各種幾何形狀約束下的平拋運(yùn)動(dòng)

1、平拋運(yùn)動(dòng)是曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的典型物理模型，其處理的方法是化曲為直，即平拋運(yùn)動(dòng)可分解為水平方向的勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)，分運(yùn)動(dòng)和合運(yùn)動(dòng)具有獨(dú)立性、等時(shí)性和等效性的特點(diǎn).縱觀(guān)近幾年的高考試題，平拋運(yùn)動(dòng)考點(diǎn)的題型大多不是單純考查平拋運(yùn)動(dòng)而是平拋運(yùn)動(dòng)與斜面、曲面相結(jié)合的問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題題型靈活多變，綜合性較強(qiáng)，既可考查基礎(chǔ)又可考查能力，因而受到命題專(zhuān)家的青睞，在歷年高考試題中屬高頻考點(diǎn).解答平拋運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，首先要掌握平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和特了時(shí)間t,還有是兩個(gè)重要參量圖1);二是位移與水平方向之間還滿(mǎn)足關(guān)系：tan0=2tan.能否尋找一定的幾何關(guān)系，建立點(diǎn)，同時(shí)也應(yīng)明確聯(lián)系平拋運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)數(shù)量關(guān)系

2、的橋梁:一是速度與水平方向之間的夾角0,其正切值tan0=Mvx(如間的夾角”，其正切值tan“=yx(如圖2).這兩個(gè)正切值之“平拋運(yùn)動(dòng)與斜面、曲面相結(jié)合的問(wèn)題，命題者用意在于考查學(xué)生上述兩個(gè)角參量與幾何圖形中幾何角之間關(guān)系，或建立水平位移、豎直位移與曲線(xiàn)方程的函數(shù)關(guān)系，考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)；能夠從尋找這層關(guān)系上展開(kāi)思維，也就找到了解決這類(lèi)問(wèn)題的鑰匙.分幾種情況進(jìn)行討論和解析解決物理問(wèn)題的能力.倘若學(xué)生.這類(lèi)問(wèn)題有多種題型，下面一.斜面約束下的平拋運(yùn)動(dòng)例5:在傾角為a的斜面上某點(diǎn)A,以水平速度vo拋出一物體，物體落在斜面上B點(diǎn)，如圖9所示，求：(1)物體在斜面運(yùn)動(dòng)的時(shí)間？(2)小球飛行多長(zhǎng)時(shí)

3、間距離斜面最遠(yuǎn)？最遠(yuǎn)距離是多大？(空氣阻力不計(jì)，重力加速度為g)解析：方法一，構(gòu)造位移的矢量三角形，(1)如圖10所示，水平位移x,豎直位移y,得x=v0t1O-y=_gt2tan二=1x由得：t=2V0-：g(2)如圖11所示，離斜面最遠(yuǎn)時(shí)末速度與斜面平行，構(gòu)造速度矢量三角形得:,vygttan上=VoVot=v0tan;g最遠(yuǎn)距離d為:d=（xtan；-y）cos二2V0,2tancos2g方法二，如圖12所示沿斜面建立平面直角坐標(biāo)系，把初速度和重力加速度投影到坐標(biāo)軸上，分析兩坐標(biāo)軸上的分運(yùn)動(dòng)；(1)小球在y軸的分運(yùn)動(dòng)做勻減速運(yùn)動(dòng)，由離開(kāi)斜面到再次回到斜面列方程有:-v0sin<-v

4、0sin?-gcos：t陽(yáng)2votan二行：t二g(2)由離開(kāi)斜面到據(jù)斜面距離最遠(yuǎn)處列方程有:2,、20-(v0sin)=-2gcosd2,v0，2-d=一tan二：cos.：2g點(diǎn)評(píng)：本題是建立做平拋運(yùn)動(dòng)的物體由斜面拋出落回斜面的模型，并讓同學(xué)們初步學(xué)會(huì)運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的不同分解方法(沿水平和豎直方向分解、沿斜面和垂直于斜面方向分解，也可沿初速度方向和重力方向分解)解決此類(lèi)問(wèn)題。例4:一水平拋出的小球落到一傾角為9的斜面上時(shí)，其速度方向與斜面垂直，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖6所示，忽略空氣阻力，重力加速度為g；則小球在豎直方向下落的距離與在水平方向通過(guò)的距離之比為多少？解析：方法一，由于是垂直打在斜面上，由合速度

5、與分速度的關(guān)系，可構(gòu)造合速度與分速度中間的矢量三角形，得出兩分速度的關(guān)系如圖7所示，從而得解。x=v0t1O-y=_gt2由得：y:x=1:2tanitan二-v0"gt方法二，由末速度反向延長(zhǎng)線(xiàn)過(guò)水平位移的中點(diǎn)如圖8所示，可得：1-xtan1一2yy:x=1:2tanf點(diǎn)評(píng)：通過(guò)斜面傾角構(gòu)造合速度與分速度的矢量三角形，建立各速度的關(guān)系，使問(wèn)題得以解決；也可運(yùn)用“平拋運(yùn)動(dòng)末速度反向延長(zhǎng)線(xiàn)過(guò)水平位移的中點(diǎn)”此二級(jí)結(jié)論進(jìn)行分析。10.橫截面為直角三角形的兩個(gè)相同斜面緊靠在一起，固定在水平面上，如圖8所示，它們的豎直邊長(zhǎng)都是底邊長(zhǎng)的一半，現(xiàn)有三個(gè)小球從左邊斜面的頂點(diǎn)以不同的初速度向右平拋，

6、最后落在斜面上，其落點(diǎn)分別是a、b、c.下列判斷正確的是()A.圖中三小球比較，落在a點(diǎn)的小球飛行時(shí)間最短B.圖中三小球比較，落在c點(diǎn)的小球飛行過(guò)程速度變化最大C.圖中三小球比較，落在c點(diǎn)的小球飛行過(guò)程速度變化最快D.無(wú)論小球拋出時(shí)初速度多大，落到兩個(gè)斜面上的瞬時(shí)速度都不可能與斜面垂直答案D解析題圖中三個(gè)小球均做平拋運(yùn)動(dòng)，可以看出a、b和c三個(gè)小球下落的高度關(guān)系為ha>hb>hc,由t=，彳導(dǎo)ta>tb>tc,又Av=gt,則知Ava>Avb>Avc,A、B項(xiàng)錯(cuò)誤.速度變化快慢由加速度決定，因?yàn)閍a=ab=ac=g,則知三個(gè)小球飛行過(guò)程中速度變化快慢相同，C

7、項(xiàng)錯(cuò)誤.由題給條件可確定小球落在左邊斜面上的瞬時(shí)速度不可能垂直于左邊斜面，而對(duì)右邊斜面可假設(shè)小球初速度為v0時(shí)，其落到斜面上白瞬時(shí)速度v與斜面垂直，將v沿水平方向和豎直方向分解，則vx=v°,vy=gt,且需滿(mǎn)足/=蔗=tan6(。為右側(cè)斜面傾角),由幾何關(guān)系可知tan0=2,則丫。=，而豎直位移y=gt2,水平位移x=v0t=2gt2,可以看出x=y,而由題圖可知這一關(guān)系不可能存在，則假設(shè)不能成立，D項(xiàng)正確.二.臺(tái)階約束下的平拋運(yùn)動(dòng)的臨界和極值問(wèn)題例7如圖21所示，小球自樓梯頂?shù)钠脚_(tái)上以水平速度v0做平拋運(yùn)動(dòng)，所有階梯的高度為0.20m,寬度為0.40m,重力加速度g取10m/s2

8、第1級(jí)2期繳鄉(xiāng)第微個(gè)圖21(1)求小球拋出后能直接打到第1級(jí)階梯上v。的范圍；(2)求小球拋出后能直接打到第2級(jí)階梯上v0的范圍；(3)若小千以10.4m/s的速度水平拋出，則小球直接打到第幾級(jí)階梯上？答案(1)0<v0w2m/s(2)2m/s<v0w2,2m/s(3)282解析(1)運(yùn)動(dòng)情況如圖甲所示，根據(jù)題意及平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有h=gj,x=voti,可得vo=2m/s,故直接打到第1級(jí)階梯上v0的范圍是0<v0<2m/s.第蝎甲(2)運(yùn)動(dòng)情況如圖乙所示，根據(jù)題意及平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有2h=g2，2x=vot2,可得vo=272m/s,故直接打到第2級(jí)階梯上vo的范圍是2m/

9、s<vo<2小m/s(3)同理推知，直接打到第3級(jí)階才vo的范圍是2也m/s<v°w2V3m/s直接打到第n級(jí)階梯上v0的范圍是2，n1m/s<v產(chǎn)2乖m/s設(shè)能直接打到第n級(jí)階梯上，有2yjn-1<10.4W27n解得27.04<n<28.04,故能直接打到第28級(jí)階梯上.二、擋板約束(一)水平擋板約束、1. “套圈圈”是老少皆宜的游戲，如圖1,大人和小孩在同一豎直線(xiàn)上的不同高度處分別以水平速度v1、v2拋出鐵圈，都能套中地面上同一目標(biāo)。設(shè)鐵圈在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)間分別為3t2,則()圖1A.v1=v2B.v1>v2C.t1=t2D.t1&g

10、t;t2解析根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律h=2gt2知，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間由下落的高度決定，故t1>t2,所以C錯(cuò)誤，D正確；由題圖知，兩圈水平位移相同，再根據(jù)x=vt,可得：vi<v2,故A、B錯(cuò)誤。答案D（二）豎直擋板約束做平拋運(yùn)動(dòng)的物體拋在平面上。常見(jiàn)有飛機(jī)投彈模型，子彈打靶模型，打乒乓球模型，打網(wǎng)球模型等。變式6（2015新課標(biāo)全國(guó)I18）一帶有乒乓球發(fā)射機(jī)的乒乓球臺(tái)如圖22所示.水平臺(tái)面的長(zhǎng)和寬分別為L(zhǎng)/口L2,中間球網(wǎng)高度為h.發(fā)射機(jī)安裝于臺(tái)面左側(cè)邊緣的中點(diǎn)，能以不同速率向右側(cè)不同方向水平發(fā)射乒乓球，發(fā)射點(diǎn)距臺(tái)面高度為3h.不計(jì)空氣的作用，重力加速度大小為g.若乒乓球的發(fā)射速率v在某范圍

11、內(nèi)，通過(guò)選擇合適的方向，就能使乒乓球落到球網(wǎng)右側(cè)臺(tái)面上，則v的最大取值范圍是（）答案D圖22解析發(fā)射機(jī)無(wú)論向哪個(gè)方向水平發(fā)射，乒乓球都做平拋運(yùn)動(dòng).當(dāng)速度v最小時(shí)，球沿中線(xiàn)恰好過(guò)網(wǎng)，有:L1、2-vitig、，一、LL1聯(lián)立兩式，得v；14當(dāng)速度v最大時(shí)，球斜向右側(cè)臺(tái)面兩個(gè)角發(fā)射，有聯(lián)立兩式，得V2=4Li+L2g6h八L1所以使乒乓球落到球網(wǎng)右側(cè)臺(tái)面上，v的最大取值范圍為422(4旦薩g選項(xiàng)d正6hh<V<確.例1:一架飛機(jī)水平地勻速飛行.從飛機(jī)上每隔1s釋放一個(gè)鐵球，先后共釋放4個(gè).若不計(jì)空氣阻力，從飛機(jī)上觀(guān)察4個(gè)球()A.在空中任何時(shí)刻總是排成拋物線(xiàn)，它們的落地點(diǎn)是等間距的B.

12、在空中任何時(shí)刻總是排成拋物線(xiàn)，它們的落地點(diǎn)是不等間距的C.在空中任何時(shí)刻總是在飛機(jī)正下方排成豎直的直線(xiàn)，它們的落地點(diǎn)是等間距的D.在空中任何時(shí)刻總是在飛機(jī)正下方排成豎直的直線(xiàn)，它們的落地點(diǎn)是不等間距的點(diǎn)評(píng)：建立飛機(jī)投彈模型，可以培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維，也鞏固了學(xué)生對(duì)平拋運(yùn)動(dòng)的深刻理解；答案：C例2:如圖1所示，排球場(chǎng)的長(zhǎng)為18m,網(wǎng)高2m,運(yùn)動(dòng)員站在離網(wǎng)3m遠(yuǎn)的線(xiàn)上，正對(duì)網(wǎng)前豎直跳起，把球垂直于網(wǎng)水平擊出，忽略空氣阻力，重力加速度為g0(1)射擊球點(diǎn)的高度為2.5m,問(wèn)球被水平擊出時(shí)的速度在什么范圍內(nèi)才能使球既不觸網(wǎng)也不出界？(2)若擊球點(diǎn)的高度小于某個(gè)值,那么無(wú)論球被水平擊出時(shí)的速度為多大，球不

13、是觸網(wǎng)就是出界，試求出此高3ml解析：(1)要球不出界，水平位移不能超過(guò)12m,要/不觸網(wǎng)，水平位移應(yīng)大于3m,運(yùn)動(dòng)草圖如圖2所示：/，小，fx1=Vot11r.二&H18m圖1,12Ghgt12X2=Vot212fh2=gt22其中x=12m,%=2.5m,x2=3m,h2=0.5m;由并代入數(shù)據(jù)得:v0=17m/s,v0=9.5m/s因此要球既不觸網(wǎng)又不出界，有：9.5m/s<v0<17m/s(2)運(yùn)動(dòng)軌跡剛好過(guò)網(wǎng)的最高點(diǎn)和邊界點(diǎn)時(shí)球的高度為臨界高度，如圖3所示:V0圖3Xi=V0tih=-112®2X2v0t2CZ)12Gh-2=-gt2其中x1=12m,x

14、2=3m;由并代入數(shù)據(jù)得:h=2.13m.點(diǎn)評(píng)：通過(guò)分析這個(gè)問(wèn)題，讓同學(xué)們熟悉有關(guān)臨界問(wèn)題的狀態(tài)模型在物理中的運(yùn)用。例3:拋體運(yùn)動(dòng)在各類(lèi)體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中很常見(jiàn)，如乒乓球運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)討論乒乓球發(fā)球問(wèn)題。設(shè)球臺(tái)長(zhǎng)2L、網(wǎng)高h(yuǎn),乒乓球反彈前后水平分速度不變，豎直分速度大小不變、方向相反，且不考慮乒乓球的旋轉(zhuǎn)和空氣阻力(設(shè)重力加速度為g)0(1)若球在球臺(tái)邊緣O點(diǎn)正上方高度為h1處以速度V1水平發(fā)出，落在球臺(tái)的R點(diǎn)(如圖4實(shí)線(xiàn)所示)，求P1點(diǎn)距O點(diǎn)的距離x;(2)若球在0點(diǎn)正上方以速度V2水平發(fā)出后，恰好在最高點(diǎn)時(shí)越過(guò)球網(wǎng)落在球臺(tái)的P2點(diǎn)(如圖4虛線(xiàn)所示)，求V2的大??；(3)若球在O點(diǎn)正上方水平發(fā)出后，球

15、經(jīng)反彈恰好越過(guò)球網(wǎng)且剛好落在對(duì)方球臺(tái)邊緣P3處，求發(fā)球點(diǎn)距0點(diǎn)的高度h3o解析：(1)由分運(yùn)動(dòng)之間的獨(dú)立性與等時(shí)性可得：(2)由所給條件知整個(gè)軌跡可分為三段對(duì)稱(chēng)軌跡，因此整個(gè)運(yùn)動(dòng)可等效為三段相同的平拋運(yùn)動(dòng)過(guò)程，由此可得：12ch2gt22V222h其中h2=h,X2=L/2;由并代入已知量得:(3)如圖5所示，借助第(2)問(wèn)的思維方法可得：x3=V3t312八h3=-t32x4=v3t"12Gh3-h=3gt4，一，2其中x3=2L/3,X4=L-L=L/3;由并代入已知量得：3h4hh3h3點(diǎn)評(píng)：本題主要通過(guò)軌跡的對(duì)稱(chēng)性及等效平拋運(yùn)動(dòng)的思維模型進(jìn)行解決問(wèn)題，使復(fù)雜問(wèn)題變得簡(jiǎn)單化。做

16、平拋運(yùn)動(dòng)的物體拋在豎直面上。例9:在同一平臺(tái)上的0點(diǎn)拋出的三個(gè)物體，做平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖16所示，忽略空氣阻力，比較三次所用時(shí)間的大小及初速度的大??？解析：時(shí)間分析參考例8得，tA>tB>teOe一f任三：-=一c由于水平包移相同，由V0=一分析可得，VA<VB<VC。、口tBIA圖16（三）三雙豎直擋板約束8、如圖示，從一根內(nèi)壁光滑的空心豎直鋼管A的上端邊緣，沿直徑方向向管內(nèi)水平拋入一鋼球.球與管壁多次相碰后落地（球與管壁相碰時(shí)間不計(jì)），若換一根等高但較粗的內(nèi)壁光滑的鋼管B,用同樣的方法拋入此鋼球，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間（）A.在A管中的球運(yùn)動(dòng)時(shí)間長(zhǎng)映，B.在B管中的球運(yùn)動(dòng)時(shí)間長(zhǎng)

17、C.在兩管中的球運(yùn)動(dòng)時(shí)間一樣長(zhǎng)4D.無(wú)法確定擴(kuò)展：初速度為，高度為，水平距離為，落地時(shí)碰撞了多少次?三.拋物線(xiàn)擋板約束例7:一質(zhì)量為m的物體以速度V0沿水平方向拋出打在拋物面上。如圖14所示，建立O點(diǎn)為原點(diǎn)坐標(biāo)系Oxy。已知拋出點(diǎn)到0點(diǎn)距離為h,坡面的拋物線(xiàn)方程為y=x2/h,忽略空氣阻力，重力加速度為g。求落到拋物面所用時(shí)間及速度？解析：x=v0ty，=1gt222h-y=jhv=v'v2+(gt)22gh2v2v"2g”,gh2V0由聯(lián)立得:點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)結(jié)合拋物線(xiàn)（也可是橢圓曲線(xiàn)）的關(guān)系從而使問(wèn)題得以解決。四.圓周約束例題三、如圖，水平地面上有一個(gè)坑，其豎直截

18、面為半圓，ab為沿水平方向的直徑。若在a點(diǎn)以初速度vo沿ab方向拋出一小球，小球會(huì)擊中坑壁上的c點(diǎn)。已知c點(diǎn)與水平直徑的距離為圓半徑的一般，求圓的直徑。分析：既然平拋運(yùn)動(dòng)是在圓周的約束下發(fā)生的，那么我們就要充分的利用圓周的幾何特點(diǎn)，去尋找?guī)缀侮P(guān)系，這是解決圓周約束下的平拋的關(guān)鍵。圖13例6:如圖13所示小球平拋在圓面內(nèi)，已知小球下落高度為h,圓的半徑為R,求小球的初速度？（忽略空氣阻力，重力加速度為g）解析：x=R+dR2-h2d1 2-h=-gt2Vo=：由得：Vo=(RR2h2).g2h點(diǎn)評(píng)：抓住時(shí)間由下落高度決定這一規(guī)律，由半徑入手通過(guò)幾何關(guān)系，結(jié)合分運(yùn)動(dòng)的等時(shí)性原理即可求出初速度。2、如圖所示，在豎直放置的半圓形容器的中心O點(diǎn)分別以水平初%出速度vi、V2拋出兩個(gè)小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），最終它們分別落在圓弧/上的A點(diǎn)和B點(diǎn)，已知OA與OB互相垂直，且OA與豎直方向入Vi,成a角，則兩小球初速度之比一為V2A.tanaB.cosaC.tana/tanaD.cosccosa答案C1.2v=v2t2,Fsina=2gt2,，一，一Vi解四式可得：一解析兩小球被拋出后都做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)容器半徑為R兩小球運(yùn)動(dòng)時(shí)間分別為ti、t2,對(duì)A1.2球：Rsina=Viti,Rcosa=2gti；對(duì)B球：FCos=tanayan一膜,C項(xiàng)正確.五.做平拋運(yùn)動(dòng)的物體拋在一般