數(shù)學(xué)史著名公式定理在初中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用版含答案解析

1、數(shù)學(xué)史著名公式定理在初中數(shù)學(xué)的運(yùn)用2018.71.我們把1,1,2,3,5,8,13,21,這組數(shù)稱為斐波那契數(shù)列，為了進(jìn)一步研究，依。?次以這列數(shù)為半徑作90圓??？?？，？?？，？?？，得到斐波那契螺旋線，然后順次連結(jié)?,?,?,得到螺旋折線(如圖)，已知點(diǎn)?(0,1),?(-1,0),?(0,-1),則2.3.4.該折線上的點(diǎn)？?的坐標(biāo)為()A.(-6,24)B.(-6,25)C.(-5,24)D.(-5,25)閱讀下面的材料：1750年歐拉在寫給哥德巴赫的信中列舉了多面體的一些性質(zhì)，其中一條是：如果用V,E,F分別表示凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)，則有？?-?+?=2.這個(gè)發(fā)現(xiàn)，就是著名

2、的歐拉定理.根據(jù)所閱讀的材料，完成：一個(gè)多面體的面數(shù)為12,棱數(shù)是30,則其頂點(diǎn)數(shù)為.數(shù)學(xué)家歌德巴赫通過研究下面一系列等式，作出了一個(gè)著名的猜想.4=2+2;12=5+7;6=3+3;14=3+11=7+7;8=3+5;16=3+13=5+11;10=3+7=5+518=5+13=7+11;通過這組等式，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是(請(qǐng)用文字語言表達(dá)).斐波那契數(shù)列”是這樣一列數(shù)：1,1,2,3,5,8,13,21,34,(從第3個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)是前面兩個(gè)數(shù)的和).斐波那契螺旋線”是以斐波那契數(shù)位邊的正方形拼成的長(zhǎng)方形，然后再正方形里面畫一個(gè)90°的扇形，連起來的弧線就是斐波那契螺旋線.如圖1,自

3、然界中有許多動(dòng)植物是按照斐波那契螺旋線的規(guī)律生長(zhǎng).圖2是小明用1,1,2,3,5,8”構(gòu)成的斐波那契螺旋線，則小明構(gòu)造的斐波那契螺旋線的長(zhǎng)度為.5.背景資料：在已知?航在平面上求一點(diǎn)P,使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.這個(gè)問題是法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱為費(fèi)馬點(diǎn)”.如圖，當(dāng)?個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P在?,此時(shí)/?/?/?120,此時(shí)，?+?+?尚值最小.解決問題：(1)如圖，等邊?有一點(diǎn)P,若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3,4,5,求/?度數(shù).為了解決本題，我們可以將?頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到?!',此時(shí)?'?沱

4、樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA,PB,PC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出/?；基本運(yùn)用：(2)請(qǐng)你利用第(1)題的解答思想方法，解答下面問題：如圖，?,Z?90,?=?E,F為BC上的點(diǎn)，且Z?45,判斷BE,EF,FC之間的數(shù)量關(guān)系并證明；能力提升：(3)如圖,在？?簾，/?90,?=1,/?30,點(diǎn)P為？?？的費(fèi)馬點(diǎn)，連接AP,BP,CP,求？?+?值.6.用水平線和豎起線將平面分成若干個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形格子，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形稱為格點(diǎn)多邊形.設(shè)格點(diǎn)多邊形的面積為S,該多邊形各邊上1的格點(diǎn)個(gè)數(shù)和為a,內(nèi)部的格點(diǎn)個(gè)數(shù)為b,則？?=?臺(tái)？1(史稱“皮克公式”).

5、小明認(rèn)真研究了皮克公式”，并受此啟發(fā)對(duì)正三角形網(wǎng)格中的類似問題進(jìn)行探究：正三角形網(wǎng)格中每個(gè)小正三角形面積為1,小正三角形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形稱為格點(diǎn)多邊形，下圖是該正三角形格點(diǎn)中的兩個(gè)多邊形：(1)根據(jù)圖中提供的信息填表:格點(diǎn)多邊形各邊上的格點(diǎn)的個(gè)數(shù)多邊形18多邊形27一般格點(diǎn)多邊形a格點(diǎn)多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)個(gè)數(shù)格點(diǎn)多邊形的面積13bS（2）則S與a、b之間的關(guān)系為？N（用含a、b的代數(shù)式表示）.7 .請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù):阿基米德折弦定理阿基米德（？?更87-公元前212年，古希臘）是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子.阿拉伯？?？?？-105

6、0年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)？?Q?W?B版了俄文版阿基米德全集，第一題就是阿基米德折弦定理.阿基米德折弦定理：如圖1,AB和BC是。？御兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），?>?M是？?中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即?=?+?不面是運(yùn)用截長(zhǎng)法”證明？?+?部分證明過程.證明：如圖2,在CB上截?。?連接MA,MB,MC和MG.,？?是？?？?？中點(diǎn),.?=?任務(wù)：(1)請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；(2)填空：如圖3,已知等邊?好于。？?=2,D為？?力一點(diǎn)，Z?45,?L?點(diǎn)E,則?周長(zhǎng)是.8 .問題探究：

7、【1】新知學(xué)習(xí)(1)梯形的中位線：連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線.(2)梯形的中位線性質(zhì)：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半.一.,?(3)形如分式(？的常數(shù)，且？>0),若？?>0,則某與；，并且有下列結(jié)論：?.當(dāng)x逐漸增大時(shí)，分母？?+2?循漸增大，分式的值逐漸減少并趨于0,但仍大于?*2?，.?一一0.當(dāng)X逐漸減少時(shí)，分母？?+2?舞漸減少，分式的值逐漸增大并趨于，即趨?+2?2?一1.一，一1于一，但仍小于一.22【2】問題解決一如圖2,已知在梯形ABCD中，？?？?<?,?E、F分別是AB、CD的中點(diǎn).?施邊形?(1)設(shè)?=7,?=17,求:;的值

8、.?泗邊形？?？?？?施邊形?？(2)設(shè)？?為正的常數(shù))，？?=?請(qǐng)問：當(dāng)BC的長(zhǎng)不斷增大時(shí)，-的值西邊形?能否大于或等于3,試證明你的結(jié)論.【3】問題解決二進(jìn)一步猜想：任何一個(gè)梯形的中位線所分成的兩部分圖形的面積的比值所在的范圍是什么,并說明理由.數(shù)學(xué)史著名公式定理在初中數(shù)學(xué)的運(yùn)用2018.7【答案】1. B2. 203. 所有大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個(gè)素?cái)?shù)之和4.19?25.1506. ?+2(?1)7. 2+228. 問題解決一解：（1）設(shè)梯形ADFE的高為h,則梯形BCFE的高為h,.?F分別是AB、CD的中點(diǎn)，.,.?梯形ABCD的中位線，.?=2(?=2(7+17)=12,CC1?

9、1邊形？?？2(12+17)?29，1，一=1=一?施邊形？?？2(7+12)?19（2）當(dāng)BC的長(zhǎng)不斷增大時(shí),?邊形?他邊形?.的值不能大于或等于3;理由如下:?.?F分別是AB、CD的中點(diǎn),.,.?梯形ABCD的中位線，.,.?=1(?=1(?.,2/,2/?CC1?邊形？?？,？"？）？3?由（1）得：?邊形？?=?:?=打?3?.當(dāng)BC的長(zhǎng)x不斷增大時(shí)，后?的分子?3?逐漸增大并趨于，即趨于3,但仍小于3;?的邊形?.當(dāng)BC的長(zhǎng)不斷增大時(shí)，石的值不能大于或等于3;,何邊形?1而小于3；問題解決二解：任何一個(gè)梯形的中位線所分成的兩部分圖形的面積的比值所在的范圍是大于理由如下：由

10、(2)得:?施邊形？?？?+3?也邊形？?？3?<3,當(dāng)x逐漸減少時(shí)，分母3?+?逐漸減少，x趨于a,貝U?+3?趨于4a,3?仔？趨于4a,?他邊形?+3?=喬江的值趨于1但大于1,四邊形?？面邊形?§1而小于3.?面邊形?故任何一個(gè)梯形的中位線所分成的兩部分圖形的面積的比值所在的范圍是大于1 .解：由題意，？?在？的正上方，推出？?在？的正上方，且到？的距離=21+5=26,所以？?的坐標(biāo)為(-6,25),故選：B.觀察圖象，推出？?的位置，即可解決問題.本題考查規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，確定？?的位置.2 .解：由題意可得，？?-30+12=2,解得？

11、?=20.故答案為：20直接把面數(shù)、棱數(shù)代入公式，即可求得頂點(diǎn)數(shù).此題考查歐拉公式的應(yīng)用，直接代入計(jì)算即可.3 .解：此規(guī)律用文字語言表達(dá)為：所有大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個(gè)素?cái)?shù)之和，故答案為：所有大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個(gè)素?cái)?shù)之和根據(jù)以上等式得出規(guī)律進(jìn)行解答即可.此題考查規(guī)律問題，關(guān)鍵是根據(jù)幾個(gè)等式尋找規(guī)律再用文字表達(dá)即可.4 .解：小明構(gòu)造的斐波那契螺旋線的長(zhǎng)度為：90?1?90?90?90?5?90?_90?9_19?180180180180180=180=2,故答案為:19?2,根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算這5段弧的長(zhǎng)度之和即可.本題主要考查弧長(zhǎng)的計(jì)算，熟練掌握弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵.5 .解：(1)

12、.*?.?='?=3、?=?=4、/?=/?由題意知旋轉(zhuǎn)角/?=60,.*?的等邊三角形，P?=?=3,/?'=?50,易證?'為直角三角形，且/?'?90,/?/?=/?'+?'=?60+90=150;故答案為：150°(2) ?'2=?+?,理由如下：如圖2,把?點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90彳導(dǎo)至IJ?A.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，？?=?=?/?'/?也？?'/?/?90?45,./?=?/?/?/_?/?也?90-45=45,/?/?',?在?'沖?？?=?'/?/?；?=?.*?，？?？)?.?&#

13、39;=?./?90,?=?./?/?45,/?'=?45+45=90,由勾股定理得，?2?+?,即？?？=?+?為(3)如圖3,將?點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60至?'?處,？連接?'.在？?？曲，/?90,?=1,/?30,，？2,.?-?=3,.投?點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60,/?'=?60=30+60=90,./?90,?=1,Z?30,，？=2?=2投?點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60,得到?'?'?.?'=?=2,?'?'=?'?,?.M?等邊三角形，.?'/?/?='60?,./?/?/?120,.?也?/?+

14、2?7?=1物+60=.?P、?、'?四點(diǎn)共線,7,在?？，？簾,？?，=?/+?=（3）2+22.?+?+?=?'+?+?=?'=?7.(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換前后的兩個(gè)三角形全等，全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等以及等邊三角形的判定和勾股定理逆定理解答；(2)把?點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到?根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得？?=?=?/?/?/?/?90,再求出/?'?45,從而得到/?/?'?然后利用邊角邊”證明?'?海，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得？?再利用勾股定理列式即可得證.將?點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至4?'?處,？連接

15、？?？'根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出？?？2?即？的朱，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出?等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得？?等邊三角形三個(gè)角都是60。求出/?/?=6?,然后求出C、P、？?、？?四點(diǎn)共線，再利用勾股定理列式求出？，？從而得到?+?+?=?'.?本題考查三角形綜合題，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)變換添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題.6.解：填表如下：格點(diǎn)多邊形各邊上的格點(diǎn)的個(gè)數(shù)格點(diǎn)邊多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)個(gè)數(shù)格點(diǎn)多邊形的面積多邊形1818多邊形27311一般

16、格點(diǎn)多邊形abS則S與a、b之間的關(guān)系為？?=?+2(?1)(用含a、b的代數(shù)式表示).根據(jù)8=8+2(1-1),11=7+2(3-1)得到？?=?+2(?1).考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖.此題需要根據(jù)圖中表格和自己所算得的數(shù)據(jù)，總結(jié)出規(guī)律.尋找規(guī)律是一件比較困難的活動(dòng)，需要仔細(xì)觀察和大量的驗(yàn)算.7.(1)證明：如圖2,在CB上截取？?連接MA,MB,MC和MG.?是?中點(diǎn)，.?=?在?=?/?/?=?.*?.?=?又.？，？?？，？=?=?+?=?+?(2)解：如圖3,截取？?連接AF,AD,CD,由題意可得：？?/?/?在?=?/?/?=?，*?.?.?!_?.?=?則？?=?45,.?=拳=2,則?周長(zhǎng)是2+22.故答案為：2+22.(1)首先證明?進(jìn)而得出？?=?再利用等腰三角形的性質(zhì)得出?=?即可得出答案；(2)首先證明?(?進(jìn)而得出？=?以及？+?=?進(jìn)而求出DE的長(zhǎng)即可得出答案.此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形以及等邊三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線利用全等三角形的判定與性質(zhì)解題是解題關(guān)鍵.8.問題解決一(1)設(shè)梯形ADFE的高為h,則梯形BCFE的高為h,證出EF是梯形ABCD的中位線，由梯1形中位線定理得出？?？?/?=-(?+?=12,由梯形面積公式即可得出答案；cc111?邊形?7)(?+?+?(2)由梯形中位線定理得出？?=2(?+