最新新人教版數(shù)學(xué)人教版因式分解-講義

1、精品文檔志遠教育八年級數(shù)學(xué)因式分解輔導(dǎo)教案因式分解的常用方法第一部分：方法介紹多項式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù) 學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具.因式分解方法靈活，技巧性強，學(xué)習(xí) 這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能, 發(fā)展學(xué)生的思維能力，都有著十分獨特的作用.初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提取公因 式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法.本講及下一講在中學(xué)數(shù)學(xué)教材基礎(chǔ)上, 對因式分解的方法、技巧和應(yīng)用作進一步的介紹.、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)、運用公式法.在整式的乘、除中，我們學(xué)過若干個乘

2、法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式,例如：(1 ) (a+b)(a-b) = a2-b 2a2-b 2=(a+b)(a-b);(2 ) (a ± b) 2 = a 2±2ab+b2a 2± 2ab+b2=(a ± b)2;(3 ) (a+b)(a2-ab+b 2) =a3+b3 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b 2);(4 ) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3a3-b 3=(a-b)(a2+ab+b2).下面再補充兩個常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；(6)a3+b3+c3-

3、3abc=(a+b+c)(a 2+b2+c2-ab -bc-ca);例.已知a, b, c是AABC的三邊，且a2+b2+c2 = ab+bc + ca ,則AABC的形狀是()A.直角三角形B等腰三角形 C等邊三角形 D等腰直角三角形解： a2 b2 c2 = ab bc ca = 2a2 2b2 2c2 = 2ab 2bc 2ca:(a -b)2 (b -c)2 (c -a)2 0abe三、分組分解法.(一)分組后能直接提公因式例1、分解因式： am+an+bm+bn分析：從“整體”看，這個多項式的各項既沒有公因式可提，也不能運用公式分解，但從“局部”看，這個多項式前兩項都含有 a,后兩項

4、都含有b,因此可以考慮將前兩 項分為一組，后兩項分為一組先分解，然后再考慮兩組之間的聯(lián)系。解：原式=(am+an)+(bm+bn)=a(m +n) +b(m +n)每組之間還有公因式！=(m n)(a b)例 2、分解因式：2ax 10ay +5by bx解法一：第一、二項為一組； 第三、四項為一組解：原式=(2ax10ay) (5bybx) =2a(x -5y) -b(x -5y) =(x -5y)(2a -b)解法二：第一、四項為一組；第二、三項為一組原式= (2ax - bx) (10ay 5by) =x(2a - b) - 5y(2a - b) =(2a - b)(x -5y)練習(xí)：分

5、解因式1、a2ab+acbc2、 xy - x - y +1精品文檔(二)分組后能直接運用公式例3、分解因式：x22 一 y2+ax+ay分析：若將第一、三項分為一組，第二、四項分為一組，雖然可以提公因式，但提完 后就能繼續(xù)分解，所以只能另外分組。22斛：原式=(x - y ) (ax ay)=(x y)(x -y) - a(x - y)=(x y)(x - y a)例4、分解因式：a2 -2ab +b2 -c2解：原式=(a2 -2ab - b2) -c222=(a -b) -c=(a b c)(a b c)練習(xí)：分解因式 3、x2 x 9y2 3y4、x2 - y2 - z2-2yz綜合練

6、習(xí):3223(1) x + xy-xy - y2.2.(2) ax -bx +bxax + ab(4) a2 -6ab 12b 9b2 -4a(5) a4 -2a3 a2 -9(6) 4a2x -4a2y -b2x + b2y(11) a2(b +c) +b2(a +c) +c2(a +b)+2abc (12) a(3) x 6xy 9y 76a8a-1 +b3 +c3 -3abc四、十字相乘法.(一)二次項系數(shù)為1的二次三項式直接利用公式 x2 + (p+q)x + pq=(x + p)(x+q)進行分解 特點：(1)二次項系數(shù)是1;(2)常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積；(3) 一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩

7、因數(shù)的和。思考：十字相乘有什么基本規(guī)律？ 例.已知0<a&5,且a為整數(shù)，若2x2+3x + a能用十字相乘法分解因式，求符合條件的解析：凡是能十字相乘的二次三項 式ax2+bx+c,都要求&=-4ac >0而且是一個 完全平方數(shù)。于是= 9 - 8a為完全平方數(shù)，a = 1例5、分解因式：x2+5x+6分析：將6分成兩個數(shù)相乘，且這兩個數(shù)的和要等于5。由于6=2 X 3=(-2) X (-3)=1 X 6=(-1) X (-6),從中可以發(fā)現(xiàn)只有2X3的分解適合, 即 2+3=5。12解：x2 5x 6 = x2 (2 3)x 2 31 -1： ：3= (x+2)

8、(x+3)1X2+1X3=5用此方法進行分解的關(guān)鍵：將常數(shù)項分解成兩個因數(shù)的積，且這兩個因數(shù)的代數(shù)和要 等于一次項的系數(shù)。例6、分解因式：x2 -7x+611(-1) -1-6+ (-6) = -7解：原式=x2 +(-1)+(6)x+(1)(-6)= (x-1)(x-6)練習(xí) 5、分解因式(1)x2 +14x+24 a215a+36(3)x2 +4x-5 x2 -10x -24練習(xí)6、分解因式x2 +x -2(2) y2 -2y -15(二)二次項系數(shù)不為1二次三項式 條件：(1) a = a1a2(2) c = c1c2(3) b = a1C2 a2 G2ax bx ca1a2-c：b =

9、 ag azG精品文檔分解結(jié)果：ax2 bx c = (a1x c1)(a2x c2)例7、分解因式：3x (x y)2 -3(x y) -10 2_(6) m -4mn 4n 13m 6n 2 -11x+10分析：1-23-5(-6) + (-5) = -11解：3x2 -11x 10 = (x -2)(3x -5)練習(xí)7、分解因式：2222(1) 5x +7x6(2) 3x -7x +2(3) 10x -17x+3(4) 6y +11y + 10(三)二次項系數(shù)為1的齊次多項式例8、分解因式：a2 8ab -128b2分析：將b看成常數(shù)，把原多項式看成關(guān)于a的二次三項式，利用十字相乘法進行

10、分解1 .8b1y -16b8b+(-16b)= -8b解：a2 -8ab -128b2 = a2 8b (-16b)a 8b (-16b)=(a 8b)(a -16b)練習(xí) 8、分解因式 x2 -3xy +2y2(2) m2 -6mn +8n2(3) a2 - ab - 6b2(四)二次項系數(shù)不為1的齊次多項式精品文檔例 10、x2y2 - 3xy 2把xy看作一個整體1 X -11-2例 9、2x2 -7xy 6y21 -2y2 -3y(-3y)+(-4y)= -7y解：原式二(x -2y)(2x -3y)(-1)+(-2)= -3 解：原式=(xy -1)(xy -2)2 2(2) a

11、x -6ax +8練習(xí)9、分解因式：(1) 15x2+7xy4y2綜合練習(xí) 10、(1) 8x6-7x3-122(2) 12x -11xy-15y(4) (a+b)2-4a-4b + 3(5) x2y2 -5x2y -6x2精品文檔22 x 4xy 4y 一 2x_4y_3(9) 4x2 -4xy-6x 3y y2 -102222(8) 5(a b) 23(a -b ) -10(a - b)2222(10) 12(x+y) +11(x -y ) +2(x-y)精品文檔思考：分解因式：abcx2 (a2b2 -c2)x abc五、換元法。例 13、分解因式(1) 2005x2 -(20052 -

12、1)x-2005(2) (x 1)(x 2)(x 3)(x 6) x2解：(1)設(shè) 2005= a ,貝原式二ax2 (a2 1)xa= (ax 1)( x - a)= (2005x 1)(x -2005)(2)型如abcd+e的多項式，分解因式時可以把四個因式兩兩分組相乘。原式= (x2 7x 6)(x2 5x 6) x2設(shè) x2+5x+6 = A,貝 U x2 +7x +6 = A+2x,原式=(A 2x) A x2= A2 2Ax x222_ 2=(A x) =(x 6x 6)練習(xí)13、分解因式(1) (x2 xy y2)2 -4xy(x2 y2)22(2) (x 3x 2)(4x 8x

13、 3) 90(3) (a2 1)2 (a2 5)2 -4(a2 3)2例 14、分解因式(1) 2x4 -x3 -6x2 -x+21,并且系數(shù)成觀察：此多項式的特點一一是關(guān)于x的降幕排列，每一項的次數(shù)依次少 “軸對稱”。這種多項式屬于“等距離多項式”。方法：提中間項的字母和它的次數(shù)，保留系數(shù)，然后再用換元法。解：原式=x2(2x2 -x -6 -1 三) = x2 2(x2 4) (x 1)-61x xxx設(shè) x+1=t,貝 Ux2+；=t2-2xx.原式二x2 2(t2 -2) -t 6=x2(2t2 -t -10 )2,2.2/2丫1、=x (2t-5j(t+2)=x 2x 十一一5 x

14、+十 2 i 工xKx)2_2 J1 _2 _ 一 2 _. = x 2x+-5 ix x+ +2 i =(2x -5x+2/x +2x+1)Ix)1xJ2 _=(x 1) (2x 1)(x -2)(2) x4 -4x3 x222 x xy _6y x 13y -6 = x xy _6y (m n)x (3n -2m)y-mn 4x 1解：原式=x2(x2 -4x +1 +- +口)= x2x2 +，一4 x + 1 x x2Ax2 八xj1 1c設(shè)x- = y,貝Ux + = y +2xx.原式=x2(y2 -4y 3) = x2(y-1)(y-3)11122=x (x -1)(x- 3)

15、= x - x -1 x - 3x -1x x練習(xí) 14、(1) 6x4 +7x3 _36x2 _7x+6(2) x4 + 2x3 + x2+1+2(x + x2)六、添項、拆項、配方法。解法2添項。原式=x3 - 3x2 -4x 4x 4，2 一 、，、=x(x - 3x - 4) (4x 4)2=x(x 1)(x -4) 4(x 1) =(x 1)(x -4x 4)_ 2=(x 1)(x -2)例15、分解因式(1) x3 -3x2 +4解法1拆項。原式=x3 T -3x2 32 -=(x 1)(x -x 1) -3(x 1)(x -1)3 _=(x 1)(x -x 1 -3x 3)2=(

16、x 1)( x -4x 4)_ 2=(x 1)(x -2)(2) x9 x6 x3 -3解：原式二(x9 -1)十(x6 -1) + (x3 -1)= (x3 - 1)(x6x3 1)(x3 7)(x3 1) (x3 7)= (x3 一 1)(x6x3 1 x3 1 1)=(x 7)(x2 x 1)(x6 2x3 3)七、待定系數(shù)法。例 16、分解因式 x2 - xy -6y2 x 13y -6分析：原式的前3項x2 +xy-6y2可以分為(x+3y)(x-2y),則原多項式必定可分為 (x 3y m)(x -2y n)解：設(shè) x2 xy -6y2 x 13y - 6 = (x 3y m)(x

17、-2y n)22. (x 3y m)(x -2y n) =x xy - 6y - (m n)x (3n -2m)y 一 mnm n = 1 m= 21對比左右兩邊相同項的系數(shù)可得 3n 2m = 13 ,解得3n = 3mn = -6"原式=(x 3y _2)(x _2y 3)例17、(1)當(dāng)m為何值時，多項式x2 y2 +mx +5y 6能分解因式，并分解此多項式(2)如果x3+ax2+bx+8有兩個因式為乂+1和乂+2,求a+b的值。(1)分析：前兩項可以分解為(x+y)(x_y),故此多項式分解的形式必為(x y a)(x y b)解：設(shè) x2- y2mx5y6=(xy a)(

18、x - y b)貝 Ux2_y2mx5y_6=x2y2 (a b)x (ba)y ab'a + b = ma = -2'a = 2比較對應(yīng)的系數(shù)可得：b-a=5 ,解得：4b =3或4b = -3ab = -6m = 1 m = -1.當(dāng)m=±1時，原多項式可以分解；一當(dāng)m=1時，原式=(x+y _2)(x _ y+3)；當(dāng) m = 1 時，原式=(x + y+2)(x - y-3)(2)分析：x3+ax2+bx+8是一個三次式，所以它應(yīng)該分成三個一次式相乘，因此第三個 因式必為形如x + c的一次二項式。解：設(shè) x3ax2bx8= (x1)(x 2)(x c)貝U

19、x3ax2bx8= x3(3 c)x2 (23c)x 2ca = 3 + ca = 7<b = 2 +3c 解得1b =14 ,2 c =8c = 4a b=21練習(xí)17、(3)已知：x2 2xy 3y2+6x 14y十p能分解成兩個一次因式之積，求常數(shù)p并且分解因式。(4) k為何值時，x2 2xy + ky2+3x5y+2能分解成兩個一次因式的乘積，并 分解此多項式。因式分解小結(jié)知識總結(jié)歸納因式分解是把一個多項式分解成幾個整式乘積的形式，它和整式乘法互為逆運算,在初中代數(shù)中占有重要的地位和作用，在其它學(xué)科中也有廣泛應(yīng)用，學(xué)習(xí)本章知識時， 應(yīng)注意以下幾點。精品文檔精品文檔1 .因式分解

20、的對象是多項式；2 .因式分解的結(jié)果一定是整式乘積的形式；3 .分解因式，必須進行到每一個因式都不能再分解為止；4 .公式中的字母可以表示單項式，也可以表示多項式；5 .結(jié)果如有相同因式，應(yīng)寫成哥的形式；6 .題目中沒有指定數(shù)的范圍，一般指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解；7 .因式分解的一般步驟是：(1)通常采用一 “提”、二“公”、三“分”、四“變”的步驟。即首先看有無公因式可提， 其次看能否直接利用乘法公式；如前兩個步驟都不能實施，可用分組分解法，分組的目的是使得分組后有公因式可提或可利用公式法繼續(xù)分解；(2)若上述方法都行不通，可以嘗試用配方法、換元法、待定系數(shù)法、試除法、拆項(添項) 等方法；下面

21、我們一起來回顧本章所學(xué)的內(nèi)容。1.通過基本思路達到分解多項式的目的例 1.分解因式 x5 x4 +x3 x2 +x 一1分析：這是一個六項式，很顯然要先進行分組，此題可把x5 x4 +x3和x2 +x _1分別看成一組，此時六項式變成二項式，提取公因式后，再進一步分解；也可把 x5-x4, x3 -x2 , x-1分別看成一組，此時的六項式變成三項式，提取公因式后再進行分解。解一：原式=(x5 -x4 x3) f(x2 -x 1)3 . 22二x (x -x 1) (x -x 1)= (x3 -1)(x2 -x 1)=(x -1)(x2 -x 1)(x2 x 1)解二：原式=(x5 -x4)

22、(x3 -x2) (x -1)4 2=x (x -1) x (x -1) (x -1)=(x - 1)(x4 x - 1)=(x - 1)( x4 2x2 1) - x2=(x - 1)(x2 -x 1)(x2 x 1)2.通過變形達到分解的目的例1.分解因式x3 +3x2 -4精品文檔解一：將3x2拆成2x2 +x2 ,則有原式 =x3 2x2(x2 - 4)2= x2(x 2) (x 2)(x -2)_2_二(x 2)(x2 x -2)2二(x -1)(x 2)23.在證明題中的應(yīng)用解二：將常數(shù)_4拆成_1一 3,則有 原式=x3 -1 (3x2 -3)2三(x -1)(x2 x 1) (x -1)(3x 3).、 2、二(x -1)(x ，4x，4)2二(x -1)(x 2)2例：求證：多項式(x2 4)(x2 _10x+21) +100的值一定是非負數(shù)分析：現(xiàn)階段我們學(xué)習(xí)了兩個非負數(shù)，它們是完全平方數(shù)、絕對值。本題要證明 這個多項式是非負數(shù)，需要變形成完全平方數(shù)。證明：(x2 -4)(x2 -10x 21) 100=(x 2)(x -2)(x -3)(x -7) 100二(x 2)(x -7)(x -2)(x -3)