數(shù)字信號(hào)處理試驗(yàn)：利用FFT分析連續(xù)信號(hào)頻譜

1、數(shù)字信號(hào)處理實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)報(bào)告數(shù)字信號(hào)處理課程實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)報(bào)告實(shí)驗(yàn)一利用FFT分析連續(xù)信號(hào)頻譜實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、進(jìn)一步加深離散傅里葉變換DFT原理的理解；2、應(yīng)用離散傅里葉變換DFT(實(shí)際應(yīng)用FFT計(jì)算)分析連續(xù)信號(hào)的頻譜；3、深刻理解利用DFT分析連續(xù)信號(hào)的頻譜的原理，分析工程中常出現(xiàn)的現(xiàn)象及解決方法。實(shí)驗(yàn)原理1、利用DFT分析連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的頻譜周期為Tp的周期性連續(xù)時(shí)間信號(hào)xp(t)的頻譜(傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù))Xp(jkC)是非周期離散譜，定義為xp(jkQ)=pXpe"jkCdtTp0其中夏=2L=2nf為信號(hào)的基頻，kG為信號(hào)的諧頻，譜線間隔為C。通過(guò)時(shí)域采樣Tp就可以利用DFT分析連續(xù)周

2、期信號(hào)的頻譜。其步驟為：確定周期信號(hào)的基本周期Tp;計(jì)算一個(gè)周期內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)N,若周期信號(hào)的最高頻譜為pC,則頻譜中有2p+1根譜線；若周期信號(hào)的頻譜無(wú)限寬，則認(rèn)為集中信號(hào)90%以上(或根據(jù)實(shí)際需要)能量的前p+1個(gè)諧波為近似的頻譜范圍，其余的諧波忽略不計(jì)。取N>2p+1; 對(duì)連續(xù)周期信號(hào)以采樣間隔T=生進(jìn)行采樣；N 利用FFT計(jì)算采樣信號(hào)的N點(diǎn)DFT,得到X(k);1 最后求出連續(xù)周期信號(hào)的頻譜為Xp(jkC)=；X(k)o1/16數(shù)字信號(hào)處理實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)報(bào)告因?yàn)閷?duì)連續(xù)周期信號(hào)按采樣間隔T=Tp進(jìn)行采樣，每個(gè)周期抽取N點(diǎn)時(shí)，則有Nt=nT,Tp=NT那么、1TpXP=Tp0TNjk2nTx

3、p(t)e*Cdt=£x(nT)eTpPTpn山N小紇n工x(nT)eNn衛(wèi)若能按照滿足采樣定理的采樣間隔進(jìn)行抽樣，并且采取整周期為信號(hào)分析的長(zhǎng)度，則利用FFT計(jì)算得到的離散頻譜值等于連續(xù)周期信號(hào)頻譜Xp(jkQ)的準(zhǔn)確值。2、利用DFT分析連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)的頻譜連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)xa(t)的傅立葉變換，即頻譜Xa(jC),是一個(gè)連續(xù)的非周期函數(shù),定義為Xaj'1=.：.Xate4，tdt同樣，通過(guò)時(shí)域采樣就可以利用DFT分析連續(xù)非周期信號(hào)的頻譜。如果不滿足采樣定理的條件，頻譜會(huì)出現(xiàn)混疊誤差。如果信號(hào)在時(shí)域截取的過(guò)程中，窗口寬度和類型(參照濾波器的設(shè)計(jì))選取得不合適，就會(huì)產(chǎn)

4、生較大的頻譜泄露，從而影響分析的精度。因此，要合理選取采樣間隔和截取長(zhǎng)度。利用DFT分析連續(xù)非周期信號(hào)頻譜的步驟如下：根據(jù)時(shí)域采樣定理，確定時(shí)域采樣間隔T,得到離散序列x(n);確定截取的長(zhǎng)度M得到有限長(zhǎng)M點(diǎn)離散序列乂乂伯)=雙口如6)(這里缶(口)是矩形窗，一般為減小泄露和譜間干擾的影響，應(yīng)加各種緩變的窗)；確定頻譜采樣點(diǎn)數(shù)N,要求N>M;利用FFT計(jì)算離散序列的N點(diǎn)DFT,得到Xm(k);由Xm(k)計(jì)算Xa(jC肝點(diǎn)的近似值Xa(jC)m=k2L=TXM(k)NT因?yàn)閷?duì)連續(xù)非周期信號(hào)按采樣間隔T進(jìn)行采樣，截取長(zhǎng)度為M,那么M1Xa(jCALxaeQdt=TZxa(nT)eHfmT.

5、n=02/16數(shù)字信號(hào)處理實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)報(bào)告對(duì)Xa(jc)進(jìn)彳TN點(diǎn)頻域采樣，所以O(shè)-TM1-，2?knXa(jcym=k-=T£Xa(nTeN=TXm(SNTn旦三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容-、已知連續(xù)周期信號(hào)x(t)=cosf-Ojit)+2sin(18nt)。確定信號(hào)的基頻建和基本周期Tp,以及分析時(shí)采用的采樣點(diǎn)數(shù)N; 利用FFT計(jì)算x(t)的幅度譜； 當(dāng)分析長(zhǎng)度取0.5Tp和-.5Tp時(shí)，利用FFT計(jì)算x(t)的幅度譜；與的結(jié)果進(jìn)行比較,總結(jié)應(yīng)如何選取分析長(zhǎng)度。解答： 信號(hào)基頻C=2冗；基本周期Tp 分析長(zhǎng)度取Tp時(shí)x(t)的幅度譜實(shí)驗(yàn)代碼：>>N=32;> >fs=20;

6、> >n=0:N-;> >t=n/fs;>>x=cos(-0*pi*t)+2*sin(-8*pi*t);=-s；采樣點(diǎn)數(shù)N=32；實(shí)驗(yàn)代碼注釋：設(shè)定進(jìn)行fft的計(jì)算長(zhǎng)度設(shè)定采樣頻率fs=20Hz設(shè)定時(shí)域采樣值n的范圍時(shí)域采樣后采樣值與原時(shí)域值的關(guān)系>>X=x.*(heaviside(t)-heaviside(t-1);對(duì)信號(hào)進(jìn)行時(shí)域上的截取，這里是截取了一個(gè)周期>>y=fft(X,N);>>stem(n,abs(y),'fill');對(duì)X做N位的快速傅里葉變換畫出對(duì)應(yīng)的幅度譜3/16數(shù)字信號(hào)處理實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)報(bào)告

7、分析長(zhǎng)度取0.5Tp時(shí)x(t)的幅度譜實(shí)驗(yàn)代碼：>>N=32;> >fs=20;> >n=0:N-1;> >t=n/fs;> >x=cos(10*pi*t)+2*sin(18*pi*t);> >X=x.*(heaviside(t)-heaviside(t-0.5);對(duì)信號(hào)進(jìn)行時(shí)域上的截取，這里是截取了半個(gè)周期> >y=fft(X,N);>>stem(n,abs(y),'fill');4/16數(shù)字信號(hào)處理實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)報(bào)告分析長(zhǎng)度取1.5Tp時(shí)x(t)的幅度譜實(shí)驗(yàn)代碼：>>N=3

8、2;> >fs=20;> >n=0:N-1;> >t=n/fs;> >x=cos(10*pi*t)+2*sin(18*pi*t);> >X=x.*(heaviside(t)-heaviside(t-1.5);對(duì)信號(hào)進(jìn)行時(shí)域上的截取，這里是截取了1.5個(gè)周期>>y=fft(X,N);>>stem(n,abs(y),'fill');實(shí)驗(yàn)結(jié)果：5/16數(shù)字信號(hào)處理實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)報(bào)告過(guò)程與結(jié)果分析：(1)采樣頻率的計(jì)算：由式子可以看出，這個(gè)信號(hào)的fmax=9HZ,由奈奎斯特采樣定理得fs>2xfmax,

9、所以這里取fs=20Hz。(2)由實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖我們可以看出，當(dāng)截取長(zhǎng)度取1個(gè)周期和取1.5個(gè)周期時(shí)，我們得到的頻譜圖形狀相似，而當(dāng)取0.5個(gè)周期時(shí)，頻譜圖的形狀相差較大，這里我們知道，當(dāng)我們?nèi)〉慕厝￠L(zhǎng)度越長(zhǎng)，信號(hào)越能體現(xiàn)出信號(hào)的本來(lái)特征，我們也可以更加精確地根據(jù)它的離散傅里葉變換了解原信號(hào)的頻譜。(3)本程序中用用了fft這個(gè)函數(shù)，這是MATLA歆件為我們提供的求離散傅里葉變換的系統(tǒng)函數(shù)，直接使用此函數(shù)我們就可以求出我們所定義式子的離散傅里葉變換，而得出的式子分別有幅度譜和相位譜，通過(guò)求絕對(duì)值，就可以求出離散譜。我們得出的譜相當(dāng)于是對(duì)離散時(shí)問(wèn)傅里葉變換采樣，將周期的連續(xù)譜變成了周期的離散譜。(4

10、)通過(guò)傅里葉變換我們可以知道，其實(shí)這個(gè)信號(hào)應(yīng)該是兩個(gè)分離的譜線，但是由于我們對(duì)這個(gè)函數(shù)做了截取，是這個(gè)信號(hào)不再是周期信號(hào)了,信號(hào)的譜線，而不是整個(gè)周期信號(hào)的譜線。所以我們得到的僅是我們所截取部分6/16數(shù)字信號(hào)處理實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)報(bào)告2、利用FFT近似分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)=e-tu(t)的幅度譜。 確定分析時(shí)采用的采樣間隔T,截取長(zhǎng)度M;比較當(dāng)N=M,N=1,5M,N=2M時(shí)確定的幅度譜； 增加截取長(zhǎng)度M和原來(lái)的1.5倍和2倍，重做；并比較結(jié)果； 比較理論值和計(jì)算值，分析誤差原因，提出改善措施。解答：采樣間隔的選擇：乂二4。)的傅里葉變換為X(C)=1/(3+jC),所以可以畫出其幅度圖程序代碼：

11、> >t=-10:0.01:10；> >x=1./(9+t.*t)A0.5;> >plot(t,x);結(jié)果圖：7/16數(shù)字信號(hào)處理實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)報(bào)告實(shí)驗(yàn)代碼：> >T=78;> >M=16;> >N=M;> >n=0:N-1;> >t=n*T;> >x=exp(-3*t);> >y=fft(x);> >mag=abs(y);畫出幅度譜由止匕2圖可知，這個(gè)信號(hào)的頻譜寬度為3/2n,約等于0.5hz,這是3db帶寬，為了使信號(hào)的頻譜選取地足夠充足，我們選取采樣頻率為8hz,

12、這樣采樣間隔為1/8,而在時(shí)域上可以看出，這個(gè)信號(hào)的長(zhǎng)度為2以后就基本為0了，所以取截取長(zhǎng)度為2,這樣M=16o取時(shí)域采樣間隔為1/8,即采樣頻率為8取截取長(zhǎng)度為16令進(jìn)行離散傅里葉變換的分析長(zhǎng)度等于截取長(zhǎng)度劃定時(shí)域采樣的范圍規(guī)定離散值與連續(xù)值之間的關(guān)系對(duì)x函數(shù)做離散傅里葉變換取離散傅里葉變換的幅度譜>>stem(n,mag,'fill');8/16數(shù)字信號(hào)處理實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)報(bào)告N=1.5M時(shí)確定的幅度譜實(shí)驗(yàn)代碼：> >T=78;> >M=16;> >N=1.5*M;此處與上一個(gè)程序相比只是改變了分析長(zhǎng)度> >n=0:N-1

13、;> >t=n*T;> >x=exp(-3*t);> >y=fft(x);> >mag=abs(y);>>stem(n,mag,'fill');實(shí)驗(yàn)結(jié)果:9/16數(shù)字信號(hào)處理實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)報(bào)告N=2M時(shí)確定的幅度譜實(shí)驗(yàn)代碼：> >T=78;> >M=16;> >N=2*M;> >n=0:N-1;> >t=n*T;> >x=exp(-3*t);> >y=fft(x);> >mag=abs(y);> >stem(n,mag

14、,'fill');實(shí)驗(yàn)結(jié)果：10/16數(shù)字信號(hào)處理實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)報(bào)告截取長(zhǎng)度為原來(lái)的1.5倍時(shí)確定的幅度譜實(shí)驗(yàn)代碼：> >T=78;> >M=24;> >N=M;> >n=0:N-1;> >t=n*T;> >x=exp(-3*t);> >y=fft(x);> >mag=abs(y);>>stem(n,mag,'fill');實(shí)驗(yàn)結(jié)果:11/16數(shù)字信號(hào)處理實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)報(bào)告截取長(zhǎng)度為原來(lái)的2倍時(shí)確定的幅度譜實(shí)驗(yàn)代碼：> >T=78;> >M=3

15、2;> >N=M;> >n=0:N-1;> >t=n*T;> >x=exp(-3*t);> >y=fft(x);> >mag=abs(y);>>stem(n,mag,'fill');實(shí)驗(yàn)結(jié)果：12/16數(shù)字信號(hào)處理實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)報(bào)告比較分析：可以看出，這些圖的基本形狀是差不多的，都是兩側(cè)的頻率值對(duì)應(yīng)的幅度值比較高而中央的幅度值比較低，只是在幅度上有些許變化，可以看出，在分析長(zhǎng)度一定的情況下，截取長(zhǎng)度越長(zhǎng)，我們得到的頻譜在一定范圍內(nèi)與真實(shí)值更加接近，可以與第一問(wèn)所求連續(xù)譜相比較；當(dāng)在截取長(zhǎng)度一定的情況下

16、，分析長(zhǎng)度越長(zhǎng)，我們得到的頻譜在一定范圍內(nèi)與真實(shí)值更加接近，可以與第一問(wèn)所求連續(xù)譜相比較。誤差分析：(1)雖然我們是按照奈奎斯特頻率進(jìn)行的采樣，但是由于我們所研究的信號(hào)的頻譜是無(wú)限大的，我們是對(duì)頻譜做了近似后再按采樣定理進(jìn)行的采樣，這樣一來(lái)就一定會(huì)產(chǎn)生頻譜的混疊。產(chǎn)生失真。(2)其次，我們是對(duì)時(shí)域信號(hào)進(jìn)行了截取，雖然時(shí)域信號(hào)在t大于2后值基本等于0,可以忽略不計(jì)，但是我們還是對(duì)信號(hào)進(jìn)行了省略，這樣很容易就產(chǎn)生了失真，影響了我們最后結(jié)果的真實(shí)性。解決方法：這些失真我們是無(wú)法消除的，為了解決這些問(wèn)題，我們最采用的方法就是增加截取長(zhǎng)度，增大采樣頻率，盡量減小失真，但是我們將永遠(yuǎn)無(wú)法消除這些失真。結(jié)果

17、分析：我們通過(guò)fft得到了離散傅里葉變化得到的頻譜，這些頻譜由于截取和采樣等原因產(chǎn)生了一些失真，但是其基本上還是符合信號(hào)的規(guī)律的，我們可以看出這個(gè)信號(hào)的頻譜特13/16數(shù)字信號(hào)處理實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)報(bào)告征，就是在低頻段，所還有的分量較多而在高頻段所含有的頻譜分量較小其次，我們?cè)谶@個(gè)程序中繼續(xù)使用了fft函數(shù)求離散傅里葉變換，這與上一題所使用的方法基本上是一致的。3、已知信號(hào)x(t)=0.15sin(2nfitJ+sin(2uf2t卜0.1sin(2nf3t)，其中f1=1Hz,f2=2Hz,f3=3Hz。從x(t)的表達(dá)式可以看出，它包含三個(gè)正弦波，但從時(shí)域波形圖來(lái)看，似乎是一個(gè)正弦信號(hào)，很難看到小信號(hào)的存在，因?yàn)樗淮蛐盘?hào)所掩蓋。取fs=32Hz,利用FFT做頻譜分析，確定是否有小信號(hào)的存在。解答：實(shí)驗(yàn)代碼：> >fs=32;> >N=32;> >n=0:N-1;> >N=n/fs;> >x=0.15*cos(2*pi*t)+sin(4*pi*t)-0.1*sin(2*pi*3*t);> >y=fft(x);> >mag=abs(y);>>stem(n,mag,'fill&