舍6-7 定積分的幾何應用

1、一、定積分的元素法一、定積分的元素法二、平面圖形的面積二、平面圖形的面積第七節(jié)第七節(jié) 定積分的幾何應用定積分的幾何應用三、旋轉體的體積三、旋轉體的體積四、平行截面面積已知的四、平行截面面積已知的 立體的體積立體的體積五、小結五、小結定積分在幾何學上的應用定積分在幾何學上的應用回顧回顧 曲邊梯形求面積的問題曲邊梯形求面積的問題( )dbaAf xx 一、定積分的元素法一、定積分的元素法曲曲 邊邊 梯梯 形形 由由 連連 續(xù)續(xù) 曲曲 線線)(xfy )0)( xf、x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、bx 所所圍圍成成。ab xyo)(xfy 定積分在幾何學上的應用定積分在幾何學上的應用面積表示為定

2、積分的步驟如下面積表示為定積分的步驟如下iiixfA )( iix （3）求和，得）求和，得A的近似值的近似值.)(1iinixfA （4）求極限，得）求極限，得A的精確值的精確值iinixfA )(lim10 ( )dbaf xx 定積分在幾何學上的應用定積分在幾何學上的應用ab xyo)(xfy 提示提示lim( )dAf xx ( )d .baf xx xdxx dA面積元素面積元素定積分在幾何學上的應用定積分在幾何學上的應用當所求量當所求量U符合下列條件：符合下列條件：（3）部分量）部分量iU 的近似值可表示為的近似值可表示為iixf )( ；定積分在幾何學上的應用定積分在幾何學上的應

3、用元素法的一般步驟：元素法的一般步驟：定積分在幾何學上的應用定積分在幾何學上的應用這個方法通常叫做這個方法通常叫做元素法元素法應用方向：應用方向：平面圖形的面積，體積。平面圖形的面積，體積。經(jīng)濟應用。其他應用。經(jīng)濟應用。其他應用。定積分在幾何學上的應用定積分在幾何學上的應用xyo)(xfy ab二、平面圖形的面積二、平面圖形的面積xxx 如何用元素法分析？如何用元素法分析？dA？， 情形一情形一 定積分在幾何學上的應用定積分在幾何學上的應用xyo)(xfy ab二、平面圖形的面積二、平面圖形的面積xxx 如何用元素法分析？如何用元素法分析？ xxfA 定積分在幾何學上的應用定積分在幾何學上的應

4、用xyo)(xfy ab二、平面圖形的面積二、平面圖形的面積xxx ddAfxx如何用元素法分析？如何用元素法分析？定積分在幾何學上的應用定積分在幾何學上的應用xyo)(xfy ab第二步：寫出面積第二步：寫出面積表達式。表達式。 ( )dbaAf xx 二、平面圖形的面積二、平面圖形的面積xxx 如何用元素法分析？如何用元素法分析？ ddAfxx定積分在幾何學上的應用定積分在幾何學上的應用Oxy,上上設在區(qū)間設在區(qū)間ba,)(的上方的上方xgy ),()(xgxf 求這兩條求這兩條曲線曲線及直線及直線bxax ,所圍成的區(qū)域的所圍成的區(qū)域的面積面積A.)(xgy )(xfy ab上上任任取取

5、一一個個在在,ba,d,xxx 的的面積元素面積元素dA為為它對應它對應 Ad xxgxfAd)()( )()(xgxf xd ab位位于于曲曲線線曲曲線線)(xfy 即即A定積分在幾何學上的應用定積分在幾何學上的應用小區(qū)間小區(qū)間xxxd 例例1解解.2, 02所圍成的圖形面積所圍成的圖形面積求由求由xxyyx 畫草圖畫草圖,求兩曲線交點的坐標以便求兩曲線交點的坐標以便解方程組解方程組: xxyyx202交點交點).3 , 3(),0 , 0(面積元素面積元素 Ad,3 , 0 x xxxAd)3(2.2903選選 為積分變量為積分變量, xxd )2(2xx x定積分在幾何學上的應用定積分在

6、幾何學上的應用確定積分限確定積分限,OxyA xxxd xxxd)3(2 xxy22 0 yx)3 , 3( 解解兩曲線的交點兩曲線的交點)1 , 1()0 , 0(面積元素面積元素2d()dAxxx選選 為積分變量為積分變量x1 , 0 x120()dAxxx 10333223 xx.31 2xy 2yx 定積分在幾何學上的應用定積分在幾何學上的應用解解兩曲線的交點兩曲線的交點).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy選選 為積分變量為積分變量x3, 2 x,0, 2)1( x321d(6)dAxxxx,3 , 0)2( x232d(6 )dAxxxx2xy xxy6

7、3 定積分在幾何學上的應用定積分在幾何學上的應用于是所求面積于是所求面積21AAA 0322(6)dAxxxx 3230(6 )dxxxx .12253 說明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式說明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式問題：問題：積分變量只能選積分變量只能選 嗎？嗎？x定積分在幾何學上的應用定積分在幾何學上的應用練習xyo)(2yx cd)(1yx xyo)(yx cd觀察下列圖形，選擇合適的積分變量求其面積：觀察下列圖形，選擇合適的積分變量求其面積：考慮選擇考慮選擇x為積分變量，如何分析面積表達式？為積分變量，如何分析面積表達式？ 情形二情形二 定積分在幾何學上的應用定積分在幾何學上

8、的應用( )ddcAyy xyo)(2yx cd)(1yx xyo)(yx cd21( )( )ddcAyyy yyy yyy 觀察下列圖形，選擇合適的積分變量：觀察下列圖形，選擇合適的積分變量：考慮選擇考慮選擇y為積分變量，如何分析面積表達式？為積分變量，如何分析面積表達式？ 定積分在幾何學上的應用定積分在幾何學上的應用由曲線由曲線)()(ygyf 和直線和直線dycy ,所圍成的區(qū)域的所圍成的區(qū)域的面積面積A.上上任任取取一一個個在在,dc,d,yyy 的的面積元素面積元素dA為為它對應它對應 yygyfAd)()(d yygyfAd)()(cd)(ygx )(yfx yyyd )(),(

9、ygxyfx cdA定積分在幾何學上的應用定積分在幾何學上的應用小區(qū)間小區(qū)間Oxy解解兩曲線的交點兩曲線的交點).4 , 8(),2, 2( 422xyxy選選 為積分變量為積分變量y4, 2 y2d4d2yAyy42d18.AA xy22 4 xy定積分在幾何學上的應用定積分在幾何學上的應用解解橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程 tbytaxsincos由對稱性知總面積等于由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積倍第一象限部分面積04daAy x 204sin d( cos )btat 2204sindabt t .ab 定積分在幾何學上的應用定積分在幾何學上的應用分成若干塊上面討論過的那兩種區(qū)域

10、分成若干塊上面討論過的那兩種區(qū)域,只要分別只要分別一般情況下一般情況下,由曲線圍成的有界區(qū)域由曲線圍成的有界區(qū)域,總可以總可以算出每塊的面積再相加即可算出每塊的面積再相加即可.(2)(1)(1)(2)定積分在幾何學上的應用定積分在幾何學上的應用 旋轉體旋轉體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉一周而成的立體這直線叫做一條直線旋轉一周而成的立體這直線叫做旋轉軸旋轉軸圓圓柱柱三、旋轉體的體積三、旋轉體的體積(volume of body)（1）定積分在幾何學上的應用定積分在幾何學上的應用圓圓錐錐圓圓臺臺三、旋轉體的體積三、旋轉體的體積(volume of body)

11、（3）（2）定積分在幾何學上的應用定積分在幾何學上的應用)(xfy ba,bax Vdxxd 旋轉體的體積旋轉體的體積xxfVd)(2 采用元素法采用元素法如果旋轉體是由連續(xù)曲線如果旋轉體是由連續(xù)曲線),(xfy 直線直線bxax ,及及 x 軸所圍成的軸所圍成的曲邊梯形繞曲邊梯形繞x 軸旋轉一周而成的立體軸旋轉一周而成的立體,體積為多少體積為多少?取取積分變量為積分變量為x,上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間在在,ba,d,xxx xd以以為底的為底的小曲邊梯形小曲邊梯形繞繞 x 軸軸旋轉而旋轉而成的薄片的成的薄片的體積元素體積元素 2)(xfxdab（1）定積分在幾何學上的應用定積分在幾何學上的應用

12、Oxyx解解1 , 0 x.1 , 02軸旋轉形成的體積軸旋轉形成的體積上繞上繞在在求求xxy xyVdd2 體積元素體積元素xx d4 dxxV4 xxfVd)(d2 例例6取取積分變量為積分變量為x,5 01oxy12xy 定積分在幾何學上的應用定積分在幾何學上的應用yyVd)(2 )(yx 如果旋轉體是由連續(xù)曲線如果旋轉體是由連續(xù)曲線),(yx dycy ,及及 y 軸所圍成的軸所圍成的曲邊梯形繞曲邊梯形繞y 軸旋轉一周而成的立體軸旋轉一周而成的立體, 體積為多少體積為多少?(2)直線直線 Vd體積元素體積元素 2)(y yd旋轉體的體積旋轉體的體積cd定積分在幾何學上的應用定積分在幾何

13、學上的應用Oxycd),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxydxxVx210)( 2xy 2yx 22xyyxxy例7：求由拋物線和所圍成的圖形繞 軸、 軸旋轉所成立體的體積。1052)5121(xx 103)5121( 解：兩曲線的交點為：解：兩曲線的交點為：dxx2102)( 定積分在幾何學上的應用定積分在幾何學上的應用Oxya 2解解 xV 20323d)coscos3cos31(tttta.532a *例例8 求擺線求擺線的的一拱一拱與與y=0所圍成的所圍成的圖形分別繞圖形分別繞x軸、軸、y軸旋轉而成的軸旋轉而成的旋轉體的體積旋轉體的體積.繞繞 x軸軸旋轉的旋轉體體積旋轉的旋轉

14、體體積 xxyd)(2 0a 2)sin(ttax 變量代換變量代換0 20a 2定積分在幾何學上的應用定積分在幾何學上的應用ttad)cos1( 22)cos1(ta )cos1(),sin(tayttax Oxya 2a a2o yVyyxd)(21 )(2yxx .633a 繞繞 y軸軸旋轉的旋轉體體積旋轉的旋轉體體積ABC可看作平面圖形可看作平面圖形OABC與與OBC分別繞分別繞 y軸軸旋轉構成的旋轉旋轉構成的旋轉體的體積之差體的體積之差.BCoyyxd)(22 )cos1()sin(tayttax擺線擺線22)sin(tta ttadsin 2 22)sin(tta ttadsin

15、00)(Aa2)(B0)(Oa2)(B定積分在幾何學上的應用定積分在幾何學上的應用 203223d)sinsin2sin(tttttta)(1yxx 2023dsin)sin(tttta軸軸所所圍圍成成圖圖形形繞繞和和求求拋拋物物線線yxyxy 2.旋旋轉轉所所得得旋旋轉轉體體的的體體積積解解 兩曲線的交點為兩曲線的交點為).1 , 1()0 , 0(和和繞繞y軸旋轉軸旋轉 V 1022d)(yy 2xy xy 1yyd)(102 103 定積分在幾何學上的應用定積分在幾何學上的應用)1 , 1( xyO 104d)(yyy 補充補充2|( )|dbyaVxf xx 利用這個公式，可知上例中利

16、用這個公式，可知上例中 2222002002202cosd2d sin2 sin2sin d2cos2Vxxxxxxxx xx 定積分在幾何學上的應用定積分在幾何學上的應用旋轉體體積公式旋轉體體積公式( ),yf xayxxbxx由由曲曲線線，直直線線及及 軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞軸軸旋旋轉轉一一周周所所成成的的立立體體體體積積分分別別為為2 ( )bxaVf xdx 2( )byaVxf x dx ( ),xg ycyyydyx由由曲曲線線，直直線線及及 軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞軸軸旋旋轉轉一一周周所所成成的的立立體體體體積積分分別別為為2( )dxcVyg

17、y dy 2 ( )dycVg ydy 定積分在幾何學上的應用定積分在幾何學上的應用四、平行截面面積為已知的立體的體積四、平行截面面積為已知的立體的體積上垂直于一定軸的各個截面面積上垂直于一定軸的各個截面面積,xxAVd)(d .d)( xxAV立體體積立體體積如果一個立體不是旋轉體如果一個立體不是旋轉體,但卻知道該立體但卻知道該立體的體積也可用定積分來計算的體積也可用定積分來計算.那么那么,這個立體這個立體)(xA表示過點表示過點x且垂直于且垂直于x軸的軸的截面面積截面面積,)(xA為為x的已知連續(xù)函數(shù)的已知連續(xù)函數(shù).采用元素法采用元素法體積元素體積元素ba定積分在幾何學上的應用定積分在幾何

18、學上的應用a xbxxd xOx)(xA解解 取坐標系如圖取坐標系如圖底圓方程底圓方程222Ryx x,22xRy ,tan22 xRh 例例9 一平面經(jīng)過半徑為一平面經(jīng)過半徑為 R 的圓柱體的底圓中心的圓柱體的底圓中心,并與底面交成角并與底面交成角, 計算這平面截圓柱體所得計算這平面截圓柱體所得立體的體積立體的體積.垂直于垂直于x軸的截面為直角三角形軸的截面為直角三角形.底邊底邊高高 截面面積截面面積,tan)(21)(22 xRxA 立體體積立體體積.tan323 R 定積分在幾何學上的應用定積分在幾何學上的應用hxxRdtan)(2122 R baxxAVd)(02RR Oxyh V解解

19、 取坐標系如圖取坐標系如圖底圓方程為底圓方程為222Ryx 截面面積截面面積 )(xA立體體積立體體積xxRhVRRd22 hR221 垂直于垂直于x軸的截面為等腰三角形軸的截面為等腰三角形例例10 yh22xRh 定積分在幾何學上的應用定積分在幾何學上的應用求以求以半徑為半徑為R的圓為底、平行且等于底圓直徑的圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、高為的線段為頂、高為h的正劈錐體的體積的正劈錐體的體積.xOxyR五、小結定積分的元素法定積分的元素法平面圖形的面積平面圖形的面積旋轉體的體積旋轉體的體積平行截面面積已知的立體的體積平行截面面積已知的立體的體積()dbaVA xx 2 ( ) dba

20、Vf xx 2 ( ) ddcVyy 21( )( )dbaAfxfxx 定積分在幾何學上的應用定積分在幾何學上的應用思考題思考題1 設曲線設曲線)(xfy 過原點及點過原點及點)3 , 2(，且，且)(xf為單調函數(shù)，并具有連續(xù)導數(shù)，今在曲線上任為單調函數(shù)，并具有連續(xù)導數(shù)，今在曲線上任取一點作兩坐標軸的平行線，其中一條平行線取一點作兩坐標軸的平行線，其中一條平行線與與x軸和曲線軸和曲線)(xfy 圍成的面積是另一條平圍成的面積是另一條平行線與行線與y軸和曲線軸和曲線)(xfy 圍成的面積的兩圍成的面積的兩倍，求曲線方程倍，求曲線方程.定積分在幾何學上的應用定積分在幾何學上的應用思考題思考題1

21、解答解答1S2Sxyo)(xfy ),(yx122SS 20( )dxSf xx 120( )dxSxySxyf xx 00( )d2( )d xxf xxxyf xx 03( )d2,xf xxxy 兩邊同時對兩邊同時對 求導求導x定積分在幾何學上的應用定積分在幾何學上的應用yxyxf 22)(3yyx 2積分得積分得,2cxy 因因為為曲曲線線)(xfy 過過點點)3 , 2(29 c,292xy 因因為為)(xf為為單單調調函函數(shù)數(shù)所以所求曲線為所以所求曲線為.223xy 定積分在幾何學上的應用定積分在幾何學上的應用思考題思考題2 求求曲曲線線4 xy，1 y，0 x所所圍圍成成的的圖圖形形繞繞y