大學概率習題大全與答案

1、第一章隨機事件及其概率第三節(jié)事件的關(guān)系及運算、選擇1.事件AB表示(C)(A)事彳A與事件B同時發(fā)生(B)事件A與事件B都不發(fā)生(C)事彳A與事件B不同時發(fā)生(D)以上都不對2.事件A,B,有AB,則AB(B)(A)A(B)B(C)AB(D)AUB二、填空1.設(shè)A,B,C表示三個隨機事件，用A,B,C的關(guān)系和運算表示僅A發(fā)生為ABCA,B,C中正好有一件發(fā)生為ABCABCABCA,B,C中至少有一件發(fā)生為ABC第四節(jié)概率的古典定義選擇1.將數(shù)字1、2、3、4、5寫在5張卡片上，任意取出3張排列成三位數(shù)，這個數(shù)是奇數(shù)的概率是(B)1331(A)(B)-(C)(D)一251010二、填空1.從裝有

2、3只紅球，2只白球的盒子中任意取出兩只球，則其中有并且只有一只紅球的概率為CC23C；52.把10本書任意放在書架上，求其中指定的3本書放在一起的概率為3810!3.為了減少比賽場次，把20個球隊任意分成兩組，每組10隊進行比賽，則最強的兩個隊被分在不同組內(nèi)的概率為堂110oC2019三、簡答題1.將3個球隨機地投入4個盒子中，求下列事件的概率(1)A-任意3個盒子中各有一球；(2)B-任意一個盒子中有3個球;(3) C-任意1個盒子中有2個球，其他任意1個盒子中有1個球。第五節(jié)概率加法定理選擇1.設(shè)隨機事件A和B同時發(fā)生時，事件C必發(fā)生，則下列式子正確的是(C)B、C全不發(fā)生的概率為(C),

3、C；341-r(0.97)C73352 .擲兩枚篩子，則兩顆篩子上出現(xiàn)的點數(shù)最小為3 .袋中放有2個伍分的錢幣，3個貳分的錢幣,超過一角的概率是0.52的概率為0.255個壹分的錢幣。任取其中5個，則總數(shù)簡答題1.一批產(chǎn)品共件，求:(1)(2)20件，其中一等品9件，二等品7件，三等品4件。從這批產(chǎn)品中任取3取出的3件產(chǎn)品中恰有2件等級相同的概率；取出的3件產(chǎn)品中至少有2件等級相同的概率。解：設(shè)事件A表示取出的3件產(chǎn)品中有2件i等品，其中i=1,2,3;(1)所求事件為事件A1、A2、A3的和事件，由于這三個事件彼此互不相容，故解：(1)P(A)3C：3!3438(2) P(B)C414316

4、(3) P(C)121C：C；43916(A)P(C)P(AB)(B)P(C)P(A)P(B)(C)P(C)P(A)P(B)(D)P(C)P(A)P(B)12.已知P(A)P(B)P(C)P(AB)0,P(AC)P(BC)1A一。則事件A、16(B)3.已知事件A、B滿足條件P(AB)P(AB),且P(A)P(B)(A)1p(B)p(C)二、填空1.從裝有4只紅球3只白球的盒子中任取3只球，則其中至少有一只紅球的概率為P(AA2A3)P(A)P(A2)P(A3)212121C9C11C7c13C4c16C； 。=0.671(2)設(shè)事件A表示取出的3件產(chǎn)品中至少有2件等級相同，那么事件A表示取出

5、的3件產(chǎn)品中等級各不相同,則P(A)1P(A)1C；C；C4C2O0.779、選擇第六節(jié)條件概率、概率乘法定理1.事件A,B為兩個互不相容事件，且P(A)0,P(B)0,則必有(B(A)P(A)1P(B)(B)P(A|B)(C)P(A|B)1(D)P(A|B)2.將一枚篩子先后擲兩次，設(shè)事件A表示兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和是10,事件B表示第一次出現(xiàn)的點數(shù)大于第二次，則P(BA)(A)1(A)一(B)33.設(shè)A、B是兩個事件，若4B發(fā)生必然導致(C)-(D)A發(fā)生，則下列式子中正確的是(A)(A)P(AB)P(A)(B)P(AB)P(A)(C)P(BA)P(B)(D)P(BA)P(B)P(A)、填空1

6、.已知事件A的概率P(A)=0.5,事件B的概率P(B)=0.6及條件概率P(BA)=0.8,則和事件AB的概率P(AB)32.A,B是兩事件，P(A)0.3,P(B)0.4,P(B|A)0.6,則P(A|AUB)150.57726簡答題1.獵人在距離100米處射擊一動物，擊中的概率為0.6;如果第一次未擊中，則進行第二次射擊，但由于動物逃跑而使距離便成為150米；如果第二次又未擊中，則進行第三次射擊，這時距離變?yōu)?00米。假定最多進行三次射擊，設(shè)擊中的概率與距離成反比，求獵人擊中動物的概率。Pi,(i=i,2,3)因為第i次擊中的概率Pi與距離di成反比,k所以設(shè)pi一，(i=1,2,3);

7、di由題設(shè)，知di100,pi0.6,代入上式，得到k60再將k60代入上式，易計算出p2-60-0.4,p3也0.3150200設(shè)事件A表示獵人擊中動物，事件Bi表示獵人第i次擊中動物(i=1,2,3),則所P(BJP(B1)P(B2B1)P(B1)P(B2B1)P(B3B1B2)0.6(10.6)0.4(10.6)(10.4)0.30.832第七節(jié)全概率公式選擇1 .袋中有5個球，3個新球，2個舊球，現(xiàn)每次取一個，無放回的取兩次，則第二次取到新球的概率為(A)(A)3(B)-(C)2(D)544102.若隨機事件A和B都不發(fā)生的概率為p,則以下結(jié)論中正確的是(C)(勺人和8都發(fā)生的I率等于

8、1p(B)A和B只有一個發(fā)生的概率等于1p(C)A和B至少有一個發(fā)生的概率等于1p(D)A發(fā)生B不發(fā)生或B發(fā)生A不發(fā)生的概率等于1p二、填空1.一批產(chǎn)品共有10個正品和2個次品，任意抽取兩次，每次抽一個，抽出后不再放回,一一1則第二次抽出的是次品的概率為一6解：設(shè)第i次擊中的概率為求概率為：P(A)P(B1)P(B1B2)P(B1B2B3)2.老師提出一個問題，甲先回答，答對的概率是0.4;如果甲答錯了，就由乙答，乙答對的概率是0.5;如果甲答對了，就不必乙回答，則這個問題由乙答對的概率為0.33 .試卷中有一道選擇題，共有4個答案可供選擇，其中只有一個答案是正確的。任一考生如果會解這道題，則

9、一定能選出正確答案；如果他不會解這道題，則不妨任選一個答案。若考生會解這道題的概率是0.8,則考生選出正確答案的概率為0.85三、簡答題1.玻璃杯成箱出售， 每箱20只.假設(shè)各箱含0,1,2只殘次品的概率分別為0.8,0.1和0.1.一顧客欲購一箱玻璃杯，在購買時，售貨員任取一箱，而顧客隨機的察看4只，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則退還.試求顧客買下該箱的概率。解：設(shè)A“每箱有i只次品”(i0,1,2,),B“買下該箱”.P(B)P(A0)P(B|A0)P(A)P(B|AJP(A2)P(B|A2)C4C40.810.190.1-80.94C2-02 .一工廠有兩個車間，某天一車間生產(chǎn)產(chǎn)品1

10、00件，其中15件次品；二車間生產(chǎn)產(chǎn)品50件，其中有10件次品，把產(chǎn)品堆放一起(兩車間產(chǎn)品沒有區(qū)分標志)，求：(1)從該天生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機取一件檢查，它是次品的概率；(2)若已查出該產(chǎn)品是次品，則它是二車間生產(chǎn)的概率。1車間”為A1,事件“取的產(chǎn)品來自2車間”為A2,“從中任取一個是次品”為B,211PBPB|APA1PB|A2PA20.150.2336PA2BPB|A2PA22PBPB53.發(fā)報臺分別以概率0.6及概率0.4發(fā)出信號“？”及“-”。由于通信系統(tǒng)受到干擾，當發(fā)出信號“？”時， 收報臺以概率0.8及0.2收到信號“？”及“-”； 又當發(fā)出信號“時， 收報臺以概率0.9及0.1收到

11、信號“-”及“？”。求：(1)當收報臺收到信號“？”時，發(fā)報臺確系發(fā)出信號“？”的概率；(2)當收報臺收到信號“-”時，發(fā)報臺確系發(fā)出信號“-”的概率。解：設(shè)事件A表示發(fā)報臺發(fā)出信號“？”，則事件,表示發(fā)報臺發(fā)出信號“-”；設(shè)事件B表示收報臺收到信號“？”，則事件B表示收報臺收到信號“-”；解：(1)設(shè)事件“取的產(chǎn)品來自PA2|B根據(jù)題設(shè)條件可知：P(A)0.6,P(A)0.4;根據(jù)題設(shè)條件可知:P(A1)0.9,P(A1)0.1P(BA)0.8,P(BA)0.1;P(B|A)0,2,P(BA)0.9;應(yīng)用貝葉斯公式得所求概率為:2.加工某一零件共需經(jīng)過三道工序。設(shè)第一、第二、第三道工序的次品

12、率分別是2%3%5%假定各道工序是互不影響的，則加工出來的零件的次品率是0.09693三、簡答題1.一個工人看管三臺車床，在一小時內(nèi)車床不需要工人看管的概率：第一臺等于0.9,第二臺等于0.8,第三臺等于0.7。求在一小時內(nèi)三臺車床中最多有一臺需要工人看管的概率。解：設(shè)事件A表示第i臺車床不需要照管，事件A表示第i臺車床需要照管，(i=1,2,3),P(A2)0.8,P(A2)0.2(1)P(AB)P(AB)P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)P(A)P(BA)0.60.80.60.80.40.1=0.923(2)P(A|B)POP(B)=0.75P(A)P(B|A)P(A)P(B

13、A)P(A)P(BA)0.40.90.40.90.60.2、選擇第八節(jié)隨機事件的獨立性1,設(shè)P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(AB)=0,8,則下列結(jié)論正確的是(C)(A)事件A與B互不相容(B)(C)事件A與B互相獨立(D)ABP(AB)P(A)P(B)2.設(shè)A、B是兩個相互獨立的隨機事件P(A)P(B)0,則P(AB)(B)(A)P(A)P(B)(B)(C)1P(A)P(B)(D)二、填空1.設(shè)A與B為兩相互獨立的事件，P(A1P(A)P(B)1P(AB),1B)=0.6,P(A)=0,4,則P(B)=3P(A3)0.7,P(A3)0.3設(shè)所求事件為B,則P(B)P(AA2A3A1A

14、2A3AA2A3A14A3)根據(jù)事件的獨立性和互不相容事件的關(guān)系，得到：P(B)P(A)P(A2)P(A3)P(A；)P(A2)P(A3)P(AI)P(A2)P(A)P(Ai)P(A2)P(A3)0.90.80.70.10.80.70.90.20.70.90.80.3=0.9022.如下圖所示，設(shè)構(gòu)成系統(tǒng)的每個電子元件的可靠性都是p(0p1),并且各個元件能否正常工作是相互獨立的，求系統(tǒng)(1)和(2)的可靠性。(1)(2)解：(1)p3(2p3)；(2)(2pp2)3第九節(jié)獨立試驗序列一、選擇1.每次試驗成功率為p(0p1),進行重復(fù)試驗，直到第10次試驗才取得4次成功的概率為(B)(A)CL

15、p4(1p)6(B)C3p4(1p)6(C)C；p4(1p)5(D)C；p3(1p)6二、填空2.某射手在三次射擊中至少命中一次的概率為0.875,則這射手在一次射擊中命中的概率為0.53.設(shè)在三次獨立試驗中，事件A出現(xiàn)的概率相等.若已知事件A至少出現(xiàn)一次的概率等于1919,則事件A在一次試驗中出現(xiàn)的概率為1/327三、簡答題1.射擊運動中，一次射擊最多能得10環(huán)。設(shè)某運動員在一次射擊中得10環(huán)的概率為0.4,得9環(huán)的概率為0.3,得8環(huán)的概率為0.2,求該運動員在五次獨立的射擊中得到不少于48環(huán)的概率。解：設(shè)事件A表示5次射擊不少于48環(huán)，事件A表示5次射擊每次均中10環(huán)，事件A2表示5次射

16、擊一次中9環(huán)，4次中10環(huán)，事件A3表示5次射擊2次中9環(huán)，3次中10環(huán),事件A4表示5次射擊一次中8環(huán)，4次中10環(huán)，并且A,A2,A3,A4兩兩互不相容，由于每次射擊是相互獨立的，44則所求概率P(A)P(Ai)P(Ai)i1i15_1_1_4_2_2_3_1_1_4(0.4)5C5(0.3)1(0.4)4C；(0.3)2(0.4)3C；(0.2)1(0.4)40.1318第二章隨機變量及其分布第二節(jié)離散隨機變量、選擇1_C2C1設(shè)離散隨機變量X的分布律為:且b0,則為()(A)0的任意實數(shù)(B)-1(C)(D)1b解因為PXkbk1k1k1PXkbk,(k1,2,3,),b11b1nSn

17、bk1bn)即limSnlimb-(11于是可知，當1時,b1nnn11，1一，所以1,(因b0)所以應(yīng)選(C).1b1如果隨機變量X的分布律如下所示，則C012313C14C一,3-25解根據(jù)P(Xi)1得：C.X10122進行重復(fù)獨立試驗，設(shè)每次試驗成功的概率為4,失敗的概率為-,將試驗55進行到出現(xiàn)一次成功為止,以X表示所需試驗次數(shù)，則X的分布律是從而，X的概率分布是1102汽車沿一街道行駛，需要通過三個均設(shè)有綠路燈信號的路口,每個信號燈事件(XP(X事件(X3),只能是取出的3只球號碼分布為113)C3104),意味著3只球中最大號碼是4,1,2,3，只有一種取法，所以另外2個號碼可在

18、123中任取2只，共有C；P(X4)種取法，故C；3_C；10事件X5),意味著3只球中最大號碼是5,另外2個號碼可在1,23,4中任取2只，共有C；6種取法，故P(X5)C42C；310為紅和綠與其他信號為紅或綠相互獨立，且紅綠兩種信號顯示時間相等，以X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口個數(shù)，求X的概率分布.解由題設(shè)知X的可能值為0,1,2,3，設(shè)A(i1,2,3)表示汽車在第i個路口首次1一遇到紅燈，A,A2,A3相互獨立，且P(A)P(A)5,于是1-1PX0P(A)-PX1P(AA)P(A)P(A2)了-1PX2P(AA2A3)P(A)P(A2)P(A3)-3-1PX3P(AA2A3

19、)P(A)P(A2)P(A)27故分布律為第三節(jié)111222323超幾何分布二項分布泊松分布選擇1甲在三次射擊中至少命中一次的概率為0.936,則甲在一次射擊中命中的概率P=(A)0.3(B)0.4(C)0.5(D)0.6解：D設(shè)X”三次射擊中命中目標的次數(shù)”，則XB(3,p),已知P(X1)1P(X0)1(1p)30.936,解之得(1p)30.0641p0.4p0.62設(shè)隨機變量Xb(2,p),Yb(3,p),若PX15,，5,則PY19(A)(B)1729(C)1927(D)解：D設(shè)X”三次射擊中命中目標的次數(shù)”，則XB(3,p),已知P(X1)1P(X0)1(1p)30.936,解之得

20、(1p)30.0641p0.4p0.6二、填空1設(shè)離散隨機變量X服從泊松分布，并且已知PX1PX2,則PX4=.解：D設(shè)X”三次射擊中命中目標的次數(shù)”，則XB(3,p),已知P(X1)1P(X0)1(1p)30.936,解之得(1p)30.0641p0.4p0.6三、簡答1.某地區(qū)的月降水量X(單位：mm服從正態(tài)分布N(40,42)，試求該地區(qū)連續(xù)10個月降水量都不超過50mm勺概率.解：設(shè)慶=某月降水量不超過50mm”x405040P(A)=P(x50)P()(2.5)0.993844觀察10個月該地區(qū)降水量是否超過50mm,相當做10天貝努利試驗設(shè)丫=該地區(qū)降水量不超過50mm的月數(shù)”，則

21、YB(10,0.9938)P(Y=10)=0.993810=0.93962某地區(qū)一個月內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)X服從參數(shù)為的泊松分布，即XP(),據(jù)統(tǒng)計資料知，一個月內(nèi)發(fā)生8次交通事故的概率是發(fā)生10次交通事故的概率的2.5倍.(1)求1個月內(nèi)發(fā)生8次、10次交通事故的概率；(2)求1個月內(nèi)至少發(fā)生1次交通事故的概率；(3)求1個月內(nèi)至少發(fā)生2次交通事故的概率；k解這是泊松分布的應(yīng)用問題XP(),PXk,kk!這里是未知的，關(guān)鍵是求出.0.002480.014870.044620.0620第五節(jié)隨機變量的分布函數(shù)一、填空題101 1 設(shè)離散隨機變量X11360,1,2,據(jù)題意有PX82.5PX10

22、解出2PX88e8!36,68e82.510e10!10c6e0.1033PX1010!6-0.0413(2)PXPX(3)PX011100.00248PX2PX21PX010.002480.99756e60.014872c66e0.044622!PX0PX1PX211,則X的分布函數(shù)為2解當x1時，F(xiàn)(x)PXx0;1當1x0時，F(xiàn)(x)PXx-111當0 x1時，F(xiàn)(x)PXx-;362111當x1時，F(xiàn)(x)PXx-1362整理，得0,當x1L當1x03F(x)1-,當0 x121,當x1二、選擇Fz(x)分別為隨機變量X1與X2的分布函數(shù)，為使F(x)aF1(x)bF2(x)是某一變量

23、的分布函數(shù)分析根據(jù)分布函數(shù)的性質(zhì)：limF(x)1,因此有xlimF(x)alimF1(x)blimF2(x)即1abxxx故應(yīng)選(A).E(x)與,在下列給定的數(shù)值中應(yīng)取3,22,2(A)a,b一(B)a,b5533_131(C)a2b2(D)a2，b顯然F(x)滿足隨機變量分布函數(shù)的三個條件0,x02.設(shè)函數(shù)F(x)x/2,0 x1,x1(A)是隨機變量的分布函數(shù).(C)是離散型隨機變量的分布函數(shù)解：A1.則F(x).(8)不是隨機變量的分布函數(shù)(D)是連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)(2)0F(x)1,HF()0,F()1第六節(jié)連續(xù)隨機變量的概率密度二、選擇1.設(shè)f(x)、F(x)分別表示隨機變

24、量X的密度函數(shù)和分布函數(shù)，下列選項中錯誤的是F(x)是不減函數(shù)F(x0)F(x)0,23.設(shè)F(x)41x(*)(*)x2當(*)取下列何值時，F(xiàn)(x)是隨機變量的分布x2函數(shù).(A)0(B)0.5(C)1.0(D)1.5解：A只有A使F(x)滿足作為隨機變量分布函數(shù)的三個條件三.簡答1設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)ABarctanx,求A,B的值.解：由隨機變量分布函數(shù)的性質(zhì)limF(x)0.xlimF(x)1.x0JimF(x)Jim(ABarctanx)A-B.21limF(x)xlim(ABarctanx)xABA-B.22A-B0-2解2A-B12(A)0f(x)1(B)0F(x)

25、12.下列函數(shù)中，可為隨機變量X的密度函數(shù)的是(B)二、填空1.設(shè)連續(xù)隨機變量X的分布函數(shù)為11F(X)一一arctanx,x2三、簡答題2.設(shè)隨機變量X的概率密度求：(1)常數(shù)A;(2)概率P(X1)。1答案(1)鼻(2)0.91973 .設(shè)隨機變量X的概率密度cx,1x0f(x)cx,0 x10,x1(C)f(x)dx1(D)f(x)F(x)(A)f(x)sinx,0,0 x其它(B)f(x)sinx,0,其它(C)f(x)sinx,0,3x-2其它(D)f(x)sinx,x(1)P(1X1)0.5,(2)概率密度f(x)1(x21),f(x)Ax2ex,0,求：(1)常數(shù)c；(2)概率P

26、(X0.5);(3)分布函數(shù)F(x)o第七節(jié)均勻分布、指數(shù)分布答案(1)1;(2)0.75;(3)F(x)0,2(1x)23,1g(1x)21,3.向某一目標發(fā)射炮彈，設(shè)彈著點到目的地的距離2xe2500f(x)12500,X(m)的概率密度x0 x0如果彈著點距離目標不超過50m時，即可摧毀目標。求：求：(1)發(fā)射一枚炮彈，摧毀目標的概率；(2)至少應(yīng)發(fā)射多少枚炮彈，才能使摧毀目標的概率大于0.95?答案(1)0.6321(2)n3。4.已知隨機變量X的概率密度f(x)-eIx,x,2求：分布函數(shù)F(x)。答案F(X)5.已知隨機變量X的概率密度f(x)13,29,0,0 x13x6其它若k

27、使彳#P(Xk)1k3答案三、選擇1 .在區(qū)間1,2上服從均勻分布的隨機變量X的密度函數(shù)是（B）2.服從參數(shù)為0.5的指數(shù)分布的隨機變量X的密度函數(shù)是（C）/、2e,x0,、(A)f(x)(B)f(x)2e0,x011x-e2(C)f(x)2e0,、填空(1)P(6x1)0,(2)P(4x1)一3，、一一_1P(2x3)1,(4)P(1x6)-31 .長度為l的線段上隨機取一點，這點把該線段分成兩段,一1比小于一的概率。4答案0.42 .已知修理某種機器所需的時間T（/、時）服從指數(shù)分布e（1）,求:（1）在2小時之內(nèi)修好的概率；（2）如果已修理了t0小時，在以后的2小時之內(nèi)修好的概率。答案（

28、1）0.8647（2）0.86473.設(shè)隨機變量X在區(qū)間2,5上服從均勻分布，對進行三次獨立觀測，試求至少有兩次觀(A)f(x)3,01x2其它1(B)f(x)3,0,(C)f(x)3,x，一1(D)f(x)3,1x2其它x1-(D)f(x)-e21.設(shè)隨機變量X在在區(qū)間1,2上服從均勻分布，則求較短的一段與較長的一段之測值大于3的概率。4.某儀器有三只獨立工作的同型號電子元件， 其壽命 （單位:答案0.741。h）都服從同一指數(shù)分布,1xe600f(x)6000,試求：在儀器使用的最初的200h內(nèi)至少有一只電子元件損害的概率。答案1e10.6321四、選擇1.設(shè)隨機變量X的概率密度為2 .設(shè)

29、隨機變量X的概率密度為簡答題i.設(shè)隨機變量概率密度為第八節(jié)隨機變量函數(shù)的分布則隨機變量y2X(A)fy(y)(C)fY(y)f(x)的概率密度為2ey,0,e2y0,2e2x0,(B)(D)fy(y)fY(y)2e2y0,0,則隨機變量y2X(A)fY(y)(C)fY(y)fx(x)的概率密度為ey,0,0,ey,2e2x0,(B)(D)fY(y)fY(y)0,0,eyX服從二項分布B(3,0.4),求下列隨機變量函數(shù)的概率分布:答案Y-1135P0.2160.4320.2880.064(2)Y026P0.6480.2880.064Y0136P0.2160.4320.2880.0642.設(shè)隨機

30、變量X的概率密度求下列隨機變量的概率密度4.設(shè)隨機變量X在服從指數(shù)分布e(),其中0,求隨機變量函數(shù)YeX的概率密度。(1)Y2X12YXXYX(X1)2f(x)2x,0,0 x其它(1)2X2XX2答案(1)fy(y)y120,其它(2)fy(y)1y20,其它(3)fY(y)1,0,y1其它3.設(shè)隨機變量X在區(qū)間0,2上服從均勻分布, 求隨機變量函數(shù)Y3X的概率密度。答案fY(y)1一y60其它(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)以下哪個隨機事件的的概率？(B)(A)XxYy(B)XxYy(C)Xxy(D)Xxy二、填空1.下表列出了二維隨機變量(X,Y)聯(lián)合分布律及關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分

31、布律中的部分數(shù)值，試將其余值填入表中的空白處答案fY(y)(1)y0,5.設(shè)隨機變量X的概率密度為fx(X)(1求：隨機變量Yi3X的概率密度fY(y)。答案fY(y)3(1y)2(1y)66.設(shè)隨機變量X在區(qū)間1,2上服從均勻分布，求隨機變量函數(shù)Y2Xe的概率密度。答案fY(y)12y,0,其它五、選擇題第九節(jié)二維隨機變量的聯(lián)合分布1.設(shè)二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)(xy)e0,y0;其他.則P(XY)(A) 0.5(B) 0.55(C)0.45(D) 0.62.二維隨機變量Xy1y2y3PXxPiX1241811214x218381434PYy)Pj16121312.

32、設(shè)二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為xy、F(x,y)A(Barctan-)(Carctanj)，一，1-,則系數(shù)A=,B=,C=,(X,Y)的聯(lián)合概率密度為22小、八6f(X,y)2/2八/20、(X4)(y9)_0,F(,)0二、計算題。3.已知二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y),R為一平面區(qū)域，則(X,Y)的xy聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)=f(x,y)dydx,PX,YRf(x,y)dxdy,曲面Rzf(x,y)叫做分布曲面,F(，F(xiàn)(x,)0,F(,y)1.已知隨機變量Xi和X2的概率分布X111P4X201而且PX1X201.求X1和X2的聯(lián)合分布。解:(1)求PX

33、Y1;(2)求聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)。11x一解(1)PXY1f(x,y)dxdyo2dxxeydy1e2e2xy13.設(shè)二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為解：(1)由于f(x,y)1,故Ae(x2y)dxdy1，所以A200212(2)P(0X1,0Y2)0dx12e(y)dy(1e1)(1e4)第十節(jié)二維隨機變量的邊緣分布六、選擇題1 .設(shè)二維離散隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率函數(shù)為P(xi,yj),則X的邊緣概率函數(shù)PX(X)為(A)(A)P(x,yj)(B)P(xi,yj)(C)P(x,yj)(D)以上都不對XiX2012.設(shè)二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)ey,

34、0 xy0,其他F(x,y)xyf(x,y)dydxex-ey,0 xy0,其他f(x,y)Ae(x2y)0,x0,y0;其他.試求(1)常數(shù)A;(2)概率P(0X1,0Y2).jii,j2 .(X,Y)為二維連續(xù)隨機變量，對任意的實數(shù)x,函數(shù)P(Xx,Y(A)隨機變量Y的邊緣分布函數(shù)(B)隨機變量X的邊緣分布函數(shù)(C)(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)(D)以上都不對二、填空1 .設(shè)二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為xy、F(x,y)A(Barctan-)(Carctan)2311x則X的邊緣分布函數(shù)為FX(x)arctan-22fY(y)f2 .設(shè)二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y

35、),則隨機變量X的邊緣分布函數(shù)為FX(X)F(x,)，隨機變量Y的邊緣分布函數(shù)為Fy(y)F(,y)。3.設(shè)二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y),則隨機變量X的邊緣概率密度為fX(x)f(x,y)dy,隨機變量Y的邊緣概率密度為fY(y)f(x,y)dx二、計算題1.設(shè)二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)e,0 xy,求X的邊0,其他緣概率密度fx(x)。解x0時，fX(x)*eydyex,x0寸,fX(x)0故fX(x)求隨機變量X和Y的邊緣概率密度。到一、e,x02e,y解fx(x)cC，fY(y)C0,x00,yY的邊緣概率密度為ex,x00,x02.已知二維

36、隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)2e(x2y),x0,y00,其他.第十一節(jié)隨機變量的獨立性2x,0 x1X和Y的概率密度分別為fX(x)一八，0,其他.,ey,y02fY(y)，則的一次萬程2XY0具有實根的概率是(A)0,其他(A)e1(B)e2(C)e3(D)e4二、填空1 .設(shè)二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為xV、F(x,y)A(Barctan-)(Carctan)23則隨機變量X與Y獨立(填獨立或不獨立)。2 .獨立連續(xù)隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)等于它們的邊緣分布函數(shù)的乘積,獨立連續(xù)隨機變量的聯(lián)合概率密度等于它們的邊緣概率密度的乘積,獨立離散隨機變量的聯(lián)合概率函數(shù)等于

37、它們的邊緣概率函數(shù)的乘積。三、計算題1.已知隨機變量X1和X2的概率分布X201而且PXX201.問X1和X2是否獨立？為什么?解：因為PX10,X200,PX10PX20隨機變量X和Y是否獨立?七、選擇題1.設(shè)相互獨立的隨機變量Xi0,所以X1和X2不獨立。2.已知二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)2e(x2y),x0,y00,其他.故f(x,y)fX(x)fy(y)解由于fX(x)ex,x00,x0fY(y)2e2y,y00,y0所以隨機變量X和Y獨立。第三章隨機變量的數(shù)字特征第一節(jié)數(shù)學期望八、選擇1 .擲6顆骰子，令X為6顆骰子的點數(shù)之和，則E(X)(D)(A)42(B)

38、21/2(C)7/2(D)212.對離散型隨機變量X,若有P(Xxk)pk(k1,2,3,L)，則當(B)時,xkpk稱為X的數(shù)學期望。k1(A)xkpk收斂(B)xkpk收斂(C)xk為有界函數(shù)k1k1二、填空1x,1x0,1.設(shè)隨機變量X的概率密度為f(x)1x,0 x1，則EX0,其它，EX0.75,則k工,二。三、簡答題1.把4個球隨機地放入4個盒子中去，設(shè)X表示空盒子的個數(shù)，求EX加A46C4c2A336解：PX0彳一，PX144444 一464464_24_3C4(22)幻pX3邑4PX34(D)pmxkpk0k2.設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為kx,0 xf(x)0,其匕,1,其

39、中k,0,又已知44644464663621181所以EX01一2一3-646464646412y78910.0yx1.2.設(shè)（X,Y）的聯(lián)合概率密度為f（x,y）,求E0,其它，1x24xf（x,y）dxdyxdx012ydy-，同理EY0yx111第二節(jié)隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望、填空72。2.按季節(jié)出售某種應(yīng)時商品，每售出1kg獲利潤6元，如到季末尚有剩余商品，則每kg凈虧損2元，設(shè)某商店在季節(jié)內(nèi)這種商品的銷售量X(以kg計)是一隨機變量，X在區(qū)間8,16內(nèi)服從均勻分布，為使商店所獲得利潤最大，問商品應(yīng)進多少貨?解：設(shè)t表示進貨量，易知應(yīng)取8t16,進貨t所得利潤記為Wt(X),且有X,EY

40、。解：EX1.設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，則數(shù)學期望EXe2X4/32.設(shè)隨機變量X服從二項分布B(3,0.4),則EX22.16二、簡答題1.設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，概率密度分別為求隨機變量函數(shù)ZXY的數(shù)學期望。利潤Wt(X)是隨機變量，如何獲得最大利潤？自然取“平均利潤”的最大值，即求Wt（X）6X2（tX）,8Xt,（有積壓）6t,tX16,（無積壓）fX(X)ex,x0,0,x0,fY（y）ey,y0,y0,0,解：因為X和Y相互獨立，所以f(x,y)fX（x）fY（y）0,x0,y0,其它，xexdx0（xy）exydxdyexdxyeydy1,0 x16,最大。X的概率密

41、度為f(x,y)80,其它，116EW；(X)W；(x)f(x)dx-Wt(x)dx881t1166x2(tx)dx6tdx888tt214t322則隨機變量Z3X2的數(shù)學期望EZ42 .設(shè)X服從泊松分布，已知E(X1)(X2)1,則EX3.設(shè)X表示10次獨立重復(fù)射擊命中目標的次數(shù)，每次射中目標的概率為0.4數(shù)學期望EX218.4得EWt(X)dWt(X)dt14t0,得t14。2_dEWt(X)dt210,故知當t14時，EWt(X)取得極大值，且可知這也是最大值。所以，進貨14kg時平均利潤最大。第三節(jié)關(guān)于數(shù)學期望的定理、填空1.已知離散型隨機變量X服從參數(shù)為2的泊松分布P(Xxk)組kk

42、!0,1,2,L簡答題1.設(shè)（X,Y）在A上服從均勻分布，其中A為x軸，y軸及直線xy10所圍成的區(qū)域，求E3X2Y“11，一，1解：因為A的面積為一，所以（X,Y）的概率密度為2202099按照題意，PXi0PXi111010209進而EXEX1X2LX101018.784f(x,y)2,1x0,1y0,0,其它，o0EXxf(x,y)dxdy2xdxdy1EYyf(x,y)dxdy1E3X2Y3EX2EY12.一民航送客車載有20位旅客自機場開出，旅客有10個車站可以下車，如到達一個車站沒有旅客下車就不停車，以X表示停車的次數(shù)，求EX（設(shè)每位旅客在各個車站下車是等可能的，并設(shè)旅客是否下車相

43、互獨立）解：引入隨機變量0,在第i站沒有人下車,Xi1,在第i站有人下車，i=1,2,L,10.易知XX1X2LX10,現(xiàn)在來求EX。所以EXi91020,i1,2,L,1010第四節(jié)方差與標準差九、選擇1 .對于任意兩個隨機變量X和Y,若E(XY)E(X)E(Y),則(B)(C)X和Y獨立(D)X和Y不獨立2 .設(shè)兩個相互獨立的隨機變量X和Y的方差分別是4和2,則隨機變量3X2Y的方差、填空1,X0,1.設(shè)隨機變量X在區(qū)間1,2上服從均勻分布，隨機變量Y0,X0,則方差1,X0,DY8/92.設(shè)X是一隨機變量，E(X)1,EX(X1)4,則D(X)三、簡答題215xv.0vx1.1.設(shè)(X,

44、Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,v)y，求DX0,其它，解:xf(x,y)dxdy15x2dxv2dyEX2EX2(A) D(XY)D(X)D(Y)(B) D(XY)D(X)D(Y)(A)8(B)16(C)28(D)443.設(shè)隨機變量和相互獨立，又X25,Y38,則下列結(jié)論不正確的是(B)(A) D(XY)4D()9D()(B) D(XY)4D()9D()(C) E(XY)E(X)E(Y)(D) E(XY)E(X)E(Y)第五節(jié)某些常用分布的數(shù)學期望與方差十、選擇1 .已知隨機變量X在0,2上服從均勻分布，則EX22.設(shè)PX1PX2,且X服從參數(shù)為的泊松分布，則E(X)2D(X)2。三、簡答題1.

45、設(shè)二維隨機變量(X,Y)在區(qū)域R:0 x1,yx內(nèi)服從均勻分布，試求(1)X的邊緣概率密度;解：因為區(qū)域R的面積為1,所以(X,Y)的聯(lián)合概率“、12(2)EXx2xdxEX03f(x,y)1,0 x1,yx,0,其它，(1)當x0或x1時，fX(x)0,當0 x1時，fX(x)xdx2x,x所以X的邊緣概率密度為fX(x)2x,0 x1,0,其它。1.設(shè)X服從(C)分布，則E(X)D(X)o(A)正態(tài)(B)指數(shù)(C)泊松(D)二項2.已知X服從二項分布，且E(X)2.4,D(X)1.44,則二項分布的參數(shù)為(A) n4,p0.6(B) n6,p0.4(Cn8,p0.3、填空(D)n24,p0

46、.14/3(2)隨機變量函數(shù)Z2X1的方差DZ212x2xdx_2_2DZD2X14DX4E(X)(E(X)第四章正態(tài)分布第一節(jié)正態(tài)分布的概率密度與分布函數(shù)十一、選擇1 .設(shè)XN(,2),那么當增大時，則P(X)(C)(A)增大(B)減少(C)不變(D)增減不定2 .隨機變量XN(,1)，且PX2PX2,則(B)(A)1(B)2(C)3(D)4二、填空1 .設(shè)隨機變量XN(100,2),且P(X103)0,3085,則P(97X103)0.3832.設(shè)隨機變量XN(50,2),且P(47X53)0,6826,貝UP(X53)0.1587三、計算題1.某地區(qū)的月降水量X(單位：mm服從正態(tài)分布N

47、(40,42),試求該地區(qū)連續(xù)10個月降水量都不超過50mmB勺概率.解：設(shè)慶=某月降水量不超過50mm”x405040P(A)=P(x50)P()(2.5)0,993844觀察10個月該地區(qū)降水量是否超過50mm,相當做10天貝努利試驗設(shè)丫=該地區(qū)降水量不超過50mm的月數(shù)”，則YB(10,0.9938)P(丫=10)=0.993810=0,9396第二節(jié)正態(tài)分布的數(shù)字特征一、選擇1 .設(shè)隨機變量X與Y獨立，XB(10,0.2),YB(10,0.4),則E(2XY)(D)(A)6(B)4(C)10(D)8、填空1已知連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)為f(x)x22x1則X的數(shù)學期望為1;X的方

48、差為22.設(shè)X,Y是兩個相互獨立且服從正態(tài)分布N(0,(2)2)的隨機變量,2則隨機變量XY的數(shù)學期望EXY三、計算題1已知連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)為P(x)1e2x4x4x(2)若已知(1)求EX,DX;p(x)dxp(x)dx,求常數(shù)c.解(1)由于P(x)x24x46,2.32(x2)223所以，XN(2,3),從而，知c(2)P(x)dx(x2)23E(X)i2dxt2,D(X)cP(x)dx1e23dxt.2.3x2_137T21一e,2t2萬dtt27dt所以，得1從而，知所以，c2.第三節(jié)二維正態(tài)分布、計算題1.已知矢徑OP的終點的坐標為(X,Y)服從二維正態(tài)分布1x2y2

49、f(x,y)e2求矢徑OP的長度ZOP的概率密度解ZOPJX2Y2)c2(、3)當z0時，顯然有FZ(z)所以，Z的分布函數(shù)為第四節(jié)正態(tài)隨機變量的線性函數(shù)的分布一、選擇221.設(shè)X,Y是相互獨立的隨機變量，且XN(i,I),YN(2,2),則下列結(jié)論正確的是(B)(AXY-N(12,(12)2)(B)XYN(12,1222)222(C)XYN(12,(12)2)(D)XY-N(12,12)2.設(shè)隨機變量X與Y均服從正態(tài)分布，XN(,42),YN(,52);記PIPX4,P2PY5,則(A)(A)對任何實數(shù)，都有pP2(B)對任何實數(shù)，都有pP2(C)只對的個別值，才有PIP2(D)對任何實數(shù)，

50、都有PIP2二、填空1.設(shè)隨機變量X與Y獨立，且XN(0,1),YN(1,22),則Z2XY3的FZ(z)P(Zz)P(,X2Y2z)Fz(z)2X22ydxdyre2r2drFz(z)0,對z求導數(shù)，即得fz(z)z2e2,z0；0.Z的概率密度zez2T,z0,0;0.2.設(shè)隨機變量X與Y獨立，且XN(0,1),YN(1,1),則P(XY1)=0.53.已知隨機變量X與Y相互獨立且都服從正態(tài)分布N(,1).如果PXY11,則=12.第五節(jié)中心極限定理一、填空1.設(shè)隨機變量X的方差為2,則根據(jù)切比雪夫不等式有估計PXE(X)21/21.已知一本書有500頁，每一頁的印刷錯誤的個數(shù)服從泊松分布

51、P(0.2).各頁有沒有錯誤是相互獨立的，求這本書的錯誤個數(shù)多于88個的概率.(1.2)0.8849)解：設(shè)Xi表示第i頁上的錯誤個數(shù)，(i1,2,500)則XiP(0.2),因此E(Xi)0.2,D(Xi)0.2(i1,2,500)設(shè)X表示這本書上的錯誤總數(shù)，由列維中心極限定理知500XXiN(100,100)i1的100個索賠戶中因被盜向保險公司索賠的戶數(shù)求被盜索賠戶不小于14戶且不多于30戶的概率近似值因此PX881PX88X100,10012102.某保險公司多年的統(tǒng)計資料表明，在索賠戶中被盜索賠戶占(1.2)0.884920%,以X表示在隨意抽查(利用棣莫弗-拉普拉斯定理近似計算(2

52、.5)0.994,(1.5)0.933)概率密度為fz(z)所以X近似服從正態(tài)分布np20,npq16.(q1p)(2.5)(1.5)0.994(10.933)0.9273.某品牌家電三年內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2,且各家電質(zhì)量相互獨立.某代理商發(fā)售了一批此品牌家電，三年到期時進行跟蹤調(diào)查：(1)抽查了四個家電用戶，求至多只有一臺家電發(fā)生故障的概率；(2)抽查了100個家電用戶，求發(fā)生故障的家電數(shù)不小于25的概率(2)利用棣莫弗-拉普拉斯定理近似計算.(1.25)0.8944)解：設(shè)X表示發(fā)生故障的家電數(shù)，則(1)X-B(4,0.2)P(X1)=P(X0)+P(X1)=0.84+C40.20.8

53、30.8192(2)X-B(100,0.2),因為n100較大,所以X近似服從正態(tài)分布.np20,npq16.(q1p)P(X25)1P(X25)1(2520)41(1.25)10.89440.1056解：X-B(100,0.2),因為n100較大,P(14X30)30(20-)第五章數(shù)理統(tǒng)計的基本知識X2X-N(0,1)162X=99.93,樣本方差S=1.43.,42),XI,X2,L,X20為取自總體X的一個容量為20的樣本，則概、選擇1.設(shè)Xi,X2,Xn獨立且服從同一分布N(X是樣本均值，記S12S21nXin1i11nXini1則下列服從t(n1)(A)(B)tXS2n2.設(shè)總體X

54、-N(2),則統(tǒng)計量(A)2(n)(B)2(n1)(C)3.設(shè)總體XN(2,42),Xi,X2,一2XiX的是(A).(C)S2Xi(Xit(n1)XS3,n(D)tS4n-2X)(D)(B)t(n),Xn為取自總體X的一個樣本，則下面結(jié)果正確的(C)TN(0,1)(D)X2N(0,1),%二、填空1.已知某總體X的樣本值為99.3,98.7,100.05,101.2,98.3,99.7,99.5,102.1,N(0,1)(B)100.5,則樣本均值2.設(shè)總體XN(20率P46.8(Xii13.從總體N(63,49)中抽取容量為16的樣本，則PX60=0.0436X)2154,4=0.895、

55、計算1.設(shè)總體XN(1,0.22),Xi,X2,Xn為取自總體X的一個樣本滿足不等式P0.9X1.10.95,則樣本均值n最少應(yīng)取多少？004解由題意知XN(1,0”)n11-109-1故P0.9X1.1=()()0.2、n0.2、.n=2(0.5、萬)10.95即(0.5向0.975,0.5而1.96,n15.3664因此樣本容量n最少應(yīng)取為16.2.設(shè)總體XN(,2),X1,X2,L,X16為取自總體X的一個容量為均方差S=2.309,解由題意知n15P|X=1-2Pt要使樣本均值X16的樣本，樣本求概率PX0.4.Xtt(n1)SnX_t(15)=Pt0.692第六章參數(shù)估計第一節(jié)參數(shù)的

56、點估計三、選擇1.以樣本的矩作為相應(yīng)(同類、同階)總體矩的估計方法稱為(A)(A)矩估計法(B)一階原點矩法(C)貝葉斯法(D)最大似然法2.總體均值E(X)的矩估計值是(A(A)x(B)X(C)x1(D)X1二、填空1.設(shè)總體X服從泊松分布P()，其中0為未知參數(shù).如果取得樣本觀測值為Xi,X2,Xn,則參數(shù)的最大似然估計值為_X_.2.設(shè)總體X在區(qū)間0,上服從均勻分布，其中0為未知參數(shù).如果取得樣本觀測值為Xi,X2,Xn,則參數(shù)的矩估計值為2X.三、簡答題1 .設(shè)設(shè)總體X的概率密度為eX0f(X)e,X0，求參數(shù)的矩估計值0,X0XEX0XedX,uX,Xu,dXduiu11uu1則EX

57、oue(du)ue00edu0(e)0故工，所以？1EXX2 .設(shè)總體X服從幾何分布P(X；p)p(1p)X1,X1,2,3,.如果取得樣本觀測值為X1,X2,Xn,求參數(shù)p的矩估計值與最大似然估計值.解：由已知可得Vi(X),I 一,1由此可得參數(shù)的矩估計值為P二.XnnXin似然函數(shù)為L(p)(p(1p)Xi1)pn(1p)i1i1n取對數(shù)，得lnL(p)nlnp(xin)ln(1p).于是，得i1第二節(jié)衡量點估計好壞的標準四、選擇1 .估計量的無偏性是指(B).(A)統(tǒng)計量的值恰好等于待估總體參數(shù)XidInL(p)dpn-(Xipi1n)0.由此可得參數(shù)的最大似然估計值為？3.設(shè)總體X服

58、從“0-1”分布:p(x；p)pX(1X1p),x0,1.如果取得樣本觀測值為X1,X2,xn(xi參數(shù)p的矩估計值與最大似然估計值解：由已知可得v1(X)E(X)p,所以pxi由此可得參數(shù)的矩估計值為？X.似然函數(shù)為L(p)nnnxn%(px(1p)1x)pi1(1p)i1i1n取對數(shù)，得lnL(p)(Xi)lnp(ni1Xi)ln(1p).于是，得dlnL(p)dp1n一Xipi11M(nnXi)i10.由此可得參數(shù)的最大似然估計值為(B)所有可能樣本估計值的數(shù)學期望等于待估總體參數(shù)(C)樣本估計值圍繞待估總體參數(shù)使其誤差最小(D)樣本量擴大到和總體單元相等時與總體參數(shù)一致2 .估計量的有

59、效性是指(C).估計量的數(shù)學期望等于被估計的總體參數(shù)估計量的具體數(shù)值等于被估計的總體參數(shù)估計量的方差比其它估計量的方差小估計量的方差比其它估計量的方差大3 .估計量的一致性是指(D).估計量的具體數(shù)值等于被估計的總體參數(shù)估計量的方差比其它估計量的方差小估計量的方差比其它估計量的方差大隨樣本容量的增大，估計量的值越來越接近被估計的總體參數(shù)、填空1.設(shè)?1(X1,X2,Xn)與，?2(X1,X2,Xn)都是參數(shù)的無偏估計量，如果D(?)D(2),則稱仕匕g有效.2.設(shè)總體X的均值E(X),方差D(X)2,則又是總體均值的無偏的、有效的、致的估計量，S2是總體方差的無偏的、有效的、一致的估計量簡答題

60、(A)(B)(C)(D)(A)(B)(C1.從總體X中抽取樣本X1,X2,X3,73明下列個統(tǒng)計量X2X336XcXQX&,都是總體均值的33無偏估計量; 并確定哪個估計更有效證：設(shè)總體X的均值與方差分別為E(X)D(X)2.則因為樣本與總體服從相同E(?i)X1E(3X23X3石)E(?2)X1E(wX22X37)E(Xi)D(Xi)2,i1,2,3.所以有EX1X2X3111E(Q)E()333333所以1,2,3都是總體均值的無偏估計量cX1X2X312121272D(?1)D()-2-22-2；236493618c1d$為的無偏估計，并使方差D,最小.解：由于E?E(c?d2)cE?d