETmETmTm1nnITInn1TmITmnn*1*|CETCEIETEInnnn11,)(故 )()(*CETmETm)()(1*1*CEImEImnnnn)()(1*1*CEImEImnnnn)()(*1*1CEImEImnnnn)()(*1CEImEImnnn由 的任意性知 ，于是 。我們就用該式來定義可測(cè)性。TmIImnnnn*1*1|TmCETmETm*)()(TmCETmETm*)()(0定義定義2 2 假設(shè) ，如果對(duì)任意集合 ，都有 則稱 為L(zhǎng)ebesgue可測(cè)集，此時(shí) 稱為 的Lebesgue測(cè)度，簡(jiǎn)記為 。 nRE nRT (1) )()(*CETmETmTmmEEEEm*等式（1）稱為CaratheodoryCaratheodory條件條件，它有一個(gè)等價(jià)的敘述方式，即：對(duì)任意 都有 事實(shí)