流體力學(xué)中的三大基本方程講課講稿

1、流體力學(xué)中的三大基本方程 假定流體連續(xù)地假定流體連續(xù)地 充滿整個流場，從中充滿整個流場，從中 任取出以任取出以 點為中心的微小六面點為中心的微小六面 體空間作為控制體如體空間作為控制體如 右圖?？刂企w的邊長右圖?？刂企w的邊長 為為dxdx，dydy，dzdz，分別，分別 平行于直角坐標軸平行于直角坐標軸x x，zyxo，公式推導(dǎo)：公式推導(dǎo)：（1 1）單位時間內(nèi)流入、流出微元體流體總質(zhì)量變化）單位時間內(nèi)流入、流出微元體流體總質(zhì)量變化 y y，z z。設(shè)控制體中心點處流速的三個分量為。設(shè)控制體中心點處流速的三個分量為 , ,液液體密度為體密度為 。將各流速分量按泰勒級數(shù)展開，并略去高。將各流速分量

2、按泰勒級數(shù)展開，并略去高階微量，可得到該時刻通過控制體六個表面中心點的流階微量，可得到該時刻通過控制體六個表面中心點的流體質(zhì)點的運動速度。例如：通過控制體前表面中心點體質(zhì)點的運動速度。例如：通過控制體前表面中心點M M的的質(zhì)點在質(zhì)點在x x方向的分速度為方向的分速度為通過控制體后表面中心點通過控制體后表面中心點N N的質(zhì)點在的質(zhì)點在x x方向的分速度為方向的分速度為 zyxvvv，dxxvvxx21dxxvvxx21因所取控制體無限小，故認為在其各表面上的流速均勻分布。因所取控制體無限小，故認為在其各表面上的流速均勻分布。所以單位時間內(nèi)沿所以單位時間內(nèi)沿x x軸方向軸方向dydzdxxvvxx

3、21dydzdxxvvxx21流出控制體的質(zhì)量為流出控制體的質(zhì)量為于是，單位時間內(nèi)在于是，單位時間內(nèi)在x x方向流出與流入控制體的質(zhì)量差方向流出與流入控制體的質(zhì)量差為為dxdydzxvdydzdxxvvdydzdxxvvxxxxx2121流入控制體的質(zhì)量為流入控制體的質(zhì)量為 同理可得在單位時間內(nèi)沿同理可得在單位時間內(nèi)沿y y，z z方向流出與流入控制體的質(zhì)方向流出與流入控制體的質(zhì)量差為量差為 dxdydzyvydxdydzzvz故單位時間內(nèi)流出與流入微元體流體質(zhì)量總變化為：故單位時間內(nèi)流出與流入微元體流體質(zhì)量總變化為：xyzdxdydzxyz（）（）（）和和控制體內(nèi)質(zhì)量變化：控制體內(nèi)質(zhì)量變化：

4、因控制體是固定的，質(zhì)量變化是因密度變化引起的，因控制體是固定的，質(zhì)量變化是因密度變化引起的，dtdt時間內(nèi)時間內(nèi)：dtdxdydzdxdydzdtdxdydztt（）單位時間內(nèi)，微元體質(zhì)量增量：單位時間內(nèi)，微元體質(zhì)量增量：dxdydztdtdtdxdydzt/ （微團密度在單位時間內(nèi)的變率與微團體積的乘積）（微團密度在單位時間內(nèi)的變率與微團體積的乘積） 根據(jù)連續(xù)性條件：根據(jù)連續(xù)性條件：0）（）（）（zyxzyxt矢量形式：矢量形式：0t三維連續(xù)性微分方程三維連續(xù)性微分方程適用條件：適用條件： 不可壓縮和可壓縮流體不可壓縮和可壓縮流體 理想和實際流體理想和實際流體 穩(wěn)態(tài)及非穩(wěn)態(tài)流動穩(wěn)態(tài)及非穩(wěn)態(tài)流

5、動不可壓縮性流體的連續(xù)性微分方程：不可壓縮性流體的連續(xù)性微分方程：0zyxzyxor 說明流體體變形率為零，即流體不可壓縮。或流入說明流體體變形率為零，即流體不可壓縮。或流入體積流量與流出體積流量相等。體積流量與流出體積流量相等。 0div穩(wěn)定流動時：穩(wěn)定流動時：所有流體物性參數(shù)均不隨時間而變，所有流體物性參數(shù)均不隨時間而變，0t0）（）（）（zyxzyx二維平面流動：二維平面流動：0yxyx0)(div2.2.理想流體的運動方程理想流體的運動方程3.4.1-3.4.1-歐拉運動微分方程歐拉運動微分方程理論依據(jù)：理論依據(jù)：是牛頓第二定律在流體力學(xué)上的具體應(yīng)用，它建是牛頓第二定律在流體力學(xué)上的具

6、體應(yīng)用，它建立了理想流體的密度、速度、壓力與外力之間的關(guān)系。立了理想流體的密度、速度、壓力與外力之間的關(guān)系。17751775年由年由歐拉歐拉推出流體力學(xué)中心問題是流速問題，流體流速推出流體力學(xué)中心問題是流速問題，流體流速與其所受到外力間的關(guān)系式即是運動方程。與其所受到外力間的關(guān)系式即是運動方程。推導(dǎo)過程：推導(dǎo)過程：取微小六面控制體取微小六面控制體牛頓第二定律牛頓第二定律oror動量定理：動量定理：推導(dǎo)依據(jù)：推導(dǎo)依據(jù)：dtmddtdmamF）（即作用力之合力即作用力之合力= =動量隨時間的變化速率動量隨時間的變化速率 分析受力：分析受力：質(zhì)量力：質(zhì)量力： fdxdydz單位質(zhì)量力：單位質(zhì)量力：k

7、fjfiffzyx X X方向上所受質(zhì)量力為：方向上所受質(zhì)量力為： 表面力：表面力： 理想流體，沒有粘性，所以表面力只有壓力理想流體，沒有粘性，所以表面力只有壓力 X X方向上作用于垂直方向上作用于垂直x x軸方向兩個面的壓力分別為：軸方向兩個面的壓力分別為：22MNp dxp dxppppxxX X方向上質(zhì)點所受表面力合力：方向上質(zhì)點所受表面力合力：MNpppdydzdxdydzx （）dxdydzfx流體質(zhì)點加速度流體質(zhì)點加速度 a 的計算方法：的計算方法：），（tzyx流速的全導(dǎo)數(shù)應(yīng)是：流速的全導(dǎo)數(shù)應(yīng)是：zyxtdtdazyx當?shù)丶铀俣龋寒數(shù)丶铀俣龋毫鲌鲋心程幜黧w運動速度對時間流場中某處

8、流體運動速度對時間的偏導(dǎo)數(shù)，反映了流體速度在固定位置處的時的偏導(dǎo)數(shù)，反映了流體速度在固定位置處的時間變化特性間變化特性遷移加速度：遷移加速度：流場由于流出、流進某一微小區(qū)流場由于流出、流進某一微小區(qū)域而表現(xiàn)出的速度變化率。域而表現(xiàn)出的速度變化率。）（tfx ）（tfy）（tfy 流體質(zhì)點加速度流體質(zhì)點加速度 a 在三個坐標軸上的分量表示成：在三個坐標軸上的分量表示成：xxxxxxxyzyyyyyyxyzzzzzzzxyzdadttxyzdadttxyzdadttxyz代入牛頓第二定律求得運動方程：代入牛頓第二定律求得運動方程：得得x x方向上的運動微分方程：方向上的運動微分方程： xxdpdx

9、dydzdxdydzf dxdydzdtx 單位體積單位體積流體的運動微分方程：流體的運動微分方程：xxdpfdtx 單位質(zhì)量單位質(zhì)量流體的運動微分方程：流體的運動微分方程：1xxdpfdtx 同理可得同理可得y,zy,z方向上的：方向上的：yz111xxxxxxyzxyyyyyxyzzzzzzxyzdpfdttxyzxdpfdttxyzydpfdttxyzz向量形式：向量形式： 1dfgradpdt 式中：式中： pppgradpijkxyZ 理想流體歐拉運動微分方程理想流體歐拉運動微分方程 適用條件：適用條件：理想流體，不可壓縮流體和可壓縮流體理想流體，不可壓縮流體和可壓縮流體（5 5）連

10、續(xù)性微分方程和運動方程在求解速度場中的應(yīng)用）連續(xù)性微分方程和運動方程在求解速度場中的應(yīng)用這里以不可壓縮粘性流體穩(wěn)定等溫流動為例：這里以不可壓縮粘性流體穩(wěn)定等溫流動為例：連續(xù)性方程：連續(xù)性方程：0zyxzyx 運動方程：運動方程： 2222221()xxxxxxxxyzxpftxyzxxyz2222221()yyyyyyyxyzypftxyzyxyz1. 1. 含有四個未知量含有四個未知量 完整的方程組。完整的方程組。2. 2. 描述了各種量間的依賴關(guān)系。描述了各種量間的依賴關(guān)系。3. 3. 通解、單值條件通解、單值條件（幾何條件、物理條件、邊界條件、初（幾何條件、物理條件、邊界條件、初始條件）

11、始條件）特解。特解。即描述流體流動的即描述流體流動的完整方程組完整方程組+ +單值性條件單值性條件描述某一特定流動。描述某一特定流動。），（Pzyx,2222221()zzzzzzzxyzzpftxyzzxyz3.3. 伯努利方程 (Bernoulli) (Bernoulli)理想流體穩(wěn)定流動的伯努利微分方程理想流體穩(wěn)定流動的伯努利微分方程由由理想流體理想流體歐拉運動微分方程歐拉運動微分方程111xxyyzzdpfxdtdpfydtdpfzdt是是穩(wěn)定流動穩(wěn)定流動，vx,vy,vz，p都只是坐標函數(shù)，與時間都只是坐標函數(shù)，與時間無關(guān)，方程轉(zhuǎn)換去除無關(guān)，方程轉(zhuǎn)換去除t項項伯努利（伯努利（D.Be

12、rnouli 1700D.Bernouli 170017821782）方程的提出和意義）方程的提出和意義 推導(dǎo)得：推導(dǎo)得：1ddpgdz Or 10gdzdpd 伯努利方程微分形式。伯努利方程微分形式。 說明：說明： 流體質(zhì)點在微小控制體流體質(zhì)點在微小控制體dxdydz范圍內(nèi)，沿任意方向流線流動時的能量平衡關(guān)范圍內(nèi)，沿任意方向流線流動時的能量平衡關(guān)系式。系式。適用范圍：適用范圍：理想流體、穩(wěn)定流體、質(zhì)量理想流體、穩(wěn)定流體、質(zhì)量力只有重力且力只有重力且在微小控制體在微小控制體dxdydzdxdydz范圍內(nèi)范圍內(nèi)沿某一根流線；沿某一根流線；物理意義：物理意義：揭示了沿某一根流線運動著揭示了沿某一根

13、流線運動著的流體質(zhì)點速度，位移和壓強、密度四者的流體質(zhì)點速度，位移和壓強、密度四者之間的微分關(guān)系。之間的微分關(guān)系。 3.1 伯努利方程積分形式伯努利方程積分形式 1.沿流線的積分方程：沿流線的積分方程：CdPgz22 設(shè)：設(shè)： const 22pgzCOr 22pzCrg 理想流體微元流束的伯努利方程。理想流體微元流束的伯努利方程。 10gdzdpd 適用條件：理想流體、不可壓縮性流體、穩(wěn)定適用條件：理想流體、不可壓縮性流體、穩(wěn)定流動、質(zhì)量力只有重力，且沿某一根流線；流動、質(zhì)量力只有重力，且沿某一根流線；任選一根流線上的兩點：任選一根流線上的兩點：22112212c22ppzzrgrg （流線

14、變化了則C值變化） 靜止流體：靜止流體：pzCr靜止容器內(nèi)任一點的靜止容器內(nèi)任一點的z z 與與 P/r P/r 之和為常數(shù)。之和為常數(shù)。 靜力學(xué)方程靜力學(xué)方程物理意義及幾何意義：物理意義及幾何意義：z z : : 單位重量流體所具有的位能單位重量流體所具有的位能NM/N NM/N ；（可以看成；（可以看成mgz/mgmgz/mg）P/r : P/r : 單位重量流體所具有的壓力能；單位重量流體所具有的壓力能； 物理意義：物理意義：g22：單位重量流體所具有的動能；：單位重量流體所具有的動能； 三者之和為單位重量流體具有的機械能。三者之和為單位重量流體具有的機械能。理解：質(zhì)量為理解：質(zhì)量為m微

15、團以微團以v 運動，具有運動，具有mvmv2 2/2/2動能，若用動能，若用 重量重量mgmg除之得除之得v v2 2/2g/2g理想、不可壓縮流體在重力場中作穩(wěn)定理想、不可壓縮流體在重力場中作穩(wěn)定流動時，沿流線流動時，沿流線or無旋流場無旋流場中流束運動中流束運動時，單位重量流體的位能，壓力能和動時，單位重量流體的位能，壓力能和動能之和是常數(shù)，即機械能是守恒的，且能之和是常數(shù)，即機械能是守恒的，且它們之間可以相互轉(zhuǎn)換它們之間可以相互轉(zhuǎn)換 。物理意義：物理意義：幾何意義：幾何意義：z ：單位重量流體的位置水頭；：單位重量流體的位置水頭； （距離某一基準面的高度）（距離某一基準面的高度）P/r

16、: 單位重量流體的壓力水頭，或靜壓頭；單位重量流體的壓力水頭，或靜壓頭； （具有的壓力勢能與一段液柱高度相（具有的壓力勢能與一段液柱高度相當）當）g22: 單位重量流體具有的動壓頭單位重量流體具有的動壓頭oror速度水頭速度水頭, ,速度壓頭。速度壓頭。物理中：質(zhì)量為物理中：質(zhì)量為m m以以速度速度v垂直向上拋能達到的垂直向上拋能達到的最高高度為最高高度為v2/2g三者之和為單位重量流體的總水頭。三者之和為單位重量流體的總水頭。理想、不可壓縮流體在重力場中作穩(wěn)態(tài)流動時，沿一根理想、不可壓縮流體在重力場中作穩(wěn)態(tài)流動時，沿一根流線（微小流束）的總水頭是守恒的，同時可互相轉(zhuǎn)換。流線（微小流束）的總水

17、頭是守恒的，同時可互相轉(zhuǎn)換。幾何意義：幾何意義：3 3.2.2 伯努利方程的應(yīng)用伯努利方程的應(yīng)用 w可求解流動中的流體可求解流動中的流體v v、P P及過某一截面的流量；及過某一截面的流量；w以伯努利方程為原理測量以伯努利方程為原理測量流量的裝置。流量的裝置。皮托管（畢托管）皮托管（畢托管）：測量流：測量流場中某一點場中某一點流速流速的儀器。的儀器。皮托曾用一兩端開口彎成皮托曾用一兩端開口彎成直角的玻璃管測塞那河道直角的玻璃管測塞那河道中任一點流速。中任一點流速。A A點為駐點點為駐點）：（0總壓總壓皮托管：皮托管：B B點：點：A A點前選一點不受玻璃管干擾的點；點前選一點不受玻璃管干擾的點；A-BA-B認為是一條流線。認為是一條流線。列沿流線列沿流線ABAB上兩點的伯努利方程：上兩點的伯努利方程：2222AABBABppzzrgrgzA=zBA=0P PB B總總=P=PA A=r(H=r(H0 0+h) +h) P PB B=rH=rH0 0總