函數(shù)和極限學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1函數(shù)函數(shù)(hnsh)和極限和極限第一頁(yè)，共122頁(yè)。21.1 函數(shù)(hnsh)第1頁(yè)/共121頁(yè)第二頁(yè)，共122頁(yè)。31. 集合集合(jh)的基本概念與運(yùn)算的基本概念與運(yùn)算集合（簡(jiǎn)稱為集）是數(shù)學(xué)的一個(gè)基本概念集合（簡(jiǎn)稱為集）是數(shù)學(xué)的一個(gè)基本概念.集合通常理解集合通常理解(lji)為具有某種性質(zhì)的事物的全體為具有某種性質(zhì)的事物的全體. 集合中的每一個(gè)事物稱為該集合的元素集合中的每一個(gè)事物稱為該集合的元素. 某事物a與集合E具有下列兩種關(guān)系之一:(1) a是E的元素，記作aE; (2) a不是E的元素，記作aE. 由有限個(gè)元素組成的集合，可將它的元素一一列舉出來. 這種表示法稱為枚舉法.

2、例如： 由元素a1，a2，an組成的集合A，記作 A = a1，a2，an. 第2頁(yè)/共121頁(yè)第三頁(yè)，共122頁(yè)。4性質(zhì)描述性質(zhì)描述(mio sh)法表示法表示:設(shè)設(shè)E是具有性質(zhì)是具有性質(zhì)P的元素的元素x的全體所組成的全體所組成的集合，就記作的集合，就記作 E = x | x具有性質(zhì)具有性質(zhì)P 或或 E = x | P(x). 通常，以通常，以Z、Q、R和和 C分別表示整數(shù)分別表示整數(shù)(zhngsh)集、有理數(shù)集集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集和復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集和復(fù)數(shù)集. 如果集合如果集合A的元素都是集合的元素都是集合B的元素，即若的元素，即若x A，則必有則必有x B，就稱，就稱A是是B的子集，記作的子

3、集，記作AB或或BA. 如果如果AB與與AB同時(shí)同時(shí)(tngsh)成立，則稱成立，則稱A與與B相等，記相等，記作作A=B. 例如，設(shè)有集合例如，設(shè)有集合A = -1，-2， B = x | x2+3x+2= 0，則，則A = B. 若若AB且且A B，則稱，則稱A是是B的真子集，記作的真子集，記作AB. 例如例如QR.第3頁(yè)/共121頁(yè)第四頁(yè)，共122頁(yè)。5不含任何元素的集合稱為空集不含任何元素的集合稱為空集(kn j)，記作，記作. 如集合如集合 x | x R， x2 +1 = 0= .規(guī)定空集規(guī)定空集(kn j)是任何集是任何集A的子集的子集, 即即 A.集合集合(jh)的基本運(yùn)算有并、

4、交、差：的基本運(yùn)算有并、交、差： 設(shè)設(shè)A和和B是兩個(gè)集合是兩個(gè)集合(jh),由由A和和B的所有元素構(gòu)成的的所有元素構(gòu)成的集合集合(jh),稱為稱為A與與B的并的并,記為記為AB,即即AB=x | xA 或或xB . 由由A和和B的所有公共元素構(gòu)成的集合的所有公共元素構(gòu)成的集合(jh),稱為稱為A與與B的交的交,記為記為AB,即即AB=x | xA 且且xB . 由屬于由屬于A而不屬于而不屬于B的所有元素構(gòu)成的集合的所有元素構(gòu)成的集合(jh),稱稱為為A與與B的差的差,記為記為AB,即即AB=x | xA 且且xB . 第4頁(yè)/共121頁(yè)第五頁(yè)，共122頁(yè)。6 如果在某個(gè)過程中，我們所研究的對(duì)象

5、同屬于某一個(gè)如果在某個(gè)過程中，我們所研究的對(duì)象同屬于某一個(gè)集合集合S, 那么這個(gè)集合稱為全集或基礎(chǔ)集那么這個(gè)集合稱為全集或基礎(chǔ)集. 本書在一般情況下本書在一般情況下用實(shí)數(shù)集用實(shí)數(shù)集R當(dāng)全集當(dāng)全集. 一般地一般地, 設(shè)設(shè)A是全集是全集S的子集的子集,那么那么S中不屬于中不屬于A的元素全的元素全體組成的集合稱為體組成的集合稱為A的余集的余集,記為記為 ,即即 =S A.例如例如, 對(duì)于全集對(duì)于全集R, 子集子集A =x | 0 x 1的余集就是的余集就是 =RA =x | x 0或或x 1.AAA第5頁(yè)/共121頁(yè)第六頁(yè)，共122頁(yè)。72. 鄰域鄰域(ln y)、開集、閉集、區(qū)間、開集、閉集、區(qū)間

6、 對(duì)于實(shí)數(shù)對(duì)于實(shí)數(shù)a及正數(shù)及正數(shù) ，數(shù)集，數(shù)集x | |x - a| 稱為稱為a的的 (以點(diǎn)以點(diǎn)a為中心、以為中心、以 為半徑的為半徑的) 鄰域鄰域,記作記作U(a; ) , 即即U(a; )= x | |x - a| . 如圖如圖1-1-1所示所示. 圖1-1-1第6頁(yè)/共121頁(yè)第七頁(yè)，共122頁(yè)。8 數(shù)集數(shù)集x | 0 |x - a| 稱為點(diǎn)稱為點(diǎn)a的去心的去心 鄰域，記鄰域，記為為 (a; ). 當(dāng)不強(qiáng)調(diào)當(dāng)不強(qiáng)調(diào) 的大小時(shí)，的大小時(shí)，a的的 鄰域和鄰域和 去心去心鄰域分別簡(jiǎn)稱為鄰域分別簡(jiǎn)稱為a的的鄰域鄰域和和去心鄰域去心鄰域，并分別記作，并分別記作U(a) 和和 (a).UU 設(shè)設(shè)a與

7、與b是兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)，且是兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)，且a b. 數(shù)集數(shù)集 x | a x b稱為稱為開區(qū)間開區(qū)間，記作，記作(a, b)，即，即(a, b) = x | a x b，其中其中a與與b稱為開區(qū)間稱為開區(qū)間(a, b)的端點(diǎn)的端點(diǎn). 因此因此, 鄰域是一個(gè)以鄰域是一個(gè)以a為中心的開區(qū)間為中心的開區(qū)間, 即即U(a; ) = (a- , a+ ). 第7頁(yè)/共121頁(yè)第八頁(yè)，共122頁(yè)。9 數(shù)集數(shù)集 x | a x b稱為閉區(qū)間，記作稱為閉區(qū)間，記作a, b， 即即a, b = x | a x b，其中，其中(qzhng)a與與b稱為閉區(qū)間稱為閉區(qū)間a, b的端點(diǎn)的端點(diǎn). 數(shù)集數(shù)集a, b =

8、 x | a x b和和 a, b = x | a a , -, b ) = x | x b, -, + ) = x |- x + = R. a, + = x | x a，-, b = x | x b .這些區(qū)間在數(shù)軸這些區(qū)間在數(shù)軸(shzhu)上表示如圖上表示如圖1-1-2.圖1-1-2第9頁(yè)/共121頁(yè)第十頁(yè)，共122頁(yè)。11第10頁(yè)/共121頁(yè)第十一頁(yè)，共122頁(yè)。121. 函數(shù)函數(shù)(hnsh)的定義的定義 在生產(chǎn)、生活或科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中，我們會(huì)遇到在生產(chǎn)、生活或科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中，我們會(huì)遇到兩種類型的量：一種是在一定條件兩種類型的量：一種是在一定條件(tiojin)下保持不下保持不變的量，稱

9、為常量，如每天的時(shí)間總量變的量，稱為常量，如每天的時(shí)間總量T都是都是24小時(shí)小時(shí)，地面上重力加速度，地面上重力加速度g = 9.8m/s2，T和和g是常量；另一是常量；另一種是在一定過程中變化著的量，稱為變量，如運(yùn)動(dòng)種是在一定過程中變化著的量，稱為變量，如運(yùn)動(dòng)的路程及花費(fèi)的時(shí)間，一天之中的氣溫等的路程及花費(fèi)的時(shí)間，一天之中的氣溫等. 第11頁(yè)/共121頁(yè)第十二頁(yè)，共122頁(yè)。13例例1 正方形的面積正方形的面積S與它的邊長(zhǎng)與它的邊長(zhǎng)a之間的關(guān)系可用之間的關(guān)系可用S = a2來來表示，即對(duì)任意的表示，即對(duì)任意的a0，面積，面積S相應(yīng)地有一個(gè)確定的值相應(yīng)地有一個(gè)確定的值. 例例2 一個(gè)物體作勻加速

10、直線運(yùn)動(dòng)，出發(fā)后經(jīng)過一個(gè)物體作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，出發(fā)后經(jīng)過t秒時(shí)所走秒時(shí)所走過的路程過的路程s可按如下公式確定：可按如下公式確定： s = a t2， t 0，T (其中其中a是加速度，是加速度，T是最大運(yùn)動(dòng)是最大運(yùn)動(dòng)時(shí)間時(shí)間).21第12頁(yè)/共121頁(yè)第十三頁(yè)，共122頁(yè)。14例例3 漳州是水仙花的故鄉(xiāng)漳州是水仙花的故鄉(xiāng)(gxing). 漳州市郊區(qū)農(nóng)民近六年生產(chǎn)花漳州市郊區(qū)農(nóng)民近六年生產(chǎn)花卉出口創(chuàng)匯日益增加卉出口創(chuàng)匯日益增加. 某村各年出口創(chuàng)匯的數(shù)量如下表所示某村各年出口創(chuàng)匯的數(shù)量如下表所示:年度200120022003200420052006創(chuàng)匯金額（萬元）20102240380590880

11、 以上三個(gè)例子都反映了兩個(gè)變量之間的聯(lián)系，當(dāng)其中一個(gè)變量以上三個(gè)例子都反映了兩個(gè)變量之間的聯(lián)系，當(dāng)其中一個(gè)變量在某個(gè)數(shù)集內(nèi)取值時(shí)，另一個(gè)變量在另一數(shù)集內(nèi)有唯一在某個(gè)數(shù)集內(nèi)取值時(shí)，另一個(gè)變量在另一數(shù)集內(nèi)有唯一(wi y)的值的值與之對(duì)應(yīng)與之對(duì)應(yīng). 兩個(gè)變量之間的這種對(duì)應(yīng)關(guān)系反映了函數(shù)概念的實(shí)質(zhì)兩個(gè)變量之間的這種對(duì)應(yīng)關(guān)系反映了函數(shù)概念的實(shí)質(zhì). 第13頁(yè)/共121頁(yè)第十四頁(yè)，共122頁(yè)。15定義定義 設(shè)設(shè)D是實(shí)數(shù)集是實(shí)數(shù)集R的一個(gè)非空子集，若對(duì)的一個(gè)非空子集，若對(duì)D中的每一個(gè)中的每一個(gè)x，按照對(duì)應(yīng)法則，按照對(duì)應(yīng)法則f ，實(shí)數(shù)集，實(shí)數(shù)集R中有唯一的數(shù)中有唯一的數(shù)y與之相對(duì)應(yīng)，與之相對(duì)應(yīng)，我們稱我們稱f

12、為從為從D到到R的一個(gè)函數(shù)，記作的一個(gè)函數(shù)，記作 f : D R y與與x之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系記作之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系記作y = f (x)，并稱，并稱y為為x的函數(shù)值的函數(shù)值；D稱為函數(shù)的定義域，數(shù)集稱為函數(shù)的值域稱為函數(shù)的定義域，數(shù)集稱為函數(shù)的值域. 若把若把x，y看看成成(kn chn)變量，則變量，則x稱為自變量，稱為自變量，y稱為因變量稱為因變量. 當(dāng)值域當(dāng)值域f (D)僅由一個(gè)實(shí)數(shù)僅由一個(gè)實(shí)數(shù)C組成的集合時(shí)組成的集合時(shí), f (x)稱為常值稱為常值函數(shù)函數(shù)(hnsh). 這時(shí)這時(shí), f (x)C, 也就是說也就是說,我們把常量看成特我們把常量看成特殊的因變量殊的因變量. 第14頁(yè)/共121頁(yè)第

13、十五頁(yè)，共122頁(yè)。16說明：說明：(1) 為了使用方便并考慮傳統(tǒng)的表示習(xí)慣，我們常用為了使用方便并考慮傳統(tǒng)的表示習(xí)慣，我們常用“y = f (x)”表示函數(shù)，并稱表示函數(shù)，并稱“f (x)是是x的函數(shù)的函數(shù)(值值)”. 當(dāng)強(qiáng)調(diào)定義域時(shí)當(dāng)強(qiáng)調(diào)定義域時(shí), 也常記作也常記作 y = f (x), x D.(2) 函數(shù)函數(shù)y = f (x)中表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的符號(hào)中表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的符號(hào)f也可改用其也可改用其它字母，如它字母，如“j”，“F”等等等等. 這時(shí)函數(shù)就記為這時(shí)函數(shù)就記為y = j (x)，y = F (x)，等等，等等. (3) 用用y = f (x)表示一個(gè)表示一個(gè)(y )函數(shù)時(shí)，函數(shù)時(shí)，f所

14、代表的對(duì)所代表的對(duì)應(yīng)法則已完全確定，對(duì)應(yīng)于點(diǎn)應(yīng)法則已完全確定，對(duì)應(yīng)于點(diǎn)x = x0的函數(shù)值記為的函數(shù)值記為f (x0)或或y|x=x0 .例如，設(shè)y = f (x) = ，它在點(diǎn) 的函數(shù)值分別為24x2, 0 xx0)2(4|, 204)0(|2220 xxyfy第15頁(yè)/共121頁(yè)第十六頁(yè)，共122頁(yè)。17(4) 從函數(shù)的定義知，定義域和對(duì)應(yīng)法則是函數(shù)的兩個(gè)基本從函數(shù)的定義知，定義域和對(duì)應(yīng)法則是函數(shù)的兩個(gè)基本要素，兩個(gè)函數(shù)相同當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)法則都相同要素，兩個(gè)函數(shù)相同當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)法則都相同. (5) 在實(shí)際問題在實(shí)際問題(wnt)中，函數(shù)的定義域可根據(jù)變量的實(shí)際中，

15、函數(shù)的定義域可根據(jù)變量的實(shí)際意義來確定；但在解題中，對(duì)于用表達(dá)式表示的函數(shù)，其省略意義來確定；但在解題中，對(duì)于用表達(dá)式表示的函數(shù)，其省略未表出的定義域通常指的是未表出的定義域通常指的是:使該表達(dá)式有意義的自變量取值使該表達(dá)式有意義的自變量取值范圍范圍. 第16頁(yè)/共121頁(yè)第十七頁(yè)，共122頁(yè)。18例例4 求函數(shù)求函數(shù) 的定義域的定義域. 1021log1yxx 112Dxx解解: 要使函數(shù)式子有意義，要使函數(shù)式子有意義，x必須滿足必須滿足 ，于是，于是，所求函數(shù)的定義域?yàn)樗蠛瘮?shù)的定義域?yàn)?01012xx第17頁(yè)/共121頁(yè)第十八頁(yè)，共122頁(yè)。192. 函數(shù)函數(shù)(hnsh)的表示法的表示法

16、 (1) 解析法解析法當(dāng)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則用數(shù)學(xué)式子表出時(shí)，這種表示函數(shù)的當(dāng)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則用數(shù)學(xué)式子表出時(shí)，這種表示函數(shù)的方法稱為解析法方法稱為解析法. 如如都是解析法表示的函數(shù)，這是我們今后表達(dá)函數(shù)的主要都是解析法表示的函數(shù)，這是我們今后表達(dá)函數(shù)的主要形式形式. . 1|,11; 1,3222xxyxxxy第18頁(yè)/共121頁(yè)第十九頁(yè)，共122頁(yè)。20例例5 設(shè)設(shè)x為任一實(shí)數(shù)為任一實(shí)數(shù). 不超過不超過x的最大整數(shù)稱為的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)的整數(shù)部分，記為部分，記為y = x， 則則 . 這個(gè)函數(shù)稱為這個(gè)函數(shù)稱為取整函數(shù)取整函數(shù). 56 . 4, 22, 3, 13, 043 一個(gè)函數(shù)也可以在其定

17、義域的不同部分用不同的一個(gè)函數(shù)也可以在其定義域的不同部分用不同的解析式表示，如解析式表示，如:例例6 例例7 絕對(duì)值函數(shù)絕對(duì)值函數(shù) . ).0 ,(,1, 0,21), 0(,2xxxxxy0,0,|xxxxxy第19頁(yè)/共121頁(yè)第二十頁(yè)，共122頁(yè)。21例例8 . 易知，對(duì)于任何實(shí)數(shù)易知，對(duì)于任何實(shí)數(shù)x，都有，都有x = (sgn x)| x |成立成立. 這個(gè)函這個(gè)函數(shù)稱為符號(hào)函數(shù)數(shù)稱為符號(hào)函數(shù). 像例像例6、7、8這種形式的函數(shù)，稱為分段函數(shù)這種形式的函數(shù)，稱為分段函數(shù). 0, 10, 00, 1sgnxxxxy第20頁(yè)/共121頁(yè)第二十一頁(yè)，共122頁(yè)。22(2) 列表法列表法 若函

18、數(shù)若函數(shù)y = f (x)采用含有采用含有(hn yu)自變量自變量x的值與函數(shù)的值與函數(shù)f (x)對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)值的表格來表示，則稱這種表示函數(shù)的方法為列表法值的表格來表示，則稱這種表示函數(shù)的方法為列表法. 如上述例如上述例3及通常所用的三角函數(shù)表、對(duì)數(shù)表等等，都是用列表法表達(dá)函數(shù)及通常所用的三角函數(shù)表、對(duì)數(shù)表等等，都是用列表法表達(dá)函數(shù)的例子的例子. 第21頁(yè)/共121頁(yè)第二十二頁(yè)，共122頁(yè)。23(3) 圖像法圖像法 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y = f (x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈. 那么，對(duì)于任意取定的那么，對(duì)于任意取定的x D，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值(shz)為為y = f (x). 這樣，以這

19、樣，以x為橫坐標(biāo)、為橫坐標(biāo)、y為縱坐標(biāo)為縱坐標(biāo), 就在就在xOy平面上確定一點(diǎn)平面上確定一點(diǎn)(x, y). 當(dāng)當(dāng)x遍取遍取D上的每一上的每一個(gè)數(shù)值個(gè)數(shù)值(shz)時(shí)，就得到平面點(diǎn)集時(shí)，就得到平面點(diǎn)集C =( x, y)| y = f (x)，x D，稱其為函數(shù)稱其為函數(shù)y = f (x)的圖像的圖像. 采用圖像給出函數(shù)的方法稱為圖像采用圖像給出函數(shù)的方法稱為圖像法法. 圖圖1-1-3、圖、圖1-1-4與圖與圖1-1-5就是用圖像法分別表示的取整函就是用圖像法分別表示的取整函數(shù)、絕對(duì)值函數(shù)和符號(hào)函數(shù)數(shù)、絕對(duì)值函數(shù)和符號(hào)函數(shù). 第22頁(yè)/共121頁(yè)第二十三頁(yè)，共122頁(yè)。24圖1-1-3第23頁(yè)/

20、共121頁(yè)第二十四頁(yè)，共122頁(yè)。25圖1-1-4 第24頁(yè)/共121頁(yè)第二十五頁(yè)，共122頁(yè)。26圖1-1-5 第25頁(yè)/共121頁(yè)第二十六頁(yè)，共122頁(yè)。271. 函數(shù)函數(shù)(hnsh)的有界性的有界性 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y = f (x)在某一實(shí)數(shù)集在某一實(shí)數(shù)集D1上有定義（即上有定義（即D1是是f (x)的定的定義域義域D的子集），若存在常數(shù)的子集），若存在常數(shù)M（或（或m）使得不等式）使得不等式f (x) M (或或f (x) m)對(duì)所有對(duì)所有x D1都成立，則稱函數(shù)都成立，則稱函數(shù)y = f (x)在在D1有上界（或有下界有上界（或有下界(xi ji)），同時(shí)稱），同時(shí)稱M為為f

21、 (x)在在D1的一個(gè)上界（或的一個(gè)上界（或m為為f (x)在在D1的的一個(gè)下界一個(gè)下界(xi ji)）. 若若f (x)在在D1既有上界又有下界既有上界又有下界(xi ji)，則稱，則稱 f (x)在在D1有界，或有界，或f (x)在在D1是有界函數(shù)，否則，則稱函數(shù)是有界函數(shù)，否則，則稱函數(shù)f (x)在在D1上無界，或稱在上無界，或稱在D1上函數(shù)上函數(shù)f (x)是無界函數(shù)是無界函數(shù). 第26頁(yè)/共121頁(yè)第二十七頁(yè)，共122頁(yè)。282. 函數(shù)函數(shù)(hnsh)的單調(diào)性的單調(diào)性 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y = f (x)在某一實(shí)數(shù)集在某一實(shí)數(shù)集D上有定義上有定義. 若對(duì)于任意的若對(duì)于任意的x1，x

22、2 D，當(dāng)，當(dāng)x1 x2時(shí)恒有時(shí)恒有(1) f (x1) f (x2)， 則稱則稱f (x)在在D上單調(diào)減少上單調(diào)減少. 單調(diào)增加與單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)單調(diào)增加與單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù). 注：把注：把(1)中的條件中的條件(tiojin)改為改為f (x1) f (x2), 則稱則稱f (x)在在D上上不減不減; 把把(2)中的條件中的條件(tiojin)改為改為f (x1) f (x2)成立時(shí)，則稱成立時(shí)，則稱f (x)在在D上不增上不增. 不增與不減的函數(shù)統(tǒng)稱為廣義單調(diào)函數(shù)不增與不減的函數(shù)統(tǒng)稱為廣義單調(diào)函數(shù). 第27頁(yè)/共121頁(yè)第二十八頁(yè)，共122頁(yè)。293. 函數(shù)函數(shù)(h

23、nsh)的奇偶性的奇偶性 定義定義 設(shè)實(shí)數(shù)設(shè)實(shí)數(shù)(shsh)集滿足：集滿足：x D當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)-x D，則稱，則稱D是一個(gè)是一個(gè)對(duì)稱集對(duì)稱集.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y = f (x)的定義域是一個(gè)對(duì)稱集且滿足的定義域是一個(gè)對(duì)稱集且滿足f (-x) = f (x)，x D，則稱函數(shù)則稱函數(shù)f (x)是偶函數(shù)；若且滿足是偶函數(shù)；若且滿足f (-x) = - f (x)， 則稱函數(shù)則稱函數(shù)f (x)是奇函數(shù)是奇函數(shù). 偶函數(shù)的圖像關(guān)于偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.第28頁(yè)/共121頁(yè)第二十九頁(yè)，共122頁(yè)。304. 函數(shù)函數(shù)(hnsh)的周期性

24、的周期性 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y = f (x)的定義域?yàn)榧亩x域?yàn)榧疍. 若存在一個(gè)非零的數(shù)若存在一個(gè)非零的數(shù)T，使，使得對(duì)于任意得對(duì)于任意x D，有，有xTD且且f (xT) = f (x),則稱則稱f (x)為周期函數(shù)，同時(shí)稱為周期函數(shù)，同時(shí)稱T為為f (x)的周期的周期. 顯然，若顯然，若T為為f (x)的一個(gè)周期，則的一個(gè)周期，則2T，3T，4T，也都是它也都是它的周期，故周期函數(shù)有無限多個(gè)的周期，故周期函數(shù)有無限多個(gè)(du )周期周期. 若在周期函數(shù)若在周期函數(shù)f (x)的所有正周期中有一個(gè)最小者，則稱這個(gè)最小者為函數(shù)的所有正周期中有一個(gè)最小者，則稱這個(gè)最小者為函數(shù)f (x)的

25、最的最小正周期小正周期. 通常所說的周期就是指最小正周期通常所說的周期就是指最小正周期. 第29頁(yè)/共121頁(yè)第三十頁(yè)，共122頁(yè)。31定義定義 設(shè)已知函數(shù)設(shè)已知函數(shù)(hnsh)y = f (x)，x D 的值域?yàn)榈闹涤驗(yàn)閒 (D). 若對(duì)于若對(duì)于f (D)中每一個(gè)值中每一個(gè)值y，D中有唯一確定的值中有唯一確定的值x使得使得f (x) = y，就在，就在f (D)上定義了上定義了一個(gè)函數(shù)一個(gè)函數(shù)(hnsh)，稱其為函數(shù)，稱其為函數(shù)(hnsh)y = f (x)的反函數(shù)的反函數(shù)(hnsh)，記為記為x = f -1(y)， y f (D).第30頁(yè)/共121頁(yè)第三十一頁(yè)，共122頁(yè)。32 y =

26、 f (x)與與x = f -1(y)互為反函數(shù)互為反函數(shù). 習(xí)慣上把自變量記為習(xí)慣上把自變量記為x，因變，因變量記為量記為y， 所以反函數(shù)所以反函數(shù)x = f -1(y)也可寫作也可寫作y = f -1(x). 相對(duì)于反函數(shù)相對(duì)于反函數(shù)y = f -1(x)而言，原來的函數(shù)而言，原來的函數(shù)y = f (x)稱為直接函數(shù)稱為直接函數(shù). 容易看出，在容易看出，在同一坐標(biāo)平面上，反函數(shù)同一坐標(biāo)平面上，反函數(shù) y = f -1(x)與直接函數(shù)與直接函數(shù)y = f (x)的圖像的圖像(t xin)關(guān)于直線關(guān)于直線y = x對(duì)稱對(duì)稱. 如圖如圖1-1-8. 第31頁(yè)/共121頁(yè)第三十二頁(yè)，共122頁(yè)。3

27、3圖1-1-8第32頁(yè)/共121頁(yè)第三十三頁(yè)，共122頁(yè)。34定理定理 單調(diào)函數(shù)單調(diào)函數(shù)(hnsh)必有反函數(shù)必有反函數(shù)(hnsh). 單調(diào)增加單調(diào)增加的函數(shù)的函數(shù)(hnsh)的反函數(shù)的反函數(shù)(hnsh)必單調(diào)增加，單調(diào)減必單調(diào)增加，單調(diào)減少的函數(shù)少的函數(shù)(hnsh)的反函數(shù)的反函數(shù)(hnsh)必單調(diào)減少必單調(diào)減少. 例例9 函數(shù)函數(shù)(hnsh)y = x2 在在0，+上是單調(diào)增加的上是單調(diào)增加的，它的反函數(shù)，它的反函數(shù)(hnsh) y =在其定義域在其定義域 0，+上也上也是單調(diào)增加的函數(shù)是單調(diào)增加的函數(shù)(hnsh). 第33頁(yè)/共121頁(yè)第三十四頁(yè)，共122頁(yè)。35例例10 某汽車行駛某汽

28、車行駛10小時(shí)，每公里耗油量為小時(shí)，每公里耗油量為0. 2公升，行駛速公升，行駛速度為每小時(shí)度為每小時(shí)60公里公里. 于是汽車在行駛過程中，耗油量于是汽車在行駛過程中，耗油量y是行駛是行駛距離距離s的函數(shù)的函數(shù) y = f (s) = 0. 2 s， s 0，+，而行駛距離而行駛距離s又是行駛時(shí)間又是行駛時(shí)間t的函數(shù)的函數(shù) s = g(t) = 60t， t 0，10. 因此因此(ync)，汽車的耗油量，汽車的耗油量y，通過中間變量，通過中間變量s與時(shí)間與時(shí)間t建立了建立了函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系 y = 0. 2s = 0. 2 60t = 12t， t 0，10，在這個(gè)例子中，在這個(gè)例子中，y與與

29、t的對(duì)應(yīng)關(guān)系是由兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是由兩個(gè)函數(shù)y = f (s)與與s = g(t)復(fù)合而成的復(fù)合而成的. 第34頁(yè)/共121頁(yè)第三十五頁(yè)，共122頁(yè)。36定義定義 已知兩個(gè)函數(shù)已知兩個(gè)函數(shù)y = f (u)， u E; u = g(x)， x D. 設(shè)設(shè)D1 = x | g(x)E，xD 是非空集，那么通過下式是非空集，那么通過下式y(tǒng) = f (g(x)， x D1. 確定的函數(shù)，稱為是由函數(shù)確定的函數(shù)，稱為是由函數(shù)u = g(x)與與y = f (u)構(gòu)成的復(fù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，它的定義域?yàn)榧虾瘮?shù)，它的定義域?yàn)榧疍1，變量，變量(binling)u稱為中稱為中間變量間變量(binling).

30、 u = g(x)與與y = f (u)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)也常記做構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)也常記做f g，即即 y = (f g)(x) = f (g(x)， x D1.第35頁(yè)/共121頁(yè)第三十六頁(yè)，共122頁(yè)。37例例11 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) ，而，而 u= 1- x2， x D = ( ) . 求復(fù)合函數(shù)求復(fù)合函數(shù). 解解 設(shè)設(shè)f (u) = ，g(x) =1- x2. 那么那么 D1 = x | g(x) E，x D = x | 1- x20，x ( ) = -1，1.因此得到的復(fù)合函數(shù)為因此得到的復(fù)合函數(shù)為 ，x -1，1. 21xyu), 0,Euuy第36頁(yè)/共121頁(yè)第三十七頁(yè)，共122頁(yè)。381

31、. 基本初等基本初等(chdng)函數(shù)函數(shù)包括常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)包括常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)等、反三角函數(shù)等. 著重介紹冪函數(shù)著重介紹冪函數(shù). 函數(shù)函數(shù) y = xm (其中其中m是常數(shù)是常數(shù)) 叫做冪函數(shù)叫做冪函數(shù). 冪函數(shù)y = xm 的定義域根據(jù)m的取值而定. 例如:當(dāng)m = 3時(shí)， y = x3的定義域是(-，+); 當(dāng)m = 時(shí)， 的定義域是0，+); 當(dāng)m = - 時(shí)， 的定義域是 (0，+). 但無論 m 取什么值，冪函數(shù)在(0，+)內(nèi)總有定義.21xxy2121xxy121第37頁(yè)/共121頁(yè)第三十八頁(yè)，共122頁(yè)。

32、392. 初等初等(chdng)函數(shù)函數(shù) 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算(s z yn sun)和和有限次復(fù)合所得到的且可用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱為初等函有限次復(fù)合所得到的且可用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)數(shù). 如：如：sin121xyx21,yx32arccos,1xyxx第38頁(yè)/共121頁(yè)第三十九頁(yè)，共122頁(yè)。401. 需求需求(xqi)函數(shù)函數(shù) 在經(jīng)濟(jì)學(xué)中在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,某一商品的需求量是指關(guān)于某一商品的需求量是指關(guān)于(guny)一定的一定的價(jià)格水平價(jià)格水平,在一定的時(shí)間內(nèi)消費(fèi)者愿意而且有支付能力購(gòu)買的在一定的時(shí)間內(nèi)消費(fèi)者愿意而且有支付能力購(gòu)買的商品

33、量商品量.通常用通常用Q表示商品的需求量表示商品的需求量, P表示它的價(jià)格表示它的價(jià)格, 在一定在一定條件下條件下, Q可視為可視為P的函數(shù)的函數(shù), 記作記作Q = f (P)或或Q = Q (P), 并稱之并稱之為需求函數(shù)為需求函數(shù). 第39頁(yè)/共121頁(yè)第四十頁(yè)，共122頁(yè)。41 根據(jù)市場(chǎng)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型時(shí)，常采用如下四根據(jù)市場(chǎng)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型時(shí)，常采用如下四種類型的函數(shù)種類型的函數(shù)(hnsh): 線性函數(shù)線性函數(shù)(hnsh):Q = -aP+b, a0, b0; 冪函數(shù)冪函數(shù)(hnsh): Q=kP-a , k 0, a0;指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)(hnsh):Q = ae-bP,

34、a0, b0; 二次函數(shù)二次函數(shù)(hnsh): Q = P(a bP), a0, b0.第40頁(yè)/共121頁(yè)第四十一頁(yè)，共122頁(yè)。422. 供給供給(gngj)函數(shù)函數(shù) 供給是與需求供給是與需求(xqi)相對(duì)的概念，需求相對(duì)的概念，需求(xqi)是就購(gòu)買是就購(gòu)買者而言，供給是就生產(chǎn)者而言的者而言，供給是就生產(chǎn)者而言的.供給量是指生產(chǎn)者在某一時(shí)供給量是指生產(chǎn)者在某一時(shí)刻內(nèi)，在各種可能的價(jià)格水平上，對(duì)某種商品愿意并能夠出售刻內(nèi)，在各種可能的價(jià)格水平上，對(duì)某種商品愿意并能夠出售的商品數(shù)量的商品數(shù)量. 供給量也是由多個(gè)因素決定的，如果認(rèn)為在一定供給量也是由多個(gè)因素決定的，如果認(rèn)為在一定時(shí)間范圍內(nèi)除價(jià)

35、格而外的其他因素變化很小，則供給量時(shí)間范圍內(nèi)除價(jià)格而外的其他因素變化很小，則供給量Q就是就是價(jià)格的函數(shù)，稱為供給函數(shù)價(jià)格的函數(shù)，稱為供給函數(shù). 記作記作Q=Q(P)或或Q = f (P).第41頁(yè)/共121頁(yè)第四十二頁(yè)，共122頁(yè)。43 根據(jù)市場(chǎng)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型時(shí),常采用如下三種類型的函數(shù)(hnsh): 線性函數(shù)(hnsh):Q = aP-b, a0, b0; 冪函數(shù)(hnsh): Q = kPa , k 0, a0;指數(shù)函數(shù)(hnsh):Q = a ebP, a0, b0. 第42頁(yè)/共121頁(yè)第四十三頁(yè)，共122頁(yè)。443. 成本成本(chngbn)函數(shù)函數(shù) 某產(chǎn)品的總成本某產(chǎn)品的總

36、成本C是指一定數(shù)量的產(chǎn)品所需的全部資是指一定數(shù)量的產(chǎn)品所需的全部資源投入的價(jià)格或費(fèi)用的總額，它由固定成本源投入的價(jià)格或費(fèi)用的總額，它由固定成本C1和可變成本和可變成本C2組成組成. 其中其中C1為常數(shù)，為常數(shù)，C2即為產(chǎn)量即為產(chǎn)量Q的函數(shù)，常表示成的函數(shù)，常表示成C2 = C2(Q). 同時(shí)用同時(shí)用C = C(Q)表示總成本函數(shù)，于是，總成本函表示總成本函數(shù)，于是，總成本函數(shù)數(shù) C = C(Q)= C1+ C2(Q). 經(jīng)常還要研究由總成本函數(shù)派生的函數(shù)，如平均成本函數(shù)經(jīng)常還要研究由總成本函數(shù)派生的函數(shù)，如平均成本函數(shù) (Q): C12( )( )( )CC QC QC QQQQ第43頁(yè)/共1

37、21頁(yè)第四十四頁(yè)，共122頁(yè)。454. 收益收益(shuy)函數(shù)函數(shù) 總收益是生產(chǎn)者出售一定數(shù)量產(chǎn)品所得到的全部收入總收益是生產(chǎn)者出售一定數(shù)量產(chǎn)品所得到的全部收入(shur)，因此總收益，因此總收益R是出售量是出售量Q的函數(shù)，稱為收益函數(shù)，的函數(shù)，稱為收益函數(shù)，記作記作R=R(Q). 例如，當(dāng)某產(chǎn)品的價(jià)格為例如，當(dāng)某產(chǎn)品的價(jià)格為P，銷售量為，銷售量為Q時(shí)，則時(shí)，則銷售該產(chǎn)品的總收益為銷售該產(chǎn)品的總收益為R=PQ.第44頁(yè)/共121頁(yè)第四十五頁(yè)，共122頁(yè)。465. 利潤(rùn)利潤(rùn)(lrn)函數(shù)函數(shù) 利潤(rùn)利潤(rùn)L是生產(chǎn)中獲得的總收益與投入的總成本之差，是生產(chǎn)中獲得的總收益與投入的總成本之差，若收益函數(shù)若

38、收益函數(shù)(hnsh)R=R(Q)，總成本函數(shù)，總成本函數(shù)(hnsh)C(Q)都都是產(chǎn)量或出售量是產(chǎn)量或出售量Q的函數(shù)的函數(shù)(hnsh)，則利潤(rùn)，則利潤(rùn)L也是也是Q的函數(shù)的函數(shù)(hnsh)，稱之為利潤(rùn)函數(shù)，稱之為利潤(rùn)函數(shù)(hnsh). 那么，那么， L(Q) = R(Q) -C(Q). 第45頁(yè)/共121頁(yè)第四十六頁(yè)，共122頁(yè)。471.2 極限極限(jxin)第46頁(yè)/共121頁(yè)第四十七頁(yè)，共122頁(yè)。481. 數(shù)列極限數(shù)列極限(jxin)的定義的定義數(shù)列是按次序排列的一列數(shù)列是按次序排列的一列(y li)數(shù)數(shù) x1， x2，xn ，簡(jiǎn)記作簡(jiǎn)記作xn. 準(zhǔn)確地說準(zhǔn)確地說, 數(shù)列是定義在正整數(shù)集

39、數(shù)列是定義在正整數(shù)集N上的函數(shù)上的函數(shù) xn = f (n) ， n N,其中每一個(gè)其中每一個(gè)n表示項(xiàng)數(shù)表示項(xiàng)數(shù), xn表示第表示第n項(xiàng)項(xiàng); 因?yàn)轫?xiàng)數(shù)因?yàn)轫?xiàng)數(shù)n是一個(gè)變是一個(gè)變量量, 故故xn常稱為數(shù)列的通項(xiàng)或一般項(xiàng)常稱為數(shù)列的通項(xiàng)或一般項(xiàng). 第47頁(yè)/共121頁(yè)第四十八頁(yè)，共122頁(yè)。49例例2 研究數(shù)列研究數(shù)列 1，-1，1，-1， 的變化趨勢(shì)的變化趨勢(shì).解解 該數(shù)列的通項(xiàng)為該數(shù)列的通項(xiàng)為xn = (-1)n+1. 當(dāng)當(dāng)n無限增大時(shí)，無限增大時(shí)， xn總在總在1和和 -1兩個(gè)兩個(gè)數(shù)值上跳躍，永遠(yuǎn)不會(huì)數(shù)值上跳躍，永遠(yuǎn)不會(huì)(b hu)趨近于一個(gè)固定的數(shù)趨近于一個(gè)固定的數(shù). 例例1 研究數(shù)列研究

40、數(shù)列 的變化趨勢(shì)的變化趨勢(shì). 解解 該數(shù)列的通項(xiàng)為該數(shù)列的通項(xiàng)為 . 當(dāng)當(dāng)n無限增大時(shí)，無限增大時(shí)，2n也無限增也無限增大，其倒數(shù)大，其倒數(shù) 會(huì)隨之越變?cè)叫?，無限地趨近于會(huì)隨之越變?cè)叫?，無限地趨近于0. ,21,81,41,21, 1nnnx21n21例例3 研究數(shù)列研究數(shù)列 的變化趨勢(shì)的變化趨勢(shì). 解解 該數(shù)列的通項(xiàng)為該數(shù)列的通項(xiàng)為 . 當(dāng)當(dāng)n無限增大時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)無限增大時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)xn將大于任意給定的正數(shù)將大于任意給定的正數(shù). ,4, 3,2, 1nnxn第48頁(yè)/共121頁(yè)第四十九頁(yè)，共122頁(yè)。50 上述三個(gè)數(shù)列，當(dāng)上述三個(gè)數(shù)列，當(dāng)n無限增大時(shí)的變化趨勢(shì)各不相同，可無限增大時(shí)的變化

41、趨勢(shì)各不相同，可歸納為兩種情形歸納為兩種情形(qng xing). 第一種情形第一種情形(qng xing): 數(shù)列數(shù)列xn隨著隨著n的無限增大而（無限）的無限增大而（無限）趨于某一個(gè)固定的常數(shù)趨于某一個(gè)固定的常數(shù)a；這時(shí)稱；這時(shí)稱xn為收斂數(shù)列，常數(shù)為收斂數(shù)列，常數(shù)a為該為該數(shù)列的極限；數(shù)列的極限；第二種情形第二種情形(qng xing): 數(shù)列數(shù)列xn隨著隨著n的無限增大而不趨于任的無限增大而不趨于任何確定的常數(shù)何確定的常數(shù). 這時(shí)稱這時(shí)稱xn為不收斂為不收斂. 第49頁(yè)/共121頁(yè)第五十頁(yè)，共122頁(yè)。51定義定義1 設(shè)設(shè)xn是一個(gè)數(shù)列是一個(gè)數(shù)列, a是一個(gè)常數(shù)是一個(gè)常數(shù). 如果對(duì)任給的

42、如果對(duì)任給的 0，總存在一個(gè)正整數(shù)，總存在一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)，使得當(dāng)n N時(shí)總有時(shí)總有| xn- a| N時(shí)總有時(shí)總有因此因此 . 12nx11lim22nnn 112Nnnnxn21212121n2121n111222nnxn11lim22nnn 第51頁(yè)/共121頁(yè)第五十二頁(yè)，共122頁(yè)。532. 收斂收斂(shulin)數(shù)列的性質(zhì)數(shù)列的性質(zhì)定理定理1 (唯一性唯一性) 若數(shù)列若數(shù)列xn收斂收斂(shulin)，則它只有一個(gè)極，則它只有一個(gè)極限限. 對(duì)于數(shù)列對(duì)于數(shù)列(shli)xn，如果存在一個(gè)正數(shù)，使對(duì)一，如果存在一個(gè)正數(shù)，使對(duì)一切切nN，都有，都有| xn | M，就稱，就稱xn為有

43、界數(shù)列為有界數(shù)列(shli)，否則就稱否則就稱xn為無界數(shù)列為無界數(shù)列(shli).定理定理2 (有界性有界性) 若數(shù)列若數(shù)列xn收斂，則它必為有界數(shù)列收斂，則它必為有界數(shù)列. 定理定理3 (保號(hào)性保號(hào)性) 若若 (或或aN時(shí)，都有時(shí)，都有xn 0 (或或xn 0，作平行于x軸的兩條直線y =A- 與y =A+ ，總可找到點(diǎn)x0的一個(gè) 鄰域，使得當(dāng) 且 時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值滿足: A- f (x) X時(shí)，時(shí)，f (x)都滿足不等式都滿足不等式 ，則稱當(dāng)則稱當(dāng)x時(shí)，時(shí)，f (x)有極限（收斂）且有極限（收斂）且A為為f (x)的極限的極限，記作，記作 或或 . 如果滿足上述條件的常數(shù)不存在，則稱當(dāng)如

44、果滿足上述條件的常數(shù)不存在，則稱當(dāng)x時(shí)，時(shí)，f (x)的極限不存在（不收斂）的極限不存在（不收斂）. Axf Axfxlim xAxf第56頁(yè)/共121頁(yè)第五十七頁(yè)，共122頁(yè)。58例例7 證明證明 . 證證 對(duì)于任給對(duì)于任給 ，由于，由于只要取只要取 ，于是對(duì)于適合于是對(duì)于適合|x|X的所有的所有x，不等式，不等式 成立成立. 所以所以 . 1lim0 xx0110 xx1X10 x1lim0 xx第57頁(yè)/共121頁(yè)第五十八頁(yè)，共122頁(yè)。59單側(cè)極限單側(cè)極限(jxin) 定義定義4 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0的左側(cè)有定義的左側(cè)有定義,而而A是常數(shù)是常數(shù). 如果如果對(duì)任給的正數(shù)對(duì)任

45、給的正數(shù) ，總有某一正數(shù)，總有某一正數(shù) ，使得當(dāng)，使得當(dāng)時(shí)，時(shí)，f (x)都滿足不等式都滿足不等式 成立，成立，則稱當(dāng)則稱當(dāng)x趨于趨于x0時(shí)，時(shí)，f (x)有左極限且有左極限且A為為f (x)的左極限，的左極限，記作記作 , f (x) A（xx0-）或）或 . fxA 0limxxf xA00fxA00 xxx第58頁(yè)/共121頁(yè)第五十九頁(yè)，共122頁(yè)。60類似可給出類似可給出 當(dāng)當(dāng)x趨于趨于x0時(shí)，時(shí)，A為為f (x)的右極限的定義，的右極限的定義，記作記作 , f (x) A（xx0+）或）或 . 0limxxf xA00fxA定理定理4 當(dāng)當(dāng)xx0時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)f (x)極限存在的充

46、要條件是當(dāng)極限存在的充要條件是當(dāng)xx0時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)f (x)的左、右極限都存在且相等，即的左、右極限都存在且相等，即這里這里A是一個(gè)確定的數(shù)是一個(gè)確定的數(shù). 000limlimlimxxxxxxf xAf xf xA第59頁(yè)/共121頁(yè)第六十頁(yè)，共122頁(yè)。61例例8 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) ，求，求 和和 . 00, 1,xxxxf xfx0lim xfx0lim解解 根據(jù)函數(shù)的定義知根據(jù)函數(shù)的定義知, f (x)當(dāng)當(dāng)x0時(shí)的左極限為時(shí)的左極限為 ；f (x) 當(dāng)當(dāng)x0時(shí)的右極限為時(shí)的右極限為 .由此可知，由此可知，f (x)當(dāng)當(dāng)x0時(shí)的極限不存在時(shí)的極限不存在. 0limlim00 xxfxx

47、11limlim00 xxxf第60頁(yè)/共121頁(yè)第六十一頁(yè)，共122頁(yè)。62定義定義5 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (x)當(dāng)當(dāng) x 大于某一正數(shù)（或小于某一負(fù)數(shù)）大于某一正數(shù)（或小于某一負(fù)數(shù)）時(shí)有定義時(shí)有定義,而而A是常數(shù)是常數(shù). 如果對(duì)于任給的正數(shù)如果對(duì)于任給的正數(shù) ，總有某一，總有某一個(gè)正數(shù)個(gè)正數(shù)X，使得對(duì)于當(dāng)，使得對(duì)于當(dāng) x X（或相應(yīng)地（或相應(yīng)地x - X）時(shí)，）時(shí)，f (x)都滿足不等式都滿足不等式 | f (x) - A| 0. 由極限定義，存在由極限定義，存在 ，使得當(dāng)，使得當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有 ; 而當(dāng)而當(dāng) 時(shí)，時(shí)，有有 . 取取 ，則當(dāng)，則當(dāng) 時(shí)，總有時(shí)，總有 ,矛盾矛盾. 所以有所以有a

48、b.axfxx)(lim00lim( )xxf xbba 0, 02110|0 xx2|)(|axf020 |xx|( )|2f xb12min , 00 |xx| |( )|( )|22abf xaf xbab第63頁(yè)/共121頁(yè)第六十四頁(yè)，共122頁(yè)。65證證 由于由于 ，所以對(duì)正數(shù)，所以對(duì)正數(shù) ，存在正數(shù)，存在正數(shù) ，使，使得當(dāng)?shù)卯?dāng)x滿足滿足 時(shí)，都有時(shí)，都有于是，有于是，有記記M =1+| a |，則對(duì)任意滿足，則對(duì)任意滿足 的的x都有都有| f (x)| M. , 1|)(|0axfaxfxx)(lim0|00 xx|,|1|)(| )(|0aaaaxfxf|00 xx定理定理6 (

49、局部有界性局部有界性) 若若 ，則存在正數(shù)，則存在正數(shù)M和正和正數(shù)數(shù) ，使得當(dāng)，使得當(dāng) 時(shí)，都有時(shí)，都有axfxx)(lim0|00 xx.| )(|Mxf第64頁(yè)/共121頁(yè)第六十五頁(yè)，共122頁(yè)。66定理定理7(局部保號(hào)性局部保號(hào)性) 若若 且且a 0（或（或a 0（或（或f (x) 0. 由于由于 0，所以對(duì)正數(shù)，所以對(duì)正數(shù) ，存在存在 0，使得當(dāng)，使得當(dāng)0 | x-x0| 時(shí)有時(shí)有 . 因此，因此， .對(duì)對(duì)a N0時(shí)，均有時(shí)，均有 ，則則 . .limlimayxnnnnnnnyzxaznnlim準(zhǔn)則準(zhǔn)則I (函數(shù)極限的夾逼準(zhǔn)則函數(shù)極限的夾逼準(zhǔn)則) 如果在如果在a的去心鄰域有的去心鄰域

50、有 ，并且，并且 ，則則 . xhxgxf Axhxfaxaxlimlim Axgaxlim第74頁(yè)/共121頁(yè)第七十五頁(yè)，共122頁(yè)。76遞增數(shù)列和遞減數(shù)列統(tǒng)稱遞增數(shù)列和遞減數(shù)列統(tǒng)稱(tngchng)為單調(diào)數(shù)列為單調(diào)數(shù)列. 如果數(shù)列如果數(shù)列an滿足條件滿足條件 ，就稱就稱an是遞增的或單調(diào)增加的是遞增的或單調(diào)增加的; 如果數(shù)列如果數(shù)列an滿足條件滿足條件 ，就稱就稱an是遞減的或單調(diào)減少的是遞減的或單調(diào)減少的. 1321nnaaaaa1321nnaaaaa準(zhǔn)則準(zhǔn)則II(單調(diào)單調(diào)(dndio)有界準(zhǔn)則有界準(zhǔn)則) 單調(diào)單調(diào)(dndio)有界數(shù)列有界數(shù)列必有極限必有極限. 注注 與單調(diào)函數(shù)指嚴(yán)格單

51、調(diào)函數(shù)不同，習(xí)慣與單調(diào)函數(shù)指嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)不同，習(xí)慣(xgun)上上把廣義單調(diào)數(shù)列稱為單調(diào)數(shù)列把廣義單調(diào)數(shù)列稱為單調(diào)數(shù)列.第75頁(yè)/共121頁(yè)第七十六頁(yè)，共122頁(yè)。77重要極限重要極限1: . （利用準(zhǔn)則（利用準(zhǔn)則I來證明）來證明）1sinlim0 xxx例例1 求求 .解解 . xxx3tanlim033cos1lim33sinlim33cos133sinlim33tanlim030300 xxxxxxxxxxxx第76頁(yè)/共121頁(yè)第七十七頁(yè)，共122頁(yè)。78例例2 求求 . 20cos1limxxx解解 因?yàn)橐驗(yàn)?，所以所以 .22222222sin2122sin212sin2cos1x

52、xxxxxxx20cos1limxxx2022sin21limxxx2112122sinlim21202xxx第77頁(yè)/共121頁(yè)第七十八頁(yè)，共122頁(yè)。79重要極限重要極限2: . （利用準(zhǔn)則（利用準(zhǔn)則II證明存在性）證明存在性）1lim 1nnen例例3 求求 . 解解 令令 ，則，則 時(shí)，時(shí)， . 于是于是 .2lim 1xxx2xtx t 222111lim11lim21limettxttttxx第78頁(yè)/共121頁(yè)第七十九頁(yè)，共122頁(yè)。80例例4 求求 .10lim 1 2xxx解解 令令t = 2x,那么當(dāng)那么當(dāng)x0 時(shí)有時(shí)有t0. 因此因此, .20lim 1ttt120lim

53、1ttt1220lim 1ttte10lim 12xxx第79頁(yè)/共121頁(yè)第八十頁(yè)，共122頁(yè)。811.5 無窮小與無窮大、無窮小的比較無窮小與無窮大、無窮小的比較(bjio)第80頁(yè)/共121頁(yè)第八十一頁(yè)，共122頁(yè)。82定義定義1 如果如果f (x)當(dāng)當(dāng)xx0 （或（或x）時(shí)以）時(shí)以0為極限為極限(jxin)，則稱，則稱 f (x)是當(dāng)是當(dāng)xx0 （或（或x）時(shí)的無窮小量，簡(jiǎn)稱無窮?。r(shí)的無窮小量，簡(jiǎn)稱無窮小. 例如，當(dāng)例如，當(dāng)x1時(shí)，時(shí)，x1是一個(gè)無窮小是一個(gè)無窮小; 當(dāng)當(dāng)x 時(shí)，時(shí)， 是一個(gè)無窮小等等是一個(gè)無窮小等等. 1x定理定理1 若若 ，則，則 是當(dāng)是當(dāng) 時(shí)時(shí)的無窮小的無窮小.

54、 0 xx fxA 0limxxf xA第81頁(yè)/共121頁(yè)第八十二頁(yè)，共122頁(yè)。83 根據(jù)根據(jù)(gnj)極限性質(zhì)及四則運(yùn)算法則，可以證明下列無窮極限性質(zhì)及四則運(yùn)算法則，可以證明下列無窮小的性質(zhì)（小的性質(zhì)（1）和（）和（3）:(1) 有限個(gè)無窮小的代數(shù)和是無窮小有限個(gè)無窮小的代數(shù)和是無窮小. (2) 有界變量與無窮小的乘積是無窮小有界變量與無窮小的乘積是無窮小. (3) 有限個(gè)無窮小的乘積是無窮小有限個(gè)無窮小的乘積是無窮小. 第82頁(yè)/共121頁(yè)第八十三頁(yè)，共122頁(yè)。84證明證明(zhngmng)性質(zhì)（性質(zhì)（2）. 設(shè)在設(shè)在x0的某個(gè)去心鄰域的某個(gè)去心鄰域 ，g(x)為無為無窮小，窮小，f

55、 (x)為有界函數(shù)為有界函數(shù). 那么存在常數(shù)那么存在常數(shù)M 0使得使得| f (x)| M在在 成立；同時(shí)，對(duì)任意成立；同時(shí)，對(duì)任意 0, 存在存在 0使得當(dāng)使得當(dāng) 時(shí)都有時(shí)都有| g(x) |K)時(shí)，都有時(shí)，都有| f (x)| M， 則稱則稱f (x)是當(dāng)是當(dāng)xx0（或（或x)時(shí)的無時(shí)的無窮大窮大. 00 xxx2第85頁(yè)/共121頁(yè)第八十六頁(yè)，共122頁(yè)。87例例2 證明證明 是是 時(shí)的無窮大時(shí)的無窮大. 11x1x 證證 對(duì)任意給定的正數(shù)對(duì)任意給定的正數(shù)M，取正數(shù)，取正數(shù) ，那么，當(dāng)，那么，當(dāng) 時(shí)有時(shí)有 ， 所以，所以， 是是 時(shí)的無窮大時(shí)的無窮大. 1M01x11Mx11x1x 第8

56、6頁(yè)/共121頁(yè)第八十七頁(yè)，共122頁(yè)。88定理定理2 在同一變化過程中，在同一變化過程中，(1) 若若f (x)為無窮大，則為無窮大，則 為無窮小為無窮小;(2) 若若f (x)為無窮小且為無窮小且f (x) 0，則，則 為無窮大為無窮大. xf1 xf1第87頁(yè)/共121頁(yè)第八十八頁(yè)，共122頁(yè)。89例例3 求求 .2221lim32xxxx解解 當(dāng)當(dāng)x2 時(shí)分母的極限為時(shí)分母的極限為0，不能直接應(yīng)用商的極限運(yùn)，不能直接應(yīng)用商的極限運(yùn)算法則算法則. 但是，由于分子的極限不為但是，由于分子的極限不為0，因此，因此, 可以先求原可以先求原式倒數(shù)的極限式倒數(shù)的極限 = 0，再利用無窮小與無窮大的

57、關(guān)系，得再利用無窮小與無窮大的關(guān)系，得 = .2232lim21xxxx2221lim32xxxx第88頁(yè)/共121頁(yè)第八十九頁(yè)，共122頁(yè)。90定義定義 設(shè)設(shè)u，v是同一變化過程的兩個(gè)無窮小，即是同一變化過程的兩個(gè)無窮小，即 （如果（如果u，v是數(shù)列，是數(shù)列，lim應(yīng)理解為應(yīng)理解為 ，否則，否則，u，v是同一自變量的函數(shù)，則是同一自變量的函數(shù)，則lim應(yīng)理解為應(yīng)理解為 、 或其它單或其它單側(cè)極限過程）側(cè)極限過程）.又設(shè)又設(shè)v 0,并用并用 表示這一變化過程的極表示這一變化過程的極限限.lim0v lim0,u limn0limxxlimxlimuv第89頁(yè)/共121頁(yè)第九十頁(yè)，共122頁(yè)。9

58、1(1) 若若 ，則稱，則稱u為比為比v高階的無窮小，記為高階的無窮小，記為 ;(2) 若若 ，則稱，則稱u為比為比v低階的無窮小低階的無窮小;(3) 若若 ，則稱，則稱u與與v是同階無窮小是同階無窮小;特別地特別地, 若若 ，則稱，則稱u與與v是等價(jià)無窮小，記為是等價(jià)無窮小，記為u v. (4)如果存在正整數(shù)如果存在正整數(shù)k和常數(shù)和常數(shù)c 0,使得使得 ，則稱，則稱u是是v的的k階無窮小階無窮小.lim1uvlimuv lim0ua avlim0uv vou cvuklim第90頁(yè)/共121頁(yè)第九十一頁(yè)，共122頁(yè)。92例如，例如， 由由 ， ， ， 知，當(dāng)知，當(dāng)x0時(shí)時(shí) ， ; 當(dāng)當(dāng)x時(shí)，

59、時(shí)， 與與 是同階無窮小是同階無窮小;當(dāng)當(dāng)x1時(shí)，時(shí)，x-1是是比比(x-1)2低階的無窮小低階的無窮小. 02lim20 xxx1sinlim0 xxx2111limxxx21211limxxxxox22xx sin1x121x第91頁(yè)/共121頁(yè)第九十二頁(yè)，共122頁(yè)。93例例4 證明：當(dāng)證明：當(dāng)x0時(shí)，時(shí)，tan x -sin x x3.21證證 利用三角公式變形得利用三角公式變形得: .由于由于 , 再由再由1.4例例2知知, . 故故由極限的四則運(yùn)算法則得由極限的四則運(yùn)算法則得 所以所以tan x -sin x x3.3212tansinsin1 cos12cosxxxxxxxx0s

60、inlim1xxx201cos1lim2xxx32100002tansinsin1 cos1lim2limlimlim1 .cosxxxxxxxxxxxx12第92頁(yè)/共121頁(yè)第九十三頁(yè)，共122頁(yè)。94定理定理1 u 與與 v是等價(jià)是等價(jià)(dngji)無窮小的充分必要條件是無窮小的充分必要條件是u = v +o(v).定理定理2 設(shè)設(shè)u u , v v 且存在且存在 , 則存在則存在 且且 .limuvlimuvlimlimuuvv第93頁(yè)/共121頁(yè)第九十四頁(yè)，共122頁(yè)。95例例5 求求 .xxxx203tanlim解解 當(dāng)當(dāng)x0時(shí)時(shí), tan x x, 無窮小無窮小3x2+x 與自身