概念教學(xué)必須體現(xiàn)概念的形成過程_平面向量的概念_的教學(xué)與反思

1、2010年 第49卷 第1期 數(shù)學(xué)通報25概念教學(xué)必須體現(xiàn)概念的形成過程/平面向量的概念0的教學(xué)與反思章建躍 陶維林(人民教育出版社中數(shù)室100081 南京師范大學(xué)附屬中學(xué)210003當(dāng)前, 不重視章節(jié)起始課的教學(xué), 概念教學(xué)走過場, 以解題教學(xué)代替概念教學(xué)的現(xiàn)象比較普遍. 在章節(jié)起始時, 許多老師沒有把本章節(jié)要解決的主要問題、基本過程和主要思想方法等納入教學(xué)任務(wù)中; 概念教學(xué)常常采用/一個定義, 幾項注意0的方式, 在概念的背景引入上著墨不夠, 沒有給學(xué)生提供充分的概括本質(zhì)特征的機會, 認為讓學(xué)生多做幾道題目更實惠. 更令人擔(dān)憂的是, 有些老師不知如何教概念.李邦河院士認為, /數(shù)學(xué)根本上是

2、玩概念的, 不是玩技巧. 技巧不足道也! 0以解題教學(xué)代替概念教學(xué)的做法嚴重偏離了數(shù)學(xué)的正軌, 必須糾正. 否則, 學(xué)生在數(shù)學(xué)上耗費大量時間、精力, 結(jié)果可能是對數(shù)學(xué)的內(nèi)容、方法和意義知之甚少, /數(shù)學(xué)育人0終將落空.本文是我們繼/函數(shù)的概念0教學(xué)案例2后做的又一個案例, 主要指導(dǎo)思想是/數(shù)學(xué)概念, , 首要表現(xiàn)在概念的形成0, 概念教學(xué)必須讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程; 基本想法是聚焦概念教學(xué), 探索概念教學(xué)的基本規(guī)律. 期待我們的案例能拋磚引玉, 希望廣大教師積極參與/如何教好數(shù)學(xué)概念0的討論.1 對教學(xué)內(nèi)容的基本認識5平面向量6是/人教A 版0數(shù)學(xué)4的一章, 本節(jié)課包括/章引言0和/2. 1

3、平面向量的實際背景及基本概念0兩部分.在配套的5教師教學(xué)用書6中, 介紹了章頭圖和章引言的編寫意圖, 其中有這樣的敘述:/章引言說明了向量的研究對象及研究方法, 揭示了向量與幾何、代數(shù)之間的關(guān)系, 運用向量法可將幾何性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)化為向量的運算, 使幾何問題通過, 11/章頭圖0 起/導(dǎo)游圖0作用, 是本章學(xué)習(xí)的/先行組織者0, 應(yīng)有充分的重視. 教學(xué)時, 可以滲透在具體內(nèi)容中, 不必作抽象講解, 以避免空洞說教. 許多老師認為, /平面向量的實際背景及基本概念0一節(jié)/概念多但不難理解0, 但我們認為/其實不然0. 事實上, 從/概念的形成0的角度看, 本節(jié)內(nèi)容, 重要的不是向量的形式化定義及幾

4、個相關(guān)概念, 而是獲得數(shù)學(xué)研究對象、認識數(shù)學(xué)新對象的基本方法, 蘊含了用數(shù)學(xué)的觀點刻畫和研究現(xiàn)實事物的方法和途徑, 這是一個帶有/本源0性質(zhì)的過程.這里, 為了幫助學(xué)生建立向量的概念, 與數(shù)、形的相關(guān)概念(數(shù)及其運算、直線(段 的平行關(guān)系等 類比與聯(lián)系是值得重視的. 在學(xué)生的已有經(jīng)驗中, 與本節(jié)內(nèi)容相關(guān)的有:數(shù)的抽象過程、實數(shù)的絕對值(線段的長度 、數(shù)的相等、0和1的特殊性、線段的平行或共線等, 這些將為學(xué)生自覺、有序、有效地認知向量概念提供/固著點0. 具體教學(xué)時, 要設(shè)計一個能讓學(xué)生開展概括活動的過程, 引導(dǎo)他們經(jīng)歷從具體事例(位移、力、速度等 中領(lǐng)悟向量概念的本質(zhì)特征, 類比數(shù)的概念獲得

5、向量概念的定義及表示, 類比數(shù)的集合認識/向量的集合0, 類比直線(段 的基本關(guān)系認識向量的基本關(guān)系. 要使學(xué)生從中體會到認識一個數(shù)學(xué)概念的/基本套路0:從具體背景中抽象出共同本質(zhì)特征 定義 表示 定義/相等0(這件事情很重要, 但往往不被注意 、/單位元0、/0元0 某些特殊關(guān)系. 由此看來, 向量概念的形成并不是一件容易的事情.2 教學(xué)過程概述2009年11月初, 在河南省舉辦的高中數(shù)學(xué), 26數(shù)學(xué)通報 2010年 第49卷 第1期2010年 第49卷 第1期 數(shù)學(xué)通報27問題4 觀察圖1中的正六邊形AB CDE F . 給圖中的一些線段加上箭頭表示向量, 并說說你所標(biāo)注的向量之間的關(guān)系.

6、 (舉例 何背景明確區(qū)分, 真正抓住向量的本質(zhì)特征, 完成/數(shù)學(xué)化0的過程. 2. 3 閱讀課本請同學(xué)們把課本看一遍, 看看我們的討論過程與課本講的是否一致, 有什么遺漏? 有什么不同?意圖:通過閱讀, 對本課的內(nèi)容再一次進行歸整、明晰. 引導(dǎo)學(xué)生重視課本. 2. 4 課堂練習(xí)圖1教科書P 77中的/練習(xí)0部分.2. 5 課堂小結(jié)問題7 (引導(dǎo)學(xué)生自己小結(jié) 能否畫個圖, 把今天學(xué)的內(nèi)容梳理一下?(有的學(xué)生提出可以把本課的內(nèi)容分為三個部分, 與圖2所呈現(xiàn)的內(nèi)容基本一致, 只是把/特殊關(guān)系0說成了/向量的性質(zhì)0, 這也是正確的. 教師肯定了她的結(jié)論, 展示了圖2. 意圖:不是先給出相等向量、平行向

7、量、共線向量、相反向量的定義, 再做練習(xí)鞏固, 而是讓學(xué)生參與概念的定義過程, 使概念成為學(xué)生觀察、歸納、概括之后的自然產(chǎn)物.留給學(xué)生足夠的時間, 并提出問題5, 組織學(xué)生交流.問題5 你是怎樣研究的? 比如, 你畫了哪幾個向量? 你認為它們有怎樣的關(guān)系?意圖:不僅關(guān)注結(jié)果, 更要關(guān)注過程. 尤其要挖掘?qū)W生用向量概念思維的過程.(課堂中, 有的學(xué)生首先關(guān)注大小; 有的學(xué)生首先畫出向量ED 與A B 認為它們長度相等且方向相同, 是相等的向量; 也有學(xué)生首先畫出向量與OB 認為它們是共線的向量; 等. 教師適時介入, 解釋數(shù)學(xué)中的向量是自由向量, 可以平移, 因此, ED 與A B 也稱為共線向

8、量. /平行向量0的產(chǎn)生比較順利, 但/相反向量0的產(chǎn)生有困難, 其間還類比了/相反數(shù)0. 歸納得到:(1 從/方向0角度看, 有方向相同或相反的, 就是平行向量, 記為a M b ;(2 從/長度0角度看, 有模相等的向量, |a |=|b |;(3 既關(guān)注方向, 又關(guān)注長度, 有相等向量a =b , 相反向量a =6b .T :我們規(guī)定:零向量與任意向量都平行, 即0M a .問題6 由相等向量的概念知道, 向量完全由它的方向和模確定. 由此, 你能說說數(shù)學(xué)中的向量與物理中的矢量的異同嗎? 另外, 向量的平行、共線與線段的平行、共線有什么聯(lián)系與區(qū)別? :圖2T :今天我們學(xué)習(xí)了向量的概念及

9、其表示方法, 并初步研究了向量這個集合, 發(fā)現(xiàn)了其中的兩個特殊向量, 以及向量之間的一些特殊關(guān)系. 同學(xué)們要認真體會其中的基本思路, 即:從同類具體事例中抽象出共同本質(zhì)特征 下定義 符號表示 認識特殊對象 考察某些特殊關(guān)系.這里特別要注意, 因為向量帶有方向, 所以只用代數(shù)的形式已無法表示, 必須結(jié)合幾何的形式. 因此, 向量具有代數(shù)形式和幾何形式的/雙重身份0. 隨著學(xué)習(xí)的深入, 我們會看到這種身份給向量帶來的力量.另外, 我們用類比數(shù)集的方法初步認識了向量的集合. 我們知道, 數(shù)與運算分不開, 數(shù)的概念的發(fā)展也與運算不可分割. 例如, 為了解方程x 228數(shù)學(xué)通報 2010年 第49卷 第

10、1期=2, 我們需要有無理數(shù)概念, 于是要有/開方0運算. 引進一種新的數(shù), 就要研究關(guān)于它的運算; 引進一種運算, 就要研究相應(yīng)的運算律. 今天我們引進了一個新的量 向量, 下面我們該研究它的哪些問題? 如何研究? 請同學(xué)們課后認真考慮, 下節(jié)課來交流. (說罷, 教師在/特殊關(guān)系0的右邊增加了省略號/, 0. 2. 6 布置作業(yè)(略 . 3 教學(xué)反思3. 1 起始課應(yīng)把/基本套路0作為核心目標(biāo)本課是/平面向量0的起始課, 具有/統(tǒng)領(lǐng)全局0的作用. 因此, 本課的目標(biāo)應(yīng)體現(xiàn)出這一地位. 具體有如下三個方面:(1 形成平面向量的概念, 特別是要讓學(xué)生體會/向量集形與數(shù)于一身0的特征;(2 讓學(xué)

11、生體會用聯(lián)系的觀點、類比的方法研究向量(主要是聯(lián)系數(shù)及其運算、直線(段 的平行和共線等 ;(3 通過類比/數(shù)及其運算0而獲得研究的內(nèi)容與方法的啟發(fā), 再一次體會研究一類新的數(shù)學(xué)問題的基本套路(思路.如果從更深層次考慮, 上述目標(biāo)更本質(zhì)的是/數(shù)學(xué)育人0. 數(shù)學(xué)課堂應(yīng)始終把育人目標(biāo)放在首位, 當(dāng)然要將它融入知識的教學(xué)中. 本課似乎/沒什么東西可講0, 也沒什么難點, 因此不愁完不成教學(xué)任務(wù), 但這只能指陳述性(或明確 知識目標(biāo)的實現(xiàn). 向量概念的重要性不言而喻, 而作為/起始0, 本課的教學(xué)必須要有/交代問題背景、引入基本概念、構(gòu)建研究藍圖0的大氣. 要讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生、發(fā)展的基本過程,

12、體會到研究數(shù)學(xué)問題的基本套路, 進而提高提出問題、研究問題的能力, 這才算充分挖掘了本課內(nèi)容的育人資源, 才算體現(xiàn)了向量概念的教學(xué)價值.3. 2 概念課的主旋律是讓學(xué)生參與概念本質(zhì)特征的概括活動前已述及, 許多老師認為本課概念多但不難理解. 多次觀摩本課的教學(xué), 看到的大多是沉悶的課堂, 教師講得乏味, 學(xué)生學(xué)得無趣. 事實上, 許多概念課都有這種弊端. 有的老師可以把解題講得頭頭是道, 但概念教學(xué)就沒詞、沒招了. 我們認為, 概念再多也不能成為/講起來枯燥乏味0的理由.念課生動活潑、優(yōu)質(zhì)高效的關(guān)鍵. 這就要求我們一方面充分利用新舊知識蘊含的矛盾, 激發(fā)認知沖突, 把學(xué)生卷入其中; 另一方面要

13、讓學(xué)生有參與的時間與機會, 特別是有思維的實質(zhì)性參與.概念的形成過程充滿矛盾沖突, 這是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣與熱情的內(nèi)在條件. 比如, 考察司空見慣的/量0, 有的/只有大小沒有方向0, 有的/既有大小又有方向0, 在比較中就產(chǎn)生了區(qū)別的需要, 這就是向量概念的生長點. 與人出生后要起名字一樣, 我們要給新的數(shù)學(xué)對象命名, 并且要與它的本質(zhì)相吻合, 要區(qū)別于其他概念, /方向0就成了區(qū)別的標(biāo)準, 沒有/方向0的叫數(shù)量, 有/方向0的叫向量, 概念的產(chǎn)生自然而然.概念抽象需要典型實例. 誰來找例子? 教師自作自畫, 自己舉例、概括, 自己給定義, 就可能枯燥乏味. 比如, 告訴學(xué)生什么叫平行向量、相

14、等向量、相反向量等, 學(xué)生被動聽, 沒有參與機會, 不僅枯燥乏味, 而且會使學(xué)生理解不透. 如果讓學(xué)生舉例, 要求盡量舉不同的例, 就會迫使他們開動腦子, 就有可能舉出不同的、有趣的例, 就會百花齊放. 這樣, 生動活潑的場面自然形成, 而且在舉例過程中, 有獨立思考、合作交流, 甚至有爭辯, 這就形成了促進概念理解的機制. 讓學(xué)生舉例可以促進學(xué)生思維的深度參與, 因為好例子需要以理解概念的本質(zhì)屬性為基礎(chǔ). 實際上, 概念教學(xué)中的/參與0, 其關(guān)鍵是參與從典型實例中概括概念本質(zhì)特征的活動.舉例后, 還要讓學(xué)生講理由, 讓其他同學(xué)來補充, 相互啟發(fā)、交流互動, 生動活潑的局面自然就出現(xiàn)了. 比如

15、, 探索/向量的表示0時, 一個學(xué)生在黑板上畫了帶箭頭的線段表示力, 但沒有用字母標(biāo)注起點、終點. 筆者沒有替他標(biāo)上, 而是問:/大家有什么要補充的嗎? 0有幾位同學(xué)不請自來, 有的標(biāo)上字母, 有的標(biāo)出大小, 經(jīng)過教師啟發(fā)和全班努力, 終于明確了向量的幾何表示的正確方法. 在這個過程中, 全體同學(xué)熱情參與, 自我教育, 互幫互學(xué), 想讓課堂不生動活潑都難. 也許有人認為, 這是小題大做, 浪費時間. 但我們認為這樣做不僅使課堂生動活潑, 更重要的是體現(xiàn)概念的形成, 這才是落實雙基的教學(xué), 長期堅持可以讓學(xué)生養(yǎng)成好的學(xué)習(xí)習(xí)慣. 如果總是老師替學(xué)生完善表,2010年 第49卷 第1期 奪了學(xué)生的思

16、考機會.數(shù)學(xué)通報果.29事實上, 由于數(shù)學(xué)概念的高度抽象性, 對任何一個貌似簡單的概念, 學(xué)生往往都要費很大周折才能理解. 許多教師對此不能保持高度警覺, 常常認為自己容易的學(xué)生也然, 沒有意識到自己的/容易0是經(jīng)歷了千辛萬苦、長期積累才得到的. 這種心理導(dǎo)致了師生交流的許多障礙, 是造成教師不是從學(xué)生的角度出發(fā), 針對學(xué)生的理解困難展開教學(xué)的主要原因. 因此, 教師要對這種心理保持高度警惕, 努力從學(xué)生的認知水平出發(fā), 保證學(xué)生參與概念本質(zhì)特征的概括活動, 確保學(xué)生有自己想明白的機會和時間, 這是非常要緊的.3. 3 概念教學(xué)要使學(xué)生自然地、水到渠成地實現(xiàn)/概念的形成0/人教A 版0的主編寄

17、語中說:/數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展都是自然的. 如果有人感到某個概念不自然, 是強加于人的, 那么只要想一下它的背景, 它的形成過程, 它的應(yīng)用, 以及它與其他概念的聯(lián)系, 你就會發(fā)現(xiàn)它實際上是水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物, 不僅合情合理, 甚至很有人情味. 0我們認為, 這應(yīng)該成為概念教學(xué)的基本指導(dǎo)思想. 概念課就應(yīng)該使概念出得自然、水到渠成, 否則就不叫做/教數(shù)學(xué)0、/學(xué)數(shù)學(xué)0. 本課的教學(xué), 我們力求使學(xué)生了解向量概念的背景和形成過程, 了解為什么要引入這個概念, 怎樣定義這個概念, 怎樣入手研究一個新的課題.從課堂教學(xué)的要求看, 概念教學(xué)的自然和水到渠成應(yīng)包括兩方面:一是知

18、識的邏輯順序自然; 二是學(xué)生心理邏輯的自然, 主要是思維過程的自然. /自然的概念教學(xué)過程0是上述兩方面的融合. 因此, 向量概念的教學(xué)中, 我們注意了從宏觀上為學(xué)生勾勒研究框架和總體思路, 使學(xué)生能/抬頭看路0, 知道往哪里走, 這是起始課的重要任務(wù); 微觀上, 引導(dǎo)學(xué)生通過類比, 有序地給出向量的定義(區(qū)別于/只有大小沒有方向的量0 、討論向量的表示(重點是幾何表示 、定義特殊的向量、研究特殊的關(guān)系(特別是相等向量. 在引導(dǎo)學(xué)生展開對向量及其相關(guān)概念的學(xué)習(xí)過程中, 主要強調(diào)了/讓學(xué)生參與到定義概念的活動中來0, 不輕易打斷學(xué)生的思維和活動, 恰時恰點地/以問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)0, 在/追問(質(zhì)疑

19、反思0的過程中深化概念的理解3. 4 /創(chuàng)造性地使用教材0的前提是深刻理解教材本次課改提出/用教材教0/創(chuàng)造性地使用教材0的理念, 這對教師理解和處理教材提出了更高要求. 我們認為, 深刻理解教材的編寫意圖是/創(chuàng)造性地使用教材0的前提./平行向量0、/共線向量0等概念, 教材是這樣呈現(xiàn)的:先介紹概念, 然后以一個例子作為概念的應(yīng)用與鞏固; /相反向量0在向量的減法運算中給出. 教科書按知識的邏輯順序呈現(xiàn), 無疑是正確的. 如果按教材順序組織教學(xué), 一定能順利完成任務(wù), 學(xué)生也會掌握得不錯. 但這是/教師告訴, 提醒注意, 練習(xí)鞏固0的辦法, 學(xué)生的主動思維無法調(diào)動. 因此我們根據(jù)教材的基本思路

20、, 先讓學(xué)生研究問題4, 目的是給學(xué)生參與概括概念本質(zhì)特征的機會, 實實在在地經(jīng)歷概念的形成過程. 觀察過程中, 必然要利用向量的定義, 要從/方向0和/大小0兩個方面展開思考. 于是, 平行向量(共線向量 就很容易被概括出來; 相等向量、相反向量等概念的產(chǎn)生也比較自然. 教師適時介入, 強化本質(zhì)特征、規(guī)范概念表達, 與學(xué)生一起完成概念的定義.值得指出的是, 這樣處理教材, 自然而然地要求學(xué)生聯(lián)系相關(guān)概念. 比如, 由圖形呈現(xiàn)的/平行直線段0自然產(chǎn)生了/平行向量0; 再增加長度相等、方向相同或相反, 就產(chǎn)生了相等向量或相反向量. 屬差決定了向量之間的區(qū)別, 就有了引入新概念的必要性. 這里,

21、學(xué)生還經(jīng)歷了對向量的關(guān)系進行分類的思考:以是否平行為標(biāo)準, 一類是共線向量(平行向量 , 另一類是不共線向量(不平行向量 , 這是由向量的/方向0屬性決定的. 如何區(qū)分不平行的向量? 又有了引入新概念的必要性, 這就是向量的夾角(這是后話.總之, 這樣處理教材后, 我們構(gòu)建了一個真正的問題情境, 學(xué)生可以從中學(xué)習(xí)如何獲得研究的對象、如何提出研究的問題、如何找到研究的方法. 從課堂小結(jié)看, 這一目標(biāo)已經(jīng)實現(xiàn). 學(xué)生不僅能說出具體知識, 而且還能準確地說出/分成三個部分0 向量的表示、特殊向量、特殊關(guān)系(說成向量的性質(zhì). 這些是課本中找不到的, 需要具有一定概括能力.3. , (2010 年 第

22、49 卷 第1期 數(shù)學(xué)通報 33 如案例 2, 通過歸納猜想 , 探究猜想的證明 , 值得 思考 . 而案例 7 則不具備這一原則 . ( 6 時代性 強調(diào)這一點是為著使教學(xué)跟上日益變化的社 會發(fā)展, 一方面教學(xué)必須快速反映客觀現(xiàn)實, 與時 俱進 ; 另一方面通過富有時代氣息的案例教學(xué), 引 導(dǎo)學(xué)生更好地關(guān)注現(xiàn)實社會 , 培養(yǎng)奉獻社會的責(zé) 任感 . 富有時代感的數(shù)學(xué)案例教學(xué) , 具有鮮活生動 的教學(xué)特色, 能充分顯示數(shù)學(xué)教學(xué)的強大生命力 . 如案例 2 符合人教 A 版教材的要求 , 容易與學(xué)生 的思維產(chǎn)生共鳴 . 而案例 6 和案例 7 則相反( 適合 老教材, 不適合人教 A 版教材 .

23、通過以上分析, 筆者以為案例 2 ( 教材上的案 例 是最理想的數(shù)學(xué)歸納法新課引入教學(xué)設(shè)計案 例. 同時也驗證了陶維林教授的一句話 : / 這部分 教材是寫得比較好的, 大家只要按照教材教就可 以了0 . 我的理解是: 在教了這部分內(nèi)容之后, 你就 ( 上接第 29 頁 不過分糾纏于細節(jié) 本課的教學(xué)中, 大多數(shù)教師都不恰當(dāng)?shù)卦?/ 零 向量與任意向量平行0 上狠下功夫 , 原因是 / 這是 考試中的一個陷阱0 . 我們認為這是對零向量的意 義和作用理解不到位的表現(xiàn). 首先 , 規(guī)定/ 零向量與任意向量平行0 是完善 概念系統(tǒng)的需要. / 平行向量0 是向量間的關(guān)系定 義, 自然應(yīng)針對全體向量而

24、言, 不能排斥零向量 . 因此 , 需要對平行向量的概念加以補充定義. 由于 零向量的長度為零方向任意, 因此, 規(guī)定/ 零向量 與任意向量平行0 也在情理之中. 其次 , 就像數(shù) 0 的作用在于運算一樣, 零向量 的作用在于運算及其表達的幾何意義 . 例如, A B, CD, EF 都是非零向量 , 如果 A B + CD = 0 , 則 A B 與CD 是 相反 向量 ; 如果 A B + CD + EF = 0, 則 A B , CD, E F 首尾相接圍成三角形 ; 等. 這些 結(jié)論 在解決幾何問題時作用很大. 因此 , 孤立地討論零向量與任意向量平行沒 有多少意義, 更不應(yīng)作為考題津

25、津樂道地考學(xué)生 . 本節(jié)課上 , 我們只明確了這一規(guī)定 , 沒有耗費過多 筆墨 . 否則 , 把注意力吸引到這里, 就把簡單問題 復(fù)雜化了 . 4 結(jié)束語 : 追求概念教學(xué)的本來面目 我們在/ 中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、 思想方法結(jié)構(gòu)體 會慢慢地感覺到這部分教材寫得好 , 并且好在哪 里. 這正是這次課題會議給我的切身體會! 參考文獻 1 章建躍 . 課題為載體 , 有效 促進教 師專業(yè) 化成長 暨 / 中學(xué) 數(shù)學(xué)核心概念、 思想方 法結(jié)構(gòu)體 系及其 教學(xué)設(shè) 計的理 論與實 踐0 第八次課題會成果綜述 . 2 / 中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、 思想方法結(jié)構(gòu)體系及其 教學(xué)設(shè)計的理論 與實踐0 第八次課題會反思材料 . 3 4 5 錢 珮玲 , 馬波等. 高中數(shù)學(xué)新課程教學(xué)法 . 北 京: 高等教育出版 社 , 2007 年 3 月第 1 版 . 曹才翰 , 章建躍. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論 . 北