光的電磁理論習(xí)題集

1、第一章光的電磁理論/z兀1.1 一個(gè)平面電磁波可以表示成Ex=O,Ey=2cos2宀I014c-tJ+P，Ez=O,問：（1）該電磁波的頻率、波長、振幅原點(diǎn)的初位相為多少？（2）波的傳播和電矢量的振動(dòng)取哪個(gè)方向？（3）與電場(chǎng)想聯(lián)系的磁場(chǎng)B的表達(dá)式如何寫？'z'1.2 一個(gè)線偏振光在玻璃中傳播時(shí)可以表示為Ey=0,Ez=0，Ex=102cos兀1015亦去-。試求（1）光的頻率；（2）波長；（3）玻璃的折射率。1.3證明E=Acos（kz-t）是波動(dòng)方程（1-22）的解。（xt）一1.4 一種機(jī)械波的波函數(shù)為y=Acos2兀一一不，其中A=20mm,T=12s，九=20mm試畫出

2、I九T丿t=3s時(shí)的波形曲線。從x=0畫到x=40mm。1.5 在與一平行光束垂直的方向上插入一透明薄片，起厚度=0.01，折射率=1.5，若光波的波長=500，試計(jì)算插入玻璃片前后光束光程和位相的變化。1.6地球表面每平方米接受到來自太陽光的功率約為1.33kW，試計(jì)算投射到地球表面的太陽光的電場(chǎng)強(qiáng)度。假設(shè)可以把太陽光看作是波長為九=600nm的單色光。1.7在離無線電發(fā)射機(jī)10km遠(yuǎn)處飛行的一架飛機(jī)，收到功率密度為10卩W/m2的信號(hào)。試計(jì)算（1）在飛機(jī)上來自此信號(hào)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小；（2）相應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大?。唬?）發(fā)射機(jī)的總功率。假設(shè)發(fā)射機(jī)各向同性地輻射，且不考慮地球表面反射的影響。1.8

3、沿空間k方向傳播的平面波可以表示為E=100expi（2x+3y+4z）-16x108t試求k方向的單位矢量k。1.9球面電磁波的電場(chǎng)是r和t的函數(shù)，其中r是一定點(diǎn)到波源的距離，t是時(shí)間。（1）寫出與球面波相應(yīng)的波動(dòng)方程的形式；（2）求出波動(dòng)方程的解。1.10 證明柱面波的振幅與柱面波到波源的距離的平方根成反比。1.11 一束線偏振光在450角下入射到空氣-玻璃界面，線偏振光的電矢量垂直于入射面，假設(shè)玻璃的折射率為1.5，求反射系數(shù)和透射系數(shù)。1.12 假設(shè)窗玻璃的折射率為1.5，斜照的太陽光（自然光）的入射角為600，求太陽光的透射率。1.13 利用菲涅耳公式證明（1）RS+TS=1；（2）

4、RP+TP=11.14入射到兩種不同介質(zhì)界面上的線偏振光的電矢量與入射面成角，若電矢量垂直于入射面的分波（s波）和電矢量平行于入射面的分波（p波）的反射率分別為RS和Rp,試寫出總反射率R的表達(dá)式。1.15證明光束在布儒斯特角下入射到平行平面玻璃片的上表面時(shí)，在下表面的入射角也是布儒斯特角。1.16光波在折射率分別為n1和n2的二介質(zhì)界面上反射和折射，當(dāng)入射角為°1時(shí)（折射角為°2,如圖a），s波和p波的反射系數(shù)分別為rs和幾，透射系數(shù)分別為ts和.。若光波反過2spsp來從n2介質(zhì)入射到n1介質(zhì)，且當(dāng)入射角為°2時(shí)（折射角為°，如圖b）,s波和p波的反

5、射系數(shù)分別為r/和r/,透射系數(shù)分別為t/和t/。試?yán)梅颇阶C明（1）r=-r/（2）r=-r/spspsspp（3）tsts/=TstptpFp.b>16題圖1.17電矢量振動(dòng)方向與入射面成450角的一束線偏振光入射到兩介質(zhì)界面上，若入射角°=5Oo,第一介質(zhì)和第二介質(zhì)的折射率為n1=1,n2=1.5，問反射光中電矢量與入射面所成的角度是多少？若e1=6Oo,反射光電矢量與入射面所成的角度又是多少？1.18證明當(dāng)入射角e1=45o時(shí)，光波在任何兩種介質(zhì)界面上的反射都有rp=rs2。1.19證明光波在布儒斯特角下入射到兩種介質(zhì)的界面上時(shí)，tp=1/n,其中n=n2/n1o

6、1.20光束垂直入射到玻璃-空氣界面，玻璃折射率n=1.5，計(jì)算反射系數(shù)、透射系數(shù)、反射率和透射率。1.21光束垂直入射到45o直角棱鏡的一個(gè)側(cè)面，光束經(jīng)斜面反射后從第二個(gè)側(cè)面透出（如圖）若入射光強(qiáng)度為Io，問從棱鏡透出的光束的強(qiáng)度為多少？設(shè)棱鏡的折射率為1.52，并且不考1.22 一個(gè)光學(xué)系統(tǒng)由兩片分離的透鏡組成，兩片透鏡的折射率分別為1.5和1.7，求此系統(tǒng)的反射光能損失。如透鏡表面鍍上增透膜，使表面反射率降為1%,問此系統(tǒng)的光能損失又是多少？假設(shè)光束接近于正入射通過各反射面。1.23 光束以很小的入射角到一塊平行平板上，試求相繼從平板反射的兩支光束和透射的兩支光束的相對(duì)強(qiáng)度。設(shè)平板的折射

7、率n=1.5o1.24 如圖所示，玻璃塊周圍介質(zhì)（水）的折射率為1.33。若光束射向玻璃塊入射角為450問玻璃的折射率至少應(yīng)為多少才能使透射的光束發(fā)生全反射。24題圖1.25 線偏振光在玻璃-空氣界面上發(fā)生全反射，線偏振光電矢量的振動(dòng)方向與入射面成450角。設(shè)玻璃折射率=1.5，問線偏振光應(yīng)以多大的角度入射才能使反射光的波和波的位相差等于450。1.26線偏振光在片和n2介質(zhì)的界面上發(fā)生全反射，線偏振光的電矢量的振動(dòng)方向與入射面Iin2一n2成45o。證明當(dāng)cos9=12'n2+n2（12時(shí)（9是入射角），反射光s波和p波的位相差有最大值。1.27如圖是一根直圓柱形光纖，光纖芯的折射率

8、為n1，光纖包層的折射率為n2,并且叫比。（1）證明入射光的最大孔徑角2u滿足關(guān)系式皿艸-役；若ni=162吁心,最大孔徑角等于多少？27題圖1.28如圖是一根彎曲的圓柱形光纖，光纖芯和包層的折射率分別為n1n2,光纖芯的直徑為D,曲率半徑為R。1）證明入射光的最大孔徑角2u滿足關(guān)系式sinu=An2一n21+12LD丫2R丿（2）若n1=1.62,n2=1.52,D=70卩m，R=12mm,最大孔徑角等于多少？28題圖g1.29已知硅式樣的相對(duì)介電常數(shù)=12，電導(dǎo)率b=2/cm，證明當(dāng)電磁波的頻率g0V<109Hz時(shí)，硅式樣將起良導(dǎo)體作用，并計(jì)算V=10Hz時(shí)對(duì)這種式樣的穿透深度。1.

9、30試?yán)秒姶艌?chǎng)的邊值關(guān)系證明，當(dāng)平面電磁波傾斜入射到金屬表面時(shí)，透入金屬內(nèi)部的波的等相面和等幅面不互相重合。1.31在正常色散區(qū)，式（1-136）的實(shí)部的表達(dá)式可以寫為1Nq2f-2丿n2=1+-fj今fVgmW22仏+WV戈0j0j證明在略去Y.后由上式可以得到科稀公式。j1.32試證明f（x-vt）是一個(gè)沿x正方向運(yùn)動(dòng)的具有不變波形的行波。1.33試證明屮（x,t）=f（x土vt）是一維微分波動(dòng)方程的解。1.34若甲（x,t）和甲（x,t）是微分波動(dòng)方程的兩個(gè)解，試證明甲（x,t）+甲（x,t）也1212是一個(gè)解。1.35已知波形為：屮(y,0)二(1) 試寫出沿y增加方向以2m/s速率

10、運(yùn)動(dòng)相應(yīng)的行波表達(dá)式。(2)畫出t=0和t=1秒的波形。1.36(1)試證明表達(dá)式屮(z,t)Ae-(2柯)2是一行被；(2) 驗(yàn)證它是波動(dòng)方程的解。1.37下列諸函數(shù)哪一個(gè)描繪行波?式中A、B和C均是常數(shù)。屮(x,t)A(x-1)2屮(y,t)A(y+1+B)12屮(z,t)AsinB(z2一ct2)屮(x,t)A(Bx2-1)341.38 下列每一個(gè)波的傳播方向和傳播速率是什么？屮(y,t)A(y-1)2屮(x,t)A(Bx+Ct+D)212式中A、B、C和D是常數(shù)。1.39 屮(x,t)A(A+Bt+D)2+Aexp(Cx2+BC212-2BCxt)是一維微分波動(dòng)方程的解嗎？式中A、B、

11、C和D是常數(shù)。如果屮(x,t)實(shí)際上是一波函數(shù)，問該被的速率是多少？1.40證明波函數(shù)屮(x,t)對(duì)t的變化率等于它對(duì)x的變化率乘上一常數(shù)。1.41試證明對(duì)于一列諧波，其空間上的重復(fù)性甲(x,t)=W(x土入，t)要求k=2n/入。1.42光的波長大致是在390nm(紫光)到780nm(紅光)的范圍內(nèi)。和所有真空中的電磁波樣，它在真空中速率約為3X108n/so試確定對(duì)應(yīng)的頻率范圍。1.43試證明諧波函數(shù)屮(x,t)Asin(kxet)是一維微分波動(dòng)方程的解。1.44試證明一列前進(jìn)諧波可依次用下列方程來描繪：(1) 屮Asin2k(事土-)入Tx(2) 屮一Asin2kv(一土t)v(3) 屮

12、Asin2k(kx±vt)式中k三1/九。1.45己知光波的波函數(shù)(SI單位)為屮(x,t)103sin兀(3x106x-9x10141)試確定(1)速率，(2)波長(3)頻率，(4)周期和(5)振幅。x1.46已知波函數(shù)為：屮(x,t)10cos2k(一1.5x10151)2x10-7試確定其速率、波長和頻率。使用SI單位。1.47已知振幅為10個(gè)單位的諧擾動(dòng)，它用波函數(shù)屮(x,t)來描繪，屮(0,0)=0。如果這列波角頻率為n/2且以10m/s速率運(yùn)動(dòng)，試確定此波在t=3s時(shí)、離波源20cm處的大小。1.48假想你有一張t=0時(shí)波的照片，表示其波形的數(shù)學(xué)表達(dá)式為屮(x,0)=5s

13、in皿/25。如果這列波沿負(fù)x方向以2m/s速率運(yùn)動(dòng)，試寫t=4s時(shí)擾動(dòng)的表達(dá)式。l.49通過檢驗(yàn)相位，試確定由下面式子所表示的行波的運(yùn)動(dòng)方向。ty屮(y,t)=Acos2k(+8)1T九z屮(z,t)=Acos兀1015(t-+8)2vQx1.50利用v=()這一事實(shí)，計(jì)算波Qtw屮(x,t)二103sin兀(3x106x一9x10141)的速率，采用SI單位。l.51一列諧波沿正x方向運(yùn)動(dòng)，在x=0處，甲=10；在乂=入/6處，甲=20；而在x=5入/12處，甲=0,試寫出此諧波波形的表達(dá)式。1.52已知一振幅為20v/m的正弦波E(x,t)。如果E(0,0)=-20v/m，那么此波的初相

14、位是多少？(E可想象為電磁波的電場(chǎng)分量。)1.53一列正弦波當(dāng)t=0時(shí)在x=0處具有最大值。問其初相位為多少？1.54在空間的任一給定點(diǎn)，正弦波的相位隨時(shí)間的變化率為12nX10i4rad/s,而在任一給定時(shí)亥I，相位隨距離x的變化率是4nX106rad/m。若初相位是n/3,振幅是10且波沿正x方向前進(jìn)，寫出波函數(shù)的表達(dá)式。它的速率是多少？1.55我們己求得眾丫=常量是一垂直于k且通過某點(diǎn)(x0y0z0)的平面方程。試確定常量的形式，并寫出笛卡兒坐標(biāo)的諧波波函數(shù)。1.56試寫出在笛卡兒坐標(biāo)中以方向余弦cosa，cosB,cosY表示的平面諧波波函數(shù)，其中：k=kcosak=kcosPk=kc

15、osy和cos2a+cos2p+cos2丫=1。然xyz后證明此函效是三維微分波動(dòng)方程的一個(gè)解。1.57試證明屮(r,t)=f(廠一譏)是三維波動(dòng)方程的解，它對(duì)應(yīng)于中心在原點(diǎn)并從原點(diǎn)以速r率v向外運(yùn)動(dòng)的球形擾動(dòng)。式中f(r-vt)是一任意的二次可微函數(shù)。1.58確定下列平面波的傳播方向。屮(x,y,z,t)=Asin(x+2k帀"+壬-)<141.59一平面諧波k=2n/入且k指向從原點(diǎn)過點(diǎn)(2,2,3)的直線，試在笛卡兒坐標(biāo)中寫出此平面諧波的表達(dá)式。1.60設(shè)一平面電磁波沿正x方向傳播，試證明電矢量和磁矢量的振動(dòng)方向均垂直于波的傳播方向。1.61試對(duì)于平面電磁波沿X方向傳播的

16、情形，證明電矢量和磁矢量互相垂直。1.62已知一平面簡諧波的電場(chǎng)具有這樣的形式：,t)=Acosy(x)t-一+pIc丿試寫出相聯(lián)系的磁場(chǎng)的表示式。1.63在真空中傳播的一列平面電磁波，用國際單位量度時(shí)其電場(chǎng)可以表示為E二0x(x)KE=0E=(102V/m)cosKx1014s-1t-一+y，zIc丿2問該電磁波的頻率、波長、振幅、周期和初位相是多少？1.64 一平面簡諧電磁波在真空中沿正X方向傳播，其頻率為6x1014Hz，電場(chǎng)振幅為42.42V/m。如果該電磁波的振動(dòng)面與XY平面成450,試寫出E和B表示式。1.65 證明平面簡諧電磁波的波動(dòng)公式E=Acos(®t-kx)是波動(dòng)

17、微分方程d2E1d2E八一=0的解。dx2v2dt2d2E1d2E門1.66 利用分離變量法求解波動(dòng)方程-=0,證明其解可以表示為dx2v2dt2E=Acos(t±kg+申)或E=Asin(t±kg+申)的形式。1.67已知真空中的一平面電磁波，其B場(chǎng)表示為B=0，B=66.7x10-8sin4kx106(z-3x1081)，B=0xyz寫出E場(chǎng)的表達(dá)式，此擾動(dòng)的波長、速率、和運(yùn)動(dòng)方向如何？1.68 一列平面波從A點(diǎn)傳播到B點(diǎn)，今在AB之間插入一透明薄片，薄片的厚度l=1mm,折射率n=1.5。假定光波的波長九=500nm，試計(jì)算插入薄片前后B點(diǎn)位相的變化。01.69 一列

18、通過透明媒質(zhì)的平面諧紅外波以常用的SI單位用下式給出：E(y,t)=Esin2k(y-3x10141)xox5x10-7試求在此頻率時(shí)，媒質(zhì)的折射率和此擾動(dòng)在真空中的波長。1.70地球表面每平方米接收到來自太陽光的能量為1.33KW，若把太陽光看作是波長九=600nm的單色光，試計(jì)算投射到地球表面的太陽光的電場(chǎng)強(qiáng)度。1.71一個(gè)功率P=100W的單色光源均勻地向空間各個(gè)方向發(fā)光，試?yán)每臻g的磁導(dǎo)率的數(shù)值計(jì)算離光源10m處的光波電場(chǎng)強(qiáng)度。1.72利用波矢量k在直角坐標(biāo)中的方向余弦cos*,cos0,cosY寫出平面簡諧波的波動(dòng)公式，并且證明它是三維波動(dòng)微分方程的解。1.73球面電磁波的電場(chǎng)E是r

19、和t的函數(shù)，其中r是一定點(diǎn)到波源的距離。(1)寫出與球面波相應(yīng)的波動(dòng)方程的形式；(2)求出波動(dòng)方程的解。1.74研究一個(gè)在真空中沿正y方向傳播的波長為500nm的諧平面波。若B場(chǎng)被限制在xy平面上，且輻射強(qiáng)度為1.197w/m2，試確定E場(chǎng)。1.75一光束的真空波長為600nm。在折射率為1.5的媒質(zhì)中它的波長為多少？1.76我們想要比較兩光束的飛行時(shí)間；一束在四氯化碳(n=1.46)的桶中，另一束在空氣中。如果路程長度是一樣的，當(dāng)通過此路程的時(shí)間差要求為百萬分之一秒時(shí)，問桶的長度應(yīng)為多少？1.77個(gè)各向同性的點(diǎn)波源沿所有方向均勻地輻射。如果離開點(diǎn)波源10m處測(cè)得電場(chǎng)振幅為10v/m，試確定輻

20、射功率。1.78光束在300角下入射到空氣和火石玻璃（n2=1.7）界面，試求電矢量垂直于入射面和平行于入射面分量的反射系數(shù)r和rsp1.79對(duì)于上題所設(shè)的空氣和火石玻璃界面，問光束在什么角度下入射恰可使rp=0?1.80 導(dǎo)出光束正入射或入射角很小時(shí)的反射系數(shù)和透射系數(shù)的表示式。1.81 電矢量振動(dòng)方向與入射面成450的線偏振光入射到兩種介質(zhì)的界面上，第一介質(zhì)和第二介質(zhì)的折射率分別為n1=1和n2=1.5。（1）若入射角91=500，問反射光中電矢量與入射面所成的角度為多少？（2）若9=6Oo,反射光電矢量與入射面所成的角度又為多少？1.82光波在折射率分別為叫和n2的二介質(zhì)界面上反射和折射

21、，當(dāng)入射角為°時(shí)（折射角121為°，見圖），電矢量垂直于入射面（s）和平行于入射面（p）的分波的反射系數(shù)分別為r2s和r，透射系數(shù)分別為t和t。若光波反過來從n2介質(zhì)入射到片介質(zhì)，且當(dāng)入射角為°時(shí)psp212（折射角為°），s波和p波的反射系數(shù)分別為r'和廠，透射系數(shù)為t'和t'。試?yán)梅颇?spsp公式證明（1）r二一r'；（2）r=-r'；tt'二T；tt'=Tssppsssppp82題圖1.83入射面到兩種不同介質(zhì)界面上的線偏振光波的電矢量與入射面成a角。若電矢量垂直于入射面的分波和平行于入

22、射在的分波的反射率為R和R，試寫出總反射率R的表示式。sP1.84 自然光（或非偏振光）的電矢量的取向迅速且無規(guī)則變化。如果自然光在角度°下入1射到二介質(zhì)的界面，試導(dǎo)出自然光的反射率的表示式。1.85 一光學(xué)系統(tǒng)由兩片分離的透鏡組成，兩片透鏡的折射率分別為1.5和1.7，求此系統(tǒng)的反射光能損失。如透鏡表面鍍上增透膜使表面反射率降為1%，問此系統(tǒng)的光能損失又是多少？1.86 光束以很小的角度入射到一塊平行平板，試求相繼從平板反射和透射的頭兩支光束的相對(duì)強(qiáng)度。設(shè)平板的折射率n=1.51.87 一個(gè)線偏振光束其E場(chǎng)垂直于入射面，此光束在空氣中以450角照射到空氣玻璃分界面上。假設(shè)ng=1.

23、6,試確定反射系數(shù)和透射系數(shù)。©1.88證明：對(duì)于e.的一切值-r+t=1iss1.89圖所示的全反射棱鏡可以用來使象倒轉(zhuǎn)。問為了能使光波在棱鏡的斜面上發(fā)生全反射,棱鏡的折射率最小應(yīng)為多少？89題圖1.90浦耳弗里許(Pulfrich)折射計(jì)的原理如圖所示。會(huì)聚光照明載有待測(cè)介質(zhì)的折射面AB,然后用望遠(yuǎn)鏡從棱鏡的另一側(cè)AC進(jìn)行觀測(cè)。由于n>n，所以在棱鏡中將沒有折射角大于°gG的光線,由望遠(yuǎn)鏡觀察到的視場(chǎng)是半明半暗的,中間的分界線與折射角為°的光線相應(yīng)。G(1) 試證明n與n和e的關(guān)系為：n=:n2-sin2°g(2) 棱鏡的折射率ng=1.6，對(duì)某種被測(cè)介質(zhì)測(cè)出9=300，問該介質(zhì)的折射率等于多少?