人教課標版（B版）高中數(shù)學必修3《3.3.2隨機數(shù)的含義與應用》參考課件(共26張PPT)

1、3.3.2 隨機數(shù)的含義與應用隨機數(shù)的含義與應用 隨機數(shù)隨機數(shù)就是在一定范圍內(nèi)隨機產(chǎn)生的就是在一定范圍內(nèi)隨機產(chǎn)生的數(shù)，并且得到這個范圍內(nèi)的數(shù)，并且得到這個范圍內(nèi)的每一個數(shù)的機每一個數(shù)的機會一樣會一樣，隨機數(shù)應用很廣泛，利用它可以，隨機數(shù)應用很廣泛，利用它可以幫助我們幫助我們進行隨機抽樣進行隨機抽樣，還可以利用它在，還可以利用它在某一個范圍得到每一個數(shù)機會是均等的這某一個范圍得到每一個數(shù)機會是均等的這一特征來一特征來模擬試驗模擬試驗，這樣可代替我們自己，這樣可代替我們自己做大量重復的試驗，從而使我們順利地求做大量重復的試驗，從而使我們順利地求出有關事件的概率。出有關事件的概率。 隨機數(shù)的產(chǎn)生可以

2、隨機數(shù)的產(chǎn)生可以人工產(chǎn)生人工產(chǎn)生，例如抽簽、，例如抽簽、摸球、轉(zhuǎn)盤等方法，但這樣做費時、費力，摸球、轉(zhuǎn)盤等方法，但這樣做費時、費力，而且有時很難確保抽到每一個數(shù)的機會是而且有時很難確保抽到每一個數(shù)的機會是均等的均等的. 因此，我們現(xiàn)在主要是通過因此，我們現(xiàn)在主要是通過計算器和計計算器和計算機算機來產(chǎn)生隨機數(shù)的。來產(chǎn)生隨機數(shù)的。 現(xiàn)在大部分計算器都能產(chǎn)生現(xiàn)在大部分計算器都能產(chǎn)生01之間的之間的均勻隨機數(shù)均勻隨機數(shù)(實數(shù)實數(shù))。（1）用函數(shù)型計算器產(chǎn)生隨機數(shù)的方法）用函數(shù)型計算器產(chǎn)生隨機數(shù)的方法:按一次按一次SHIFT+RAN#鍵產(chǎn)生一個鍵產(chǎn)生一個01之間之間的隨機數(shù)，若需要多個，則重復按鍵；的隨

3、機數(shù)，若需要多個，則重復按鍵；（2）計算機中用軟件產(chǎn)生隨機數(shù)（本書）計算機中用軟件產(chǎn)生隨機數(shù)（本書用用Scilab產(chǎn)生隨機數(shù)）：產(chǎn)生隨機數(shù)）：Scilab中用中用rand( )函數(shù)來產(chǎn)生函數(shù)來產(chǎn)生01的均勻的均勻隨機數(shù)，每調(diào)用一次隨機數(shù)，每調(diào)用一次rand( )函數(shù)，就產(chǎn)生函數(shù)，就產(chǎn)生一個隨機數(shù)。一個隨機數(shù)。若要產(chǎn)生若要產(chǎn)生ab之間的隨機數(shù)，可以使用之間的隨機數(shù)，可以使用變換變換rand( )*(ba)+a得到得到.（3）在）在Excel工作表中得到隨機數(shù)工作表中得到隨機數(shù) 在在Excel工作表中，在單元格中輸入工作表中，在單元格中輸入“=rand( )”就得到一個就得到一個01之間的隨機數(shù)。

4、之間的隨機數(shù)。例例1. 隨機模擬投擲硬幣的試驗，估計擲得隨機模擬投擲硬幣的試驗，估計擲得正面的概率。正面的概率。解：用計算器產(chǎn)生一個解：用計算器產(chǎn)生一個01之間的隨機數(shù)，之間的隨機數(shù)，如果這個數(shù)在如果這個數(shù)在00.5之間，則認為硬幣正之間，則認為硬幣正面向上，如果這個隨機數(shù)在面向上，如果這個隨機數(shù)在0.51之間，之間，則認為硬幣正面向下。則認為硬幣正面向下。 記下正面向上的頻數(shù)及試驗總次數(shù)，就記下正面向上的頻數(shù)及試驗總次數(shù)，就可以得到正面向上的頻率了。可以得到正面向上的頻率了。試驗次數(shù)試驗次數(shù)正面向上的頻數(shù)正面向上的頻數(shù)正面向上的頻率正面向上的頻率50230.4660290.48370320.

5、45780380.47590470.522100540.54例例2. 隨機模擬隨機模擬3.3.1中例中例3海豚在水池中自海豚在水池中自由游弋的試驗，并估計事件由游弋的試驗，并估計事件A：“海豚嘴海豚嘴尖離岸邊不超過尖離岸邊不超過2m”的概率。的概率。 我們利用計算機產(chǎn)生隨機數(shù)我們利用計算機產(chǎn)生隨機數(shù)x和和y，用它，用它們來表示海豚嘴尖的橫坐標與縱坐標，如們來表示海豚嘴尖的橫坐標與縱坐標，如果果(x，y)出現(xiàn)在圖中的陰影部分，我們就出現(xiàn)在圖中的陰影部分，我們就認為事件認為事件A發(fā)生了。發(fā)生了。 下面我們設計一個算法使計算機或計算下面我們設計一個算法使計算機或計算器能模擬這個試驗并根據(jù)事件器能模擬

6、這個試驗并根據(jù)事件A發(fā)生的概率發(fā)生的概率.S1 用計數(shù)器用計數(shù)器n記錄做了多少次試驗，用計記錄做了多少次試驗，用計數(shù)器數(shù)器m記錄其中有多少次記錄其中有多少次 (x，y)出現(xiàn)在陰出現(xiàn)在陰影部分中，首先置影部分中，首先置n=0，m=0;S2 用變換用變換rand( )*3015產(chǎn)生產(chǎn)生1515之之間的隨機數(shù)間的隨機數(shù)x作為海豚嘴尖的橫坐標，用作為海豚嘴尖的橫坐標，用變換變換rand( )*2010產(chǎn)生產(chǎn)生1010之間的隨之間的隨機數(shù)機數(shù)y作為海豚嘴尖的縱坐標；作為海豚嘴尖的縱坐標；S3 判斷判斷(x，y)是否落在陰影部分中，即是否落在陰影部分中，即是否滿足是否滿足|x|15|2或或|y|10|2，

7、如果是，如果是，則則m=m+1，如果不是，則，如果不是，則m不變；不變；S4 表示隨機試驗次數(shù)的計數(shù)器表示隨機試驗次數(shù)的計數(shù)器n值加值加1，即即n=n+1, 如果還需要試驗，則返回步驟如果還需要試驗，則返回步驟S2繼續(xù)執(zhí)行，否則，程序結(jié)束。繼續(xù)執(zhí)行，否則，程序結(jié)束。 程序結(jié)束后，事件程序結(jié)束后，事件A發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率 作為作為A的概率近似值。的概率近似值。mn試驗次數(shù)試驗次數(shù)事件事件A頻數(shù)頻數(shù)m事件事件A頻率頻率m/n100350.3510003240.3241000029970.2997100000305060.30506N=input(“N=);n=0;m=0;for i=1:1:Nx

8、=rand()*30-15;y=rand()*20-10;c=abs(abs(x)-15);d=abs(abs(y)-10); if c=2|d=2 m=m+1; endn=n+1;endp=m/N;p例例3.利用隨機數(shù)和幾何概型求利用隨機數(shù)和幾何概型求的近似值的近似值. . 在下圖所示的邊長為在下圖所示的邊長為2的正方形中隨機的正方形中隨機撒一大把豆子，計算落在正方形的內(nèi)切圓撒一大把豆子，計算落在正方形的內(nèi)切圓中的豆子數(shù)與落在正方形中的豆子數(shù)之比，中的豆子數(shù)與落在正方形中的豆子數(shù)之比，并以此估計圓周率并以此估計圓周率的值的值 如果我們把如果我們把“在正方形中撒在正方形中撒豆子豆子”看成試驗，

9、把看成試驗，把“豆子豆子落在圓中落在圓中”看成隨機事件看成隨機事件A 則落在圓中的豆子數(shù)與落在正方形中的則落在圓中的豆子數(shù)與落在正方形中的豆子數(shù)的比值就是事件豆子數(shù)的比值就是事件A發(fā)生的頻率當發(fā)生的頻率當我們?nèi)鲆淮蟀讯棺訒r，這時頻率可以近似我們?nèi)鲆淮蟀讯棺訒r，這時頻率可以近似地看成事件地看成事件A 的概率，可以認為這是一個的概率，可以認為這是一個幾何概型問題幾何概型問題 解：由幾何概型的計算公式，得解：由幾何概型的計算公式，得 P(A)= 圓面積圓面積 正方形面積正方形面積 2244aa所以所以= 4P(A ) .我們在正方形中撒了我們在正方形中撒了n顆豆子，其中有顆豆子，其中有m顆顆落在圓中

10、，則圓周率落在圓中，則圓周率的近似值等于的近似值等于4mn 用例用例2的類似辦法，設計一個算法用計的類似辦法，設計一個算法用計算機模擬這個撒豆子的試驗。算機模擬這個撒豆子的試驗。S1 用計數(shù)器用計數(shù)器n記錄做了多少次試驗，用計記錄做了多少次試驗，用計數(shù)器數(shù)器m記錄其中有多少顆豆子落入圓中，記錄其中有多少顆豆子落入圓中，首先置首先置n=0，m=0;S2 用變換用變換rand( )*21產(chǎn)生兩個產(chǎn)生兩個11之之間的隨機數(shù)間的隨機數(shù)x和和y，用它們來表示豆子的橫，用它們來表示豆子的橫坐標和縱坐標；坐標和縱坐標；S3 判斷判斷(x，y)是否落在圓中，即是否滿是否落在圓中，即是否滿足足x2+y21，如果

11、是，則計數(shù)器，如果是，則計數(shù)器m=m+1，如果不是，則如果不是，則m不變；不變；S4 表示隨機試驗次數(shù)的計數(shù)器表示隨機試驗次數(shù)的計數(shù)器n值加值加1，即即n=n+1, 如果還需要試驗，則返回步驟如果還需要試驗，則返回步驟S2繼續(xù)執(zhí)行，否則，程序結(jié)束。繼續(xù)執(zhí)行，否則，程序結(jié)束。 程序結(jié)束后，計算程序結(jié)束后，計算 作為作為的近似值的近似值.4mnN=input(“N=);n=0;m=0;for i=1:1:Nx=rand()*2-1;y=rand()*2-1;c=x2+y2; if c=1 m=m+1; endn=n+1;endp=4*m/N;p 例例2與例與例3采用的基本方法是：建立一采用的基本方

12、法是：建立一個概率模型，它與我們感興趣的量有關。個概率模型，它與我們感興趣的量有關。然后設計適當?shù)脑囼?，并通過這個試驗然后設計適當?shù)脑囼灒⑼ㄟ^這個試驗結(jié)果來確定這些量。結(jié)果來確定這些量。 按照以上思路建立起來的方法稱為按照以上思路建立起來的方法稱為計計算機隨機模擬法算機隨機模擬法或或蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法。 現(xiàn)在隨著計算機科學與技術的飛速發(fā)現(xiàn)在隨著計算機科學與技術的飛速發(fā)展，用計算機來模擬所設計的試驗已經(jīng)展，用計算機來模擬所設計的試驗已經(jīng)變得越來越普遍。變得越來越普遍。例例4. 取一根長度為取一根長度為3m的繩子，拉直后在的繩子，拉直后在任意位置剪斷，用隨機模擬法估算剪得兩任意位置剪斷，用

13、隨機模擬法估算剪得兩段繩子的長度都不小于段繩子的長度都不小于1m的概率有多大的概率有多大? 解：解： 設事件設事件A表示表示“剪得兩段的長度都不剪得兩段的長度都不小于小于1m” S1 用計數(shù)器用計數(shù)器n記錄做了多少次試驗，用計記錄做了多少次試驗，用計數(shù)器數(shù)器m記錄其中有多少次隨機數(shù)記錄其中有多少次隨機數(shù)x出現(xiàn)在出現(xiàn)在12之間（即剪得兩段繩子的長度都不小之間（即剪得兩段繩子的長度都不小于于1m）。首先置）。首先置n=0，m=0；S2 用變換用變換rand()*3產(chǎn)生產(chǎn)生03之間的均勻隨之間的均勻隨機數(shù)；機數(shù)；S3 判斷剪得的兩段繩子長度是否都大于判斷剪得的兩段繩子長度是否都大于1，即是否滿足即是

14、否滿足1x2，如果是，則計數(shù)器，如果是，則計數(shù)器m的的值加值加1，即，即m=m+1，如果不是，如果不是，m的值保持的值保持不變；不變；S4 表示隨機試驗次數(shù)的計數(shù)器表示隨機試驗次數(shù)的計數(shù)器n的值加的值加1，即即n=n+1，如果還要繼續(xù)試驗，則返回步，如果還要繼續(xù)試驗，則返回步驟驟S2繼續(xù)執(zhí)行，否則，程序結(jié)束；繼續(xù)執(zhí)行，否則，程序結(jié)束；程序結(jié)束后事件程序結(jié)束后事件A發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率 作為事件作為事件A的概率的近似值的概率的近似值 .mn例例5. 利用隨機模擬法近似計算圖中陰影部利用隨機模擬法近似計算圖中陰影部分（曲線分（曲線y=2x與與x=1及及x軸圍成的圖形）軸圍成的圖形）的面積的面積.

15、解：在坐標系中畫出正方解：在坐標系中畫出正方形，用隨機模擬的方法可形，用隨機模擬的方法可以求出陰影部分與正方形以求出陰影部分與正方形面積之比，從而求得陰影面積之比，從而求得陰影部分面積的近似值。部分面積的近似值。 S1 用計數(shù)器用計數(shù)器n記錄做了多少次投點試驗，記錄做了多少次投點試驗，用計數(shù)器用計數(shù)器m記錄其中有多少個記錄其中有多少個(x，y)滿足滿足1x1，0y2x (即點落在陰影部分即點落在陰影部分)。首先置首先置n=0，m=0；S2 用變換用變換rand( )*21產(chǎn)生產(chǎn)生11之間的均之間的均勻隨機數(shù)勻隨機數(shù)x表示所投的點的橫坐標；用變表示所投的點的橫坐標；用變量量rand( )*2產(chǎn)生

16、產(chǎn)生02之間的均勻隨機數(shù)之間的均勻隨機數(shù)y表表示所投的點的縱坐標；示所投的點的縱坐標；S3 判斷點是否落在陰影部分，即是否滿判斷點是否落在陰影部分，即是否滿足足0y2x，如果是，則計數(shù)器，如果是，則計數(shù)器m的值加的值加1，即即m=m+1；如果不是，；如果不是，m的值保持不變；的值保持不變；S4 表示隨機試驗次數(shù)的計數(shù)器表示隨機試驗次數(shù)的計數(shù)器n的值加的值加1，即即n=n+1，如果還要繼續(xù)試驗，則返回步，如果還要繼續(xù)試驗，則返回步驟驟S2繼續(xù)執(zhí)行，否則，程序結(jié)束；繼續(xù)執(zhí)行，否則，程序結(jié)束； 程序結(jié)束后事件程序結(jié)束后事件A發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率 作為事作為事件件A的概率的近似值。的概率的近似值。mn

17、 設陰影部分的面積為設陰影部分的面積為S，正方形的面積，正方形的面積為為4，由幾何概型計算公式得，由幾何概型計算公式得 4Smn所以所以4mSn的另一種求法的另一種求法 1777年法國科學家年法國科學家布豐布豐做了一個投針試驗，做了一個投針試驗，這個試驗被認為是幾何概型的第一個試驗。這個試驗被認為是幾何概型的第一個試驗。他在一張大紙上畫了一些平行線，相鄰兩條他在一張大紙上畫了一些平行線，相鄰兩條平行線間的距離都相等。再把長度等于平行平行線間的距離都相等。再把長度等于平行線間距離一半的針投到紙上，并記錄投針的線間距離一半的針投到紙上，并記錄投針的總次數(shù)及針落到紙上與平行線中的某一條相總次數(shù)及針落

18、到紙上與平行線中的某一條相交的次數(shù)，共計投針交的次數(shù)，共計投針2212次，其中與平行線次，其中與平行線相交的有相交的有704次，發(fā)現(xiàn)它們的次，發(fā)現(xiàn)它們的商商2212 7043.142045與與非常接近。非常接近。 以后又有多位數(shù)學家重復做過投針試驗，以后又有多位數(shù)學家重復做過投針試驗，都得到了類似的結(jié)果。那么，投針試驗為都得到了類似的結(jié)果。那么，投針試驗為什么能算出什么能算出的近似值呢？的近似值呢？ 如圖，取一張大紙，如圖，取一張大紙，在上面畫上一組平行線，在上面畫上一組平行線，使相鄰兩平行線間距離使相鄰兩平行線間距離都等于都等于d，再取一個直，再取一個直徑為徑為d的鐵絲圓圈。如的鐵絲圓圈。如果把這個鐵絲圓圈投擲果