反常積分的審斂法

1、第五節(jié)第五節(jié) 反常積分的審斂法反常積分的審斂法 函數(shù)函數(shù) 一、無(wú)窮限反常積分的審斂法一、無(wú)窮限反常積分的審斂法收斂收斂上有上界，則反常積分上有上界，則反常積分在在若函數(shù)若函數(shù)且且上連續(xù)，上連續(xù)，在區(qū)間在區(qū)間定理設(shè)函數(shù)定理設(shè)函數(shù) axadxxfadttfxFxfaxf)(),)()(0)(),)( 不通過(guò)被積函數(shù)的原函數(shù)判定反常積分不通過(guò)被積函數(shù)的原函數(shù)判定反常積分收斂性的判定方法收斂性的判定方法.證證), 0)( axxf0)()()( xfdttfdxdxFxa即即.),)(上上是是單單調(diào)調(diào)增增加加的的在在 axF上有上界上有上界在在),)(axF存存在在)(limxFx 存在存在即即 xa

2、xdttf)(lim收斂收斂 )( adxxf（極限的存在準(zhǔn)則）（極限的存在準(zhǔn)則）), ax.)()(),(),()()()(),(),()(,), )()() (2也發(fā)散也發(fā)散發(fā)散，則發(fā)散，則并且并且也收斂；如果也收斂；如果則則收斂，收斂，并且并且如果如果上連續(xù)、非負(fù)上連續(xù)、非負(fù)在區(qū)間在區(qū)間、設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)比較審斂原理比較審斂原理定理定理 aaaadxxfdxxgxaxgxfdxxfdxxgxaxgxfaxgxf證證 tatadxxgdxxf )()(上上有有上上界界在在),)()( adxxftFtaat 取取),),()(0 axxgxf收斂，收斂，又又 adxxg )(.)( adxxg

3、收收斂斂 adxxf)(.)(,)(),()(0必定發(fā)散必定發(fā)散則則發(fā)散發(fā)散且且如果如果 aadxxfdxxgxfxg也也收收斂斂，這這與與已已知知矛矛盾盾收收斂斂，則則由由第第一一部部分分知知假假設(shè)設(shè) aadxxgdxxf)()(發(fā)散發(fā)散 adxxf)(定理定理1)下證：下證：特別地，取特別地，取pxxg1)( ，即得下面的，即得下面的比較審斂法比較審斂法.發(fā)散發(fā)散，則，則，使得，使得如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)收斂；收斂；則則，使得，使得及及如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)上連續(xù)，且上連續(xù)，且在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)比較審斂法比較審斂法定理定理 aapdxxfxaxNxfNdxxfxaxMxfpMxf

4、aaxf)( )()(0)( ),( ,)(10. 0)()0(), )()(3例例.1134的收斂性的收斂性判別反常積分判別反常積分 xdx解解, ), 1 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 134 p（比較審斂法）（比較審斂法）.1134收收斂斂反反常常積積分分 xdx ,113/434xx 34110 x發(fā)散發(fā)散則則或或如果如果收斂；收斂；則則存在，存在，使得，使得如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)上連續(xù)，且上連續(xù)，且在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)極限審斂法極限審斂法定理定理 axxapxdxxfxxfdxxfdxxfxfxpxfaaxf)(),)(lim(0)(lim)()(lim1. 0)()0(),)()(4例例.

5、112的的收收斂斂性性判判別別反反常常積積分分 xxdx解解, 111lim22 xxxx所給反常積分收斂所給反常積分收斂證明證明12 p（極限審斂法（極限審斂法1）證明證明(1)存存在在)(limxfxpx cxfxpx )(lim,可設(shè)可設(shè)1|)(| , 01 cxfxXxXp就就有有時(shí)時(shí)，使使得得當(dāng)當(dāng)，按按定定義義，對(duì)對(duì)1|)(| cxfxppxcxf1)( 即即取取,max1XaX 就就有有時(shí)時(shí)則則當(dāng)當(dāng),1Xx 0)( xf且且1)( cxfxp即即0)( xf且且0)( xf且且1 p 1 )(Xdxxf收斂收斂（比較審斂法（比較審斂法1） 11)()()(XXaadxxfdxxfd

6、xxf收收斂斂 adxxf)() (1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Xx 0)( 1)( xfxcxfp且且（2）（略）（略）例例.1122/3的的收收斂斂性性判判別別反反常常積積分分dxxx 解解2222/31lim1limxxxxxxxx , 所給反常積分發(fā)散所給反常積分發(fā)散例例.arctan1的收斂性的收斂性判別反常積分判別反常積分dxxx 解解xxxxxxarctanlimarctanlim 2 所給反常積分發(fā)散所給反常積分發(fā)散（極限審斂法）（極限審斂法）（極限審斂法）（極限審斂法）0 也收斂也收斂則則收斂收斂如果如果上連續(xù)，上連續(xù)，在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)定理定理 aadxxfdxxfaxf)(,)(),

7、)(5證證 )()( 21)(xfxfx 令令, )()(0)(xfxx ，且且,)( 收斂收斂又又dxxfa .)(也也收收斂斂dxxa , )()(2)(xfxxf ,)()(2)( tatatadxxfdxxdxxf .)()(2)( aaadxxfdxxdxxf 得得令令, t adxxf收收斂斂)(at 取取. )(,| )(| 為為絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂稱(chēng)稱(chēng)則則收收斂斂若若 aadxxfdxxf必定收斂必定收斂則則絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂若若 aadxxfdxxf)(,)(例例5.)0,(sin0的的收收斂斂性性都都是是常常數(shù)數(shù)判判別別反反常常積積分分 abadxbxeax解解.,sin0收斂收

8、斂而而 dxeebxeaxaxax.sin0收收斂斂 dxbxeax由定理由定理5得得: 1)1(01 00aaeadxeaxax 定義定義（比較審斂法（比較審斂法1）. sin0 收收斂斂 bxdxeax二、無(wú)界函數(shù)的反常積分的審斂法二、無(wú)界函數(shù)的反常積分的審斂法.)(),( )( 0)(),( )()( 10., 0)(,()()2(6發(fā)散發(fā)散則反常積分則反常積分使得使得，收斂；如果存在常數(shù)收斂；如果存在常數(shù)則反常積分則反常積分使得使得，及及如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)是瑕點(diǎn)是瑕點(diǎn)上連續(xù)，且上連續(xù)，且在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)比較審斂法比較審斂法定理定理 babaqdxxfbxaaxNxfNdx

9、xfbxaaxMxfqMaxxfbaxf發(fā)散發(fā)散則反常積分則反常積分或或收斂；如果收斂；如果則反常積分則反常積分存在存在，使得，使得如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)是瑕點(diǎn)是瑕點(diǎn)上連續(xù)，且上連續(xù)，且在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)極限審斂法極限審斂法定理定理 baaxaxbaqaxdxxfxfaxdxfaxdxxfxfaxqaxxfbaxf)(),)()(lim( 0)()(lim )(,)()(lim10., 0)(,()()2(例例6.ln31的收斂性的收斂性判別反常積分判別反常積分 xdx解解 xxln1lim1xxxln1)1(lim1 1 是是瑕瑕點(diǎn)點(diǎn)1 x xx1 1 lim1 xxxln1lim1

10、 , 0 型型)00(洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則).ln31發(fā)散發(fā)散反常積分反常積分 xdx(極限審斂法極限審斂法2)例例7.)1)(1110222的收斂性的收斂性判別橢圓積分判別橢圓積分dxxkx 解解 )1)(11lim2221xkxx是是瑕瑕點(diǎn)點(diǎn)1 x )1)(11)1(lim222211xkxxx )1)(11lim221xkxx )1(212k .)1)(1110222收收斂斂dxxkx (極限審斂法極限審斂法2)1| k這這里里，121 q注：注：對(duì)于無(wú)界函數(shù)的反常積分，當(dāng)被積函數(shù)對(duì)于無(wú)界函數(shù)的反常積分，當(dāng)被積函數(shù)在所討論的區(qū)間上可取正值又可取負(fù)值時(shí)，在所討論的區(qū)間上可取正值又可取負(fù)值時(shí)

11、，也有與定理也有與定理5相類(lèi)似的結(jié)論。相類(lèi)似的結(jié)論。例例8.1sin10的收斂性的收斂性判別反常積分判別反常積分dxxx 解解也收斂也收斂dxxx 101sin,11sinxxx 收斂收斂dxxx 101sin(比較審斂法比較審斂法2) 1而而xdx收斂，收斂， 121 q的的右右半半鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)無(wú)無(wú)界界在在01sinxx是是瑕瑕點(diǎn)點(diǎn)0 x)0( ,)(01 sdxxessx定定義義特點(diǎn)特點(diǎn): 1.積分區(qū)間為無(wú)窮區(qū)間積分區(qū)間為無(wú)窮區(qū)間;.0: .0,01. 2是是瑕瑕點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)即即右右半半鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)無(wú)無(wú)界界的的被被積積函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xxs, 1 121 0 11 dxxeIdxxe

12、Isxsx設(shè)設(shè);,1)1(1是是定定積積分分時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Is ,10 )2(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) s函函數(shù)數(shù)三三、 xssxexxe1111 11 s又又)(lim12 sxxxex.112收斂收斂dxxeIsx .0)2(),1(01均均收收斂斂對(duì)對(duì)知知由由 sdxxesxs)(s o.1101收收斂斂dxxeIsx sx 11xsxex1lim 0 )1(極極限限審審斂斂法法上連續(xù)上連續(xù)在在的圖形，可知：的圖形，可知：由由), 0()()( ss （比較審斂法（比較審斂法2） 函數(shù)的幾個(gè)重要性質(zhì)：函數(shù)的幾個(gè)重要性質(zhì)：).0()()1( ssss遞推公式遞推公式.)(0 ss時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)).10( sin)1

13、()(3 ssss 余余元元公公式式 )1( , )21(21 . 402 ttduuetu).0()()1( ssss遞推公式遞推公式證明證明dxxessx 01)1()1(dxxex 0s)(0sxedx )()()(s00sxdeexxx dxsxeexxxx-1s0s)(0)(lim dxxesx-1s000 )(ss （洛必達(dá)法則）（洛必達(dá)法則）按定義，得按定義，得 )1(dxex 0 0 xe)1(0 1 由由遞遞推推公公式式得得)11()2( )1(1 111 )12()3( )2(2 ! 212 )13()4( )3(3 ! 3! 23 .一般地一般地,有有)( , !)1(正

14、整數(shù)正整數(shù)nnn 這表明這表明:.廣廣函函數(shù)數(shù)可可以以看看成成階階乘乘的的推推 .)(0 ss時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)由（由（1）得：）得：).0( ,s)1()( sss取取極極限限，得得令令 0s )1s (1)1( 1)( 連續(xù)連續(xù)在在 ss)(s )0(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) s證證)10( , sin)1()(3 ssss （余元公式）（余元公式） （不證）（不證）取取代代入入得得,21 s2sin)21()21( )21( 01 )(dxxessx2ux 令令 uduuesu2 )1(220 0122 2duuesu 12 st記記 02 2duuetu函函數(shù)數(shù)）（將將其其表表示示為為 )1( , )21(2

15、1 . 402 ttduuetu證證 012 2uduuetu 021)( 2uduetu 022)( )( 2udueu)1(21 t 022)( )( 2udueu1)1(21 t )21(t )1( , )21(2102 ttduuetu 0 dxxex1)1(21 t 2ux 令令在式在式中，中，取取0 t得：得：)1( , )21(2102 ttduuetu)21(2102 dueu 2 即即202 dxex這是概率論中常用的泊松積分這是概率論中常用的泊松積分(Poisson)例例9)27( 求求解解)25(25)27( )23(2325 )21(212325 212325 815 :由遞推公式得由遞推公式得例例10 04dxex函數(shù)表示積分函數(shù)表