2018年考研數(shù)學(xué)模擬試題數(shù)學(xué)一附答案

1、2018年考研數(shù)學(xué)模擬試題(數(shù)學(xué)一)參考答案一、選擇題(本題共8小題，每小題4分，滿分32分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)的字母填在題后的括號內(nèi))1.設(shè)f(x)在Sf內(nèi)是可導(dǎo)的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中是奇函數(shù)的是()(A)sinf'(x)(B)J0sintf(t)dt(C)J0f(sint)dt(D)Josint+f(t)dt1ex2.設(shè)f(x)=11,1ex.xu0.''則x=0是f(x)的().x=0,(A)可去間斷點(diǎn)(B)跳躍間斷點(diǎn)(C)第二類間斷點(diǎn)(D)連續(xù)點(diǎn)3.若函數(shù)f(x)與g(x)在(*,F)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)<g(x),則必有(

2、).(A)f(-x)g(-x)(B)f(x)：二g(x)(C)limx冏f(x)：lg(x)(D)0f(t)dt。0g(t)dt4.已知級數(shù)CO1-1)n1n-1COan和Za2n分別收斂于n1a,b,則級數(shù)oo工an()n1(A)不一定收斂(B)必收斂，和為2ab(C)必收斂，和為a-2b(D)必收斂，和為a2b5 .設(shè)矩陣A與B(A)3(B)4(C)5(D)6-10相似，則r(A)+r(A2E)=().16 .設(shè)3階方陣A的特征值是1,2,3,它們所對應(yīng)的特征向量依次為。192P3，令P=(3,：1,221)則PAP=().(A)0<0(B)0<0100、0401009,ri0

3、0、(C)020(D)d03，_X7 .設(shè)隨機(jī)變量X服從-1,1上的均勻分布，則X與Y=e（）.（A）不相關(guān)（B）相關(guān)（C）獨(dú)立（D）相關(guān)且不獨(dú)立8 .設(shè)Xi,|比Xn是取自正態(tài)總體N（0,1）一個(gè)簡單隨機(jī)樣本，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）(A)RXN(0,1)(B)(n-1)S2onX(n-1)(Ct(n-1)(D)SnX：n工Xi2i=4F(1,n)、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分，把答案填在題中橫線上）9 .設(shè)函數(shù)f(x,y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且f(x,2x-3X4xfx(1,3)=2,則fy(1,3一.10 .微分方程y'+(e“1)y=1的通解為.11 .設(shè)x2=&#

4、163;ancosnx，貝Ua2=.n=012 .設(shè)S為錐面z=Jx2+y2(0EzE1)外側(cè)，則JJydydz=S13 .設(shè)A為n階矩陣，其伴隨矩陣的元素全為1,則齊次方程組Ax=0的通解為.14 .設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且都服從正態(tài)分布N（0,1則PimaxX（丫,一：）=0.三、解答題（本題共9小題，滿分94分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15 .（本題滿分9分）設(shè)u=f（x,z）,而z=z（x,y）是由方程z=x+y*（z）所確定的隱函數(shù)，其中f具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而邛具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求du.16 .（本題滿分10分）x一設(shè)f(x)在(-«,-He)上連續(xù)，且1f(

5、x-t)endt=cosx.a.一求f(x)；設(shè)an=f(0),求級數(shù)1+£n不的和.n4222217 .(本題滿分10分)設(shè)球體x+y+zM2az(aa0)的各點(diǎn)密度與坐標(biāo)原點(diǎn)到該點(diǎn)的距離成反比(比例系數(shù)k>0),求球體的質(zhì)量M及球體繞z軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量I,.18 .(本題滿分11分)設(shè)函數(shù)f(x)在2,4上連續(xù)，在(2,4曲可導(dǎo)，且4f(2)=(x1)2f(x)dx,證明：存在3"(2,4),使得(2)=21(11.1-19 .(本題滿分10分)(數(shù)學(xué)一)證明：在右半平面xA0上，曲線積分j(x+4y)dy4(xy)dx與路徑無關(guān)，并Lx4y求一個(gè)二元函數(shù)u=u(

6、x,y),使得小山/年xe-yf(x,y)=0,0:x:y,其它.20 .(本題滿分11分)設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)聯(lián)合概率密度為求條件概率密度fY|X(yx)；z=x+y概率密度.21 .(本題滿分11分)設(shè)Xi,|I,Xn是取自總體X一個(gè)簡單隨機(jī)樣本，X的概率密度為-xf(x)=x0,x<0,求未知參數(shù)日的矩估計(jì)量；求未知參數(shù)日的最大似然估計(jì)量.TT-T-T22 .(11分)已知兩個(gè)向量組%=(1,2,3)，口2=(1,0,1)與3=(-1,2,t),與=(4,1,5).t為何值時(shí)，兩個(gè)向量組等價(jià)？兩個(gè)向量組等價(jià)時(shí)，求出它們之間的線性表示式.23 .(11分)已知二維向量”不是二階方

7、陣A的特征向量證明a,Aa線性無關(guān);若A2。十Aa6a=0,求A的全部特征值，并判斷A能否與對角矩陣相似參考答案一、選擇題(本題共8小題，每小題4分，滿分32分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)的字母填在題后的括號內(nèi))1 .設(shè)f(x)在3f內(nèi)是可導(dǎo)的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中是奇函數(shù)的是()(A)sinf'(x)(B)|osintf(t)dt(C)f(sint)dt(D)sint+f(t)dt解選才iB.由題設(shè)知,xsint,f(t)為偶函數(shù)，故j°sint,f(t)dt為奇函數(shù).1e2 .設(shè)f(x)=11-e1，1xk.x=0.一1 則x=0是f(x)的().

8、xx=0,(A)可去間斷點(diǎn)(B)跳躍間斷點(diǎn)(C)第二類間斷點(diǎn)(D)連續(xù)點(diǎn)解選才BB.limf(x)x)0-=lim11exx)0-1 -e1一1，exlimf(x)=lim=一1,故x=0是f(x)的x-0,x-0'1-ex跳躍間斷點(diǎn).3.若函數(shù)f(x)與g(x)在(-°°,依)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)<g(x),則必有().(A) f(-x)g(-x)(B) f'(x)<g'(x)(C)limf(x)<limg(x)(D)f(t)dt<fg(t)dtx闕)x的-0-0解選才iC.由函數(shù)f(x)與g(x)在(-,+=c)內(nèi)可導(dǎo)知，f

9、(x)與g(x)在(*,g)內(nèi)連續(xù)，limf(x)=f(x°),limg(x)=g(x0),而f(5)<g(x0),故limf(x)<limg(x).xx3xx0x)K0x>x0oO5.已知級數(shù)、(-1廣ann3oO和£a2n分別收斂于n1a,b,則級數(shù)£an()nd(A)不一定收斂(B)必收斂，和為2ab(C)必收斂，和為a-2b(D)必收斂，和為a2b解選才iD.由級數(shù)Z(1)nan收斂知，場an=0,n1n''00Onan的前n項(xiàng)和分別為sn.Sn.ffn,則limSn=a,limS=b,/nnnrnJ02k=&a2

10、III.a2k=(al_a2a3-a4HIa2k1一a2k)2(a2a4IIIa2k)=s2k2sk,故lim02kk；二八kim(s2k2Sk)=a2b,pm-二2k1=心(:2ka2k1)=a2b,oO所以liman=a+2b,級數(shù)£an收斂，和為a+2b.n二nW10-1”5 .設(shè)矩陣A與B020相似，則r(A)+r(A2E)=()101J(A)3(B)4(C)5(D)6解選才iA.矩陣A與B相似，則A2E與B2E相似，故r(A)r(A-2E)=r(B)r(B-2E)=21=3.6 .設(shè)3階方陣A的特征值是1,2,3,它們所對應(yīng)的特征向量依次為巴，口2P3,令1P=(3

11、1;3,%，22)則PAP=(),9(A)00010(B)04,001002,<000)120(D)03004009,300、解因?yàn)?a3P12a2分別為A的對應(yīng)特征值3,1,2的特征向量，故P“AP=010<0027 .設(shè)隨機(jī)變量X服從-1,1上的均勻分布，則X與Y=e(A)不相關(guān)(B)相關(guān)(C)獨(dú)立(D)相關(guān)且不獨(dú)立解運(yùn)AA.經(jīng)計(jì)算得，Cov(X,Y)=Cov(X,e*)=E(Xe?)EXEe招=0,PXY=0.8 .設(shè)X1,|,Xn是取自正態(tài)總體N(0,1)一個(gè)簡單隨機(jī)樣本，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()(A)氏XN(0,1)(B)(n-1)S2nX?2(n-1)(C)-t(n-1

12、)(D)tF(1,n)S'X：i1n解選才iD.由一個(gè)正態(tài)總體的抽樣分布知A,B,C都正確，X1272(1),£Xi272(n),i1但是它們不獨(dú)立，不能推出1巴F(1,n).X：i1二、填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分，把答案填在題中橫線上)9 .設(shè)函數(shù)f(x,y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且f(x,2x-3x4xfx(1,3)=2,則fy(1,3一.解答案為一1.方程f(x,2x23x+4)=x兩邊對x求導(dǎo)，得fx(x,2x2-3x+4)+fy(x,2x2-3x+4)<4x-3)=1,令x=1,得fx(1,3)+fy(1,3)=1,故fy(1,3)=-1.10 .

13、微分方程y'+(e"1)y=1的通解為c工解答案為y=e(1+Ce).-(e-x.1)dx(e-x.1)dxy=eedxC4x=eex(e*e*dxC)4.x.x=eex(e"C)=ex(1Cee).oO11 .設(shè)x2=£ancosnx,貝Ua2=n02-二-a2cos2xdx=112 .設(shè)S為錐面z=，x2+y2(0WzWl)外側(cè)，則JJydydz=解答案為0.S關(guān)于yoz面反向?qū)ΨQ，y關(guān)于x為偶函數(shù)，故JJydydz=0.S13 .設(shè)A為n階矩陣，其伴隨矩陣的元素全為1,則齊次方程組Ax=0的通解為.解答案為k(1,1,|,1)T,k為任意常數(shù).由題設(shè)

14、知，r(A)=1,r(A)=n1,nr(A)=1且AA=AE=O,故A的列向量(1,1|0,1)T是Ax=0的基礎(chǔ)解系.14 .設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且都服從正態(tài)分布N(0,1),則Pna(,XY0之=.一3.解答案為一.Pmax(X,Y)20=1Pmax(X,Y)<0=1_PX<0,丫父0423=1-P1X：:0P.Y：二0；=1-中(0)=.4三、解答題(本題共9小題，滿分94分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15.(本題滿分9分)設(shè)u=f(x,z),而z=z(x,y)是由方程z=x+y5(z)所確定的隱函數(shù)，其中f具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而邛具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求du.dx-

15、"(z)dy斛取全效分du=fxdx十fzdz,dz=dx+中(z)dy+y中(z)dz=dz=,1-y:(z)，-f,、f故du=(fx)dxdy.1-y：1-y:16 .(本題滿分10分)tx一設(shè)f(x)在(-«,+=C)上連續(xù)，且of(xt)endt=cosx.，一二ac，一求f(x)；設(shè)an=f(0),求級數(shù)1+£為的和.2解令u=x-t,tx則0f(x-t)endtx-unII=一1xf(u)endu=enf(u)endu,uxxJ。f(u)endu=encosx,xux故enJ。f(u)endu=cosx,即x上式兩邊對x求導(dǎo)，得f（x）en1J)nn

16、=-encosx-enn1.即f(x)=-cosx-sinx.n1二a二1an=f(0)=,級數(shù)1+£號=1£nn42nn2二xn1s(x)=1-%=1n4n1oO1人n1an2n111=s("-”2.-dx=1xln(1-x),x：122217 .（本題滿分10分）設(shè)球體x+y+zE2az（a>0）的各點(diǎn)密度與坐標(biāo)原點(diǎn)到該點(diǎn)的距離成反比（比例系數(shù)k>0）,求球體的質(zhì)量M及球體繞z軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量Iz.解由題設(shè)知，球體建上任一點(diǎn)的密度P(x,y,z)=,x2y2z2k球體的質(zhì)重M-(x,y,z)dV=dV-.'x2y2z22二'2aco

17、sk2.4.2=di2d-rsindr=一二ka.-0-00r3i/22、轉(zhuǎn)動慣量Iz=m(x2+y2)P(x,y,z)dV=用手2y)2dV-.x2y2z22二-0d2d12acos、,.&&kr3sin3:dr016,4ka3518.（本題滿分11分）設(shè)函數(shù)f（x）在2,4上連續(xù)，在（2,4曲可導(dǎo)，且f(2)=/(x1)2f(x)dx,證明：存在Uw(2,4),使得1)=2.-31證令F(x)=(x1)2f(x),貝UF'(x)=2(x1)f(x)十(x1)2f'(x),由積分中值定理知，存在cW3,4,使得_4f(2)=!(x-1)2f(x)dx=(c-1

18、)2f(c),即F(2)=F(c),3由羅爾定理知，存在C(C匚)(使得F'仁30即24一f優(yōu))+<_«=,1啊fYhfl)。19.(本題滿分10分)(數(shù)學(xué)一)證明：在右半平面xA0上，曲線積分f(x+4y)dy+(xy)dx與路徑無關(guān)，并lx24y2求一個(gè)二元函數(shù)u=u(x,y),使得du=(x4y)dy(x-y)dx22x4y,Q=x-yx4y""2"-2x4y2一222Qx4y-2x(x4y)4y-8xy-x-222-222:x(x24y2)2(x24y2)2史-(x2+4y2)-8y(x-y)4y2-8xy-x2Z一(x24y2)2

19、-(x24y2)2'在右半平面xo上，的=濟(jì)，故曲線積分f(x+4y)dy+(2/24y-y)dx與路徑無關(guān)22x二yLx4y解所求函數(shù)u=Ly)(x，4y)dy，(7y)dx,a。x4y取積分路徑為(1,0)到(x,0),再到(x,y)的折線段，則x1ydx1x0(x4y)dy-22x4y,J2y1=lnxarctan一2x2yln(x2+4y2)01 2y122、=arctanln(x4y).2 x220.(本題滿分11分)xe-y0:二x:y設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)聯(lián)合概率密度為f(x,y)=«'0xy0,其它.求條件概率密度fY|X(yx)；z=X十丫概率密度

20、.解畫出聯(lián)合概率密度的非零區(qū)域*0,x<0,關(guān)于的邊緣密度fX(x)=f(x,y)dy=«x|xe",x.0,條件概率密度fY|X(yx)=f(x,y)J0,fX(x)=ex，y-x,yx.Z=X十Y的取值范圍為(0,二)z«0時(shí),FZ(z)=0,z>0時(shí)，F(xiàn)Z(z)=PZEz=pX+YEz=fff(x,y)dxdyxy-z-zx02dx、xedy=02dx.z_xzxe'dyx(e*-e*dx。為/”-1.。2*0,z<0fZ(z)=F(z)=z4e：z021.(本題滿分11分)設(shè)Xi,川，Xn是取自總體X一個(gè)簡單隨機(jī)樣本,X的概率密度為-Qf(x)=xln工0,x0,0二，二1,x<0,求未知參數(shù)求未知參數(shù)解EX=9的矩估計(jì)量；e的最大似然估計(jì)量.二一、，1._xf(x)dx=Ini1所以9的矩估計(jì)為4=e/似然函數(shù)LC)-的InRl|(-uxnnInL(u)=Qx)In二nIn(Tn)i1：InLS)八n、1n八=(Zxi)+=0，ViJiIni1=e二,所以8的最大似然估計(jì)為f=eTT-T-T22.(11分)已知兩個(gè)向量組%=(1,2,3)