2020年全國(guó)3卷理科數(shù)學(xué)

1、2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(新課標(biāo)m)理科數(shù)學(xué)、選擇題：本題共12小題,每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有項(xiàng)是符合題目要求的。已知集合a(x,y)|x,y一一*-n,yx,(x,y)|xy8,則A。B中元素的個(gè)數(shù)為A.2B.3C.D.2.3.A-130B.110C.110D.310在一組樣本數(shù)據(jù)中，1,2,3,4出現(xiàn)的頻率分別為4Pi11復(fù)數(shù)的虛部是(13i種情形中，對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是(4.A.PiP40.1,P2P30.4C.PiP40.2,P2P30.3B.D.P1P4PiP4Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域.0.4,P2

2、03P2P3P30.10.2有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了K某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：I(t)=023(t53),1e其中K為最大確診病例數(shù).當(dāng)I(t*)0.95K時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則t*約為()(ln193)5.B.63設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=2與拋物線C:C.66D.2px(p0)交于D,E兩點(diǎn),69若ODLOE,則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(6.1A.(一,0)4B.已知向量a,b滿足|a|5,31A.35B.1(”|b|6,1935C.(1,0)6,貝Ucos(a,a17C.一35D.D.(2,0)19357.,2在ABC中，cosC=,AC=4

3、,BC=3,3貝UcosB=()B.C.D.8 .下圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是(A. 6+4.2B. 4+4.2C.6+2,3D.4+239 .已知2tantan(A. -2B. -1C.1D.210.若直線l與曲線y或和x2y21都相切，則l的方程為(5A.y2x12X11.設(shè)雙曲線C：Fa11D.y-x2F1,F2,離心率為庭.11B.y2xC.yx22241(a0,b0)的左、右焦點(diǎn)分別為bC上一點(diǎn)，且FiP±F2P.若PF1F2的面積為4,則a=()A.1B.2C.4D.812 .已知55<84,134<85.設(shè)alogs3,blog85,clog

4、138,貝U()A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。xy0,13 .若x,y滿足約束條件2xy0,則z3x2y的最大值為.x1,14 .(x22)6的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是(用數(shù)字作答).x15 .已知圓錐的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為116 .關(guān)于函數(shù)f(x)sinx,有如下四個(gè)命題：sinxf(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).f(x)的圖像關(guān)于直線x_對(duì)稱(chēng).2f(x)的最小值為2.其中所有真命題的序號(hào)是.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)

5、出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第1721題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共60分。17 .(12分)設(shè)數(shù)列an滿足a1=3,an133n4n.(1)計(jì)算32,a3,猜想an的通項(xiàng)公式并加以證明；(2)求數(shù)列2nan的前n項(xiàng)和Sn.某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：鍛煉人次煉人次空氣質(zhì)量等/0,200(200,400(400,6001（優(yōu)）216252（良）510123（輕度污染）6784（中度污染）720（1）分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1,2,3,4

6、的概率；（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（3）若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2,則稱(chēng)這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4,則稱(chēng)這天“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2X2列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？人次400人次400仝r質(zhì)里好仝氣質(zhì)重不好2"八cnadbc附：K2=,abcd)acbdP(K2次)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819.(12分)如圖，在長(zhǎng)方體ABCDABCQ中，點(diǎn)E,F分別在棱DD3BB1上，且

7、2DEER,BF2FB1.(1)證明：點(diǎn)C1在平面AEF內(nèi);(2)若AB2,AD1,AAi3,求二面角AEFA的正弦值.20.(12分)2已知橢圓C:25(1)求C的方程;2y_2m1(0m5)的離心率為,A,B分別為C的左、右頂點(diǎn).4(2)若點(diǎn)p在c上，點(diǎn)Q在直線x6上，且|BP|BQ|,BPBQ,求APQ的面積.21 .(12分)311設(shè)函數(shù)f(x)xbxc,曲線yf(x)在點(diǎn)(一，f()處的切線與y軸垂直.22(1)求b.(2)若f(x)有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明：f(x)所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的

8、第一題計(jì)分。22 .選彳44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10分）x2tt2.一,.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)萬(wàn)程為9（t為參數(shù)且twi）,C與坐y23tt2標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn).（1）求|AB|;（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求直線AB的極坐標(biāo)方程.23 .選彳45:不等式選講(10分)設(shè)a,b,cCR,abc0,abc1.(1)證明：abbcca0;(2)用maxa,b,c表示a,b,c的最大值，證明：maxa,b,c>3/4,2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題參考答案選擇題答案一、選擇題1.C2.D3.B4.5.B6.D7.A8.9.D10.D1

9、1.A12非選擇題答案二、填空題13.714.24015.-1316三、解答題17.解：(1)a25,%7,猜想an2n1,由已知可得an1(2n3)3an(2n1),CCAan(2n1)3an1(2n1),a253(a13).因?yàn)?amp;3,所以a2n1.(2)由(1)得2nan(2n1)2n,所以Sn32522723W(2n1)2n.從而2Sn322523724(2n1)2n1.得23nn1S322222HI22(2n1)2,所以Sn(2n1)2n12.18.解：(1)由所給數(shù)據(jù)，該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1,2,3,4的概率的估計(jì)值如下表:空氣質(zhì)量等級(jí)1234概率的信計(jì)值0.430.27

10、0.210.09(2)一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值為1(100203003550045)350.100(3)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可得22列聯(lián)表:人次400人次400仝r質(zhì)里好3337仝氣質(zhì)里不好228根據(jù)列聯(lián)表得22100(3382237)2K2-5.820.55457030由于5.8203.841,故有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).19.解：設(shè)ABa,ADAAc,如圖，以C1為坐標(biāo)原點(diǎn),GD；的方向?yàn)閤軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系C1fib£(1)連結(jié)GF,則2、C1(0,0,0),A(a,b,c),E(a,0,c),3F(0,bjc),EA(

11、0,bc),33CF(0,b,3c),得EAc1f.AEF內(nèi).因此EA/C1F,即A,E,F,G四點(diǎn)共面，所以點(diǎn)G在平面(2)由已知得A(2,1,3),E(2,0,2),F(0,1,1),A1(2,1,0),AE(0,1,1),AF(2,0,2),(0,1,2),AF(2,0,1).設(shè)ni(x,y,z)為平面AEF的法向量，則AE0,yz0,T即°°八可取小(1,1,1).AF0,2x2z0,設(shè)1為平面AEF的法向量，則n2A1E0,n20,1同理可取n2(-,2,1).2因?yàn)閏osni,n2n1n27|n1|n217,所以二面角AEFAi的正弦值為42720.解：(1)由

12、題設(shè)可得25m252516，2x所以c的方程為252116設(shè)P(xp,yp),Q(6,yo),根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可設(shè)yQ0,由題意知yP0,1由已知可得B(5,0),直線BP的方程為y(x5),所以yQ|BP|yp2yQ，|BQ|1因?yàn)閨BP|BQ|,所以yp1,將yp1代入C的方程，解得Xp3或3.由直線BP的方程得yQ2或8.所以點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)分別為P(3,1),Q(6,2);P2(3,1),Q2(6,8).1PlQJ而，直線PQ1的方程為y1一x,點(diǎn)A(5,0)到直線310P1Q1的距離為，2故APQ1的面積為1四22|PQ21J130,直線P2Q2的方程為P2Q2的距離為710y-x一，點(diǎn)a到

13、直線931301,130.=5-，故ABQ2的面積為-/130.26226'2綜上，4APQ的面積為5.2一221.解：(1)f(x)3xb.1 3依題意得f(1)0,即b0.2 4故b34(2)由(1)知f(x)x3xc,f(x)3x23.44一一11令f(x)0,解得x或x.22f(x)與f(x)的情況為:x1J2)12,11、()一)22121%+)f(x)+0一0+f(x)1c4z1c-41/一.111因?yàn)閒(1)f(-)c,所以當(dāng)c時(shí)，f(x)只有大于1的零點(diǎn).24411一1.因?yàn)閒(1)f(-)c二，所以當(dāng)c二時(shí)，f(x)只有小于T的零點(diǎn).244，一，11由題設(shè)可知1c1,44,11當(dāng)c=1時(shí)，f(x)只有兩個(gè)零點(diǎn)1和1.4211=c=一時(shí)，f(x)只有兩個(gè)奪點(diǎn)T和一.42、,.111111當(dāng)一c一時(shí)，f(x)有二個(gè)等點(diǎn)x1,x2,x3,且x1(1,-),x2(-,),x3(-,1).442222綜上，若f(x)有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，則f(x)所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.22.解：(1)因?yàn)閠wi,由2tt20得t2,所以C與y軸的交點(diǎn)為(0,12);由23tt20得t=2,所以C與x軸的交點(diǎn)為(4,0).故AB|4.10