第四章 多自由度系統(tǒng)

1、第四章 多自由度系統(tǒng)主講：王林鴻教授、博士機械與汽車學院引言從數學上完整敘述多自由度系統(tǒng)振動理論；從數學上完整敘述多自由度系統(tǒng)振動理論；固有頻率與振型理論；固有頻率與振型理論；求解系統(tǒng)響應的振型疊加方法和變換方法。求解系統(tǒng)響應的振型疊加方法和變換方法。4.1 運動微分方程耦合耦合:不是對角矩陣不是對角矩陣列向量列向量方陣方陣解耦是關鍵解耦是關鍵剛度矩陣各元素的意義i i是維持力的自由度的序號是維持力的自由度的序號J J是假設位移自由度的序號是假設位移自由度的序號列列例4.1 定義剛度矩陣從定義出發(fā)列出三矩陣；從定義出發(fā)列出三矩陣；意義明確但比較麻煩意義明確但比較麻煩每一步得到剛度矩陣一個列每一

2、步得到剛度矩陣一個列用能量法求三個矩陣用能量法求三矩陣簡單易行用能量法求三矩陣簡單易行能量法是最普遍的方法能量法是最普遍的方法三矩陣的對稱性矩陣的正定性用能量法求例4.1的矩陣用線性變換法求解方程求解的關鍵是解耦求解的關鍵是解耦解耦的關鍵是矩陣對角化解耦的關鍵是矩陣對角化對角化的關鍵是找變換矩陣對角化的關鍵是找變換矩陣線性變換把耦合的舊坐標線性變換把耦合的舊坐標變換到解耦的新坐標變換到解耦的新坐標解決變換矩陣的存在問題解決變換矩陣的存在問題新舊坐標系的能量新舊坐標系的能量量不變、形式改變量不變、形式改變由能量形式改變導出由能量形式改變導出新舊坐標系三矩陣與新舊坐標系三矩陣與變換矩陣的關系變換矩

3、陣的關系新坐標代入老坐標方程新坐標代入老坐標方程利用新舊坐標三矩陣利用新舊坐標三矩陣新坐標運動微分方程新坐標運動微分方程注意：新坐標下激勵注意：新坐標下激勵由老坐標初始條件導出由老坐標初始條件導出新坐標初始條件新坐標初始條件實現了新老坐標定解問題的變換實現了新老坐標定解問題的變換結論：存在所尋找的變換矩陣結論：存在所尋找的變換矩陣4.2固有頻率與振型解決變換矩陣解決變換矩陣具體內容問題具體內容問題途徑：解固有振動途徑：解固有振動特征值問題特征值問題頻率方程頻率方程解得解得n個固有頻率個固有頻率回代特征方程解得回代特征方程解得n個對應向量個對應向量式不式不固有頻率 固有振型所謂固有，就是與外界激

4、勵無關所謂固有，就是與外界激勵無關完全決定于質量和剛度矩陣。完全決定于質量和剛度矩陣。與單自由度固有頻率類比。與單自由度固有頻率類比。振型的正規(guī)化人為規(guī)定一個人為規(guī)定一個比較大小的基準比較大小的基準模態(tài)質量歸一法模態(tài)質量歸一法正規(guī)化就是歸一化正規(guī)化就是歸一化在新坐標下歸一在新坐標下歸一最大振型歸一法最大振型歸一法振型的正交性振型正交性的物理意義振型正交性的物理意義正交的振型與正交的坐標基相似正交的振型與正交的坐標基相似正交的振型可以用作正交的坐標基正交的振型可以用作正交的坐標基振型的正規(guī)正交化條件為表達方便為表達方便引入記號引入記號單位矩陣單位矩陣最大振型正交歸一法最大振型正交歸一法模態(tài)質量正

5、交歸一法模態(tài)質量正交歸一法兩種正規(guī)正交化方法剛度矩陣對角化剛度矩陣對角化模態(tài)質量正交歸一法模態(tài)質量正交歸一法質量矩陣對角化質量矩陣對角化最大振型正交歸一法最大振型正交歸一法質量、剛度矩陣對角化質量、剛度矩陣對角化實現質量、剛度矩陣的對角化夢里尋她千百度，慕然回首，夢里尋她千百度，慕然回首，答案卻是振型矩陣能使質量剛度矩陣對角化！答案卻是振型矩陣能使質量剛度矩陣對角化！踏遍千山萬水，歷盡千辛萬苦，踏遍千山萬水，歷盡千辛萬苦， 總算找到它了！總算找到它了！全體振型向量組的線性無關性全體振型向量組線性無關全體振型向量組線性無關基、線性表出、振型坐標展開定理能夠解耦的新坐標就是振型坐標能夠解耦的新坐標

6、就是振型坐標展開定理的矩陣形式至此為了方程解耦而苦苦尋找的：至此為了方程解耦而苦苦尋找的：線性變換線性變換變換矩陣變換矩陣=振型矩陣振型矩陣新坐標新坐標=振型坐標振型坐標全部水落石出。全部水落石出。振型坐標下的運動微分方程用尋找到的結論重新書寫解耦運動方程：用尋找到的結論重新書寫解耦運動方程：線性變換線性變換變換矩陣變換矩陣=振型矩陣振型矩陣新坐標新坐標=振型坐標振型坐標模態(tài)質量歸一法模態(tài)質量歸一法最大振型歸一法最大振型歸一法n個單自由度定解問題的組合個單自由度定解問題的組合通過線性變換解耦 物理空間物理空間( )( )0ttMuKu耦合耦合模態(tài)空間模態(tài)空間解耦解耦( )( )0iiiiM q

7、 tK q t( )( )ttuq( )( )ttuq模態(tài)疊加法模態(tài)疊加法現實社會問題現實社會問題“中國夢中國夢”(1)121 1km11x 22x 31x x第一階固有振型:(2)10123km31x 11x 20 x x第二階固有振型:(3)111 32km11x 21x 31x x第三階固有振型:節(jié)點多自由度無阻尼自由振動解的特征振型圖反映了各自由度之間的振動規(guī)則（章法）振型圖反映了各自由度之間的振動規(guī)則（章法）固有振型固有振型固有振型1st1st水平彎曲水平彎曲2nd2nd水平彎曲水平彎曲1st1st扭轉扭轉2nd2nd扭轉扭轉1st1st垂直彎曲垂直彎曲2nd2nd垂直彎曲垂直彎曲固

8、有振型膜的各階固有振型膜的各階固有振型固有振型典型模態(tài)分析實例激勵力可測激勵力可測汽車、工程機械、發(fā)動機、衛(wèi)星等汽車、工程機械、發(fā)動機、衛(wèi)星等變時基法測量大型結構變時基法測量大型結構鐵路橋、飛船發(fā)射平臺、超重訓練機等鐵路橋、飛船發(fā)射平臺、超重訓練機等激勵力不可測激勵力不可測橋梁、樓房、井架等橋梁、樓房、井架等運行中的機車運行中的機車實例1(火箭發(fā)動機,衛(wèi)星,雷達)實例2(汽車,工程機械)實例3(龍洗、編鐘、模型、集中質量梁)實例4(大型結構,錘擊)航天員超重訓練機 鐵路橋 飛船發(fā)射平臺(750T)實例5(橋梁)上海盧浦大橋目前世界上最大跨徑鋼拱、梁組合體系中承式系桿拱橋 超低頻,頻率密集,振型

9、耦合強分析了前12階模態(tài)，包括對稱和反對稱的豎彎、側彎、扭轉等實例6中旅大廈 西寧北川河橋 井架 運行中的機車4.3 動力響應分析多自由度系統(tǒng)的強迫振動多自由度系統(tǒng)的強迫振動阻尼耦合與解耦已經解決：質量矩陣和剛度矩陣對角化問題：找振型矩陣已經解決：質量矩陣和剛度矩陣對角化問題：找振型矩陣還需解決：阻尼矩陣的對角化問題：人為近似處理。還需解決：阻尼矩陣的對角化問題：人為近似處理。振型疊加法求解步驟老坐標定解問題老坐標定解問題通過齊次方程求固有振動得通過齊次方程求固有振動得振型矩陣，用振型矩陣作線振型矩陣，用振型矩陣作線性變換性變換矩陣坐標定解問題的形式矩陣坐標定解問題的形式阻尼耦合與模態(tài)阻尼矩陣

10、對角化問題模態(tài)阻尼矩陣模態(tài)阻尼矩陣Rayleigh阻尼的對角化通過振型矩陣對角化通過振型矩陣對角化老坐標下阻尼矩陣老坐標下阻尼矩陣振型矩陣無法對角化的人為強行規(guī)定人為規(guī)定新坐標下的人為規(guī)定新坐標下的阻尼矩陣為對角矩陣阻尼矩陣為對角矩陣人為強行規(guī)定對角化的三種方法人為規(guī)定新坐標下的人為規(guī)定新坐標下的阻尼矩陣為對角矩陣阻尼矩陣為對角矩陣解耦后的定解問題及解法變成變成n個單自由度方程個單自由度方程逐個求解后，振型坐標下疊加逐個求解后，振型坐標下疊加激勵振型階數的取舍響應振型階數的取舍前十階振型足矣！前十階振型足矣！動力響應舉例第第j行不為行不為0的列向量的列向量第第j階振型階振型新坐標下每個解耦運動

11、方程的解變成變成n個單自由度方程個單自由度方程每個方程第每個方程第j行元素非行元素非0每個方程的單位脈沖響應每個方程的單位脈沖響應舊坐標下系統(tǒng)總響應與單個自由度的響應n個振型的線性組合，是個列向量個振型的線性組合，是個列向量取上邊列向量的第取上邊列向量的第i行行,是個函數是個函數多自由度單位脈沖響應矩陣傳感器位置傳感器位置錘擊位置錘擊位置振動模態(tài)試驗振動模態(tài)試驗系統(tǒng)固有特性：由固有系統(tǒng)固有特性：由固有頻率和固有振型構成頻率和固有振型構成4.4 動力響應分析中的變換方法拉普拉斯變換法變換關系傅里葉變換法傳遞函數矩陣元素的意義頻響函數矩陣元素的意義與脈沖響應函數互為變換對傳遞函數頻響函數與模態(tài)參數

12、的關系受簡諧激勵的振動系統(tǒng)當激勵受簡諧激勵的振動系統(tǒng)當激勵頻率接近系統(tǒng)的固有頻率時會產頻率接近系統(tǒng)的固有頻率時會產生共振。生共振。為減少振動，要改變系統(tǒng)的固為減少振動，要改變系統(tǒng)的固有頻率，或者增加系統(tǒng)的阻尼。有頻率，或者增加系統(tǒng)的阻尼。如果受實際條件的限制，系統(tǒng)如果受實際條件的限制，系統(tǒng)的固有頻率不能改變，而增加阻的固有頻率不能改變，而增加阻尼后仍嫌響應過大，則可考慮采尼后仍嫌響應過大，則可考慮采用動力吸振器。用動力吸振器。4 4、動力吸振器動力吸振器隔振與減振措施二自由度動力吸振器精心選擇字子系統(tǒng)參數精心選擇字子系統(tǒng)參數李代桃僵李代桃僵動力吸振曲線動力吸振曲線動力吸振器與阻尼夾在兩座大山之

13、間，夾在兩座大山之間，要格外小心要格外小心第四章知識點核心問題是耦合與解耦；主要規(guī)律是固有振動。核心問題是耦合與解耦；主要規(guī)律是固有振動。耦合方程向解耦方程的形式轉變；剛度矩陣元素的物理意義；廣義特征耦合方程向解耦方程的形式轉變；剛度矩陣元素的物理意義；廣義特征值問題；頻率方程；振型正規(guī)化（歸一化）；兩種歸一化方法；模態(tài)質值問題；頻率方程；振型正規(guī)化（歸一化）；兩種歸一化方法；模態(tài)質量、模態(tài)剛度；正規(guī)正交化條件；量、模態(tài)剛度；正規(guī)正交化條件；n個振型向量構成個振型向量構成n維向量空間一個基；維向量空間一個基；n個陣型線性表出；振型坐標（主坐標）；展開定理；振型坐標系下的個陣型線性表出；振型坐標（主坐標）；展開定理；振型坐標系下的運動微分方程形式；阻尼矩陣人為對角化的方法；多自由度系統(tǒng)的單位運動微分方程形式；阻尼矩陣人為對角化的方法；多自由度系統(tǒng)的單位脈沖響應；動力吸振器。脈沖響應；動力吸振器?；舅惴ǎ夯舅惴ǎ?.解頻率方程得解頻率方程得n個固有頻率；個固有頻率；2.分別回代分別回代n個固有頻率至廣義特征值問題；個固有頻率至廣義特征值問題；3.分別解相應的廣義特征值問題得分別解相應的廣義特征值問題得n個振型；個振型；4.由由n個振型構成陣型矩陣即是能使方程解耦的變換矩陣；個振型構