彈性力學(xué)應(yīng)力狀態(tài)分析

1、第二章應(yīng)力狀態(tài)分析一、內(nèi)容介紹彈性力學(xué)的研究對(duì)象為三維彈性體,因此分析從微分單元體入手,本章的任務(wù)就是從靜力學(xué)觀點(diǎn)出發(fā),討論一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),建立平衡微分方程和面力邊界條件.應(yīng)力狀態(tài)是本章討論的首要問(wèn)題.由于應(yīng)力矢量與內(nèi)力和作用截面方位均有關(guān).因此,一點(diǎn)各個(gè)截面的應(yīng)力是不同的.確定一點(diǎn)不同截面的應(yīng)力變化規(guī)律稱(chēng)為應(yīng)力狀態(tài)分析.首先是確定應(yīng)力狀態(tài)的描述方法,這包括應(yīng)力矢量定義,及其分解為主應(yīng)力、切應(yīng)力和應(yīng)力分量；其次是任意截面的應(yīng)力分量確實(shí)定一轉(zhuǎn)軸公式；最后是一點(diǎn)的特殊應(yīng)力確定,主應(yīng)力和主平面、最大切應(yīng)力和應(yīng)力圓等.應(yīng)力狀態(tài)分析說(shuō)明應(yīng)力分量為二階對(duì)稱(chēng)張量.本課程分析中使用張量符號(hào)描述物理量和根本方程

2、,如果你沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)張量概念,請(qǐng)進(jìn)入附錄一,或者查閱參考資料.本章的另一個(gè)任務(wù)是討論彈性體內(nèi)一點(diǎn)-微分單元體的平衡.彈性體內(nèi)部單元體的平衡條件為平衡微分方程和切應(yīng)力互等定理；邊界單元體的平衡條件為面力邊界條件.二、重點(diǎn)1、應(yīng)力狀態(tài)的定義：應(yīng)力矢量；正應(yīng)力與切應(yīng)力；應(yīng)力分量;2、平衡微分方程與切應(yīng)力互等定理；3、面力邊界條件；4、應(yīng)力分量的轉(zhuǎn)軸公式；5、應(yīng)力狀態(tài)特征方程和應(yīng)力不變量；知識(shí)點(diǎn)：體力；面力；應(yīng)力矢量；正應(yīng)力與切應(yīng)力；應(yīng)力分量；應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量；平衡微分方程；面力邊界條件；主平面與主應(yīng)力；主應(yīng)力性質(zhì)；截面正應(yīng)力與切應(yīng)力；三向應(yīng)力圓；八面體單元；偏應(yīng)力張量不變量；切應(yīng)力互等定理；應(yīng)力分量

3、轉(zhuǎn)軸公式；平面問(wèn)題的轉(zhuǎn)軸公式；應(yīng)力狀態(tài)特征方程；應(yīng)力不變量；最大切應(yīng)力；球應(yīng)力張量和偏應(yīng)力張量§2.1 體力和面力學(xué)習(xí)思路:本節(jié)介紹彈性力學(xué)的根本概念一一體力和面力,體力Fb和面力Fs的概念均不難理解.應(yīng)該注意的問(wèn)題是,在彈性力學(xué)中,雖然體力和面力都是矢量,但是它們均為作用于一點(diǎn)的力,而且體力是指單位體積的力；面力為單位面積的作用力.體力矢量用Fb表示,其沿三個(gè)坐標(biāo)軸的分量用Fbi(i=1,2,3)或者Fbx、Fby和Fbz表示,稱(chēng)為體力分量.面力矢量用Fs表示,其分量用Fs(i=1,2,3)或者Fsx、Fsy和Fsz表示.體力和面力分量的方向均規(guī)定與坐標(biāo)軸方向一致為正,反之為負(fù).學(xué)

4、習(xí)要點(diǎn)：1、體力；2、面力1、體力作用于物體的外力可以分為兩種類(lèi)型：體力和面力.所謂體力就是分布在物體整個(gè)體積內(nèi)部各個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的力,又稱(chēng)為質(zhì)量力.例如物體的重力,慣性力,電磁力等等.面力是分布在物體外表上的力,例如風(fēng)力,靜水壓力,物體之間的接觸力等.為了說(shuō)明物體在xyz坐標(biāo)系內(nèi)任意一點(diǎn)P所受體力的大小和方向,在P點(diǎn)的鄰域取一微小體積元素ZV,如下圖設(shè)&的體力合力為在,那么P點(diǎn)的體力定義為居嚼令微小體積元素N趨近于0,那么可以定義一點(diǎn)P的體力為工-11111Z1r一般來(lái)講,物體內(nèi)部各點(diǎn)處的體力是不相同的.物體內(nèi)任一點(diǎn)的體力用Fb表示,稱(chēng)為體力矢量,其方向由該點(diǎn)的體力合力方向確定.體力沿三個(gè)

5、坐標(biāo)軸的分量用Fbi(i=1,2,3)或者Fbx,Fby,Fbz表示,稱(chēng)為體力分量.體力分量的方向規(guī)定與坐標(biāo)軸方向一致為正,反之為負(fù).應(yīng)該注意的是：在彈性力學(xué)中,體力是指單位體積的力.2、面力類(lèi)似于體力,可以給出面力的定義.對(duì)于物體外表上的任一點(diǎn)P,在P點(diǎn)的鄰域取一包含P點(diǎn)的微小面積元素&如下圖設(shè)少上作用的面力合力為疔,那么P點(diǎn)的面力定義為面力矢量是單位面積上的作用力,面力是彈性體外表坐標(biāo)的函數(shù).一般條件下,面力邊界條件是彈性力學(xué)問(wèn)題求解的主要條件.面力矢量用Fs表示,其分量用Fsi(i=1,2,3)或者Fsx、Fsy和Fsz表示.面力的方向規(guī)定以與坐標(biāo)軸方向一致為正,反之為負(fù).彈性力

6、學(xué)中的面力均定義為單位面積的面力.§2.2 應(yīng)力和應(yīng)力狀態(tài)學(xué)習(xí)思路：物體在外界因素作用下,物體內(nèi)部各個(gè)局部之間將產(chǎn)生相互作用,物體內(nèi)部相互作用力稱(chēng)為內(nèi)力.為討論彈性體的強(qiáng)度,將單位面積的內(nèi)力,就是內(nèi)力集度定義為應(yīng)力.pn為過(guò)任意點(diǎn)M,法線方向?yàn)閚的微分面上的應(yīng)力矢量.應(yīng)力矢量不僅隨點(diǎn)的位置改變而變化,而且即使在同一點(diǎn),也由于截面白法線方向n的方向改變而變化.一點(diǎn)所有截面的應(yīng)力矢量的集合稱(chēng)為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài).討論一點(diǎn)各個(gè)截面的應(yīng)力變化趨勢(shì)稱(chēng)為應(yīng)力狀態(tài)分析.但凡應(yīng)力均必須說(shuō)明是物體內(nèi)哪一點(diǎn),并且通過(guò)該點(diǎn)哪一個(gè)微分面的應(yīng)力.應(yīng)力狀態(tài)對(duì)于研究物體的強(qiáng)度是十分重要的.顯然,作為彈性體內(nèi)部一個(gè)確定

7、點(diǎn)的各個(gè)截面的應(yīng)力矢量,就是應(yīng)力狀態(tài)必然存在一定的關(guān)系.不可能也不必要寫(xiě)出一點(diǎn)所有截面的應(yīng)力.為了準(zhǔn)確、明了地描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),必須使用合理的應(yīng)力參數(shù).為了探討各個(gè)截面應(yīng)力的變化趨勢(shì),確定可以描述應(yīng)力狀態(tài)的參數(shù),通常將應(yīng)力矢量分解.學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、應(yīng)力矢量；2、應(yīng)力矢量的分解；3、應(yīng)力分量1、應(yīng)力矢量物體在外界因素作用下,例如外力,溫度變化等,物體內(nèi)部各個(gè)局部之間將產(chǎn)生相互作用,這種物體一局部與相鄰局部之間的作用力稱(chēng)為內(nèi)力.內(nèi)力的計(jì)算可以采用截面法,即利用假想平面將物體截為兩局部,將希望計(jì)算內(nèi)力的截面暴露出來(lái),通過(guò)平衡關(guān)系計(jì)算截面內(nèi)力F.內(nèi)力的分布一般是不均勻的.為了描述任意一點(diǎn)M的內(nèi)力,在截

8、面上選取一個(gè)包含M的微面積單元AS,如下圖那么可認(rèn)為微面積上的內(nèi)力主矢AF的分布是均勻的.設(shè)AS的法線方向?yàn)閚,那么定義:上式中pn為微面積AS上的平均應(yīng)力.如果令A(yù)S逐漸減小,并且趨近于零,取極限可得=limq5T口上述分析可見(jiàn)：pn是通過(guò)任意點(diǎn)M,法線方向?yàn)閚的微分面上的應(yīng)力矢量.應(yīng)力pn是矢量,方向由內(nèi)力主矢AF確定,又受AS方位變化的影響.應(yīng)力矢量不僅隨點(diǎn)的位置改變而變化,而且即使在同一點(diǎn),也由于截面的法線方向n的方向改變而變化.這種性質(zhì)稱(chēng)為應(yīng)力狀態(tài).因此但凡應(yīng)力均必須說(shuō)明是物體內(nèi)哪一點(diǎn),并且通過(guò)該點(diǎn)哪一個(gè)微分面的應(yīng)力.一點(diǎn)所有截面的應(yīng)力矢量的集合稱(chēng)為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài).應(yīng)力狀態(tài)對(duì)于研究物

9、體的強(qiáng)度是十分重要的.顯然,作為彈性體內(nèi)部一個(gè)確定點(diǎn)的各個(gè)截面的應(yīng)力矢量,就是應(yīng)力狀態(tài)必然存在一定的關(guān)系.不可能也不必要寫(xiě)出一點(diǎn)所有截面的應(yīng)力.為了準(zhǔn)確、明了地描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),必須使用合理的應(yīng)力參數(shù).2、應(yīng)力矢量的分解討論一點(diǎn)各個(gè)截面的應(yīng)力變化趨勢(shì)稱(chēng)為應(yīng)力狀態(tài)分析.為了探討各個(gè)截面應(yīng)力的變化趨勢(shì),確定可以描述應(yīng)力狀態(tài)的參數(shù),通常將應(yīng)力矢量分解.它的主要用途在于作為工星用于推導(dǎo)彈性力學(xué)根本方應(yīng)力矢量的一種分解方法是將應(yīng)力矢量Pn在給定的坐標(biāo)系下沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向分解,如用Px,py,pz表示其分量,那么pn=pxi+pyj+pzk,這種形式的分解并沒(méi)有工程實(shí)際應(yīng)用的價(jià)值.程.另一種分解方法,如

10、下圖,是將應(yīng)力矢量pn沿微分面£的法線和切線方向分解.與微分面處法線n方向的投影稱(chēng)為正應(yīng)力,用與表示；平行于微分面器的投影稱(chēng)為切應(yīng)力或剪應(yīng)力,切應(yīng)力作用于截面內(nèi),用如表示.彈性體的強(qiáng)度與正應(yīng)力和切應(yīng)力息息相關(guān),因此這是工程結(jié)構(gòu)分析中經(jīng)常使用的應(yīng)力分解形式.由于微分面法線n的方向只有一個(gè),因此說(shuō)明截面方位就確定了正應(yīng)力On的方向.但是平行于微分面的方向有無(wú)窮多,因此切應(yīng)力如不僅需要確定截面方位,還必須指明方向.3、應(yīng)力分量為了表達(dá)彈性體內(nèi)部任意一點(diǎn)M的應(yīng)力狀態(tài),利用三個(gè)與坐標(biāo)軸方向一致的微分面,通過(guò)M點(diǎn)截取一個(gè)平行六面體單元,如下圖.將六面體單元各個(gè)截面上的應(yīng)力矢量分別向3個(gè)坐標(biāo)軸投影

11、,可以得到應(yīng)力分量回0應(yīng)力分量的第一腳標(biāo)i表示該應(yīng)力所在微分面的方向,即微分面外法線的方向；第二腳標(biāo)j表示應(yīng)力的方向.如果應(yīng)力分量與j坐標(biāo)軸方向一致為正,反之為負(fù).如果兩個(gè)腳標(biāo)相同,i=j,那么應(yīng)力分量方向與作用平面法線方向一致,這是正應(yīng)力,可以并寫(xiě)為一個(gè)腳標(biāo),例如Qx.如果兩腳標(biāo)不同,i書(shū),那么應(yīng)力分量方向與作用平面法線方向不同,這是切應(yīng)力,例如xy.六面體單元的3對(duì)截面共有九個(gè)應(yīng)力分量叼.應(yīng)該注意：應(yīng)力分量是應(yīng)力矢量在坐標(biāo)軸上的投影,因此是標(biāo)量,而不是矢量.在的坐標(biāo)系中應(yīng)力狀態(tài)通常用應(yīng)力張量011丐aa立廣%丐J二f/弓%,0310n%三表示.使用應(yīng)力張量可以完整地描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài).&#

12、167;2.3 斜截面上的應(yīng)力應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量學(xué)習(xí)思路：應(yīng)力矢量不僅隨點(diǎn)的位置改變而變化,而且也由于截面的法線方向n的方向改變而變化,研究這一變化規(guī)律稱(chēng)為應(yīng)力狀態(tài)分析.如果應(yīng)力分量能夠描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),那么應(yīng)力分量與其它應(yīng)力參數(shù)必然有內(nèi)在聯(lián)系.本節(jié)分析應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系,為深入討論應(yīng)力狀態(tài)作準(zhǔn)備.利用三個(gè)坐標(biāo)平面和一個(gè)任意斜截面構(gòu)造微分四面體單元,通過(guò)四面體單元探討坐標(biāo)平面的應(yīng)力分量和斜截面上的應(yīng)力矢量的關(guān)系.根據(jù)平衡關(guān)系,推導(dǎo)任意斜截面的應(yīng)力矢量、法線方向余弦和各個(gè)應(yīng)力分量之間的關(guān)系.分析說(shuō)明：一點(diǎn)的應(yīng)力分量確定后,任意斜截面的應(yīng)力矢量是確定的.學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、分四面體單元；2、

13、應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量.1、微分四面體單元一點(diǎn)的九個(gè)應(yīng)力分量如果能夠完全確定一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),那么其必須能夠表達(dá)通過(guò)該點(diǎn)的任意斜截面上的應(yīng)力矢量.為了說(shuō)明這一問(wèn)題,在O點(diǎn)用三個(gè)坐標(biāo)面和一任意斜截面截取一個(gè)微分四面體單元,如下圖.斜截面的法線方向矢量為n,它的三個(gè)方向余弦分別為l,m和n.設(shè)斜截面上的應(yīng)力為pn,i,j和k分別為三個(gè)坐標(biāo)軸方向的單位矢量,pn在坐標(biāo)軸上的投影分別為px,py,pz0那么應(yīng)力矢量可以表示為Pn=Pxi+Pyj+Pzk同樣,把單位體積的質(zhì)量所受的體積力Fb沿坐標(biāo)軸分解,有Fb=Fbxi+Fbyj+Fbzk設(shè)S為MBC的面積,那么小BC=lS,AOCA=mS,AOAB=nSM

14、BC的法線方向的單位矢量可表示為n=li+lj+mk2、應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量微分四面體在應(yīng)力矢量和體積力作用下應(yīng)滿(mǎn)足平衡條件,設(shè)h為O點(diǎn)至斜面ABC的高,由x方向的平衡,可得LF,=0AOBC-tAOAC-rAOAB=0將公式AOBC=電AOCA二測(cè)S,AOAB二nS代入上式,那么Px-W一丁率/一:怠閥+,穴二o對(duì)于微分四面體單元,h與單元體棱邊相關(guān),因此與1相比為小量,趨近于零,因此?PLbJ+彩陽(yáng)+工j同理馬二ji+b產(chǎn)+/月P工=G)+工,+%刀如果采用張量記號(hào),那么上述公式可以表示為Pi=%,上式給出了物體內(nèi)一點(diǎn)的9個(gè)應(yīng)力分量和通過(guò)同一點(diǎn)的各個(gè)微分面上的應(yīng)力之間的關(guān)系.這一關(guān)系式說(shuō)明,

15、只要有了應(yīng)力分量,就能夠確定一點(diǎn)任意截面的應(yīng)力矢量,或者正應(yīng)力和切應(yīng)力.因此應(yīng)力分量可以確定一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài).§2.4 平衡微分方程學(xué)習(xí)思路:物體在外力作用下產(chǎn)生變形,最后到達(dá)平衡位置.平衡不僅是指整個(gè)物體,而且彈性體的任何局部也是平衡的.本節(jié)通過(guò)微分平行六面體單元討論彈性體內(nèi)部任意一點(diǎn)的平衡.應(yīng)該注意：在討論微分單元體平衡時(shí),考慮到坐標(biāo)的微小變化將導(dǎo)致應(yīng)力分量的相應(yīng)改變.即坐標(biāo)有增量時(shí),應(yīng)力分量也有對(duì)應(yīng)的增量.這個(gè)增量作為高階小量,如果不涉及微分單元體平衡時(shí)是可以不考慮的.微分平衡方程描述了彈性體內(nèi)部任意一點(diǎn)的平衡,確定了應(yīng)力分量與體力之間的關(guān)系.又稱(chēng)為納維Navier方程.平衡微分

16、方程描述彈性體內(nèi)部應(yīng)力分量與體力之間的微分關(guān)系,是彈性力學(xué)的第一個(gè)根本方程.切應(yīng)力互等定理是彈性體力矩平衡的結(jié)果.學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、微分單元體及平衡關(guān)系；2、平衡微分方程與切應(yīng)力互等定理.1、微分單元體及平衡關(guān)系物體在外力作用下產(chǎn)生變形,最后到達(dá)平衡位置.不僅整個(gè)物體是平衡的,而且彈性體的任何局部也都是平衡的.為了考察彈性體內(nèi)部的平衡,通過(guò)微分平行六面體單元討論任意一點(diǎn)M的平衡.在物體內(nèi),通過(guò)任意點(diǎn)M,用三組與坐標(biāo)軸平行的平面截取一正六面體單元,單元的棱邊分別與x,y,z軸平行,棱邊分別長(zhǎng)dx,dy,dz,如下圖討論微分平行六面體單元的平衡:在X面上有應(yīng)力分量W,Txy和Txz；在X+dX面上,應(yīng)

17、力分量相對(duì)X截面有一個(gè)增量,取一階增量,那么.9/.3丁平/b+土社3r+-dx;r+'dxdxuxox對(duì)y,z方向的應(yīng)力分量作同樣處理.dy)dxdz-rdxdz根據(jù)微分單元體Xg平衡,EF=0,那么+竟七)力也-巴力上+(%+(,M也帥dy-md"%dxg二.簡(jiǎn)化并且略去高階小量,可得也+凡=0dxSydz,同理考慮y,z方向,有a%,篋+靖+/+3°嗎%也+%=odx如dz上述公式給出了應(yīng)力和體力之間的平衡關(guān)系,稱(chēng)為平衡微分方程,又叫納維(Navier)方程.用張量形式表示,可以寫(xiě)作+%二.如果考慮微分單元體的力矩平衡,那么可以得到XXy=TyX,Tyz=zy

18、,rzX=%z由此可見(jiàn),切應(yīng)力是成對(duì)出現(xiàn)的,9個(gè)應(yīng)力分量中僅有6個(gè)是獨(dú)立的.上述關(guān)系式又稱(chēng)作切應(yīng)力互等定理.用張量形式表示,那么二ij=二ji§2.5面力邊界條件學(xué)習(xí)思路：在彈性體內(nèi)部,應(yīng)力分量必須與體力滿(mǎn)足平衡微分方程；在彈性體的外表,應(yīng)力分量必須與外表力滿(mǎn)足面力邊界條件,以維持彈性體外表的平衡.面力邊界條件的推導(dǎo)時(shí),參考了應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量關(guān)系表達(dá)式.只要注意到物體邊界任意一點(diǎn)的微分四面體單元外表作用應(yīng)力分量和面力之間的關(guān)系就可以得到.面力邊界條件描述彈性體外表的平衡,而平衡微分方程描述物體內(nèi)部的平衡.當(dāng)然,對(duì)于彈性體,這僅是靜力學(xué)可能的平衡,還不是彈性體實(shí)際存在的平衡.面力邊界

19、條件確定的是彈性體外表外力與彈性體內(nèi)部趨近于邊界的應(yīng)力分量的關(guān)系.學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、面力邊界條件.1、面力邊界條件物體在外力作用下處于平衡狀態(tài),不僅整體,而且任意局部都是平衡的.在彈性體內(nèi)部,應(yīng)力分量必須與體力滿(mǎn)足平衡微分方程；在彈性體的外表,應(yīng)力分量須與外表力滿(mǎn)足面力邊界條件,以滿(mǎn)足彈性體外表的平衡.考慮物體外表任一微分四面體的平衡,如下圖.由于物體外表受到外表力,如壓力和接觸力等的作用,設(shè)單位面積上的面力分量為Fsx、Fsy和Fsz,物體外外表法線n的方向余弦為l,m,n.參考應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量的關(guān)系,可得用張量符號(hào)可以表示為%二%上述公式是彈性體外表微分單元體保持平衡的必要條件,公式左邊表示

20、物體外表的外力,右邊是彈性體內(nèi)部趨近于邊界的應(yīng)力分量.公式給出了應(yīng)力分量與面力之間的關(guān)系,稱(chēng)為靜力邊界條件或面力邊界條件.平衡微分方程和面力邊界條件都是平衡條件的表達(dá)形式,前者表示物體內(nèi)部的平衡,后者表示物體邊界局部的平衡.顯然,假設(shè)應(yīng)力分量滿(mǎn)足平衡微分方程和面力邊界條件,那么物體平衡；反之,如物體平衡,那么應(yīng)力分量必須滿(mǎn)足平衡微分方程和面力邊界條件.§2.5坐標(biāo)變換的應(yīng)力分量和應(yīng)力張量學(xué)習(xí)思路：一點(diǎn)的應(yīng)力不僅隨著點(diǎn)的位置改變而變化,而且由于截面的法線方向不同,截面上的應(yīng)力也不同.因此必須探討一點(diǎn)任意截面應(yīng)力之間的變化關(guān)系.應(yīng)力分量能夠描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),因此確定不同截面應(yīng)力分量的變

21、化規(guī)律,就可以確定應(yīng)力狀態(tài).本節(jié)分析坐標(biāo)系改變時(shí)應(yīng)力分量的變化規(guī)律.為了簡(jiǎn)化分析,首先假設(shè)斜截面的法線與新坐標(biāo)軸方向相同,建立斜截面應(yīng)力矢量表達(dá)式.然后利用斜截面應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量的關(guān)系,將應(yīng)力矢量投影于各個(gè)坐標(biāo)軸得到應(yīng)力分量表達(dá)式.應(yīng)力分量的轉(zhuǎn)軸公式說(shuō)明：應(yīng)力分量滿(mǎn)足張量變換條件.根據(jù)切應(yīng)力互等定理,應(yīng)力張量是二階對(duì)稱(chēng)張量.轉(zhuǎn)軸公式說(shuō)明了一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),盡管截面方位的變化導(dǎo)致應(yīng)力分量改變,但是一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是不變的.學(xué)習(xí)要點(diǎn):1、坐標(biāo)系的變換；2、坐標(biāo)平面的應(yīng)力矢量；3、應(yīng)力分量的投影;4、應(yīng)力分量轉(zhuǎn)軸公式；5、平面問(wèn)題的轉(zhuǎn)軸公式.1、坐標(biāo)系的變換一點(diǎn)的應(yīng)力不僅是坐標(biāo)的函數(shù),隨著彈性體中點(diǎn)的

22、位置改變而變化,而且即使同一點(diǎn),由于截面的法線方向不同,截面上的應(yīng)力也不相同.一點(diǎn)的應(yīng)力隨著截面的法線方向的改變而變化稱(chēng)為應(yīng)力狀態(tài).應(yīng)力狀態(tài)分析就是討論一點(diǎn)不同截面的應(yīng)力變化規(guī)律.由于應(yīng)力分量可以描述應(yīng)力狀態(tài),因此討論坐標(biāo)系改變時(shí),一點(diǎn)的各個(gè)應(yīng)力分量的變化就可以確定應(yīng)力狀態(tài).當(dāng)坐標(biāo)系改變時(shí),同一點(diǎn)的各個(gè)應(yīng)力分量將作如何的改變.容易證實(shí),坐標(biāo)系僅作平移變換時(shí),同一點(diǎn)的應(yīng)力分量是不會(huì)改變的,因此只須考慮坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)的情況.假設(shè)在坐標(biāo)系Oxyz中,彈性體中某點(diǎn)的應(yīng)力分量為如果讓坐標(biāo)系轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度,得到一個(gè)新的坐標(biāo)系Ox'y'z'.設(shè)新坐標(biāo)系與原坐標(biāo)系之間有如下關(guān)系：其中,li,

23、mi,ni表示新坐標(biāo)軸Ox'y'z'與原坐標(biāo)軸Oxyz之間的夾角方向余弦.2、坐標(biāo)平面的應(yīng)力矢量如果用r.H-TjjO"fcZ"br!ijyy尸丁Qp%1表示同一點(diǎn)在新坐標(biāo)系下的應(yīng)力分量.作斜截面ABC與x'軸垂直,其應(yīng)力矢量為pn,那么Pn=P=P戶(hù)根據(jù)應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量的表達(dá)式Py=%2+與加+夕Ps.n3、應(yīng)力分量的投影設(shè)i',j',k'為新坐標(biāo)系Ox'y'z'的三個(gè)坐標(biāo)軸方向的單位矢量,如下圖將Pn,即PX'向x'軸投影就得到仃X；向y'軸投影就得到Txv;向Z&

24、#39;軸投影就得到WZ；所以=(P/+PyJ+A*)9+wj+fc)=llP,+理電乙*二2:/=62*+加口歹+的Pm我二Pw.氏=4p*+加mP?4、應(yīng)力分量轉(zhuǎn)軸公式將應(yīng)力矢量分量表達(dá)式代入上述各式,并分別考慮y,z方向,那么可以得到轉(zhuǎn)軸公式=匕;*+想;*+q+笈避1%+2切謨/聲+z叫1%.=1+底+環(huán),+組啊%+2%+2磯.J、二/,十m?仃f+域/+桀?1+2酒第彳5聲+"冉t.二上】公口+附加1bli+珥WT費(fèi)+選Q+八粉于刈+Jty!金界Ax422LJJP用尼十梆聲Jr產(chǎn)+%+rMT?丁=4®+根冽3bp+耳"3b#+.口冽3+4洲7平+M%+必

25、產(chǎn)口匯蘆+54+嗎%K股仆=j/4+所,叫4+佐馬巴+0/1+4次%+洸4+的?»/+5品+G-注意至U,x'y'=y'x',y'z'=z'y',x'z'=z'x'o用張量形式描述,那么上述公式可以寫(xiě)作力于二b產(chǎn)赳獷應(yīng)力變換公式說(shuō)明：當(dāng)坐標(biāo)軸作轉(zhuǎn)軸變換時(shí),應(yīng)力分量遵循張量的變換規(guī)律.坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)后,應(yīng)力分量的九個(gè)分量均有改變,但是作為一個(gè)整體所描述的應(yīng)力狀態(tài)是不會(huì)發(fā)生變化的.應(yīng)力張量為二階對(duì)稱(chēng)張量,僅有六個(gè)獨(dú)立分量.新坐標(biāo)系下的六個(gè)應(yīng)力分量可通過(guò)原坐標(biāo)系的應(yīng)力分量確定.因此,應(yīng)力張量的六個(gè)應(yīng)

26、力分量就確定了一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài).5、平面問(wèn)題的轉(zhuǎn)軸公式對(duì)于平面問(wèn)題,如Ox軸與Ox'成邛角.那么新舊坐標(biāo)系有如下關(guān)系:Tcos尹-sinpy'sin火cos根據(jù)轉(zhuǎn)軸公式,可得j.-jcos23+%,sin2中一2T伊cossiii<pm20y=CT/5m(P+COS0+2工*COS35III3t*,*=(?oJc0s3s.3+t期(cos23sin口宿上述公式即材料力學(xué)中常用的應(yīng)力變換公式.應(yīng)該注意的問(wèn)題是：材料力學(xué)是根據(jù)變形效應(yīng)定義應(yīng)力分量的,而彈性力學(xué)是根據(jù)坐標(biāo)軸定義應(yīng)力分量的符號(hào)的.因此對(duì)于正應(yīng)力二者符號(hào)定義結(jié)果沒(méi)有差異,但是對(duì)于切應(yīng)力符號(hào)定義是不同的.例如對(duì)于兩個(gè)相

27、互垂直的微分面上的切應(yīng)力,根據(jù)彈性力學(xué)定義,符號(hào)是相同的,而根據(jù)材料力學(xué)定義,符號(hào)是相反的§2.7主應(yīng)力和應(yīng)力不變量學(xué)習(xí)思路：應(yīng)力狀態(tài)確實(shí)定,不僅需要描述一點(diǎn)各個(gè)截面的應(yīng)力變化規(guī)律,而且需要確定最大正應(yīng)力和切應(yīng)力,以及作用平面方位.本節(jié)討論應(yīng)力狀態(tài)的的重要概念-主平面和主應(yīng)力.主平面是指切應(yīng)力為零的平面；主平面法線方向稱(chēng)為應(yīng)力主軸；主平面的正應(yīng)力稱(chēng)為主應(yīng)力.主平面和主應(yīng)力是描述一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的重要參數(shù),關(guān)系彈性體的強(qiáng)度.根據(jù)主應(yīng)力和應(yīng)力主軸的定義,可以建立其求解方程-應(yīng)力狀態(tài)特征方程.對(duì)于應(yīng)力主軸,在主應(yīng)力求解后,再次應(yīng)用齊次方程組和方向余弦特性可以得到.主應(yīng)力特征方程的系數(shù)具有不變性

28、、實(shí)數(shù)性和正交性.因此稱(chēng)為應(yīng)力不變量.學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、主平面與主應(yīng)力；2、l,m,n的齊次線性方程組；3、應(yīng)力狀態(tài)特征方程；4、主應(yīng)力性質(zhì)；5、正交性證實(shí).1、主平面與主應(yīng)力應(yīng)力狀態(tài)確實(shí)定,不僅需要描述一點(diǎn)各個(gè)截面的應(yīng)力變化規(guī)律,而且需要確定最大正應(yīng)力和切應(yīng)力,以及作用平面方位.物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力分量是隨坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)而改變的,那么,對(duì)于這個(gè)確定點(diǎn),是否可以找到這樣一個(gè)坐標(biāo)系,在這個(gè)坐標(biāo)系下,該點(diǎn)只有正應(yīng)力分量,而切應(yīng)力分量為零.也就是說(shuō)：對(duì)于物體內(nèi)某點(diǎn),是否能找到三個(gè)相互垂直的微分面,面上只有正應(yīng)力而沒(méi)有切應(yīng)力.答案是肯定的,對(duì)于任何應(yīng)力狀態(tài),至少有三個(gè)相互垂直平面的切應(yīng)力為零.切應(yīng)力為零的微分面

29、稱(chēng)為主微分平面,簡(jiǎn)稱(chēng)主平面.主平面的法線稱(chēng)為應(yīng)力主軸或者稱(chēng)為應(yīng)力主方向.主平面上的正應(yīng)力稱(chēng)為主應(yīng)力.根據(jù)主應(yīng)力和應(yīng)力主軸的定義,可以建立其求解方程.設(shè)過(guò)點(diǎn)O與坐標(biāo)軸傾斜的微分面ABC為主微分面,如下圖其法線方向n,既應(yīng)力主軸的三個(gè)方向余弦分別為l,m,n,微分面上的應(yīng)力矢量pn,即主應(yīng)力的三個(gè)分量為px,py,pz.根據(jù)主平面的定義,應(yīng)力矢量pn的方向應(yīng)與法線方向n一致,設(shè)為主應(yīng)力,那么應(yīng)力矢量的三個(gè)分量與主應(yīng)力的關(guān)系為px=01,py=-m,pz-n2、l,m,n的齊次線性方程組同時(shí),根據(jù)應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量表達(dá)式,有Pl=+f孫m+打Py=%,+2也+J*Ps=7,+%*%凡將上述公式聯(lián)立求

30、解,可以得到(%-6+W+7酒燈=0%,+(4-W+%冏=0Q+%產(chǎn)+(%-<0月=.上述公式是一個(gè)關(guān)于主平面方向余弦l,m,n的齊次線性方程組.求解關(guān)于l,m,n的齊次線性方程組.這個(gè)方程組具有非零解的條件為系數(shù)行列式等于零.即3、應(yīng)力狀態(tài)特征方程展開(kāi)上述行列式,可得行?-+工會(huì)仃4=0以上方程稱(chēng)為應(yīng)力狀態(tài)特征方程,是確定彈性體中任意一點(diǎn)主應(yīng)力的方程.其中,Anbx+b'+b工,為應(yīng)力張量元素構(gòu)成的行列式主對(duì)角線元素之和.4二2丐+F是|%|行列式按主對(duì)角線展開(kāi)的三個(gè)代數(shù)主子式之和.%.網(wǎng)4=%工£為%3是行列式卜M的值.由于一點(diǎn)的主應(yīng)力和應(yīng)力主軸方向取決于物體所受載

31、荷和約束條件等,而與坐標(biāo)軸的選取無(wú)關(guān).因此特征方程的根是確定的,即|1,|2,|3的值是不隨坐標(biāo)軸的改變而變化的.因此Il,I2,I3分別稱(chēng)為應(yīng)力張量的第一,第二和第三不變量.應(yīng)當(dāng)指出,所謂不變量是指同一點(diǎn)的應(yīng)力張量而言的,它們與坐標(biāo)軸的選取無(wú)關(guān).對(duì)于不同點(diǎn),應(yīng)力狀態(tài)不同,這些量當(dāng)然是要變化的4、主應(yīng)力性質(zhì)可以證實(shí),特征方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根,如用仃1,仃2,仃3分別表示這三個(gè)根,那么它們代表某點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力.對(duì)于應(yīng)力主軸方向確實(shí)定,可以將計(jì)算所得的仃1,仃2,仃3分別代入齊次方程組的任意兩式,并且利用關(guān)系式i2+=1聯(lián)立求解,那么可以求得應(yīng)力主方向.應(yīng)力不變量具有以下性質(zhì)：1、不變性：由于一點(diǎn)的正

32、應(yīng)力和應(yīng)力主軸方向取決于彈性體所受的外力和約束條件,而與坐標(biāo)系的選取無(wú)關(guān).因此對(duì)于任意一個(gè)確定點(diǎn),特征方程的三個(gè)根是確定的,因此1l,I2,I3的值均與坐標(biāo)軸的選取無(wú)關(guān).坐標(biāo)系的改變導(dǎo)致應(yīng)力張量的各個(gè)分量變化,但該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)不變.應(yīng)力不變量正是對(duì)應(yīng)力狀態(tài)性質(zhì)的描述.2、實(shí)數(shù)性：特征方程的三個(gè)根,就是一點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力,根據(jù)三次方程根的性質(zhì),容易證實(shí)三個(gè)根均為實(shí)根,所以一點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力均為實(shí)數(shù).3、正交性：任一點(diǎn)的應(yīng)力主方向,即三個(gè)應(yīng)力主軸是正交的.下面證實(shí)主應(yīng)力的正交性：a、假設(shè)01內(nèi)2上3,那么特征方程無(wú)重根,因此,應(yīng)力主軸必然相互垂直；b、假設(shè).1=.2加3,那么特征方程有兩重根,仃1和.

33、2的方向必然垂直于仃3的方向.而.1和.2的方向可以是垂直的,也可以不垂直；C、假設(shè)仃1=仃2=仃3,那么特征方程有三重根,三個(gè)應(yīng)力主軸可以垂直,也可以不垂直.這就是說(shuō),任何方向都是應(yīng)力主軸.5、正交性證實(shí)證實(shí)應(yīng)力不變量的正交性.假設(shè)主應(yīng)力0'1二仃2=仃3的方向余弦分別為(11,m,m),(12,m2,n2)和(13,m3,n3),由于滿(mǎn)足齊次方程組,有#,05+T.甩i=QVi.+仃a一叮1回十7塔的-oVi+%也+%-可足=o/一%必+%+%嗎=0y+-叮,的+%=0匯/十+q_巧陶=o乙一月達(dá)十%嗎+%=.M+叫-%十%與"07/十%g+%-,/=0將上述公式的前三式

34、分別乘以12,m2和n2,中間三式分別乘以-li,-mi,-ni,然后將六式相加,可得91-crJCVi+響=0同理a2-<r3/2Z3+防口也+盟工科'=0C73-%J力+附1掰$+小%=0根據(jù)上述關(guān)系式,如果仃1*.2*仃3,有1i12+mim2+nin2=0,1213+m2m3+n2n3=0,1i13+mim3+nin3=0上式說(shuō)明如果三個(gè)主應(yīng)力均不相等,那么三個(gè)應(yīng)力主方向是相互垂直的.如果CTI=仃2*仃3,有1213+m2m3+n2n3=0,1i13+mim3+nin3=0而1i12+mim2+nin2可以等于零,也可以不等于零.這說(shuō)明.3的方向同時(shí)與仃I和.2的方向垂

35、直,而仃I和2的方向可以垂直,也可以不垂直.因此所有與仃3垂直的方向都是仃I和仃2的應(yīng)力主方向.如果仃二仃：.,那么1i12+mim2+nin2,1213+m2m3+n2n3和1i13+mim3+nin3均可以等于零,也可以不等于零.也就是說(shuō)任何方向都是應(yīng)力主方向.由此證實(shí)應(yīng)力不變量的正交性.§2.8應(yīng)力圓和最大切應(yīng)力學(xué)習(xí)思路：應(yīng)力狀態(tài)確實(shí)定,還需要討論一點(diǎn)的正應(yīng)力和切應(yīng)力之間的變化關(guān)系.本節(jié)通過(guò)討論任意截面正應(yīng)力與切應(yīng)力的關(guān)系,建立三向應(yīng)力圓概念,并且通過(guò)應(yīng)力圓確定一點(diǎn)的最大正應(yīng)力和切應(yīng)力.分析中應(yīng)用任意斜截面上的應(yīng)力矢量可以通過(guò)應(yīng)力分量的特殊形式-主應(yīng)力表達(dá),也可以分解為正應(yīng)力和

36、切應(yīng)力,建立主應(yīng)力與正應(yīng)力和切應(yīng)力的關(guān)系.考慮斜截面法線的三個(gè)方向余弦,那么可以確定一點(diǎn)的正應(yīng)力、切應(yīng)力與三個(gè)主應(yīng)力的關(guān)系.構(gòu)造一個(gè)以正應(yīng)力為橫軸,切應(yīng)力為豎軸的應(yīng)力平面,那么一點(diǎn)的正應(yīng)力和切應(yīng)力位于應(yīng)力平面的三個(gè)由主應(yīng)力確定的應(yīng)力圓之內(nèi).為了進(jìn)一步探討應(yīng)力狀態(tài),最后分析八面體單元應(yīng)力.學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、截面正應(yīng)力與切應(yīng)力；2、斜截面方向余弦；3、三向應(yīng)力圓；4、最大切應(yīng)力；5、八面體單元；6、八面體單元應(yīng)力.1、截面正應(yīng)力與切應(yīng)力一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以通過(guò)六個(gè)應(yīng)力分量確定,主應(yīng)力和應(yīng)力主軸是描述應(yīng)力狀態(tài)的重要參數(shù).但僅僅這些,對(duì)于應(yīng)力狀態(tài)分析還不夠,本節(jié)將進(jìn)一步討論任意斜截面的正應(yīng)力和切應(yīng)力的變化.

37、以三個(gè)相互垂直的應(yīng)力主軸為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系如下圖,設(shè)三個(gè)主應(yīng)力為應(yīng)力分量為仃1,仃2,仃3,即歷00、%=0000CRO點(diǎn)附近有任意斜截面ABC,它的法線方向?yàn)閚(l,m,n).斜截面上的應(yīng)力矢量pn可分解為兩部分：沿法線方向的正應(yīng)力On和沿切線方向的切應(yīng)力Tn,如下圖dfl根據(jù)應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量的關(guān)系展開(kāi)可得由于根據(jù)應(yīng)力轉(zhuǎn)軸公式還有P,=bj+T/+R=可py=M+=Ps=J+M+仃產(chǎn)=b產(chǎn)gj=°»2+rK2=P；+.+p：£Fn=47尸+&2沏3+b3M°/2+m2+f?2=12、斜截面方向余弦關(guān)于l,m,n聯(lián)立求解上述公式,可以得到產(chǎn)_5

38、-歸鼻一巧+.；%一行qbj刈2_氣一%£7只一巧十?。籪f!.2_.凱一1*一.2斗/嗎一丐%一引當(dāng)斜截面方位變更時(shí),法線的方向余弦n隨著改變,因此正應(yīng)力.n和切應(yīng)力卻也隨之變化.這里有正應(yīng)力仃n和切應(yīng)力Tn兩個(gè)變量,如果建立一個(gè)平面坐標(biāo)系,以仃n為橫軸,7n為縱軸,那么斜截面上的兩個(gè)應(yīng)力分量仃n,品恰好是這個(gè)坐標(biāo)系中的一個(gè)點(diǎn).如下圖設(shè)01封仃2>仃3,式,可以得到那么由于l2,m2h2均大于或等于零,因此根據(jù)上述公式的第一?一生牝b+q>03、三向應(yīng)力圓上式可以改寫(xiě)為上述不等式表示在應(yīng)力平面上,圓心在橫軸,橫坐標(biāo)為仃2+.3/2,半徑為仃2-仃3/2的圓C1圓周及其以

39、外的區(qū)域.同理考慮公式的第二式,可得工1122i它表達(dá)了圓C2的圓周及其內(nèi)部區(qū)域.對(duì)于公式的第三式,可得它表達(dá)了圓C3圓周及其外部區(qū)域.綜上所述,斜截面的方位改變時(shí),截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力仃n,En只能位于圓Cl,C2和C3的圓周所圍成的區(qū)域之內(nèi).這三個(gè)圓Cl,C2和C3是兩兩相切的,稱(chēng)為應(yīng)力圓.4、最大切應(yīng)力根據(jù)應(yīng)力圓,對(duì)于一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),不難得到以下結(jié)論：1.+b盤(pán)=CFgn=CrL-CFgjLf根據(jù)應(yīng)力圓,縱坐標(biāo)最大處即最大切應(yīng)力的值,它的橫坐標(biāo)為.1+仃3/2,將它們回代到公式,可得最大切應(yīng)力作用平面的方向余弦為l2=0.5,m2=0,n2=0.5m=0表示最大切應(yīng)力作用面的法線與應(yīng)力主軸2相互垂直,因此這一作用面必然通過(guò)應(yīng)力主軸2.l2=0,n2=0.5說(shuō)明最