13.3.1等腰三角形的判定(2)講解

1、給我最大快樂(lè)的，不是已懂的知識(shí)，給我最大快樂(lè)的，不是已懂的知識(shí)，而是不斷的學(xué)習(xí)而是不斷的學(xué)習(xí).-高斯高斯1 1復(fù)習(xí)、等腰三角形的復(fù)習(xí)、等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)是什么？是什么？性質(zhì)性質(zhì)1 等腰三角形的兩個(gè)底角相等。等腰三角形的兩個(gè)底角相等。（可以簡(jiǎn)稱：（可以簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角等邊對(duì)等角）2 2引入：引入：我們知道，如果一個(gè)三角形有兩條邊我們知道，如果一個(gè)三角形有兩條邊相等，那么它們所對(duì)的角相等，反過(guò)來(lái)，如果相等，那么它們所對(duì)的角相等，反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？性質(zhì)性質(zhì)2 等腰三角形的頂角平分線與底邊上的中線，底等

2、腰三角形的頂角平分線與底邊上的中線，底邊上的高互相重合邊上的高互相重合(等腰三角形三線合一)如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等. .簡(jiǎn)寫成簡(jiǎn)寫成”等角對(duì)等等角對(duì)等邊邊”. .2、你能證明、你能證明“等角對(duì)等邊等角對(duì)等邊”嗎？嗎？二、合作探究二、合作探究1、大膽猜想、大膽猜想已知：已知：ABC中，中，B=C求證：求證：AB=AC證明：證明：作作BAC的平分線的平分線AD在在BAD和和CAD中，中，1=2，B=C，AD=AD BAD CAD（AAS）AB=AC（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）1ABCD2還

3、有其他證法嗎？還有其他證法嗎？ AD平分平分BAC ， 1=2如果如果一個(gè)三角形一個(gè)三角形 有有兩個(gè)角相等兩個(gè)角相等，那么這那么這兩個(gè)角所對(duì)的兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等邊也相等. .注意：注意： “等角對(duì)等邊等角對(duì)等邊”的前提是的前提是一個(gè)一個(gè) 三角形三角形 如圖如圖,下列推理正確嗎下列推理正確嗎? ? A AB BC CD D211=2 BD=DC（等角對(duì)等邊）（等角對(duì)等邊）1=2 DC=BCABCD21（等角對(duì)等邊）（等角對(duì)等邊）錯(cuò)，錯(cuò)，因?yàn)槎疾皇窃谝驗(yàn)槎疾皇窃谕粋€(gè)三角形同一個(gè)三角形中。中。辯一辯辯一辯3、等腰三角形的判定：、等腰三角形的判定： 如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)角相等如果一個(gè)三角形中有兩

4、個(gè)角相等,那么這兩那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等個(gè)角所對(duì)的邊也相等.(簡(jiǎn)稱為簡(jiǎn)稱為:等角對(duì)等邊等角對(duì)等邊)4、等腰三角形的性質(zhì)與判定有區(qū)別嗎、等腰三角形的性質(zhì)與判定有區(qū)別嗎?性質(zhì)是:等邊 等角判定是:等角 等邊符號(hào)語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言：在在ABC中中 B=C AB=AC （等角對(duì)等邊等角對(duì)等邊）ABC5、歸納總結(jié)名名稱稱圖圖 形形概概 念念性質(zhì)與邊角關(guān)系性質(zhì)與邊角關(guān)系 判判 定定 等等 腰腰 三三 角角 形形A AB BC C有兩邊有兩邊相等的相等的三角形三角形是等腰是等腰三角形。三角形。2.等邊對(duì)等角等邊對(duì)等角,3. 三線合一。三線合一。4.是軸對(duì)稱圖形是軸對(duì)稱圖形.2.等角對(duì)等邊等角對(duì)等邊1.兩邊相

5、等。兩邊相等。1.1.兩腰相等兩腰相等. . 例例1 1：求證：如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于求證：如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個(gè)三角形是等腰三角形。三角形的一邊，那么這個(gè)三角形是等腰三角形。求證：求證：AB=ACAB=AC已知：已知：如圖，如圖，CAE是是ABC的外角，的外角，AD平分平分CAE ， ADBC。證明證明：ADBC，1=B（兩直線平行兩直線平行,同位角相等同位角相等） 2=C（兩直線平行兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等）內(nèi)錯(cuò)角相等） AD平分平分CAE 1=2，B=C， AB=AC(等角對(duì)等邊）。等角對(duì)等邊）。 。ABCDE12 例例2、已知等腰三角形的底邊等于

6、、已知等腰三角形的底邊等于a，底邊，底邊上的高等于上的高等于b，你能用尺規(guī)作圖的方法作出，你能用尺規(guī)作圖的方法作出這個(gè)等腰三角形嗎？這個(gè)等腰三角形嗎？abMDCBAN作法：（作法：（1）作線段）作線段BC，使，使BC=a；（2）作）作BC的的垂直平分線垂直平分線MN，交，交BC于于D；（3）在）在MN上截取上截取DA=h,得得A點(diǎn)；點(diǎn)；（4）連結(jié)）連結(jié)AB、AC，則，則ABC即為所求等即為所求等腰三角形。腰三角形。問(wèn)題：?jiǎn)栴}：1.1.如右圖所示如右圖所示ABCABC是等腰三角形是等腰三角形,AB=AC,AB=AC,倘倘若一不留心若一不留心. .它的一部分被墨水涂沒(méi)了它的一部分被墨水涂沒(méi)了, ,

7、只留下一條只留下一條底邊底邊BCBC和一個(gè)底角和一個(gè)底角C.C.同學(xué)們想一想同學(xué)們想一想, ,有沒(méi)有辦法有沒(méi)有辦法把原來(lái)的等腰三角形把原來(lái)的等腰三角形ABCABC重新畫出來(lái)重新畫出來(lái)? ?大家試試看大家試試看. .A AB BC CB BC C方法一方法一：用角的相等來(lái)畫：用角的相等來(lái)畫.B BC CA A方法二方法二：用過(guò)一邊中點(diǎn)作垂線的方法來(lái)畫：用過(guò)一邊中點(diǎn)作垂線的方法來(lái)畫.A1.1.在在ABCABC中中, ,已知已知A=40A=40,B=70,B=70, , 試判斷試判斷ABCABC是什么三角形是什么三角形, ,為什么為什么? ?答答: : ABCABC是等腰三角形。是等腰三角形。理由：

8、理由：在在ABCABC中，中， A=40,B=70, C=180 C=180AABB（三角形內(nèi)角和等于（三角形內(nèi)角和等于180180）=180=70=70B=C=70B=C=70AB=ACAB=AC（等角對(duì)等邊）（等角對(duì)等邊）即即ABCABC是等腰三角形是等腰三角形1、已知：如圖，、已知：如圖，ABC中，中， A=B=C求證：求證：AB=AC=BCABC證明：在證明：在ABC中中 A=B（已知）（已知）BC=CA（等角對(duì)等邊）（等角對(duì)等邊）同理同理 CA=ABBC=CA=ABCBAD122、已知：如圖，、已知：如圖， A= DBC =360， C=720。計(jì)算計(jì)算1和

9、和2，并說(shuō)明，并說(shuō)明圖中有哪些等腰三角形？圖中有哪些等腰三角形？ 解：解：1=720 2=360等腰三角形有：等腰三角形有： ABC ABDBCDCBAD125 5、如圖、如圖, ,在在ABCABC中中,AB=AC, A=36,AB=AC, A=36, ,你能把你能把ABCABC分成三個(gè)等腰分成三個(gè)等腰三角形嗎三角形嗎?(?(提供兩種以上不同的作圖方案提供兩種以上不同的作圖方案) )ABCDEA BCD EABC動(dòng)手畫一畫動(dòng)手畫一畫ABCABCABC3、如圖，把一張矩形的紙沿對(duì)角線、如圖，把一張矩形的紙沿對(duì)角線折疊，重合的部分是一個(gè)等腰三角折疊，重合的部分是一個(gè)等腰三角形嗎？為什么？形嗎？為什

10、么？ABCGDE123解：重合部分是等腰三角形。理由：由ABDC是矩形知 ACBD 3= 2由沿對(duì)角線折疊知 1 = 2 1= 3 BG=GC（等角對(duì)等邊） 證明：證明： BA=BC，BCA=A=60（等邊對(duì)等角）（等邊對(duì)等角） CE=CD，E=CDE=30 （三角形外角性質(zhì)）（三角形外角性質(zhì)） BD是是AC邊的中線，邊的中線，DBC=30（等腰三角形的性質(zhì)）（等腰三角形的性質(zhì)）DE=DB（等角對(duì)等邊）（等角對(duì)等邊）4如圖，如圖，ABC中，中，BC=BA，A=60，BD 是是AC邊的中線，延長(zhǎng)邊的中線，延長(zhǎng)BC到到E，使，使CE=CD， 求證：求證：DE=DBABCDE5 5、上午、上午10

11、10 時(shí)，一條船從時(shí)，一條船從A A處出發(fā)以處出發(fā)以2020海里海里每小時(shí)的速度向正北航行，中午每小時(shí)的速度向正北航行，中午1212時(shí)到達(dá)時(shí)到達(dá)B B處，從處，從A A、B B望燈塔望燈塔C C，測(cè)得，測(cè)得NAC=40NAC=40， NBC=80NBC=80求從求從B B處到燈塔處到燈塔C C的距離的距離NBAC80804040北解：解：NBC=A+CNBC=A+CC=80C=80- 40- 40= 40= 40 BA=BC BA=BC（等角對(duì)等邊）（等角對(duì)等邊）AB=20AB=20（12-1012-10）=40=40BC=40BC=40答：答：B B處到達(dá)燈塔處到達(dá)燈塔C40C40海里海里1

12、、如圖、如圖ABC中，中，AB=AC，B=36，D、E分別是分別是BC邊上兩點(diǎn)，且邊上兩點(diǎn)，且ADE=AED=2BAD，則圖中等腰三，則圖中等腰三角形有（角形有（ ）個(gè)。）個(gè)。 C共有6個(gè)。 即ABC、 ADE、 AEC、 ABD、BED ABE。 ADC、3 3思考：思考：在在ABCABC中中, ,已知已知 , ,BOBO平分平分ABC,COABC,CO平分平分ACBACB.（1 1）請(qǐng)問(wèn)圖中有多少個(gè)等腰三角形）請(qǐng)問(wèn)圖中有多少個(gè)等腰三角形? ?說(shuō)明理由說(shuō)明理由. .（2 2）線段）線段EFEF和線段和線段EB,FCEB,FC之間有沒(méi)有關(guān)系之間有沒(méi)有關(guān)系? ?若有是什么關(guān)系若有是什么關(guān)系? ?

13、FE0BCAACAB 若AB=ACABACB B0CAE EF F過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)O O作直線作直線EF/BCEF/BC交交ABAB于于E,E,交交ACAC于于F.F.ABCDE4.4.已知在等腰已知在等腰ABCABC中，中，A=36A=36， B=72B=72，C=72C=72，請(qǐng)同學(xué)們想一想，如何添一條線，將等腰，請(qǐng)同學(xué)們想一想，如何添一條線，將等腰ABCABC分成兩個(gè)等腰三角形？成功后，如何再添一條線，分成兩個(gè)等腰三角形？成功后，如何再添一條線，多得到一個(gè)等腰三角形？還可以繼續(xù)嗎？多得到一個(gè)等腰三角形？還可以繼續(xù)嗎？只要作只要作 B B的角平分線即可！的角平分線即可！只要再做只要再做 BDC B

14、DC的角平分線即可！的角平分線即可！以下步驟重復(fù)下去即可！以下步驟重復(fù)下去即可！趣味數(shù)學(xué)趣味數(shù)學(xué)1.1.（煙臺(tái)（煙臺(tái)中考）如圖，等腰中考）如圖，等腰 ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，A=20A=20. .線線段段ABAB的垂直平分線交的垂直平分線交ABAB于于D D，交，交ACAC于于E E，連接連接BEBE，則，則CBECBE等于等于( )( )A.80A.80 B. 70 B. 70 C.60 C.60 D.50 D.50【解析解析】選選C. C. 因?yàn)橐驗(yàn)锳B=ACAB=AC，A=20A=20，所以，所以ABC= ABC= （180180-A-A）=80=80，因?yàn)椋驗(yàn)镈ED

15、E垂直平分垂直平分ABAB，所以，所以ABE=A=20ABE=A=20，所以，所以CBE=ABC-ABE=80CBE=ABC-ABE=80-20-20=60=60. .21A AE EC CB BD D2.2.（日照（日照中考）已知等腰梯形的底角為中考）已知等腰梯形的底角為4545，高為高為2 2，上底為，上底為2 2，則其面積為（，則其面積為（ ）A.2 B.6 C.8 D.12A.2 B.6 C.8 D.12【解析解析】選選C.C.過(guò)上底的兩個(gè)頂點(diǎn)分別作下底的垂線，又因過(guò)上底的兩個(gè)頂點(diǎn)分別作下底的垂線，又因?yàn)榈捉菫闉榈捉菫?545，高為，高為2 2，則下底的長(zhǎng)等于，則下底的長(zhǎng)等于2+2+2

16、=62+2+2=6，S=S=12（2+62+6）2=8.2=8. 3.3.（泰州（泰州中考）等腰中考）等腰ABCABC的兩邊長(zhǎng)為的兩邊長(zhǎng)為2 2和和5 5，則第三邊長(zhǎng)，則第三邊長(zhǎng)為為 【解析解析】因?yàn)橐驗(yàn)?,5,52,5,5能構(gòu)成三角形，能構(gòu)成三角形，2,2,52,2,5不能構(gòu)成三角形，不能構(gòu)成三角形，所以第三邊長(zhǎng)為所以第三邊長(zhǎng)為5.5. 答案：答案：5 51、等腰三角形的判定方法有下列幾、等腰三角形的判定方法有下列幾種：種： 。2、等腰三角形的判定定理與性質(zhì)定理、等腰三角形的判定定理與性質(zhì)定理的區(qū)別是的區(qū)別是 。3、運(yùn)用等腰三角形的判定定理時(shí)，、運(yùn)用等腰三角形的判定定理時(shí)，應(yīng)注意應(yīng)注意 。定義，定義，判定定理判定定理 條件和結(jié)論剛好相反。條件和結(jié)論剛好相反。在同一個(gè)三角形中在同一個(gè)三角形中 6.在正方形在正方形ABCD內(nèi)找一點(diǎn)內(nèi)找一點(diǎn)