電路方程的矩陣形式(簡)

1、1第十五章第十五章 電路方程的矩陣形式電路方程的矩陣形式15-1 割集割集對于復(fù)雜的電路系統(tǒng)，需要研究系統(tǒng)化建立電路方程的方法電路方程的矩陣形式及其系統(tǒng)建立法電路方程的矩陣形式及其系統(tǒng)建立法。圖圖G 是結(jié)點(diǎn)和支路的一個集合，每條支路的兩端都連到相應(yīng)的結(jié)點(diǎn)上。電路的支路是實(shí)體，結(jié)點(diǎn)是支路的匯集點(diǎn)。連通圖連通圖G 圖G中任意兩個結(jié)點(diǎn)間至少有一條支路。本章主要內(nèi)容：本章主要內(nèi)容：主要介紹電路方程的矩陣形式及其系統(tǒng)建立法。簡單介紹電路的狀態(tài)方程。包括：包括：關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣和割集矩陣。割集割集連通圖G的一個割集是G的一個支路集合。把一個割集的所有支路移去將使G分為兩個部分。如果少移去一條支路，則G仍

2、是連通的。2(1)在圖G上作一閉合曲面，使其包圍某些結(jié)點(diǎn)，如果把與此閉合面相切割的所有支路移去，G將被分離為兩部分，這樣的一組支路便構(gòu)成一個割集割集(2) Q1Q7均為割集。連通圖(3)注意：支路的集合(a,d,e,f)和(a,b,c,d,e)不是G的割集。(4)同一割集的所有支路電流滿足KCL。(5)對應(yīng)一組線性獨(dú)立的KCL方程的割集稱為獨(dú)立割集。3“樹樹”一個連通圖G的“樹”T包含G的全部結(jié)點(diǎn)和部分支路， 而“樹”T本身是連通的且不包含回路不包含回路。樹支樹支樹中包含的支路。連支支除樹中包含的支路以外的其它支路圖中實(shí)線為樹支，虛線為連支借助“樹樹”的概念可以確定一組獨(dú)立割集。(2)樹是連接

3、全部結(jié)點(diǎn)所需的最少支路的集合。(1) 連支的集合不能構(gòu)成一個割集。(3)每一條樹支都可以與相應(yīng)的一些連支構(gòu)成割集。這種割集稱為單樹支割集或基本割集。(4) ：具有n個結(jié)點(diǎn)和b條支路得連通圖，其樹支數(shù)為(n-1)，所以有(n-1)個單樹支割集或基本割集，即獨(dú)立割集組獨(dú)立割集組。4基本割集組注意：注意：獨(dú)立割集不一定是單樹支割集。如同獨(dú)立回路不一定是單連支回路一樣。對于右圖(1)選支路(2,3,4,6)為樹支，其余為連支。(2) G1, G2, G3, G4 組成基本割集組 。515-2 關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣有向圖的拓?fù)湫再|(zhì)可以用關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣和割集矩陣描述

4、。圖的結(jié)點(diǎn)與支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)一、關(guān)聯(lián)矩陣關(guān)聯(lián)矩陣?yán)簩τ谟覉D(1)若一條支路與兩個結(jié)點(diǎn)相連，則稱該支路與這兩個結(jié)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)。(2) 支路與結(jié)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)性質(zhì)可以用關(guān)聯(lián)矩陣描述。(3) 對于n個結(jié)點(diǎn)、b條支路的有向圖，其有向圖的關(guān)聯(lián)矩陣為Aa=(nb)階矩陣。ajk=+1表示支路k與結(jié)點(diǎn)j關(guān)聯(lián)且它的方向背離結(jié)點(diǎn)ajk=-1表示支路k與結(jié)點(diǎn)j關(guān)聯(lián)且它的方向指向結(jié)點(diǎn)ajk=0表示支路k與結(jié)點(diǎn)j無關(guān)結(jié)點(diǎn)支路6矩陣中，列對應(yīng)支路，行對應(yīng)結(jié)點(diǎn)分析以上矩陣，每一列只有兩個非零元素，(即每一條支路只與兩個結(jié)點(diǎn)有關(guān)) 任何一行可以由其他(n-1)行導(dǎo)出。將Aa中劃去任一行，得到如下降階關(guān)聯(lián)矩陣下降階關(guān)聯(lián)矩陣 A注意：注

5、意：被劃去的行所對應(yīng)的結(jié)點(diǎn)可以作為參考結(jié)點(diǎn)7Tbiiii21用一個b階列向量表示b條支路電流用矩陣A左乘電流列向量i，得到一個(n-1) 階列向量顯然， A i =0 （15-2）是用A矩陣表示的KCL方程8例如，對于右圖，有：000011001101100000111541643321654321iiiiiiiiiiiiiiiAi9Tbuuuu21用一個b階列向量表示b個支路電壓對于右圖，有：233221131321654321010100110011001101nnnnnnnnnnnnnTuuuuuuuuuuuuuuuuuuuAuTnnnnnuuuu)(121(n-1)個結(jié)點(diǎn)電壓可以用一個

6、(n-1)階列向量表示有nTuAu 是用矩陣A表示的KVL方程（15-3）10二、回路矩陣回路矩陣(1) 一個回路由某些支路組成，則這些支路與該回路關(guān)聯(lián)(2) 支路與回路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)可以用回路矩陣描述。(3) 對于獨(dú)立回路為l、支路數(shù)為b的有向圖，其有向圖的 回路矩陣(獨(dú)立回路矩陣) 為B=(lb)階矩陣。bjk=+1表示支路k與回路j關(guān)聯(lián), 且它們的方向一致bjk=-1表示支路k與回路j關(guān)聯(lián)，且它們的方向相反bjk=0表示支路k與回路j無關(guān)例如，右圖獨(dú)立回路數(shù)為3，其回路矩陣為：12334回路支路11如果所選獨(dú)立回路對應(yīng)一個“樹”的單連支回路組(基本回路組)，則此回路矩陣就稱為基本回路矩陣 B

7、f 。例如，右圖選支路(3、5、6)為樹支， (1、2、4)為連支。則基本回路矩陣為：123注意：注意：寫B(tài)f 時(shí)，(1)矩陣由第一列開始先排連支，再排列樹支。(2)取每一單連支的方向?yàn)閷?yīng)回路的繞行方向，所以有：Bf = 1l Bt 顯然， Bf 中有一個l 階的單位子矩陣12用一個b階列向量表示b個支路電壓用矩陣B左乘電壓列向量u，得到一個l 階列向量顯然，B u =0 （15-5）是用B矩陣表示的KVL方程Tbuuuu2113000111000100110110101546326531654321uuuuuuuuuuuuuuuuBuBu123對于右圖14Tllllliiii21若 l 個

8、回路電流用一個l 階列向量表示則每一對應(yīng)支路電流與回路電流的關(guān)聯(lián)情況為：lTiBi 例如，對于右圖，有：3213132121321654321111101100011010001llllllllllllliiiiiiiiiiiiiiiiiiii123即：為矩陣B表示KCL的矩陣形式（15-6）15三、割集矩陣割集矩陣(1)一個割集由某些支路構(gòu)成，則這些支路與該割集關(guān)聯(lián)(2) 支路與割集的關(guān)聯(lián)性質(zhì)可以用割集矩陣描述。(3) 對于結(jié)點(diǎn)數(shù)為n(獨(dú)立結(jié)點(diǎn)為n-1) 、支路數(shù)為b的有向圖，其獨(dú)立割集數(shù)為(n-1)。有向圖的割集矩陣(獨(dú)立割集矩陣) 為Q=(n-1) b 階矩陣。qjk=+1表示支路k與割

9、集j關(guān)聯(lián), 且它們的方向一致qjk=-1表示支路k與割集j關(guān)聯(lián)，且它們的方向相反qjk=0表示支路k與割集j無關(guān)對于右圖(注意割集方向)16如果將一組單樹支割集選定為一組獨(dú)立割集，則此割集矩陣就稱為基本割集矩陣 Qf 。例如，右圖選支路(3、5、6)為樹支， (1、2、4)為連支。則基本割集矩陣為：注意：注意：寫Qf 時(shí)，(1)矩陣由第一列開始先排樹支，再排連支。(2)取每一單樹支序號與樹支所在列的序號相同，且割集方向與相應(yīng)樹支方向相同，則Qf = 1t Q1 顯然， Qf 中有一個lt 階的單位子矩陣17由于屬于一個割集的所有支路電流的代數(shù)和等于零，所以有：Q i = 0 （15-9）對于右

10、圖(注意割集方向)0001010110110010001116421541321654321iiiiiiiiiiiiiiiiQ Qi i顯然，Qi =0， 是用Q矩陣表示的KCL方程Q1Q2Q3即：為矩陣Q表示的KCL的矩陣形式18Tnttttuuuu)(121若(n-1)個樹支電壓用 (n-1)階列向量表示則每一條支路電壓與樹支電壓的關(guān)聯(lián)情況為：tTfuQu 例如，對于右圖，有：3231321321321421653110101111010010001ttttttttttttttTfuuuuuuuuuuuuuuQuuuuuuu即：支路電壓可以用樹支電壓(割集電壓)表示ut1ut2ut3即：為

11、矩陣Qf表示的KVL的矩陣形式（15-10）19注意比較式（15-2）、 （15-3）、 （15-9）、 （15-10），在形式上有相似之處，對于某些圖，有Qf =AA i =0 （15-2）nTuAu 是用矩陣A表示的KVL方程（15-3）是用A矩陣表示的KCL方程Q i = 0 （15-9） 為矩陣Q表示的KCL的矩陣形式tTfuQu 為矩陣Qf表示的KVL的矩陣形式（15-10）B u =0 （15-5）lTiBi 用矩陣B表示KCL的矩陣形式（15-6）用矩陣B表示KVL的矩陣形式2015-5 結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式結(jié)點(diǎn)電壓法以結(jié)點(diǎn)電壓作為電路的獨(dú)立變量，并用KV

12、L列出足夠的獨(dú)立方程在結(jié)點(diǎn)電壓法中，復(fù)合支路為這里，(1)不允許存在無伴電壓源支路；(2)允許存在受控電壓源。211、復(fù)合支路中 ，且電感之間無耦合， 則對于第 k 條支路有：0dkISkSkekkSkekkkIUUYIUYI)(則對于整個電路有：SSIUUYI)(其中Y為支路導(dǎo)納矩陣，是對角陣（15-15）2、復(fù)合支路中 ，且電感之間有耦合，0dkI則對于整個電路有：SSIUUYI)(其中Y為支路導(dǎo)納矩陣，為非對角陣，其主對角線元素為各支路阻抗，非對角線元素為相應(yīng)的支路之間的互感阻抗223、復(fù)合支路中 ，則對于第 k 條支路有：0dkISkSjjjkjSkkkSkSjjkjSkkkSkdkS

13、kekkkIUUYUUYIUUgUUYIIUUYI)()()()()(或)(SjjkjejkjdkUUgUgI 若為VCCS 若為CCCS)(SjjjkjejkjdkUUYII23Ykj=gkj ( 為VCCS時(shí))kjYj ( 為VCCS時(shí))dkIdkI所以有：24即：SSIUUYI)(其中Y為支路導(dǎo)納矩陣，也不再是對角陣nTUAU由KCL方程KVL方程( 為支路電流列向量)可以推導(dǎo)出結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式0IAI(表示了結(jié)點(diǎn)電壓列向量 與支路電壓列向量 的關(guān)系)nUU和支路方程SSIUUYI)(SSnTUAYIAUAYA（15-16）SSnTnUAYIAJAYAYdefdef，若：nnnJUY則：上式中的每