理論力學(xué)第十章質(zhì)心運動定理動量定理習(xí)題

1、第十章質(zhì)心運動定理動量定理習(xí)題解習(xí)題10-1船a、B的重量別離為2.4kN及1.3kN，兩船原處于靜止間距6m。設(shè)船B上有一人，重500N，使勁拉動船A,使兩船靠攏。若不計水的阻力，求當(dāng)兩船靠攏在一路時，船B移動的距離。解：以船A、B及人組成的物體系統(tǒng)為質(zhì)點系。因為質(zhì)點系在水平方向不受力。即：工F=0?ix設(shè)B船向左移動了S米，則A船向右移動了6S米。由質(zhì)點系的動量定理得：mv一(m+m)v0=FtAAB人Bxmv(m+m)v=0AAB人Bmv=(m+m)vAAB人Bmv=(m+m)vAAB人B6-s/、sm=(m+m)AtB人tm(6一s)=(m+m)sAB人2.4(6-s)=(1.3+0.

2、5)s2.4(6-s)=(1.3+0.5)s4(6-s)=3s24s=3.43(m)7習(xí)題10-2電動機重P，放置在滑膩的水平面上，還有一勻質(zhì)桿，長2L，重P，一端與12電動機機軸固結(jié)，并與機軸的軸線垂直，另一端則剛連一重P3的物體，設(shè)機軸的角速度為(為常量)，開始時桿處于鉛垂位置而且系統(tǒng)靜止。試求電動機的水平運動。解：以電動機、勻質(zhì)桿和球組成的質(zhì)點系為研究對象。其受力與運動分析如圖所示。勻質(zhì)桿v=v+vC2C1C2C1v=lC2rv=lcost-vC2xC1TTTv=v+vC3C1C3C1v=21C3rv=21cost-vC3xC1因為質(zhì)點系在水平方向上不受力，所以F=YF=0xix由動量定

3、理得：PtOTvP3PvC3rN1TvC2rN2x-mv+m(lcost-v)+m(2lcost-v)-0=Ft1C12C13C1x-mv+m(lcost-v)+m(2lcost-v)-0=01C12C13C1m(lcost-v)+m(2lcost-v)=mv2C13C11C1mlcost-mv+2mlcost-mv=mv22C133C11C1mlcost+2mlcost=(m+m+m)v23123C1l(m+m)v=23costC1m+m+m123dx1C1二1（m+m）23costm+m+m123dxC11（m+m）t=23costdtm+m+m123xC11（m+m）f,=23Jcost

4、dtm+m+m123xC11（m2+m3）Jcostdt）m+m+m123xC11（m+m）.23sinwtm+m+m123xC11（P+P）.=23sinwtP+P+P123這就是電動機的水平運動方程。習(xí)題10-3浮動起重機起吊重P=20kN的重物，起重機重P=200kN，桿長OA二8m，12開始時桿與鉛垂位置成600角，忽略水的阻力，桿重不計，當(dāng)起重桿OA轉(zhuǎn)到與鉛垂位置成300角時，求起重機的位移。解：以重物和起重機組成的物體系統(tǒng)為質(zhì)系。因為質(zhì)點系在水平方向不受力，所以F二0xd（叫）=F=0dxxv=constCxvI=const=0Cxt=0v=0Cx也=0dtxc=const。即OA

5、運動前后，質(zhì)點系的質(zhì)心維持不變。也就是質(zhì)心守恒。當(dāng)OA桿轉(zhuǎn)到與鉛垂位置成300角時，質(zhì)點系質(zhì)心的橫坐標(biāo)為:xC1mx+mx1C2C12m+m12xC1Px+PxP+P12b-20x(8cos600-a)+200x(a+)220+20020a-80+200a+100bx=ci220220a+100b-80x=ci22011a+5b-4x=C111當(dāng)OA桿轉(zhuǎn)到與鉛垂位置成300角時，質(zhì)點系質(zhì)心的橫坐標(biāo)為：xC2Px+PxP+P12b-20x(8cos300-c)+200x(c+)220+20020c-803+200c+100bx二C2220220c+100b-80J3x二一C2220lie+5b-

6、4朽x=c211因為質(zhì)心守恒，所以xx，即：C1C211a+5b-4_11c+5b-4語11_1111a+5b-4二11c+5b-4.311a-4二11c-4訂11(c-a)二4(朽-1)4L(c-a)=(、3-1)=0.2662(m)故，當(dāng)起重桿OA轉(zhuǎn)到與鉛垂位置成300角時，起重機向左移動了米。習(xí)題10-4勻質(zhì)圓盤繞偏心軸O以勻角速度轉(zhuǎn)動。重P的夾板借右端彈簧推壓面頂在圓盤上，當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)動時，夾板作住復(fù)運動。設(shè)圓盤重W,半徑為r，偏心距為e，求任一瞬時作用于基礎(chǔ)和別螺栓的動反力。解：設(shè)機座的重量為G,則當(dāng)偏心輪轉(zhuǎn)動時,質(zhì)點系的受力如圖所示。當(dāng)停偏心輪靜止時水平約束力不存在，現(xiàn)在的反力為靜反力

7、：F二W+P+G；當(dāng)偏心輪轉(zhuǎn)動時，存在N動反力：F和F。質(zhì)點系的受力與運動分xyGVC.Fx2OC33FyFN析如圖所示。當(dāng)偏心輪轉(zhuǎn)動時，偏心輪的動量為：廠WWeoP=v=1gC1g當(dāng)偏心輪轉(zhuǎn)動時，夾板的動量為：PP=v2gC2因為夾板作平動，所以其質(zhì)心的速度等于夾板與偏心輪的切點的速度。切點的運動方程為：x=e-ecosotv=0-e(-osinot)=eosinot，即：xv=esinot，故：C2PPeosinotP=v=2gC2g當(dāng)偏心輪轉(zhuǎn)動時，機座的動量為：質(zhì)點系的動量為：P=P+P+p123WesintPe3sint門(W+P)esint+0=1x2x3xgggp=p+p+py1y

8、2y3yWeC0S+0+0=WeC0Sggdpxdt=F+F-W-p-GxN式中，F(xiàn)二W+p+G,故:NF二1(W+p血二旳2(W+p)C0S二W+p2ecost，即.xdtgggdpa=FdtydpdeWcoste2WsintWF=y()-2ecost，即ydtdtgggW+pF2ecostxg習(xí)題10-5大直角鍥塊A重P,水平邊長為a，放置在滑膩水平面上；小鍥塊B重Q,水平邊長為b（ab），如圖放置在A上，當(dāng)小鍥塊B完全下滑至圖中虛線位置時，求大鍥塊的位移。假設(shè)初始時系統(tǒng)靜止。解:成立如圖所示的坐標(biāo)系。由于質(zhì)點系在水平方向不受力，即F二0,所以：xma=F=0Cxxa=0CxdvCdtxv

9、CC1v|C0，故Ct01v0Cdx(dtx=const，即質(zhì)心守恒:Cx二xC1C2PaQ2bX+X+_g3g3_Pa+2bQxC1P丄Q3(P+Q)+ggXabxC2P(3-s)+Q(a-s-)P+QP(a-3s)+Q(3a-3s-b)xC23(P+Q)Pa3Ps+3Qa3QsQbxC23(P+Q)Pa+2bQPa3Ps+3Qa3QsQb3(P+Q)3(P+Q)2bQ3(P+Q)s+3QabQ3(P+Q)s3Qa3bQ(ab)Qs(A鍥塊各左移動的位移)P+Q習(xí)題10-6勻質(zhì)桿AB長21，其B端擱置于滑膩水平面上，并與水平成申0角，當(dāng)桿倒下時，求桿端A的軌跡方程。解：由于AB桿在水平方向上

10、不受力，所以其質(zhì)心的x坐標(biāo)守恒。即：xx1cos申CtC00AyAC9gabcN2N1mgmgyxABCga20bc：03N2N1mg/mAg質(zhì)心C沿x=lcos申直線向下運動。0設(shè)任意時刻A的坐標(biāo)為A(x,y)，則：x=lcos9+1cos90x-1cos9=1cos90y=21sin9=1sin92消去9得：y(x一1COS9)2+(=)2=1，為一橢圓。02習(xí)題10-7圖示系統(tǒng)中，m=4kg,m=2kg,9=300。設(shè)當(dāng)A在斜面上作無初速地AC向下滾過40cm時，斜面在滑膩的水平面上移過20cm。求B的質(zhì)量。解：以A、B、C組成的質(zhì)點系為研究對象,其受力如圖所示。因為水平方向不受力，所以

11、a=0，即：Cx佇=0dtv二CCx1vI=C=0，故:Cxt=01v=0Cxdxc=const，即質(zhì)心守恒:dtx=xC2C1ma+m+m(b+c)AC3Bx=C1m+m+mABC4a+2x+m(b+c)4a+m(b+c)xC1xC23b丿=3b4+2+m6+mBB4(a+20-20.3)+2(竺+20)+m(b+c+20)3B4+2+mBl4b4a+80-80、3+40+m(b+c)+20m3BBx=C24+2+mBl4b4a+120-80-3+m(b+c)+20m3BBx=C24+2+mB由XC2=xC1得:4bl4b4a+m(b+c)4a+120-80*3+m(b+c)+20m3B=3

12、BB6+m6+mBB0=120-80爲(wèi)+20mBm=-6=0.928(kg)B習(xí)題10-8質(zhì)量為m，半徑為R的勻質(zhì)半圓板，受力偶作用在鉛垂面內(nèi)繞O軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動的角速度為，角速度為。C點為半圓板的質(zhì)心，當(dāng)OC與水平線成任意角9時，求此4R瞬時軸O約束力（OC=）。3兀解：在法向應(yīng)用牛頓第二定理得ma=F=Fsin9一Fcos9mgsin9nnyxm-OC2=Fsin9一Fcos9-mgsin9yx4Rm24Rm2+3兀(1)=Fsin9-Fcos9-mgsin93兀yxFsin9-Fcos9=mgsin9yx4Rm2F一Fcot9=mg+yx3兀sin9質(zhì)點系的動量：4RmP=mv=mOC=一c

13、3兀4RmP=t3兀在切向應(yīng)用動量定理得：dt=FdttdP4=F=-Fcos9-Fsin9+mgcos9dttyxd4Rm()=-Fcos9-Fsin9+mgcos9dt3兀yx4Rmd=-Fcos9-Fsin9+mgcos93兀dtyx4Rma=-Fcos9-Fsin9+mgcos93兀yxFcos9+Fsin9=mgcos9-4Rmyx3兀廠廠4RmaF+Ftan9=mg-yx3兀cos9(2)-(1)得：(2)F(tanQ+cotQ)=-x4Rm3兀(丄cosQ2、+)sinQsin2Q+cos2Q4RmasinQ+w2cosQcosQsinQ3兀cosQsinQ=-4Rm(w2cos

14、Q+asinQ)3兀上式代入（2）得：廠4Rma+FtanQ=mg一x3兀cosQ4Rma=mg-FtanQ3兀cosQx4Rma4Rm,xsinQ=mg一+(2cosQ+asmQ)-3兀cosQ3兀cosQ4Rma4Rmsin2Q=mg-+(2sinQ+a)3兀cosQ3兀cosQ4Rm-asin2Q=mg+(+w2sinQ+a)3兀cosQcosQ4Rma(sin2Q-1)+w2sinQcosQ=mg+3兀cosQ4Rm-acos2Q+w2sinQcosQ=mgFcosQ4Rm=mg+(w2sinQ-acosa)3兀習(xí)題10-9重2N的物體以5m/s的速度向右運動，受到按圖示隨時刻轉(zhuǎn)變的方

15、向向左的力F作用。試求受此力作和后，物體速度變成多大。解：V=5m/s(向右)F=6O0OtT0,0.2s(向左)16000(0.04-1)tg0.02,0.04s按照動量定理得：mv-mV=tFdtt00v=Q+丄dtt0m0上式在水平方向(x軸)的投影為：v=v-J-026000tdt+J-046000(0.04-1)dtt0m00.02v=5-3000t20.02+60000.04t-0.5t20.04tm00.02V=5-600020.02+0.04t-0.5t20.04tm00.02v=5-60000.5x0.022+(0.04x0.04-0.5x0.042)-(0.04x0.02-

16、0.5x0.022)t2/9.86000x9.8x0.0004v=5-t2v=5-11.76tv=-6.76(m/s)，負號表示現(xiàn)在重物的速度方向左。t習(xí)題10-10在物塊A上作用一常力F,使其沿水平面移動，已知物塊的質(zhì)量為10kg,F與水平面的夾角0=300。通過5秒鐘，物塊的速度從2m/s增至4m/s。已知摩擦因數(shù)f=0.15，試求F的大小。解：物塊A的受力如圖所示。按照動量定理得：mv-mv=JtFdtt00上式在x軸上的投影為：mv-mv=J5Fcos300-f(mg-Fsin300)dtt0010x(4-2)=Fx0.866-0.15(10x9.8-Fx0.5)x54=0.866F-

17、0.15(98-0.5F)4=0.866F-14.7+0.075F0.941F=18.7F=19.87(N)習(xí)題10-11計算下列剛體在圖示已知條件下的動量。Pv0(a)解：(a)圖所示剛體的動量為：P-p=v，方向與v相同。g00(b) 圖所示剛體的動量為：PPp=一v=egCg方向與垂直于OC,斜向下。(c) 圖所示剛體的動量為:-p=p+p12=mv1C1=ma=Ma3aM11-=a=Ma2326=m2予=Mai+丄Ma了36p=、:p2+p2xy-+-Ma=7Ma9366(c)桿BOA的總質(zhì)量為Mp0=arctan4=arctan6=arctan0.25=14.O4op2x(d) 圖所

18、示剛體的動量為:-p=mvC=0v=（R一r）=-（R一r）0Cv=-vcos0=-（R一r）0CxCv=-vcos0=（R一r）0cos0CxCmgRf00y（d）v=-vsin0=-（R一r）0sin0CxCJp=mv7+mv了CxCy7=m(R-r)Gcos07-m(R-r)Gsin07習(xí)題10-12計算下列系統(tǒng)在圖示已知條件下的動量。解：(a)dx=xvBxdt=x+(l+r)sinQ=X+(l+r)QcosQdtdtvBy=yB=-(l+r)cosQ=(l+r)QsinQdtdtvCxdxdll=c=(x+sinQ)=x+QcosQdtdt22vCydydll=c=(-cosQ)=Q

19、sinQdtdt22pAx=Mv=MXAi21pAyp=Mv=MX+(l+r)QcosQBxBxP=Mv=M(l+r)QsinQByByp=mv=mX+QcosQcxcx2mlp=mv=QsinQcycy27p=p7i+p7jxy7=M+m(+iQcosQ)+M+(l+r)QcosQ7+m-1QsinQ+M(l+r)QsinQ7yPWvAle解：(b)滑塊A作復(fù)合運動。動點：A動系：固連于T字桿上的坐標(biāo)系。靜系：固連于地面上的坐標(biāo)系。絕對速度：A相對于地面的速度。相對速度：A相對于T形桿的速度。連累速度：T形桿中與A相重點(連累點)相對于地面的速度。v=vsint=lsinteav=-v=1sintCxev=0Cylx=coswtB2dxdllwv=B=(-coswt)=-sinwtBxdtdt22ly=sinwtb2dydllwv=B=(-sinwt)=coswtBydtdt22TTTP=Pi+PjxyT=(-Wlwsinwt-竺sinwt)T+(P-竺coswt)Tgg2g2P+2W2glwsinwt7+lwcoswtj解：(c)ywCllxOPwt-B2Pi(c)2g質(zhì)心運動方程速度動量Ax=0Adxov=A=0山dtPp=Tx0=0Axgy=2lsinwtAdyv=A=2lwcoswtAydtPp=2lwcoswtAygBx=2lcoswtBdxv=B=-2lw