第三章小波分析

1、第三章第三章 小波分析小波分析二、小波分析 1、小波就是一個(gè)小區(qū)域的波：正負(fù)起伏均勻并具有一定的收斂性，向兩端快速衰減趨向于零。相應(yīng)的小波函數(shù)是反對(duì)稱函數(shù)，在全域上積分為0。 對(duì)于 如果 滿足 稱 為基本小波或小波母函數(shù) d12)()()(2RLt 0)()0( dtt)(t二、小波分析對(duì)于一個(gè)基本小波 , 令其中，a為收縮因子，b為平移因子。 是由生成的依賴參數(shù)的連續(xù)小波 )(t0 , ),(1)(,aRbaabtatba)(,tba二、小波分析 小波框架： 其頻域表示 對(duì)偶函數(shù)框架BAfBffAjkkj0,22,20)2(2zjjBAfBffAjkkj01,122,2二、小波分析2、小波變

2、換小波變換定義：定義： 為為f(t)f(t)的連續(xù)小波變換的連續(xù)小波變換(CWT) (CWT) 小波變換就是小波基函數(shù)與待分析信號(hào)之間小波變換就是小波基函數(shù)與待分析信號(hào)之間的一個(gè)卷積過程。的一個(gè)卷積過程。 dtabttfafbafWba)()(1 ,),(,二、小波分析2、小波變換小波變換 描述：用鏡頭觀察待分析信號(hào) ， 代表鏡頭所起的作用(例如：濾波或卷積)。b相當(dāng)于使鏡頭相對(duì)于目標(biāo)平行移動(dòng)，a的作用相當(dāng)于焦距：當(dāng)尺度a較大時(shí)視野寬而分辨率低，可以作觀察概貌；當(dāng)尺度a較小時(shí)視野窄而分辨率高，可以作細(xì)節(jié)觀察。這種由粗及細(xì)對(duì)信號(hào)的逐級(jí)分析被稱為“數(shù)學(xué)顯微鏡”。 )(tf)(,tba二、小波分析3

3、、離散小波變換 把連續(xù)小波變換中尺度參數(shù)a和平移參數(shù)b的離散化公式分別取作aa0j， bk a0jb0 ，對(duì)應(yīng)的離散小波函數(shù) ) t (, jk)kt()kt(baaabaa0j -02/ j0j00j02/ j0二、小波分析 取a=2,b=1，對(duì)應(yīng)的尺度為2j，而平移為2jk。由此得到的小波 小波變換通過頻率作不同層次的分解，獲得各種信號(hào)特征。) t (, jk)kt(22-j2/ j),()(2tfkfWj)(2kjRjtf)(12) kt(2-j二、小波分析相應(yīng)的逆變換稱之為二進(jìn)小波和二進(jìn)小波變換zjtf )(*)(2kfWj)(2tjzj)(2kfWjdk)kt(2-j小波包的基本原理

4、1、小波包的定義由遞推關(guān)系確定的函數(shù)集合 為由 定義的小波包)()()()()2(2)()2(2)(1011202ttwttwkttwkttwwhwhnzkknnzkknznntw)()()(0ttw其頻域表達(dá)式10)(21)(),(21)(,)(1,10,0,12或其中其中kkknHHwHHHk小波包的正交性質(zhì)1、平移正交性2、w2n與w2n+1 的正交關(guān)系z(mì)lkltktklnnww,)()(,.2 , 1 , 0,)()(122nzlkltktklnnww小波包的子空間分解1、分解過程小波包空間分解為：UUUWUUUUWUUWUUUWkkkkjkjkjjjjjjjjjjnjnjnjnj121212726252423121121211.分解過程為 尺度空間分解信息代價(jià)函數(shù) 定義：設(shè)實(shí)數(shù)列x=xj是函數(shù)f(t) 在某組基下的系數(shù)，若存在非負(fù)連續(xù)函數(shù)，使得則稱M為x的代價(jià)函數(shù)。jjxxM, 0)0(|),(|)(常用的代價(jià)函數(shù)1、香農(nóng)熵代價(jià)函數(shù)：序列x=xj的熵為： 且P=0時(shí)，PlgP=0.可加函數(shù)：則：2、3、jjjPPxMlg)(,22xxPjj其中：xxkkxk22lg)(xxxxM22lg)()(jpxjxM)(ttt