二次函數(shù)經(jīng)典難題

1、二次函數(shù)經(jīng)典難題（含精解）一選擇題（共1 小題）1 頂點(diǎn)為 P 的拋物線y=x 2 2x+3 與 y 軸相交于點(diǎn)A， 在頂點(diǎn)不變的情況下，把該拋物線繞頂點(diǎn) P 旋轉(zhuǎn) 180°得到一個(gè)新的拋物線，且新的拋物線與y 軸相交于點(diǎn)B，則 PAB 的面積為（）A 1B 2C 3D 6二填空題（共12 小題）2作拋物線C1 關(guān)于x 軸對稱的拋物線C 2，將拋物線C2向左平移2 個(gè)單位，向上平移1 個(gè)單位，得到的拋物線C 的函數(shù)解析式是y=2（ x+1 ） 2 1 ，則拋物線C1 所對應(yīng)的函數(shù)解析式是 3拋物線關(guān)于原點(diǎn)對稱的拋物線解析式為 4 將拋物線y=x 2+1 的圖象繞原點(diǎn)O 旋轉(zhuǎn)180&#

2、176;， 則旋轉(zhuǎn)后的拋物線解析式是 5如圖，正方形ABCD 的頂點(diǎn)A、 B 與正方形EFGH 的頂點(diǎn) G、 H 同在一段拋物線上，且拋物線的頂點(diǎn)在CD 上，若正方形ABCD 邊長為 10，則正方形EFGH 的邊長為6如果一條拋物線y=ax 2+bx+c（ a 0）與 x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，那么以該拋物線的頂點(diǎn)和這兩個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形” 在拋物線y=ax 2+bx+c 中， 系數(shù) a、b、 c 為絕對值不大于1 的整數(shù)，則該拋物線的“拋物線三角形”是等腰直角三角形的概率為7拋物線y=ax2+bx+c 經(jīng)過直角 ABC 的頂點(diǎn) A（1 ， 0） ， B（ 4， 0） ，

3、直角頂點(diǎn)C 在 y軸上，若拋物線的頂點(diǎn)在 ABC 的內(nèi)部（不包括邊界），則 a 的范圍是 8已知拋物線y=x 2 6x+a 的頂點(diǎn)在x 軸上，則a= ；若拋物線與x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則a 的范圍是 9拋物線y=x 2 2 x+a 2 的頂點(diǎn)在直線y=2 上，則 a= 10若拋物線y=x 2 2 x+a2的頂點(diǎn)在直線x=2 上，則 a的值是 11 若拋物線的頂點(diǎn)在x 軸上方，則m 的值是 12 如圖， 二次函數(shù)y=ax2+c 圖象的頂點(diǎn)為B， 若以 OB 為對角線的正方形ABCO 的另兩個(gè)頂點(diǎn) A、 C 也在該拋物線上，則a?c的值是 13拋物線y=ax 2+bx 1 經(jīng)過點(diǎn)（2， 5） ，則代數(shù)

4、式6a+3b+1 的值為 三解答題（共17 小題）14已知拋物線C1 的解析式是y=2x 2 4x+5，拋物線C2與拋物線C1 關(guān)于 x軸對稱，求拋物線 C2 的解析式15將拋物線C1 ：y= （ x+1 ）22 繞點(diǎn)P（t，2）旋轉(zhuǎn)180得到拋物線C 2，若拋物線C1的頂點(diǎn)在拋物線C2上，同時(shí)拋物線C2的頂點(diǎn)在拋物線C1 上，求拋物線C2的解析式16如圖，拋物線y1= x2+2 向右平移1 個(gè)單位得到拋物線y 2，回答下列問題：（ 1 ）拋物線y2 的頂點(diǎn)坐標(biāo) ；（ 2）陰影部分的面積S= ；（ 3）若再將拋物線y2 繞原點(diǎn)O 旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線y 3，求拋物線y3的解析式17

5、已知拋物線L： y=ax 2+bx+c（其中a、 b、 c都不等于0） ，它的頂點(diǎn)P 的坐標(biāo)是y 軸的交點(diǎn)是M （ 0， c） 我們稱以M 為頂點(diǎn)，對稱軸是y 軸且過點(diǎn)P 的拋物線為拋物線L 的伴隨拋物線，直線PM 為 L 的伴隨直線（ 1 ）請直接寫出拋物線y=2x 2 4x+1 的伴隨拋物線和伴隨直線的解析式：伴隨拋物線的解析式 ，伴隨直線的解析式 ；（ 2）若一條拋物線的伴隨拋物線和伴隨直線分別是y= x2 3 和 y= x 3，則這條拋物線的解析式是 ；（ 3）求拋物線L： y=ax 2+bx+c（其中a、 b、 c都不等于0）的伴隨拋物線和伴隨直線的解析式；（4）若拋物線L 與 x

6、軸交于 A（x1，0）、B（x2，0）兩點(diǎn)，x2>x1>0，它的伴隨拋物線與x 軸交于C、 D 兩點(diǎn)，且AB=CD 請求出a、 b、 c 應(yīng)滿足的條件18設(shè)拋物線y=x 2+2ax+b 與 x 軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)（ 1 ）將拋物線沿y 軸平移，使所得拋物線在x 軸上截得的線段的長是原來的2 倍，求平移所得拋物線的解析式；（ 2） 通過（ 1 ）中所得拋物線與x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)及原拋物線的頂點(diǎn)作一條新的拋物線，求新拋物線的表達(dá)式19已知拋物線C： y=ax 2+bx+c（ a< 0）過原點(diǎn)，與x 軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B（ 4， 0） ， A 為拋物線 C 的頂點(diǎn)（1 ）如圖1，若AO

7、B=60 °，求拋物線C 的解析式；（2）如圖2，若直線OA 的解析式為y=x，將拋物線C 繞原點(diǎn) O 旋轉(zhuǎn) 180°得到拋物線C，求拋物線C、 C的解析式；（ 3）在（2）的條件下，設(shè)A 為拋物線C 的頂點(diǎn)，求拋物線C 或 C上使得PB=PA的點(diǎn)P的坐標(biāo)20 如圖，已知拋物線y=ax2+bx+交 x 軸正半軸于A， B 兩點(diǎn)， 交 y 軸于點(diǎn)C， 且 CBO=60 °， CAO=45 °，求拋物線的解析式和直線BC 的解析式21已知：如圖，拋物線y= x +bx+c 經(jīng)過直線y= x+3 與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、 B，此拋物線與 x 軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，

8、拋物線的頂點(diǎn)為D（ 1 ）求此拋物線的解析式；2）點(diǎn) M 為拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，求使得 ABM 的面積與 ABD 的面積相等的點(diǎn)M 的22已知拋物線的頂點(diǎn)為P，與x 軸正半軸交于點(diǎn)B，拋物線C2與拋物線C1 關(guān)于 x軸對稱，將拋物線C2向右平移，平移后的拋物線記為C3， C3的頂點(diǎn)為M ，當(dāng)點(diǎn)P、 M 關(guān)于點(diǎn) B 成中心對稱時(shí)，求C3 的解析式23如圖，拋物線y=x 2+bx c經(jīng)過直線y=x 3與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)A， B，此拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，拋物線的頂點(diǎn)為D（ 1 ）求此拋物線的解析式；（ 2）點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，求使S APC： S ACD=5： 4 的點(diǎn) P 的坐標(biāo)24

9、已知一拋物線經(jīng)過O（ 0， 0） ， B（ 1， 1）兩點(diǎn)，且解析式的二次項(xiàng)系數(shù)為（ a> 0） （）當(dāng)a=1 時(shí)，求該拋物線的解析式，并用配方法求出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（） 已知點(diǎn)A（ 0， 1） ， 若拋物線與射線AB 相交于點(diǎn)M， 與 x軸相交于點(diǎn)N（異于原點(diǎn)），當(dāng) a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，ON+BM 的值為常數(shù)？當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，ON BM 的值為常數(shù)？（）若點(diǎn)P（ t， t）在拋物線上，則稱點(diǎn)P 為拋物線的不動點(diǎn)將這條拋物線進(jìn)行平移，使其只有一個(gè)不動點(diǎn)，此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)是否在直線y=x 上，請說明理由25如圖，已知拋物線C1： y=a（ x+2） 2 5 的頂點(diǎn)為P，與x

10、軸相交于A、 B 兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn) B 的左側(cè)） ，點(diǎn) B 的橫坐標(biāo)是1；（ 1 ）求 a 的值；（ 2）如圖，拋物線C2與拋物線C1 關(guān)于x軸對稱，將拋物線C2向右平移，平移后的拋物線記為C 3，拋物線C3的頂點(diǎn)為M，當(dāng)點(diǎn) P、 M 關(guān)于點(diǎn) O 成中心對稱時(shí)，求拋物線C3的解析26如圖，拋物線y=ax2+bx+3 經(jīng)過A（3， 0） ， B（1， 0）兩點(diǎn)（ 1 ）求拋物線的解析式；（ 2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M ，直線y= 2x+9 與 y 軸交于點(diǎn)C，與直線OM 交于點(diǎn)D現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點(diǎn)在直線OD 上若平移的拋物線與射線CD （含端點(diǎn)C）只有一個(gè)公27如圖，拋物線y=a（ x+1 ）

11、2的頂點(diǎn)為A，與 y 軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B，且OB=OA （ 1 ）求拋物線的解析式；（ 2）若點(diǎn)C（3， b）在該拋物線上，求S ABC 的值28如圖，拋物線y=x 2 2x+c 的頂點(diǎn) A 在直線 l： y=x 5 上（ 1 ）求拋物線頂點(diǎn)A 的坐標(biāo)及c 的值；（ 2）設(shè)拋物線與y 軸交于點(diǎn)B，與 x 軸交于點(diǎn)C、 D（ C 點(diǎn)在 D 點(diǎn)的左側(cè)），試判斷 ABD的形狀29如果拋物線m 的頂點(diǎn)在拋物線n 上，同時(shí)拋物線n 的頂點(diǎn)在拋物線m 上，那么我們就稱拋物線m 與 n 為交融拋物線（ 1 ）已知拋物線a：y=x 22x+1 判斷下列拋物線b：y=x22x+2，c：y=x2+4x3 與已知拋

12、物線a 是否為交融拋物線？并說明理由；（2）在直線y=2 上有一動點(diǎn)P（t，2） ，將拋物線a：y=x 22x+1 繞點(diǎn)P（t，2）旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線l ，若拋物線a 與 l 為交融拋物線，求拋物線l 的解析式；（ 3） M 為拋物線a； y=x 2 2x+1 的頂點(diǎn)，Q 為拋物線a的交融拋物線的頂點(diǎn)，是否存在以MQ 為斜邊的等腰直角三角形MQS， 使其直角頂點(diǎn)S在 y 軸上？若存在，求出點(diǎn) S的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（ 4）通過以上問題的探究解決，相信你對交融拋物線的概念及性質(zhì)有了一定的認(rèn)識，請你提出一個(gè)有關(guān)交融拋物線的問題30 如圖 1 所示， 已知直線y=kx+m 與 x 軸、 y 軸分別交于點(diǎn)A、 C 兩點(diǎn)， 拋物線 y= x2+bx+c經(jīng)過 A、 C 兩點(diǎn)，點(diǎn)B 是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)x= 時(shí)， y取最大值（ 1 ）求拋物線和直線的解析式；（ 2）設(shè)點(diǎn)P 是直線 AC 上一點(diǎn)，且S ABP： S BP