(完整版)離散數(shù)學(xué)[屈婉玲版]第一章部分習(xí)題匯總

1、WORD 格式第一章習(xí)題1.1&1.2判斷下列語句是否為命題,若是命題請指出是簡單命題還是復(fù)合命題.并將命題符號化,并討論它們的真值.(1) J2 是無理數(shù).是命題，簡單命題.p:J2是無理數(shù).真值:1(2)5能被2整除.是命題，簡單命題.p:5能被2整除.真值:0(3)現(xiàn)在在開會嗎?不是命題.(4)x+50.不是命題.(5)這朵花真好看呀!不是命題.(6)2是素?cái)?shù)當(dāng)且僅當(dāng)三角形有3條邊.是命題,復(fù)合命題.p:2是素?cái)?shù).q:三角形有3條邊.poq 真值:1(7)雪是黑色的當(dāng)且僅當(dāng)太陽從東方升起.是命題，復(fù)合命題.p：雪是黑色的.q：太陽從東方升起.poq 真值:0(8)2008 年 1

2、0 月 1 日天氣晴好.是命題，簡單命題.p:2008 年 10 月 1 日天氣晴好.真值唯(9)太陽系以外的星球上有生物.是命題， 簡單命題.p:太陽系以外的星球上有生物.真值唯一.(10) 小李在宿舍里.是命題，簡單命題.P:小李在宿舍里.真值唯一.(11) 全體起立!不是命題.(12) 4 是 2 的倍數(shù)或是 3 的倍數(shù).是命題，復(fù)合命題.p：4 是 2 的倍數(shù).q:4 是 3 的倍數(shù).pVq真值:1(13) 4 是偶數(shù)且是奇數(shù).是命題，復(fù)合命題.P：4 是偶數(shù).q:4 是奇數(shù).pAq 真值：0WORD 格式(14) 李明與王華是同學(xué).是命題，簡單命題.p：李明與王華是同學(xué).真值唯一.(

3、15) 藍(lán)色和黃色可以調(diào)配成綠色.是命題，簡單命題.p：藍(lán)色和黃色可以調(diào)配成綠色.真值：11.3 判斷下列各命題的真值.(1) 若 2+2=4，則 3+3=6.若 2+2=4,則 3+3H6.若 2+2H4,則 3+3=6.若 2+2H4,則 3+3H6.(5)2+2=4 當(dāng)且僅當(dāng) 3+3=6.(6)2+2=4 當(dāng)且僅當(dāng) 3+3H6.(7)2+2#4 當(dāng)且僅當(dāng) 3+3=6.(8)2+2#4 當(dāng)且僅當(dāng) 3+3H6.答案：設(shè) p:2+2=4,q:3+3=6,貝(Jp,q 都是真命題.(1)pfq,真值為 1.(2)pfq,真值為 0.(3)qpfq,真值為 1.(4)qpfq,真值為 1.(5)p

4、oq,真值為 1.(6)pqq,真值為 0.(7)qpoq,真值為 0.(8)qpoqq,真值為 1.14將下列命題符號化，并討論其真值。(1)如果今天是1號，則明天是2號。p：今天是1號。q:明天是2號。符號化為：pTq真值為：1(2)如果今天是1號，則明天是3號。p:今天是1號。q:明天是3號。符號化為：pTq真值為：0WORD 格式1.5將下列命題符號化。(1)2是偶數(shù)又是素?cái)?shù)。(2)小王不但聰明而且用功。(3)雖然天氣很冷，老王還是來了。(4)他一邊吃飯，一邊看電視。(5)如果天下雨，他就乘公共汽車上班。(6)只有天下雨，他才乘公共汽車上班。(7)除非天下雨，否則他不乘公共汽車上班。(

5、意思為：如果他乘公共汽車上班，則天下雨或如果不是天下雨，那么他就不乘公共汽車上班)(8)不經(jīng)一事，不長一智。答案：(1)設(shè)p：2是偶數(shù)，q：2是素?cái)?shù)。符號化為：pAq(2) 設(shè)p：小王聰明，q：小王用功。符號化為：pAq(3) 設(shè)p：天氣很冷，q：老王來了。符號化為：pAq(4) 設(shè)p：他吃飯,q：他看電視。符號化為：pAq(5) 設(shè)p：天下雨，q：他乘公共汽車。符號化為：p-q(6) 設(shè)p：天下雨，q：他乘公共汽上班。符號化為：q-p(7) 設(shè)p:天下雨，q： 他乘公共汽車上班。 符號化為：q-p或qp(8)設(shè)p：經(jīng)一事，q：長一智。符號化為：pq1.6設(shè)p,q的真值為0；r,s的真值為1，

6、求下列各命題公式的真值。(1)pV(qAr)(2)(pf)A(-pVs)(3)(pA(qVr)-(pVq)A(rAs)(4)-(pV(q-(rA-p)(rV-s)解( (1) )pV V(qA Ar)pqrqArpV(qAr)00100(pF)A A(-pV Vs)WORD 格式pqrspor-P-pVs(por)A(-pVs)00110110( (PA A(qV Vr) (pV Vq)A A(rA As)pqrsqVrpA(qVr)pVqrAs(pVq)A(rAs)(pA(qVr)f(pVq)A(rAs)00 1 1 100101(4)-(pV V(qfqf(rA A-p)f f(rV V-

7、s)p c rs prA-pqf(rA-p)(pV(qf(rA-p)(rV-s)-(pV(qf(rA-p)f(rV-s)0 01 1 11111117判斷下列命題公式的類型。判斷下列命題公式的類型。(1)p(pvqvr)解解：pqrpvqpvqvrpT(pvqvr)000001001011010111011111100111101111110111111111WORD 格式由真值表可知，該命題公式為重言式。(2)(pfp)fppnpp-np(p- *np)-np0 1111 001由真值知命題公式的類型是：重言式(3)n(qfp)Appqqpn(qP)n(qp)Ap00100010101010

8、011100此命題公式是矛盾式。(4)(pfq)(-qf-p)解:其真值表為:pq1qpfqqfp(pq)f(qfp)0011111011011110010011100111由真值表觀察，此命題為重言式.(5)(-pfq)f(qf-p)解:其真值表為:pq1pfqqfp(pq)(qp)001011011111100111110100WORD 格式由真值表觀察,此命題為非重言式的可滿足式.(7)(pVp)f(qAq)Ar)解：解：p p q qr rpVpqAqr(qA-q)Ar(pVp)f(qAq)A-r)0 00101000 01100000 10101000 11100001 001010

9、01 01100001 1010101 11 11 10 00 00 0結(jié)論：結(jié)論：此命題為矛盾式1.7(8)(poq)f(pVq).Pq(poq)(pVq)(pVq)(poq)f(pVq)001011010101100101111100解:WORD 格式PqrPqqr(pq)A(qr)PrA000111110011111101010011由此可以知道，上式為非重言式的可滿足式.(pfq)A(qfF)f(pf)WORD 格式解解：P Pq qr rs spVqpVq(pVq)fr(pVq)fr(pVq)fr)(pVq)fr)分s s0 00 00 00 00 01 10 00 00 00 01

10、 10 01 11 10 00 01 10 00 01 10 00 00 01 11 10 01 11 10 01 10 00 01 10 01 10 01 10 01 11 10 00 00 01 11 10 01 11 10 00 01 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 10 01 11 10 01 11 10 01 11 10 00 01 11 10 00 01 10 01 11 10 00 01 11 10 00 01 10 01 10 01 11 10 01 10 01 11 11 11 11 11 10 00 00 01 10

11、 01 1結(jié)論：此命題為非重言式可滿足式0111111110001001101010111101000111111111該命(10)(pVq)fr)分sWORD 格式1.8用等值演算法證明下列等值式WORD 格式(1)CpAq)V(pAq)op證明：(pAq)V(pAq)opA(qVq)opA1op(3)i(p今q)o(pvq)A(pAq)證明：(p呂q)o(pTq)A(qTp)o(pvq)a(qvp)o(pvq)v(qvp)o(paq)v(qap)o(paq)vq)a(paq)vp)o(pvq)a(qvq)a(pvp)a(qvp)o(pvq)a1)a(1a(qvp)o(pvq)a(qvp)o

12、(pvq)a(paq)1.9用等值演算法判斷下列公式的類型。(1)(paq)Tp).解：(1)(paq)Tp)o(paq)vp)o(paq)apopaqapopapaqo0aqo0即原式為矛盾式.(2)(pTq)A(qTp)O(poq)解：(pTq)A(qTp)O(poq)o(poq)o(poq)o(poq)T(poq)A(poq)T(poq)o(Poq)T(poq)o(poq)v(poq)olBP(pTq)A(qTp)o(poq)是重言式。(3)(pfq)f(qfp).解：(pfq)f(qfp)O(pVq)V(qVp)（分配律）排中律）（同一律）蘊(yùn)含等值式德摩根律雙重否定律交換律交換律矛盾律

13、零律WORD 格式o(pAq)V(qVp)o(pV(pAq)A(qV(qVp)o(pVp)Vq)A(qVq)Vpo(pVq)A(pVq)o(pVq)或(pfq)f(qfp)o(pVq)V(qVp)o(pAq)V(qVp)o(pAq)Vq)Vp結(jié)合律opVq吸收律結(jié)論：該公式為可滿足式。1.12(1)求下面命題公式的主析取范式、主合取范式、成真賦值、成假賦值。(pV(qAr)f(pAqAr)OJ(pV(qAr)V(pAqAr)o(-pA(-qV-r)V(pAqAr)o(-pA-q)V(-pA-r)V(pAqAr)o(-pA-q)A(rV-r)V(-pA-r)A(qV-q)V(pAqAr)o(-p

14、A-qAr)V(-pA-qA-r)V(-pA-qA-r)V(-pAqA-r)V(pAqAr)o(-pA-qAr)V(-pA-qA-r)V(-pAqA-r)V(pAqAr)o(-pA-qA-r)V(-pA-qAr)V(-pAqA-r)V(pAqAr)om0Vm1Vm2Vm7o工(0,1,2,7)故其主析取范式為(pV(qAr)(pAqAr)o工(0,1,2,7)由最小項(xiàng)定義可知道原命題的成真賦值為(0,0,0)(0,1,0)(0,0,1)(1,1,1)成假賦值為(0,1,1)(1,0,0)(1,0,1)(1,1,0)由主析取范式和主合取范式的關(guān)系即可知道主合取范式為(pV(qAr)f(pAqAr

15、)on(3,4,5,6)(3) i(pTq)AqAr解：(pTq)AqAro(pvq)AqAropAqAqAro0既(pTq)AqAr 是矛盾式。(pTq)AqAr 的主合取范式為MAMAMAMAMAMAMAM 成假賦值為：000,001,010,01234567，011,100,101,11113.通過求主析取范式判斷下列各組命題公式是否等值。vvA(1)pf(qfr);qf(pfr).解：pf(qfr)opv(qfr)opv(qvr)opvqvrWORD 格式o(pA(qvq)A(rvr)v(pvp)AqA(rvr)v(pvp)A(qvq)Ar)o(pAqAr)v(pAqAr)v(pAqA

16、r)v(pAqAr)v(pAqAr)v(pAqAr)v(pAqAr)o工(0,1,2,3,4,5,7)qf(pfr)oqv(pvr)opvqvro工(0,1,2,3,4,5,7)所以兩式等值。(2)pTqoj(pAq)o(pA(qVjq)V(qA(pVjp)o(pAq)V(jpAjq)V(jqAp)V(jpAjq)o(jpAq)V(jpAjq)V(pAjq)omVmVm1 102oE(0,1,2)(pAjq)處原為(jqAp)，不是極小項(xiàng)2令 A=pTqB=J(pAq)C=(jpAq)V(JpAJq)V(pAJq)D=p! !q則 B*二j(pVq)?p! !q=D且 A?B?C所以 D?A*

17、?C*C*=(JpVq)A(JpVJq)A(pVJq)?n(o,1,2)?E(3)所以!？1.15某勘探隊(duì)有3名隊(duì)員， 有一天取得一塊礦樣，3人判斷如下： 甲說：這不是鐵，也不是銅；乙說：這不是鐵，是錫；丙說：這不是錫，是鐵；經(jīng)實(shí)驗(yàn)室鑒定后發(fā)現(xiàn)，其中一人兩個判斷都正確，一個人判對一半，另一個人全錯了。WORD 格式根據(jù)以上情況判斷礦樣的種類。解：p：是鐵q：是銅門是錫由題意可得共有6種情況：1)甲全對，乙對一半，丙全錯：(pAq)A(pAr)V(pAr)A(rAp)2)甲全對，丙對一半，乙全錯：(一pAq)A(rAp)V(rAp)A(pAr)3)乙全對，甲對一半，丙全錯：(pAr)A(pAq)

18、V(qAp)A(rAp)4)乙全對，丙對一半，甲全錯：(pAr)A(rAp)V(rAp)A(pAq)5) 丙全對，甲對一半，乙全錯：(一rAp)A(pAq)V(pAq)A(pAr)6) 丙全對，乙對一半，甲全錯：(rAp)A(pAr)V(pAr）A（pAq）則2222Vol1o（pAqApArArAp）V（pAqApArArAp）o0V0o02o（pAqArApApAr）V（pAqArApApAr）o0V0o03o（ pArA pAqArA p）V （ pArA qApArA p）oGpAqAr）VOopAqAr4o（pArArApApAq）V（pArArApApAq）o0V0o05o（rAp

19、ApAqApAr）VGrApApAqApAr）o0V（pAqAr）opAqAr6o（rApApArApAq）VGrApApArApAq）o0V0o0所以VVVVVo（pAqAr）V（pAqAr）而這塊礦石不可能既是銅又是錫，所以只能是1.16判斷下列推理是否正確，先將命題符號化，再寫出前提和結(jié)論，讓后進(jìn)行判斷。3如果今天是1號，則明天是5號。今天是1號，所以明天是5號。p：今天是1號q：明天是5號WORD 格式解：前提：pfq,p結(jié)論：q推理的形式結(jié)構(gòu)為：（pfq）Ap）fq證明：pfq前提引入2p前提引入3q假言推理此命題是正確命題1.16(2)判斷下列推理是否正確，先將命題符號化再寫出前提

20、和結(jié)論，然后進(jìn)行判斷如果今天是1號，則明天是5號。明天是5號，所以今天是1號。解設(shè)P：今天是1號,q：明天是5號，則該推理可以寫為(pfq)Aq)fp前提 pfq,q結(jié)論 p判斷證明(pfq)Aq)fpOJ(pfq)Aq)VpOJ(pfq)VJqVpOJ(JpVq)VJqVpO(pAJq)VJqVpOJqVp此式子為非重言式的可滿足式，故不可以判斷其正確性所以此推理不正確1.16(3)如果今天是1號，則明天是5號，明天不是5號，所以今天不是1號。解：p:今天1號.q:明天是5號.(pfq)A-q)f-pWORD 格式前提:pfq,-q.結(jié)論:-p.證明:pfq 前提引入2-q 前提引入3-p拒

21、取式推理正確1.17(1)前提：一(pA-q),-qVr,r 結(jié)論：一 p.證明：一 qVr 前提引入WORD 格式2r3q4(pAq)5pVq6p 即推理正確。(2)前提：pf(qfs),q,pVr結(jié)論：r-s.證明： pVr前提引入r附加前提引入p析取三段論 pf(qfs)前提引入 qfs假言推理q前提引入s假言推理由附加前提證明法可知，結(jié)論正確。(3):前提:pfq.結(jié)論:pf(pAq).證明：pfq.前提引入2p附加前提引入3q假言推理4pAq合取引入規(guī)則(4)前提：qTp,qos,sot,Sr.結(jié)論：pAqASAr.證明：1)tAr；前提引入2)t；1)的化簡3)sot；前提引入4)

22、(sTt)A(tTS)；3)的置換5)tTs4)的化簡6)s；2),5)的假言推理7)qos；前提引入8)(qTs)A(sTq)；7)置換9)sTq8)的化簡前提引入析取三段論前提引入置換析取三段論專業(yè)整理WORD 格式10) q；6),9)的假言推理11) qTp；前提引入12) p；10),11)的假言推理13)r1)的化簡14)pAqASAr6),10),12),13)的合取所以推理正確。1.18 如果他是理科學(xué)生， 他必學(xué)好數(shù)學(xué)。 如果他不是文科學(xué)生,他必是理科學(xué)生。他沒學(xué)好數(shù)學(xué)。所以它是文科學(xué)生。判斷上面推理是否正確，并證明你的結(jié)論。.pv(qA2、4)既 001、011、101、110、111 是成真賦值，000、010、100 是成假賦值。例題例題例1.25給定命題公式如下，用等值演算判斷公式類型(1)(pAq)f(pVq)解：o(pAq)V(pVq)opVqVpVqo(pVp)V(qVq)o1V1o1所以為重言式(2)(pq)Q(pfq)A(qfp)解：(pQq)Q(pfq)A(qfp)o(pQq)Q(Qq)o(pQq)f(pQq)A(pQq)f(pQq)o(pQq)f(pQq)o-(pQq)V(pQq)o-(pfq)A(qfp)V(pfq)A(qfp)o(-(pfq)V-(qfp)V(pfq)A(-(pfq)V-(qfp