應(yīng)用概率統(tǒng)計-工程碩士2

1、索新麗索新麗概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計中國礦業(yè)大學中國礦業(yè)大學 理學院理學院第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布2.1 2.1 隨機變量隨機變量2.2 2.2 離散型隨機變量及其分布離散型隨機變量及其分布2.3 2.3 隨機變量的分布函數(shù)隨機變量的分布函數(shù)2.4 2.4 連續(xù)型隨機變量及其分布連續(xù)型隨機變量及其分布2.5 2.5 隨機變量的函數(shù)的分布隨機變量的函數(shù)的分布 為了更方便地從數(shù)量方面研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計為了更方便地從數(shù)量方面研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律，引入隨機變量的概念，即將隨機試驗的結(jié)規(guī)律，引入隨機變量的概念，即將隨機試驗的結(jié)果與實數(shù)對應(yīng)起來，將隨機試驗結(jié)果數(shù)量化果與實數(shù)

2、對應(yīng)起來，將隨機試驗結(jié)果數(shù)量化。2.1 隨機變量隨機變量1.隨機變量概念的產(chǎn)生隨機變量概念的產(chǎn)生2.引入隨機變量的意義引入隨機變量的意義3.隨機變量的分類隨機變量的分類1.隨機變量概念的產(chǎn)生隨機變量概念的產(chǎn)生 在實際問題中，隨機試驗的結(jié)果可以用數(shù)量來在實際問題中，隨機試驗的結(jié)果可以用數(shù)量來表示，由此就產(chǎn)生了隨機變量的概念表示，由此就產(chǎn)生了隨機變量的概念. .（1）有些試驗結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（就是一個數(shù)）有些試驗結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（就是一個數(shù)）.例如例如： 擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點數(shù)；擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點數(shù)；五月份徐州的最高溫度；五月份徐州的最高溫度； 每天進入徐州站的旅客數(shù)；每天進入徐州站的旅

3、客數(shù)； 昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)；昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)；（2）在有些試驗中，試驗結(jié)果看來與）在有些試驗中，試驗結(jié)果看來與數(shù)值無關(guān)，但我們可以引進一個變量數(shù)值無關(guān)，但我們可以引進一個變量來表示它的各種結(jié)果來表示它的各種結(jié)果.也就是說，也就是說，把試把試驗結(jié)果數(shù)值化驗結(jié)果數(shù)值化. 例如：例如：裁判員在運動場上不叫運動裁判員在運動場上不叫運動員的員的名字名字而叫而叫號碼，號碼，名字與號碼之間建立了一種對應(yīng)關(guān)系名字與號碼之間建立了一種對應(yīng)關(guān)系. .這種對應(yīng)關(guān)系在數(shù)學上理解為定義了一種這種對應(yīng)關(guān)系在數(shù)學上理解為定義了一種實值單值函數(shù)實值單值函數(shù). .e. .X(e)sR定義定義1.設(shè)隨機試驗的樣本空間設(shè)隨機試驗的樣本空間在

4、樣本在樣本 = e , X = X e 上的實值單值函數(shù)，上的實值單值函數(shù)， 稱稱 X = X e是定義是定義為為隨機變量。隨機變量。隨機變量的定義隨機變量的定義(簡記為簡記為 r.v.) 而表示隨機變量所取的值時而表示隨機變量所取的值時,一般采用小寫字母一般采用小寫字母 x, y, z, u, v, w 等等.隨機變量通常用大寫字母隨機變量通常用大寫字母X,Y,Z, U,V ,W等表示等表示有了隨機變量有了隨機變量, , 隨機試驗中的各種事件，就可以通隨機試驗中的各種事件，就可以通過隨機變量的關(guān)系式表達出來過隨機變量的關(guān)系式表達出來. .2.引入隨機變量的意義引入隨機變量的意義例如：例如：單

5、位時間內(nèi)某電話交換臺收到的呼叫次數(shù)用單位時間內(nèi)某電話交換臺收到的呼叫次數(shù)用X表示，它是一個隨機變量表示，它是一個隨機變量. . 事件事件收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫 沒有收到呼叫沒有收到呼叫 X 1X= 0 隨機變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件隨機變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件. . 引入隨機變量后，對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究，引入隨機變量后，對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究，就由對就由對事件及事件概率的研究事件及事件概率的研究擴大為對擴大為對隨機變量及隨機變量及其取值規(guī)律其取值規(guī)律的研究的研究. .事件及概事件及概率率隨機變量及其隨機變量及其取值規(guī)律取值規(guī)律隨機變量隨機變量非離

6、散型隨機變量非離散型隨機變量離散型隨機變量離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量混合型隨機變量混合型隨機變量3. 隨機變量的分類隨機變量的分類我們將研究兩類隨機變量：我們將研究兩類隨機變量：（1 1）離散型隨機變量）離散型隨機變量（2 2）連續(xù)型隨機變量）連續(xù)型隨機變量例例1.1.對一均勻硬幣拋一次，對一均勻硬幣拋一次，觀察正反面情況。觀察正反面情況。, ,H T 1,( )0,.eHXX eeT定義隨機變量定義隨機變量11,2P X=樣本空間樣本空間10,2P X 例例2.2.測量某工廠一天生產(chǎn)燈泡的壽命。測量某工廠一天生產(chǎn)燈泡的壽命。=樣本空間樣本空間 |0,t t 定義隨機變量定義隨

7、機變量( )XX et10015020%PX1000150078%PX例例3.3.某戰(zhàn)士射擊命中率為某戰(zhàn)士射擊命中率為 p, ,設(shè)首次擊中目標所需射擊設(shè)首次擊中目標所需射擊 次數(shù)為次數(shù)為 X, ,則則X為隨機變量為隨機變量 1,2,3,X 2.2 離散型隨機變量及其分布離散型隨機變量及其分布1.離散型隨機變量的定義離散型隨機變量的定義2.常用的離散型隨機變量常用的離散型隨機變量 從中任取從中任取3 個球，取到的個球，取到的白球數(shù)白球數(shù)X是一個隨機變量是一個隨機變量 .(1) X 可能取的值是可能取的值是0,1,2 ; (2) 取每個值的概率為取每個值的概率為:看一個例子看一個例子1.離散型隨機

8、變量分布律的定義離散型隨機變量分布律的定義 33351010CP X =C 2132356110,C CP XC 1232353210C CP XC定義定義1 若隨機變量若隨機變量X的所有可能取值是的所有可能取值是有限有限多個多個或或可列無限多個可列無限多個, 這種隨機變量稱為這種隨機變量稱為離離散型隨機變量散型隨機變量 . (k=1,2, ) 具有性質(zhì)：具有性質(zhì)：kp, 0kp k = 1,2, （1）kkp1（2）定義定義2 設(shè)設(shè) xk (k=1,2, ) 是離散型隨機變量是離散型隨機變量 X 所取的所取的一切可能值，稱一切可能值，稱為為離散型隨機變量離散型隨機變量 X 的分布律的分布律.

9、 1 2, ,kkP Xxpk解解 依據(jù)分布律的性質(zhì)依據(jù)分布律的性質(zhì)kkXP1)(P(X =k)0, 1!0aekakk a0 ,從中解得從中解得即即 ea例例1設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X的分布律為的分布律為,!)(kakXPkk = 0,1,2, ,試確定常數(shù)試確定常數(shù)a .00kkke! 離散型隨機變量表示方法離散型隨機變量表示方法（1）公式法）公式法（2）列表法）列表法1 2, ,kkP XxpkXkp12kxxx12kppp例例2 某籃球運動員投中籃圈概率是某籃球運動員投中籃圈概率是0.9，求他兩次獨，求他兩次獨立投籃投中次數(shù)立投籃投中次數(shù)X的概率分布的概率分布.解解 X可取值為可取值為0

10、,1,2 ; PX =0=(0.1)(0.1)=0.01 PX =1= 2(0.9)(0.1) =0.18 PX =2=(0.9)(0.9)=0.81常常表示為常常表示為 Xkp0120 010 180 81.這就是這就是X的分布律的分布律.例例3 設(shè)一均勻的硬幣拋三次為一次試驗設(shè)一均勻的硬幣拋三次為一次試驗，X為為正面正面出現(xiàn)的次數(shù)，求隨機變量出現(xiàn)的次數(shù)，求隨機變量X的分布律。的分布律。解解S=HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT3/8Xkp1/81/83103/82則則（1） (01)分布分布定義定義1 如果隨機變量如果隨機變量X的分布律為的分布律為

11、110,1, 0 1-kkP X = k = p- p,k =p.則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為p的的(01)分布。分布。即即011PX =X =或或011P X =+ P X =2.常用的離散型隨機變量及其分布常用的離散型隨機變量及其分布pXkp1p10（01）分布的分布律也可寫）分布的分布律也可寫成成 1.伯努利概型伯努利概型重復(fù)獨立試驗重復(fù)獨立試驗在相同的條件下對試驗在相同的條件下對試驗E重復(fù)做重復(fù)做n次，若次，若n次試驗中各次試驗中各結(jié)果是相互獨立的，則稱這結(jié)果是相互獨立的，則稱這n次試驗是相互獨立的次試驗是相互獨立的。（2）二項分布）二項分布“重復(fù)重復(fù)”是指這是指這n次試驗中次試驗中

12、P(A)= p保持不變保持不變. .“獨立獨立”是指各次試驗的結(jié)果互不影響是指各次試驗的結(jié)果互不影響 . .伯努利概型伯努利概型設(shè)隨機試驗設(shè)隨機試驗E只有只有AA和兩種可能結(jié)果，且兩種可能結(jié)果，且 P A = p(0 1)p將試驗將試驗E獨立地重復(fù)進行獨立地重復(fù)進行n次，則稱這次，則稱這n次試驗次試驗為為n重伯努利試驗，重伯努利試驗，或或 n重伯努利概型。重伯努利概型。 2. 二項分布二項分布引例：引例：某人打靶單發(fā)命中率為某人打靶單發(fā)命中率為0.7,p 現(xiàn)獨立重復(fù)射現(xiàn)獨立重復(fù)射擊擊3次，求恰好命中次，求恰好命中2發(fā)的概率。發(fā)的概率。解解iA表示表示“第第 i次命中次命中”,1,2,3,i B

13、表示表示“恰好命中兩次恰好命中兩次”()0.7,()0.3,1,2,3iiP AP Ai123123123BA A AA A AA A A223 23( )(1)0.441P BC pp由此可得：由此可得：n重伯努利試驗中重伯努利試驗中,“事件事件A恰好發(fā)生恰好發(fā)生k次次”,即即Xk的概率為：的概率為：(1),0,1,2,kkn knP XkC ppkn定義定義2 2 如果隨機變量如果隨機變量X的分布律為的分布律為,0,1,2,kkn knP XkC p qkn則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為, n p的的二項分二項分其中其中01,1,pqp 布布，記為，記為 ( , ).Xb n p0kkn

14、knP XkC p q ；容易驗證：容易驗證：00()1.nnkkn knnkkP XkC p qpq由二項式定理由二項式定理特別特別,當當1n 時時,二項分布為二項分布為1,0,1.kkP Xkp qk這就是（這就是（01）分布，常記為）分布，常記為 (1, ).Xbp例例4 已知已知100100個產(chǎn)品中有個產(chǎn)品中有5 5個次品，現(xiàn)從中個次品，現(xiàn)從中有放回有放回地地取取3 3次，每次任取次，每次任取1 1個，求在所取的個，求在所取的3 3個中恰有個中恰有2 2個次品個次品的概率的概率. .表示所取的表示所取的3 3個中的次品數(shù)，個中的次品數(shù)，于是所求概率為，于是所求概率為則則 (3,0.05

15、)Xb解解 設(shè)設(shè)X0.0071252322395. 005. 02CXP例例5 某人射擊命中率為某人射擊命中率為0.02，獨立射擊，獨立射擊400次，試次，試求至少擊中求至少擊中2次的概率？次的概率？解解 設(shè)設(shè)X表示擊中的次數(shù)，則表示擊中的次數(shù)，則 (400,0.02)Xb所以分布律所以分布律4004000.02 0.98kkkP XkC則所求概率則所求概率0.99721012XPXPXP3994008.902.004008.901 不可忽視不可忽視小概率事件小概率事件; 反過來看，如果一個人射擊反過來看，如果一個人射擊400次，擊中竟不到次，擊中竟不到兩次，由于兩次，由于很小，故懷疑很小，故

16、懷疑“命中率命中率0.02”是否為真，即他的命中率不到是否為真，即他的命中率不到0.02。本例題的實際意義：本例題的實際意義：003. 02 XP定義定義1 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量所有可能取的值為所有可能取的值為0,1,2,0,1,2, ,而而 且概率分布為：且概率分布為：X（3） 泊松分布泊松分布X其中其中0l，則稱，則稱服從參數(shù)為服從參數(shù)為l的的泊松分布，泊松分布，記記, 2 , 1 , 0,!kekkXPk X例例1 一交通路口一段時間內(nèi)汽車發(fā)生交通事故的次數(shù)一交通路口一段時間內(nèi)汽車發(fā)生交通事故的次數(shù)X服從參數(shù)為服從參數(shù)為的泊松分布，求至少發(fā)生兩次的泊松分布，求至少發(fā)生兩次事故的概率。事故

17、的概率。解解 0.20.2!keP Xkk隨機變量隨機變量則則?0.2(0.2)X1012XPXPXP解解 由條件得：由條件得：所以分布律為所以分布律為X例例2 隨機變量隨機變量,已知已知求求的值，并寫出的值，并寫出的分布律。的分布律。12P XP X(0)21!2!ee22,0,1,2,!keP Xkkk2 X1.分布函數(shù)的概念分布函數(shù)的概念2.分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)的性質(zhì)2.3 隨機變量的分布函數(shù)隨機變量的分布函數(shù) xxXPxF,為為X 的的分布函數(shù)。分布函數(shù)。設(shè)設(shè) X 是一個隨機變量，是一個隨機變量，定義定義1x是任意實數(shù)，稱函數(shù)是任意實數(shù)，稱函數(shù)的值就表示的值就表示X 落在區(qū)間落在區(qū)間

18、上的概率上的概率. . xF,(x分布函數(shù)分布函數(shù)（1）分布函數(shù)的概念）分布函數(shù)的概念對任意實數(shù)對任意實數(shù),(21xx上的概率上的概率. .則則12P xXx2xXP1xXP 12xFxF，用，用F(x)刻畫隨機點落在刻畫隨機點落在區(qū)間區(qū)間21xx 21xXxP1xXP21xXxP)()(12xFxF1xXP例例1 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X 的分布律為的分布律為求求X 的分布函數(shù)和概率的分布函數(shù)和概率P0X3/2. .0.1Xkp0.6310.32例例2 見教材見教材P25-26,例例2.2.2和例和例2.2.312xx若（2）分布函數(shù)的性質(zhì)）分布函數(shù)的性質(zhì) 單調(diào)不減性單調(diào)不減性：()lim(

19、)0,xFF x (0)lim( )( ).txF xF tF x 右連續(xù)性右連續(xù)性：對任意實數(shù)：對任意實數(shù) 歸一歸一 性性：, 0( )1XF x對任意實數(shù)對任意實數(shù)，且，且，則，則12( )()F xF xX()lim( )1;xFF x 例例3 已知離散型隨機變量已知離散型隨機變量 X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 xF3x43 x54 x5x01 102 51求求 X 的分布律。的分布律。解解 X 的可能取值為的可能取值為 3，4，5。3P X 133010FF4P X 5P X 所以所以 X 的分布律為的分布律為0.1Xkp0.6530.34 440FF23155 550FF213510

20、102.4 連續(xù)型隨機變量及其分布連續(xù)型隨機變量及其分布 1.1.連續(xù)型隨機變量的定義連續(xù)型隨機變量的定義2.2.常用的連續(xù)型隨機變量常用的連續(xù)型隨機變量( )f x1.連續(xù)型隨機變量的定義連續(xù)型隨機變量的定義定義定義1. 設(shè)設(shè) F(X) 是是隨機變量隨機變量 X的分布函數(shù)的分布函數(shù)，若存在非負若存在非負xduufxXPxF)()()(，使對任意實數(shù)，使對任意實數(shù) ,xxf則稱則稱 X為為連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量，稱，稱為為 X 的的概率密度函概率密度函數(shù)數(shù)，簡稱簡稱概率密度概率密度或或密度函數(shù)。密度函數(shù)。常記為常記為 ,xxfXx 有函數(shù)函數(shù)(1) 概率密度概率密度(2) 概率密度的性質(zhì)

21、概率密度的性質(zhì) 非負性非負性 歸一性歸一性( )1f x dx可由下圖表示可由下圖表示f (x)1x0面積面積為為1這兩條性質(zhì)是判定一個函這兩條性質(zhì)是判定一個函)(xf是否為某隨機變量是否為某隨機變量X的概率密度函數(shù)的的概率密度函數(shù)的充要條件充要條件。數(shù)數(shù)0P Xaa 對于任意實數(shù)對于任意實數(shù)，有，有 0 xfab 對于任意的數(shù)對于任意的數(shù)有有f (x)1x0ab 概率密度概率密度( )f x在點在點x處連續(xù)，則有處連續(xù)，則有 aFbFbXaP xfxF例例1設(shè)設(shè)X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 21,00,0 xexF xx求求 23,.P XP Xf x解解2XP3XP 2F41 e 31F3

22、1XP6e xFxf22000 xexx2.幾種常用的連續(xù)型隨機變量幾種常用的連續(xù)型隨機變量(1) 均勻分布均勻分布定義定義 若隨機變量若隨機變量X 的概率密度為：的概率密度為：則稱則稱 X 服從區(qū)間服從區(qū)間a, b上的上的均勻分布，均勻分布，記作記作1bax)(xfab1,( )0,axbf xba其它 , XU a b由上可知均勻分布的分布函數(shù)為由上可知均勻分布的分布函數(shù)為 xbbxaabaxaxxF10abxF (x) 01圖形如下圖形如下210tX t例例1 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X 服從服從1，6上的均勻分布，求一元上的均勻分布，求一元二次方程二次方程有實根的概率。有實根的概率。(2)

23、(2)指數(shù)分布指數(shù)分布若隨機變量若隨機變量X 的概率密度為：的概率密度為： 000,xexfxx指數(shù)分布指數(shù)分布。為常數(shù)，則稱隨機變量為常數(shù)，則稱隨機變量X服從服從參數(shù)為參數(shù)為的的其中其中)0(l( )f xx0概率密概率密度的圖度的圖形形指數(shù)分布的指數(shù)分布的分布函數(shù)分布函數(shù)為為 0,01,0 xxF xex例例2 假設(shè)燈管的壽命假設(shè)燈管的壽命X （單位：小時）服從參數(shù)為（單位：小時）服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，的指數(shù)分布，（1）求這個燈管能使用）求這個燈管能使用1000小時以上的概率；小時以上的概率；（2）若已知該燈管已使用）若已知該燈管已使用1000小時，求它能再使用小時，求它能再使用1000

24、小時的概率。小時的概率。1/10003.2 正態(tài)分布正態(tài)分布定義定義1 設(shè)連續(xù)型隨機變量的概率密度為設(shè)連續(xù)型隨機變量的概率密度為其中其中為常數(shù)，則稱為常數(shù)，則稱 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為的的正態(tài)分布正態(tài)分布或或高斯高斯(Gauss)分布，分布，記為記為2X N , 22221xexf0,定義定義2若若X 的概率密度為的概率密度為則稱則稱 X 服從服從標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布，記為，記為0,1X NX的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 2221xex xtdtex2221例例1 1 12PX； 1221PX 0.97720.84130.1359解解(2)1.24P X 1.24P X 24. 124. 11 1075. 08925. 01設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量(0,1)XN，試求，試求.),(2NX一般地，若一般地，若，我們只要通過一個線性變，我們只要通過一個線性變換就能將它化成標準正態(tài)分布。換就能將它化成標準正態(tài)分布。定理定理1 若隨機變量若隨機變量),(2NX，則，則0,1XYN)(XP XxFx XxxP結(jié)論結(jié)論 若若),(2NX，則它的分布函數(shù)可以寫成，則它的分布函數(shù)可以寫成),(2NX 若若abPYP aXbba 1 , 0 NXY)321()325( 311 1311解解例例232532321XP. 32),3, 2(2NX設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量(2,9)XN，試求：，試求