現(xiàn)代控制理論--- 課件 (5)

1、第五章第五章 線性反饋控制系統(tǒng)的綜合線性反饋控制系統(tǒng)的綜合第五章第五章 線性反饋控制系統(tǒng)的綜合線性反饋控制系統(tǒng)的綜合 綜合：在給定被控對(duì)象的情況下，研究如何通過(guò)確定系統(tǒng)的控制規(guī)律（包括確定控制器的結(jié)構(gòu)及參數(shù)，或者確定施加于系統(tǒng)的控制作用等），來(lái)滿足系統(tǒng)所預(yù)期的運(yùn)動(dòng)形式或性能指標(biāo)要求。 要求的運(yùn)動(dòng)形式或性能指標(biāo)可分為非優(yōu)化型和優(yōu)化型兩種。 4）使一個(gè)多輸入多輸出系統(tǒng)變成為“一個(gè)輸入量只控制一個(gè)輸出量，一個(gè)輸出量只受一個(gè)輸入量控制” 為目標(biāo)解耦控制問(wèn)題；非優(yōu)化型性能指標(biāo)：1）以一組期望的閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)作為目標(biāo)極點(diǎn)配置問(wèn)題；2）以系統(tǒng)在平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定作為目標(biāo)鎮(zhèn)定問(wèn)題；3）使輸出無(wú)靜差地跟蹤外部給定信號(hào)

2、為性能指標(biāo)漸近跟蹤問(wèn)題； 控制規(guī)律一般采用“反饋控制”形式，這是由于反饋控制在抗擾動(dòng)和抗參數(shù)變動(dòng)等方面具有明顯優(yōu)勢(shì) 。還有一些為控制系統(tǒng)的工程實(shí)現(xiàn)而提出的問(wèn)題，主要有： （1）狀態(tài)反饋的實(shí)現(xiàn)問(wèn)題。很難通過(guò)直接量測(cè)獲取全部狀態(tài)變量。 （2）外部擾動(dòng)影響的抑制問(wèn)題。擾動(dòng)對(duì)跟蹤精度會(huì)產(chǎn)生直接的影響。 （3）系統(tǒng)模型的不準(zhǔn)確和系統(tǒng)參數(shù)的攝動(dòng)問(wèn)題。魯棒性分析及設(shè)計(jì) 。 優(yōu)化型性能指標(biāo)：使描述系統(tǒng)性能或品質(zhì)的某些“指標(biāo)”在一定意義下達(dá)到最優(yōu)值。 取系統(tǒng)的控制作用為： uKxv npq維維維 xxAxBuuyCxy一、狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的構(gòu)成一、狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的構(gòu)成1 狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)0 p

3、 np其中： 為矩陣， 為 維列向量： 調(diào)節(jié)問(wèn)題跟蹤問(wèn)題為確定性的時(shí)間向量函數(shù) 恒值控制為常值向量K 控制作用是狀態(tài)負(fù)反饋。被控對(duì)象（或開(kāi)環(huán)系統(tǒng)）： 這時(shí)系統(tǒng)矩陣由A變?yōu)?A-BK)，系統(tǒng)的極點(diǎn)由 的根變?yōu)?的根。系統(tǒng)的n個(gè)極點(diǎn)通過(guò)K的變化而變化，從而影響系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)形式 。() xABK xBvyCx這時(shí)狀態(tài)反饋系統(tǒng)（閉環(huán)系統(tǒng)）的動(dòng)態(tài)方程為：det()0s IABKdet()0s IA一個(gè)好的狀態(tài)反饋系統(tǒng)應(yīng)是極點(diǎn)可以任意配置的。對(duì)于n個(gè)任意指定的期望極點(diǎn) 可以得到閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式： 二、極點(diǎn)任意配置的條件二、極點(diǎn)任意配置的條件 定理：一個(gè)線性定常系統(tǒng)可通過(guò)狀態(tài)反饋控制任意配置它的全部極點(diǎn)

4、的充要條件是系統(tǒng)完全能控。證明： 充分性。設(shè)系統(tǒng)能控，則必存在 將原系統(tǒng)化為能控標(biāo)準(zhǔn)形，即xPx僅就單輸入單輸出的情況進(jìn)行討論。011010101nuuaaa x = Ax+bx+(1,2, )iin *1*1101( )()nnninisssasa sau kxkPxkx引入狀態(tài)反饋： 設(shè)狀態(tài)反饋行向量取值為： 011001111 nnnkkkaaaaaakkP得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： 001111011011()0100 ( )10011010101 nnnnuaaaaaauaaauaaa x = A bk x+bx+ x+對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為： 1*110det()det() (

5、)nnnsssasa sasIA bkIA bk 與任意指定的n個(gè)期望極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式一致，即按上面式子取狀態(tài)反饋行向量總能使閉環(huán)系統(tǒng)的n個(gè)極點(diǎn)位于任意指定的位置上。 所以，只要開(kāi)環(huán)系統(tǒng)能控，總存在狀態(tài)反饋控制可以任意地配置閉環(huán)系統(tǒng)的全部極點(diǎn)。充分性得證。 必要性。（反證法）設(shè)系統(tǒng)不能控，必能通過(guò)非奇異變換 進(jìn)行按能控性分解： xPx1200 uycccccccccccxxAAbxxAxxccx引入狀態(tài)反饋： 12u ccxkxkpxkkx 得閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣為： 12112212000cccccccAAbAb kAb kAbkkkAA相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為：11221de

6、t()det() detdet() det()0sssssscccccccIAbkIAbkIAb kAb kIAb kIAIA狀態(tài)反饋能改變系統(tǒng)能控部分的極點(diǎn)： 1det()0 s 的根。ccIAb kdet()0 s 的根。cIA 不能改變系統(tǒng)不能控部分的極點(diǎn)：所以，要通過(guò)狀態(tài)反饋控制配置系統(tǒng)全部極點(diǎn)，必須是系統(tǒng)能控。 （4）由 ，解n個(gè)聯(lián)立的代數(shù)方程，得到（3）由閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程寫出閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式 ：（2）由給定的期望閉環(huán)極點(diǎn)組 ，寫出期望的特征多項(xiàng)式 ：三、單輸入系統(tǒng)極點(diǎn)配置算法三、單輸入系統(tǒng)極點(diǎn)配置算法*(1,2, )iin( )S 求取狀態(tài)反饋向量k，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)位于期望

7、位置上（具體位置由所要求的系統(tǒng)性能決定）。下面給出3種方法。*( ) s1方法一（解聯(lián)立方程）：（1）判斷被控對(duì)象的能控性 ； *1*1101( )()nnninisssasa sa011( )det()( ,)nsss k kkIAbk*( )( )ssn011, ,nk kk*12,3000116000112021uj ，期望極點(diǎn)為 ，求狀態(tài)反饋向量 。xxk 例例5 51 1解解：首先由能控性矩陣判斷系統(tǒng)的能控性：100016 0012系統(tǒng)能控。cQb Ab A b由給定的期望閉環(huán)極點(diǎn)組，寫出期望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式 ：*( ) s3*12( )()464iissssssss3（ +2)(

8、+1-j)( +1+j) =由閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程寫出閉環(huán)特征多項(xiàng)式 ：( ) s01201232001012000001( )det()det( 001600 )0001120det160(18)(72 18)(7212)0112 sssskkksskkkssk skk skkks IAbk*3232001012( )( ) (18)(72 18)(7212)464sssk skk skkksss由有得聯(lián)立方程：00101218472 18672124kkkkkk01214 186 1220kkk得：可畫出狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖：即狀態(tài)反饋向量為： 141861220k =2方法二（利用

9、能控規(guī)范型求）： 由上面證明過(guò)程可知，先變換為能控規(guī)范型給求解狀態(tài)反饋行向量帶來(lái)方便，其具體步驟是：（1）同樣要先判斷被控對(duì)象的能控性 ； （2）求得開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式：1110detnnnssasa saIA（3）由給定的期望極點(diǎn)組求得期望的特征多項(xiàng)式 ：*1*1101( )()nnninisssasa sa（4）按被控對(duì)象是能控規(guī)范型形式求得新?tīng)顟B(tài)空間中的狀態(tài)反饋行向量： 011001111 nnnkkkaaaaaak（5）求取將原系統(tǒng)化為能控規(guī)范型的變換矩陣P； （6）由 求得狀態(tài)反饋行向量P。 1k = kP( , ) ( , ) x PxA bA b極點(diǎn)配置1k=kPk011001

10、111 nnnkkkaaaaaakkP能控標(biāo)準(zhǔn)型可圖示如下：上例：*12,3000116002101120uj ，求 。xxk21001016001（），能控cQbAbA b*321233( )()()()464sssssss（ ）3200( )det()det16018720112ssssssss(2)IA *0120011224 406724 1846614kkkaaaaaa（ ）k解：解：11721816466141210100001 466140112141861220118144 （ ）k = kP結(jié)果與方法1一樣。1222110072181721815100161810121010

11、0001100100aaa（ ）PbAbA b3方法三（艾克曼公式）：由給定的期望極點(diǎn)組，可得期望的特征多項(xiàng)式 ：*1*1101( )()nnninisssasa sa閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣為： ， kAAbk它的各次冪為： 0kAI1kAAbk22()()kkAAbkAbkAAbkbkA32322()()kkkkAAbkAAbkbkAAA bkAbkAbkA121 nnnnnkkkAAAbkAbkAbkA*0 a*1 a*2 a*3 a* na）*()( )kcAAQ M式中：*1*110()()()nnkknkkaaaAAAA*1*110( )nnnaaaAAAA0（凱萊哈密頓定理） *(1)

12、na 21ncQbAbA bAb1*2*112*3*123*4*13*1nnknknnknknnknkknaaaaaaakAkAkkAkAkkAkAkMkAkk能控性矩陣 注意到所求的狀態(tài)反饋行向量k是 維矩陣M的最后一行，所以有 ： n n1*001001( )ck =MQA1*( )cMQA如果記 為 的最后一行，并有 ，上式可寫為 ：cq得：1cQ*1*110( )nnnaaaAAAA*0( ) (1)nicicniaak = qAq A上式為艾克曼公式，利用它求解k的步驟： （1）判別被控對(duì)象的能控性； （2）求出能控性矩陣的逆陣 ，并取其最后一行 ； cq1cQ（3）由給定的期望極點(diǎn)

13、組，求得期望的特征多項(xiàng)式 ：*1*1101( )()nnninisssasa sa（4）利用艾克曼公式求得狀態(tài)反饋行向量： *0( ) (1)nicicniaak = qAq A*12,3000116002101120uj ，求 。xxk上例：上例：解：解：21001016001（），能控cQbAbA b11100100016016001001cQ（2）求得：001cq（3） 3*321( )()211464iissssjsjsss （)()()（4） *0*1*2*3012323000000000 4 0 0 16 0 0 1 1604 0 0 1 1600 0 1 160011201120

14、112 0 0 40 672472 57618 252172814 1861220 ccccaaaa k=q Aq Aq Aq A結(jié)果與前面的方法一樣。四、多輸入系統(tǒng)極點(diǎn)配置算法四、多輸入系統(tǒng)極點(diǎn)配置算法 多輸入系統(tǒng)的狀態(tài)反饋矩陣K是 維的，有 個(gè)元素可變，而系統(tǒng)只有n個(gè)極點(diǎn)需配置。所以極點(diǎn)配置計(jì)算較復(fù)雜，K不唯一。 pnpn本教材介紹了三種極點(diǎn)配置計(jì)算方法： 1化為單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置算法； 2基于旺納姆能控規(guī)范型的極點(diǎn)配置算法；3基于龍伯格能控規(guī)范型的極點(diǎn)配置算法； 五、關(guān)于極點(diǎn)配置的幾點(diǎn)說(shuō)明：五、關(guān)于極點(diǎn)配置的幾點(diǎn)說(shuō)明：（1）實(shí)現(xiàn)多輸入系統(tǒng)極點(diǎn)配置的狀態(tài)反饋矩陣K不是唯一的，滿足閉環(huán)極點(diǎn)

15、期望值的K都是極點(diǎn)配置的正確值，但是其元素取值較小的矩陣K更具工程意義。 （2）在安排閉環(huán)極點(diǎn)位置時(shí)，既要考慮具有較大負(fù)實(shí)部的閉環(huán)極點(diǎn)，使過(guò)渡過(guò)程加快，也要考慮這將使所需的控制量幅值增大，導(dǎo)致系統(tǒng)響應(yīng)的幅值增大。（3）閉環(huán)零點(diǎn)也會(huì)影響系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。狀態(tài)反饋控制在改變系統(tǒng)極點(diǎn)位置的同時(shí)，對(duì)系統(tǒng)零點(diǎn)位置的影響有下面二點(diǎn)結(jié)論：1）單輸入單輸出系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制一般不改變系統(tǒng)的零點(diǎn)，除非配置的極點(diǎn)與零點(diǎn)相消（消去的極點(diǎn)對(duì)應(yīng)了不能觀的狀態(tài)變量 ）。2）多輸入多輸出系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制，傳遞函數(shù)矩陣各元的零點(diǎn)可能會(huì)改變。下面用例子說(shuō)明。 10010102020 0 1 21000311ABC例例55 考慮

16、由如下系數(shù)矩陣決定的線性定常系統(tǒng) 為配置系統(tǒng)的極點(diǎn)，引入狀態(tài)反饋矩陣： 61515030K試比較狀態(tài)反饋控制前后的系統(tǒng)極點(diǎn)及零點(diǎn)。 解：解： 狀態(tài)反饋控制前系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為 1352(1)(3)3( )()2112ssssssssGCIAB系統(tǒng)極點(diǎn)為1，2，3。 狀態(tài)反饋控制后閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為 21352127(2)(3)(1)(2)(3)( )()2(3)(3)(8)(2)(3)(1)(2)(3)kssssssssssssssssssGCIA+ BKB 系統(tǒng)極點(diǎn)為1，2，3。傳遞函數(shù)矩陣的大部分元的分子多項(xiàng)式發(fā)生了變化，表明對(duì)應(yīng)的零點(diǎn)改變了。 （4）當(dāng)被控系統(tǒng)不能控時(shí)，不能通過(guò)狀

17、態(tài)反饋任意配置n個(gè)極點(diǎn)。但是，如果期望的n個(gè)極點(diǎn)中包含了所有不能控的極點(diǎn)時(shí)，仍然可以通過(guò)狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)對(duì)這樣一組極點(diǎn)的配置。六、狀態(tài)反饋對(duì)系統(tǒng)能控性和能觀性的影響六、狀態(tài)反饋對(duì)系統(tǒng)能控性和能觀性的影響 （1）狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的能控性。 中 的各列可由 的各列線性組合表示， 的各列可由 的各列線性組合表示。依此類推， 的各列都可由 的各列線性組合表示。所以有 這是因?yàn)?，開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的能控性矩陣為： 21ncQBABA BAB閉環(huán)系統(tǒng)的能控性矩陣為： 21()()()ncKQBABK BABKBABKBcKQ()ABK B2()ABKBBAB2BAB A B cKcrankrankQQcKQcQ（2）

18、狀態(tài)反饋有可能改變系統(tǒng)的能觀性。 例如一個(gè)能控能觀的單輸入單輸出系統(tǒng)，在狀態(tài)反饋控制下,當(dāng)配置的極點(diǎn)正好與不變的系統(tǒng)零點(diǎn)相消時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)不再是既能控又能觀了，但系統(tǒng)的能控性沒(méi)有改變，只有系統(tǒng)的能觀性改變了。 例例56 分析下面系統(tǒng)在狀態(tài)反饋控制下的能控、能觀性 04u x+1200311 1uy xx=x解：解： 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的能控性、能觀性矩陣分別為 0213cQbAb1115ocQcA開(kāi)環(huán)系統(tǒng)既能控又能觀。 閉環(huán)系統(tǒng)的能控性、能觀性矩陣分別為 02()11ckQbAbk b1 1()1 1okcQc Abk閉環(huán)系統(tǒng)能控不能觀。 閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為11( )()(1)(1)ksgsssscIA

19、bkb =出現(xiàn)了零極點(diǎn)相消現(xiàn)象，消掉的極點(diǎn)（1）對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量不能觀。 2 、 輸出反饋控制系統(tǒng)輸出反饋控制系統(tǒng) 將輸出量通過(guò)反饋矩陣引入到系統(tǒng)輸入端的一種控制形式。輸出量通?？偸强梢粤繙y(cè)的，所以優(yōu)點(diǎn)在于它的物理實(shí)現(xiàn)性 。一、輸出反饋控制系統(tǒng)的構(gòu)成一、輸出反饋控制系統(tǒng)的構(gòu)成 取系統(tǒng)的控制量為： uHy p qp為矩陣， 為 維列向量H 閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為： () xABHC xByCx 二、輸出反饋控制系統(tǒng)的極點(diǎn)配置二、輸出反饋控制系統(tǒng)的極點(diǎn)配置 輸出反饋控制是否與狀態(tài)反饋控制一樣能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)極點(diǎn)的任意配置呢？回答是否定的。 首先看一下二者是否等價(jià)，若等價(jià)則必須有： KHC已知H必可求

20、K，即狀態(tài)反饋可以替代任何輸出反饋。 但是，一般情況下已知K 不能求出H，即輸出反饋不能替代狀態(tài)反饋。 有如下結(jié)論：輸出反饋控制一般不能任意配置系統(tǒng)的全部極點(diǎn)。 說(shuō)明：（以單輸入單輸出系統(tǒng)為例說(shuō)明）閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：1( )()sshhGcIAb cbpqpnqn( )det()hssh其中特征多項(xiàng)式為： IAb c1 ()()()shssh注意到： IAb cIA IIAb c2112 det( )( )det( )( )ssss應(yīng)用關(guān)系式：IGGIGG1( )det() 1()hsshsIAcIAb可得：111det() ()det() () 1()(1 1shhsh s ）IIAbc

21、IcIAbc IAb 有： det()( ) ( )( )0ssss（為開(kāi)環(huán)極點(diǎn)）記：為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式IA1( )() ( ) ( )0 ssss開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)）（開(kāi)環(huán)零點(diǎn)）有：為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)c IAb( ) ( )( ) 1( )( ) ( )hssshshss 所以閉環(huán)特征多項(xiàng)式可寫為：h變化時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)如何變化，能否任意變化？( )( )( )0 hsshs閉環(huán)極點(diǎn)是方程 的根。 由經(jīng)典控制理論的根軌跡法，上式是根軌跡的基本方程式。可見(jiàn)，當(dāng)輸出反饋矩陣（這里是標(biāo)量h ）變化時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)只能在以開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為“始點(diǎn)”以開(kāi)環(huán)零點(diǎn)或無(wú)窮遠(yuǎn)處為“終點(diǎn)”的一組有限的線段（根軌跡）上

22、變化，而不能落在這些線段以外的位置上。 從輸出方程也可看出，輸出反饋是將狀態(tài)變量按一定規(guī)則組合以后的反饋控制，它減小了狀態(tài)反饋的自由度。因此可以說(shuō)，輸出反饋是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)信息的不完全反饋，對(duì)應(yīng)地，狀態(tài)反饋是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)信息的完全反饋。 對(duì)于n維能控能觀系統(tǒng)，如果 則可對(duì) 個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)實(shí)現(xiàn)“任意接近”地配置。rankBprankCq， 如要對(duì)全部極點(diǎn)實(shí)現(xiàn)任意配置，可以在引入上述輸出反饋的同時(shí)，引入附加的串聯(lián)補(bǔ)償器?；蛘卟捎貌⒙?lián)補(bǔ)償器替代輸出反饋。當(dāng)然補(bǔ)償器的引入會(huì)提高系統(tǒng)的階次 。min( ,1)n pq 輸出反饋系統(tǒng)的極點(diǎn)配置問(wèn)題曾經(jīng)是控制理論的研究熱點(diǎn)，其中得到一些可供我們參考的結(jié)論： 三、輸出反饋對(duì)

23、系統(tǒng)能控性和能觀性的影響三、輸出反饋對(duì)系統(tǒng)能控性和能觀性的影響（1）輸出反饋不改變系統(tǒng)的能控性。 將輸出反饋視為特定的狀態(tài)反饋，而狀態(tài)反饋是不改變系統(tǒng)能控性的。 （2）輸出反饋不改變系統(tǒng)的能觀性。開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的能觀性矩陣： 閉環(huán)系統(tǒng)的能觀性矩陣 ：21onCCAQCACA21()()()oHnCC ABHCQC ABHCC ABHC 的各行可由 的各行線性組合表示， 的各行可由 的各行線性組合表示。依此類推， 的各行都可由 的各行線性組合表示。所以有： ()C ABHCTTTTCA C2()C ABHC2()TTTTTTCA C AC oHorankrankQQoHQoQ3 系統(tǒng)鎮(zhèn)定問(wèn)題系統(tǒng)鎮(zhèn)定問(wèn)

24、題 對(duì)于線性定常系統(tǒng)，如果可以找到狀態(tài)反饋（或輸出反饋）使閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)反饋（或輸出反饋）可鎮(zhèn)定的。 從系統(tǒng)極點(diǎn)的角度看，系統(tǒng)鎮(zhèn)定就是通過(guò)狀態(tài)反饋（或輸出反饋）使閉環(huán)系統(tǒng)的全部極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部，所以系統(tǒng)鎮(zhèn)定的目標(biāo)是通過(guò)狀態(tài)反饋（或輸出反饋）將系統(tǒng)的全部極點(diǎn)分布在左半開(kāi)s平面，而不必配置在具體指定的位置上，因此系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問(wèn)題實(shí)際上是極點(diǎn)配置的一種特殊情況。一、狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定一、狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定 通過(guò)設(shè)計(jì)合適的狀態(tài)反饋矩陣K，使閉環(huán)系統(tǒng)的全部極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部。 1. 狀態(tài)反饋可鎮(zhèn)定條件結(jié)論：線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)反饋可鎮(zhèn)定的充要條件是系統(tǒng)的不能控部分漸近穩(wěn)定。 因?yàn)?對(duì)于不完全能控的系統(tǒng)

25、 ，必存在非奇異變換 將其按能控性分解為：xPx()A B CA B C,1200 cccccccccccxxBAAxuxAxxyCCx新?tīng)顟B(tài)空間有狀態(tài)反饋矩陣: 12KKPKK所以有: 11221det()det()det0 det() det()sssssscccccccIAB KAB KIABKIABKIAIAB KIA由子系統(tǒng) 能控，必存在 使 的根具有負(fù)實(shí)部，但不能控子系統(tǒng)的極點(diǎn)不受狀態(tài)反饋控制的影響。因此，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的不能控部分是漸近穩(wěn)定時(shí)，系統(tǒng)是狀態(tài)反饋可鎮(zhèn)定的。 (,)ccccA B C 1K1det()0s ccIAB K 把原系統(tǒng) 經(jīng)非奇異變換 按能控性分解，得出能控子系

26、統(tǒng) 和不能控子系統(tǒng)，判別可鎮(zhèn)定性。并求出 。 2、狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定算法 目的是通過(guò)狀態(tài)反饋控制將位于右半閉s平面上的極點(diǎn)調(diào)整到左半開(kāi)s平面。嚴(yán)密的算法應(yīng)該是：(,)cccA BxPx 對(duì)能控子系統(tǒng)進(jìn)行非奇異變換 ，化為特征值規(guī)范型，即得: ()A B CA B C,1P 當(dāng)被控系統(tǒng)能控時(shí)，系統(tǒng)的全部極點(diǎn)都能在狀態(tài)反饋控制作用下實(shí)現(xiàn)任意配置，當(dāng)然能保證閉環(huán)極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部?？梢?jiàn)，系統(tǒng)能控是狀態(tài)反饋可鎮(zhèn)定的充分條件。 ccxQx11112200，ccccBAAQ A QBQ BAB其中： 為 陣，且全部特征值都大于等于0（右半閉s平面）。 為 陣，且全部特征值都小于 0 （左半開(kāi)s平面）。11nn22

27、nn并求出變換陣 。 利用極點(diǎn)配置算法，求出 維反饋矩陣 使 的特征值均具有負(fù)實(shí)部（位于左半開(kāi)s平面）。1np1K111() AB K 通過(guò)反變換求出原系統(tǒng)的狀態(tài)反饋陣：1110KKQ P1A2A1Q例例57: 通過(guò)狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定如下系統(tǒng)100102010050u x =x + 解解:（1）由能控性的對(duì)角線規(guī)范型判據(jù)可知系統(tǒng)不能控，且狀態(tài)方程已經(jīng)具有按能控性分解的形式，所以容易寫出能控子系統(tǒng)的狀態(tài)方程，即: 101021uu cccccxA xbx（2）能控子系統(tǒng)已經(jīng)是對(duì)角陣（相當(dāng)于 ），且2個(gè)極點(diǎn)為：1、2；Q = I 不能控部分的特征值為5，不能控部分漸近穩(wěn)定，故系統(tǒng)是狀態(tài)反饋可鎮(zhèn)定的。 P

28、 = I（3）為保證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，設(shè)期望的系統(tǒng)極點(diǎn)為：1,222sj *2( )(22)(22)48ssjsjss期望的特征多項(xiàng)式為： 容易驗(yàn)證，在k-13 20 0的狀態(tài)反饋控制作用下，系統(tǒng)的極點(diǎn)由原來(lái)位于1，2，-5變?yōu)?-2+j2，-2-j2，-5的位置，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)鎮(zhèn)定。而根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程得出的特征多項(xiàng)式為： 1121221212120101( )det()det()00211 det(3)(22)2ssskksskkskkskkksk ccIAb k12 ( )( ) 13,20 sskk 由解得： （4）由于沒(méi)有經(jīng)過(guò) P 和Q的非奇異變換（相當(dāng)于PI,QI），所以 有： 1013

29、200 kk 上述狀態(tài)鎮(zhèn)定計(jì)算過(guò)程較復(fù)雜，特別是第2步化為特征值規(guī)范型。通?？梢圆捎孟铝兴惴ǎ?判別系統(tǒng)的能控性，若能控轉(zhuǎn)去，若不能控則下一步； 把原系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換 按能控性分解，得出能控子系統(tǒng) 和不能控子系統(tǒng)，判別可鎮(zhèn)定性。并求出 。 xPx(,)cccA B 1P若系統(tǒng)是狀態(tài)反饋可鎮(zhèn)定的，則對(duì)能控子系統(tǒng)任意指定個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)于能控子系統(tǒng)維數(shù)的位于左半開(kāi)S平面的期望極點(diǎn)，并按狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置算法求出狀態(tài)反饋矩陣 ；1K 通過(guò)反變換求出原狀態(tài)空間的狀態(tài)反饋矩陣：110KKP 若系統(tǒng)能控，任意指定 n 個(gè)位于左半開(kāi)S平面的期望極點(diǎn)，并按狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置算法求出狀態(tài)反饋矩陣K。是指被控對(duì)象在輸出反饋

30、作用下，通過(guò)設(shè)計(jì)合適的輸出反饋矩陣H，使閉環(huán)系統(tǒng) 的全部極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部。 結(jié)論：線性定常系統(tǒng)輸出反饋可鎮(zhèn)定的充要條件是其能控不能觀、不能控能觀和不能控不能觀三部分都是漸近穩(wěn)定的，并且其能控能觀部分是可按鎮(zhèn)定配置極點(diǎn)的。 二、輸出反饋鎮(zhèn)定二、輸出反饋鎮(zhèn)定 uHy (,)HABHC B C 1輸出反饋可鎮(zhèn)定條件 這是因?yàn)椋焊鶕?jù)線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解理論，一個(gè)不能控不能觀的系統(tǒng)可分解為規(guī)范形式，其各系數(shù)矩陣為： 13212324430000000cocococoAAAAAAAAAA00cocoBBB00cocoCCC引入輸出反饋矩陣 ，在新?tīng)顟B(tài)空間中閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣為： H13212324430000

31、000cocococococococococococoAB HCAB HCAB HCAAB HCAABHCAAA非奇異變換不改變系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式，故有： 1321232443det()det()00 det00000 det() det() det()ssssssssscococococococococococococococococoIABHCIABHCIAB HCAB HCAB HCIAAB HCAIAAIAIAB HCIAIAdet()scoIA 表明，引入輸出反饋 ，只影響既能控又能觀子系統(tǒng)的特征值（ 的根），而不影響能控不能觀子系統(tǒng)、不能控能觀子系統(tǒng)、不能控不能觀子系統(tǒng)的特征值分布。

32、所以，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的能控不能觀、不能控能觀、不能控不能觀三部分所有的極點(diǎn)都已具有負(fù)實(shí)部，而且能控能觀部分可以通過(guò)設(shè)計(jì)輸出反饋矩陣 使 的所有根具有負(fù)實(shí)部，閉環(huán)系統(tǒng)才能漸近穩(wěn)定。 Hdet()0s cococoIAB HCHdet()0s cococoIAB HC2輸出反饋鎮(zhèn)定計(jì)算可參照狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置算法進(jìn)行。 例例58 分析各系數(shù)矩陣如下所示的系統(tǒng)的輸出反饋可鎮(zhèn)定性。005101013A201201B00 1c 解：解： 由系統(tǒng)的能控性、能觀性判據(jù)，系統(tǒng)是既能控又能觀的。因此，系統(tǒng)通過(guò)輸出反饋可鎮(zhèn)定的條件為整個(gè)系統(tǒng)是可按鎮(zhèn)定配置極點(diǎn)的。 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為：3205( )det()det

33、1135013ssssssss IA由勞斯判據(jù)，開(kāi)環(huán)系統(tǒng)不是漸近穩(wěn)定的。 設(shè)輸出反饋矩陣為 ，閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣為：12Thhh11122200520005210112001101201301013hhhhhh ABhc對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為： 1122322121052( )det()det112013 (3)(12)(52 )shssshhshsh shh sh IA+ Bhc由勞斯判據(jù)，得出閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的h 取值范圍為 ： 15 2h 23h 1221hh 即 在上述范圍內(nèi)取值，系統(tǒng)是輸出反饋可鎮(zhèn)定的。例如取值: 12Thhh13h 22h 有對(duì)應(yīng)的閉環(huán)特征多項(xiàng)式： 32( )2

34、1ssss對(duì)應(yīng)的三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)分別為： 0.570.221.3j實(shí)現(xiàn)了輸出反饋鎮(zhèn)定。 4 跟蹤控制與擾動(dòng)抑制問(wèn)題跟蹤控制與擾動(dòng)抑制問(wèn)題 控制目標(biāo)是保證系統(tǒng)的輸出量無(wú)靜差地跟蹤外部給定的參考信號(hào)，同時(shí)還要抑制外部擾動(dòng)信號(hào)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。 一、問(wèn)題的描述一、問(wèn)題的描述ww xAxBuB wyCxDuD wnpqq維狀態(tài)向量維控制向量維輸出向量維持續(xù)性擾動(dòng)向量xuyw是由外界加予原系統(tǒng)的裝置擾動(dòng)，wB wwD w是測(cè)量輸出量時(shí)產(chǎn)生的測(cè)量擾動(dòng)。 并設(shè)系統(tǒng)能控且能觀。并令系統(tǒng)輸出y跟蹤外部給定參考信號(hào) ，跟蹤誤差為: ryreyy 若 和 都不為0，尋求控制作用u使系統(tǒng)的跟蹤誤差滿足:結(jié)構(gòu)框圖為： ry

35、wlim ( )lim( )( )0rttttteyy稱為具有擾動(dòng)抑制的漸近跟蹤問(wèn)題（或抗擾動(dòng)跟蹤問(wèn)題）。 當(dāng)然還要保證系統(tǒng)穩(wěn)定且具有滿意的動(dòng)態(tài)性能。 二、具有擾動(dòng)抑制的漸近跟蹤控制系統(tǒng)二、具有擾動(dòng)抑制的漸近跟蹤控制系統(tǒng)1控制系統(tǒng)的構(gòu)成ry1uy 伺服補(bǔ)償器鎮(zhèn)定補(bǔ)償器受控系統(tǒng)u2uex 控制作用由二部分組成： 狀態(tài)反饋控制，使系統(tǒng)穩(wěn)定和具有滿意的動(dòng)態(tài)性能； 由“伺服補(bǔ)償器”產(chǎn)生，實(shí)現(xiàn)跟蹤控制和擾動(dòng)抑制。 1u2u2伺服補(bǔ)償器模型ccccccc xA xB eyK x動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器，可表示為： 即2u 根據(jù)內(nèi)?？刂圃?，為了實(shí)現(xiàn)無(wú)靜差控制和擾動(dòng)抑制，伺服補(bǔ)償器中必需“植入”外部給定參考信號(hào) 和外部擾

36、動(dòng)信號(hào) 的模型。由于上述信號(hào)中穩(wěn)定的部分 時(shí)趨于0，所以僅需“植入”它們的不穩(wěn)定部分。設(shè) 和 的特征多項(xiàng)式中不穩(wěn)定部分的最小公倍式為：( )rty( ) twt ( )rty( ) tw1110( )lllsssscA cB 則伺服補(bǔ)償器模型的系數(shù)矩陣可表示為： 0121010000100001l qlql方陣其中1l矩陣qlq其中001 l l具有能控規(guī)范型形式，是狀態(tài)完全能控的。 3實(shí)現(xiàn)跟蹤控制和擾動(dòng)抑制的條件 綜合受控系統(tǒng)和伺服補(bǔ)償器 ，得出具有擾動(dòng)抑制的漸近跟蹤系統(tǒng)的狀態(tài)方程式為： 00wrccccccwcxAxBBuwyxB CAxB DB DB控制作用u為： 12ccxu = u

37、+ u =KKx1 uKx2ccuK x其中：為原控制對(duì)象的狀態(tài)反饋控制；為伺服補(bǔ)償控制；u實(shí)際上就是具有擾動(dòng)抑制的漸近跟蹤系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制。 關(guān)于擾動(dòng)抑制漸近跟蹤控制有如下結(jié)論：存在如上的狀態(tài)反饋控制作用使系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)抗擾動(dòng)漸近跟蹤的充分條件是： （1） dim( )dim( )uy（2）對(duì) 和 共同不穩(wěn)定部分 的每個(gè)根 都有： ( )rty( ) tw1110( )lllssssiiranknqIABCD結(jié)論的證明分二步進(jìn)行：（1）證明上述兩個(gè)條件是系統(tǒng)能控的充要條件。00wrccccccwcxAxBBuwyxB CAxB DB DB（2）上述兩個(gè)條件是上面系統(tǒng)狀態(tài)反饋可鎮(zhèn)定的充分條件。進(jìn)一

38、步則可證明它們是使原系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)抗擾動(dòng)漸近跟蹤的充分條件。4實(shí)現(xiàn)跟蹤控制和擾動(dòng)抑制的算法實(shí)現(xiàn)跟蹤控制和擾動(dòng)抑制的計(jì)算步驟為： （1）判別條件 ，若滿足則進(jìn)入下一步； dim( )dim( )uy（2）判別受控系統(tǒng)的能控性，若能控則進(jìn)入下一步； （3）取 和 的特征多項(xiàng)式中不穩(wěn)定部分的最小公倍式，得出 ：( )rty( ) tw1110( )lllssss并按上面形式確定出伺服補(bǔ)償器模型的參數(shù) 和 ； cAcB（4）求出 的根 ，并對(duì)每個(gè)根判別 ( ) si1,2,il（）iranknqIABCD若成立則進(jìn)入下一步； （5）寫出具有擾動(dòng)抑制的漸近跟蹤系統(tǒng)的狀態(tài)方程式： 00wrccccccwcxAx

39、BBuwyxB CAxB DB DB（6）按要求動(dòng)態(tài)性能，指定 個(gè)期望閉環(huán)極點(diǎn) ()nql(1,2,)iinql（7）根據(jù)極點(diǎn)配置算法求出 ；cK =KK得鎮(zhèn)定補(bǔ)償器為： 1 uKx伺服補(bǔ)償器為： 2cccccc xA xB euK x（3）由于 和w都是單位階躍函數(shù)，其特征多項(xiàng)式都為s ，且為不穩(wěn)定的，所以它們不穩(wěn)定部分的最小公倍式為 ： 例例59 給定線性定常系統(tǒng)為01000000101400010000110161000uwy x =x+x其中擾動(dòng)信號(hào)w是單位階躍函數(shù) 確定使系統(tǒng)對(duì)單位階躍參考信號(hào)漸近跟蹤和對(duì)擾動(dòng)實(shí)現(xiàn)抑制的鎮(zhèn)定補(bǔ)償器與伺服補(bǔ)償器。 解解: 按題意，被控對(duì)象具有裝置擾動(dòng)而不

40、存在測(cè)量擾動(dòng)，且有： 4n 1p 1q （1）有 ，滿足判別條件1； dim( )dim( )1uy（2）容易判定受控系統(tǒng)是能控的； ry( ) ss并可確定出伺服補(bǔ)償器的模型為： 0cccccxxeyk x（4）對(duì)于 的根 ，有 ( )0ss00100000101000105000110110000rankrankranknqIAbAbcDc滿足判別條件2。所以，系統(tǒng)能實(shí)現(xiàn)抗擾動(dòng)漸近跟蹤控制。 （5）寫出具有擾動(dòng)抑制的漸近跟蹤系統(tǒng)狀態(tài)方程式為： 即：0cA 1cb 00010000000010014000010000 00110016010000001wrccccccwccuwyxbAxb

41、db dbuwx xAxbbcxry（6）設(shè)5個(gè)期望閉環(huán)極點(diǎn)為： 11 21 3,41j 52 （7）對(duì)應(yīng)的閉環(huán)特征多項(xiàng)式為： 25432( )(1) (1)(1)(2)61520144sssj sj ssssss 而對(duì)具有擾動(dòng)抑制的漸近跟蹤系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制： 1234ccccukkkkkkxx xx=k對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣為： 123412340100010000100001110000ccckkcccckkkkkkkbbkkkkk AAbkbbAkcc對(duì)應(yīng)的特征多項(xiàng)式為： 5432241321( )det()()(11)(10)1010ckkccssskk skkskk sk skI

42、A由 ，解得： ( )( )ss11.4k 22.04k 327.4k 48.04k 0.4ck 所以，鎮(zhèn)定補(bǔ)償器為： 11.42.0427.48.04u x伺服補(bǔ)償器為： 2010.4cccccxxeeuk xx 控制系統(tǒng)狀態(tài)變量圖為： 伺服補(bǔ)償器的控制作用 能消除外部參考信號(hào)和擾動(dòng)信號(hào)為階躍信號(hào)時(shí)的靜態(tài)誤差，這正是在伺服補(bǔ)償器中 “植入”了它們的共同不穩(wěn)定部分，即內(nèi)?？刂频慕Y(jié)果。 2cukedt三、具有輸入變換的跟蹤控制三、具有輸入變換的跟蹤控制 當(dāng)外部參考信號(hào)為定值，并僅以消除輸出量對(duì)外部參考信號(hào)的靜態(tài)誤差為目標(biāo)，還可以在狀態(tài)反饋控制的基礎(chǔ)上加上輸入變換來(lái)達(dá)到。 1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)取系統(tǒng)的控制量

43、為: uKxL 為q維定值參考輸入向量 L為 維輸入變換矩陣 qp控制量由兩部分組成： ( )( )xtt uKx狀態(tài)量負(fù)反饋 ( ) tuL輸入量變換 假設(shè)了 ，和 的逆陣存在要求 ，得：2輸入變換矩陣L的確定當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)行時(shí)，原系統(tǒng)有：（下標(biāo)表示穩(wěn)態(tài)值） xAxBuyCx因?yàn)?，故有： 0 x0AxBux uuuKxL 又：1()xBKABL 得：假設(shè)了 的逆陣存在 ()BKA1()yCxC BKABL y 11 ()LC BKABpq1()C BKABL還與狀態(tài)反饋矩陣K有關(guān)，應(yīng)先確定狀態(tài)反饋矩陣 K。 3系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)：( )( )xxttuuuuu( )( )( )xttt uuKx

44、控制作用僅為狀態(tài)反饋控制。 ( ) tx xx( )xxxtuuuu不變( ) tuuu例例510 給定線性定常系統(tǒng)為 0100000101000100011011000uy x =x+x 確定使系統(tǒng)輸出對(duì)單位階躍參考信號(hào)實(shí)現(xiàn)跟蹤控制的具有輸入變換的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)。 解解：（：（1）先按極點(diǎn)配置算法設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制。 系統(tǒng)能控。并設(shè)期望的閉環(huán)極點(diǎn)為： 11 21 3,41j 則期望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式為： 2432( )(1) (1)(1)4762sssj sjssss 狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣為： 12341234123401000100010010100010001011001101kkk

45、kkkkkkkkk Abk對(duì)應(yīng)的特征多項(xiàng)式為：432241321( )det()()(11)1010ssskkskksk skIAbk( )( )ss由 ，解得： 10.2k 20.6k 318.2k 44.6k （2）因?yàn)橄到y(tǒng)為單輸入單輸出，由上面式子式求得輸入變換系數(shù)為： 110.2()l c bkAb可畫出具有輸入變換的跟蹤控制系統(tǒng)為： 5 解耦控制問(wèn)題解耦控制問(wèn)題一、問(wèn)題的描述一、問(wèn)題的描述 xAxBuyCx可以得出系統(tǒng)輸入到輸出的傳遞關(guān)系式： 1112121222112( )( )( )( )( )( )( )()( )( )( )ppqqqpgsgsgsgsgsgsssgsgsgs

46、GCIAB =1122 ( )( )( )( )( )( )( )iiiippy sgs u sgs usgs us即：1,2,iq每一個(gè)輸入量會(huì)影響多個(gè)輸出量，每一個(gè)輸出量受到多個(gè)輸入量的作用。 解耦控制的目標(biāo)是在合適的控制量u作用下，使遞函數(shù)矩陣為一對(duì)角陣: 1122( )000( )0( )00( )ppgsgssgsG則有：( )( ) ( )iiiiy sgs u spq( )0(1,2, )iigsip每一個(gè)輸入量?jī)H影響一個(gè)輸出量，每一個(gè)輸出量只受到一個(gè)輸入量作用。 二、串聯(lián)補(bǔ)償解耦二、串聯(lián)補(bǔ)償解耦頻域綜合方法。結(jié)構(gòu)框圖： 尋求合適的串聯(lián)補(bǔ)償器 ，使閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣為對(duì)角陣。

47、( )csG由第一章，閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為： 1( )( )( )( )( )pcpcsssssIGGGG ( )( )( )( )( )pcpcsssssIGGGG ( )( )( )( )pcssssGGI 11( )( )( )( )cpssssGGI ( )psG( )sI 的逆陣存在 1( )( )( )( )pcssssGGI 的逆陣存在前向通道傳遞函數(shù)矩陣 必須為對(duì)角陣。 ( )( )( )fpcsssGGG例例511 已知受控對(duì)象的 傳遞函數(shù)矩陣為： 1021( )111psss G設(shè)計(jì)一串聯(lián)補(bǔ)償器 ，使閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為： ( )csG101( )1051sss 解

48、：解： 111100011( )( )( )( cssssssssssssGGI1112211100021( )( )( )( )11231110155cpsssssssssssssssGGI串聯(lián)補(bǔ)償解耦系統(tǒng)方框圖： 串聯(lián)補(bǔ)償解耦增加了系統(tǒng)的維數(shù)，而且補(bǔ)償器的某些元傳遞函數(shù)會(huì)出現(xiàn)分子多項(xiàng)式階次高于分母多項(xiàng)式階次現(xiàn)象，帶來(lái)工程實(shí)現(xiàn)困難及增加外部擾動(dòng)作用等問(wèn)題。三、狀態(tài)反饋動(dòng)態(tài)解耦三、狀態(tài)反饋動(dòng)態(tài)解耦（一）狀態(tài)反饋解耦問(wèn)題（一）狀態(tài)反饋解耦問(wèn)題時(shí)域綜合方法，控制采用狀態(tài)反饋與輸入變換相結(jié)合的方案，即 ： uKxLv解耦控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖為： 解耦控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：

49、() xABK xBLvyCx尋求合適的矩陣對(duì) ，使閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為： K,L111( )( )()( )kLppgsssgsGCIA+ BKBL =還有兩個(gè)限制條件： rankrankpBCpq( )0iigs det0L（二）可解耦條件（二）可解耦條件1 階積分逆系統(tǒng)解耦： 對(duì)于 ，最簡(jiǎn)單的解耦設(shè)想是在被控對(duì)象前串聯(lián) ，則串聯(lián)后系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為單位陣 。但是逆系統(tǒng) 通常是物理上不可實(shí)現(xiàn)的，所以這種解耦設(shè)想實(shí)際上行不通。 ( ) sG1( ) sGpI1( ) sG 按此思路，如果 的逆系統(tǒng)存在，前面串聯(lián)一個(gè)補(bǔ)償器 ，使系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為: ( ) sG( ) sG1211( )(

50、)1psssssGG 補(bǔ)償器 稱為系統(tǒng)的 階積分逆系統(tǒng)，這種解耦形式稱為 階積分逆系統(tǒng)解耦。結(jié)構(gòu)圖為： ( ) sG2基于狀態(tài)反饋和輸入變換的 階積分解耦 即解耦后輸入 和輸出y之間滿足: ()( )( )iiityt1,2,ip向量形式為：1()1()()ppyy y=表示 是使 的最小k值，有 。2iiiiy c Ax = c A x+ c ABu如果 ,上式顯含u,則令對(duì)應(yīng)的 ,并停止求導(dǎo)運(yùn)算；否則繼續(xù)進(jìn)行求導(dǎo)，直至 為止。這時(shí)為: 0ic AB2i10iic AB()1iiiiiiy c A x+ c ABu上面的求導(dǎo)運(yùn)算過(guò)程可以得出p個(gè)常數(shù) ，它們被稱為解耦階常數(shù)。其定義為: imi

51、n0iikk-1c AB1,2,ipi0ik-1c AB1kn如果 ，上式顯含u ，則令對(duì)應(yīng)的 ，并停止求導(dǎo)運(yùn)算；否則 0ic B1iiiiiy c x = c Ax+c Buiiy c x1,2,ip受控系統(tǒng)的輸出方程可寫為: 其中：11ppc AF =c A1111ppc ABE =c ABpnpp可解耦性矩陣 結(jié)論：線性定常系統(tǒng)能通過(guò)狀態(tài)反饋和輸入變換實(shí)現(xiàn)解耦的充要條件是系統(tǒng)的可解耦性矩陣E非奇異。 111()1111( )()1ppppppyyc Ac ABy=x+u=Fx+Euc Ac AB于是有向量形式： （1）解耦階常數(shù) 是傳遞函數(shù)矩陣G(s)的第i個(gè)行向量 各元素階差（分母多項(xiàng)

52、式與分子多項(xiàng)式s最高階次的差值）的最小值。 因?yàn)樯厦嬉驯硎?，解耦后系統(tǒng)的輸入和輸出滿足關(guān)系： () y 可見(jiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的可解耦性矩陣E非奇異，系統(tǒng)能實(shí)現(xiàn)解耦。 可求得這時(shí)的控制量 的矩陣對(duì) 為： uKxLvK,L1K = E F1L = E而 表示為：()y= Fx+ Eu()y3解耦階常數(shù)的性質(zhì)：( )isg這是因?yàn)椋?121230111kkksssssAIAI +A+A1223111( )()iiiiisssssgcIAB =c B+c AB+c A Bi10 0 ikiikk=c AB而：min0iikk-1c AB11201111111( )()11 iiiiiiiiiiiiiii

53、issssssssgc B+c AB+c ABc A B+c AB+c A B結(jié)論成立。解耦階常數(shù)的取值范圍應(yīng)為：1in（2） 1lim( )iiiiisssec AB =g由上式1peE =e所以E可寫為：（3）閉環(huán)系統(tǒng)的解耦階常數(shù) 及對(duì)應(yīng)的行向量 為： iieiiiiee L（三）（三） 階積分解耦算法階積分解耦算法（1）計(jì)算受控系統(tǒng)的解耦階常數(shù) 及其對(duì)應(yīng)的行向量 。有二種算法： iie1）給出空間表達(dá)式： min0iikk-1c AB1iiiec AB2）給出傳遞函數(shù)矩陣： i( )isg是G(s) 第i個(gè)行向量 各元素階差的最小值;lim( )iiissseg（2）構(gòu)造可解耦性矩陣E，

54、若非奇異則進(jìn)入下一步。 12peeE =e（3）按 ， 確定控制律 ， 其中： 1K = E F1L = E uKxLv1212ppc Ac AF =c A（4）得出實(shí)現(xiàn) 階積分解耦的閉環(huán)系統(tǒng)： () xABK xBLvyCx其閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為： 1211( )1pKLssssG例例512 求出將下面系統(tǒng)實(shí)現(xiàn) 階積分解耦的矩陣對(duì) 。 K,L01000030021000010002000110000010 xxuyx解：解：（1）給出狀態(tài)空間表達(dá)式，所以按1）計(jì)算 和 ： iie100101000000001c B1010000003002101010000100100001000002000

55、101c AB122200100010000001010000003002101000100001010001000002000101c Bc AB221111110ec ABc AB2122201ec ABc AB（2）系統(tǒng)的可解耦性矩陣為： 121001eE =e非奇異，系統(tǒng)滿足可解耦條件。 （3）求得F為： 1221122230020200c Ac AFc Ac A130020200K = E F =11001L = E得：（4）閉環(huán)系統(tǒng)的各系數(shù)矩陣分別為：10100000100300210103002000000010001020000010200010000ABE F10010000

56、1BLBE10000010C實(shí)現(xiàn)了 、 的 階積分解耦。 閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為： 12121000010100000010( )()0010001001000001KLssssssssGCIABKBL =1222（四）具有期望閉環(huán)極點(diǎn)的動(dòng)態(tài)解耦（四）具有期望閉環(huán)極點(diǎn)的動(dòng)態(tài)解耦 階積分解耦，所得解耦系統(tǒng)的每個(gè)子系統(tǒng)都由多重積分器組成，顯然不能滿足系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)要求。輸出的頻域表達(dá)式為： 如果對(duì)第i個(gè)子系統(tǒng)提出極點(diǎn)配置要求，其期望的 個(gè)極點(diǎn)為 ，對(duì)應(yīng)的特征多項(xiàng)式為: i*(1,2,)ijij1*(1)101( )()iiiiiijiiijsssss1( )( )iiiy sss則輸出的頻域表達(dá)式應(yīng)

57、為: 1*(1)1011( )( )( )( )iiiiiiiiiiy sssssss()(1)*(1)10( )( )( )( )( )iiiiiiiiiiitytyty ty t時(shí)域式子：按照上面對(duì) 的求導(dǎo)過(guò)程，把 、 、 、 、 代入上式，得： iy()iiy(1)iiyiy iy11*(1)10iiiiiiiiiiiiic A xc Axc Axc x+c ABu仍按上面式子將p個(gè)參考輸入分量寫成向量形式，即: Fx+ Eu 顯然這時(shí)F矩陣變?yōu)? 1111*11(1) 111 110 111*1*(1)10( ) ( )ppppppppppppc Ac Ac AccAF =cAc Ac

58、 Ac Ac 與上面的討論類似，當(dāng)系統(tǒng)的可解耦性矩陣E非奇異，則取狀態(tài)反饋 和輸入變換 ，在控制 作用下，系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了 階極點(diǎn)配置的解耦。 可解耦性矩陣E仍為： 11111pppc ABeE =ec AB1K = E F1L = E uKxLv注意點(diǎn): （1）實(shí)現(xiàn) 階極點(diǎn)配置的解耦，使閉環(huán)系統(tǒng)能正常運(yùn)行并具有良好的動(dòng)態(tài)性能，受控系統(tǒng)為能控仍是需要的。 （2）實(shí)現(xiàn) 階極點(diǎn)配置的解耦算法除了體現(xiàn)分配給各個(gè)子系統(tǒng)的期望極點(diǎn)的F矩陣，其它計(jì)算與無(wú)極點(diǎn)配置的 階積分解耦一樣。 例例513 求出將例512所示系統(tǒng)實(shí)現(xiàn) 階極點(diǎn)配置解耦的矩陣對(duì) ，要求閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)位于 ：*12 *24 K,L3,42j 解：解

59、： 例512中第（1）、（2）步已求得 121001eE =e并根據(jù)其非奇異判定系統(tǒng)能實(shí)現(xiàn)解耦控制。并能判定系統(tǒng)能控。 （3）將期望極點(diǎn) ， 安排給子系統(tǒng)1， 安排給子系統(tǒng)2，則有： *12 *24 3,42j *21( )(2)(4)68sssss*22( )(2)(2)45ssj sjss求得對(duì)應(yīng)的： *2111602187012( )68028661204AAAI =*22840212408( )4502546801AAAI =于是得： *11*2211602( )0254( )cAF =cA1116020254K = E F進(jìn)一步求得：11001L = E（4）閉環(huán)系統(tǒng)的各系數(shù)矩陣分別

60、為：101000001003002101011602860000010001025400010200010054ABKABE F100100001BLBE10000010C閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為： 1122( )()1000010100086001068 0010001001045005401KLssssssssss GCIABKBL=顯然實(shí)現(xiàn)了極點(diǎn)位于期望位置的 階極點(diǎn)配置解耦。 四、狀態(tài)反饋靜態(tài)解耦四、狀態(tài)反饋靜態(tài)解耦 上面討論的動(dòng)態(tài)解耦，解耦系統(tǒng)完全按獨(dú)立的子系統(tǒng)運(yùn)行，但是這種解耦對(duì)系統(tǒng)模型的依賴性很強(qiáng)。從工程需求角度提出的靜態(tài)解耦對(duì)模型誤差和參數(shù)攝動(dòng)的敏感性要小得多。 1靜態(tài)解耦問(wèn)題