高三數(shù)學大一輪復習9.2兩條直線的位置關系教案理新人教A版

1、§9.2兩條直線的位置關系2014髙考會這樣考】1.考査兩條直線的平行、垂直關系；2.考查兩點間的距離公式及點到 直線的距離公式的應用.【復習備考要這樣做】1對于兩條直線的位垃關系問題，求解時要注意斜率不存在的情況，注 意平行、垂直時直線方程系數(shù)的關系：2.熟記距離公式，如兩點之間的距離、點到直線的距 離、兩條平行線之間的距離.基礎知識自主學習I要點梳理I1. 兩條直線平行與垂直的判泄(1) 兩條直線平行對于兩條不重合的直線厶、厶，其斜率分別為匕、良，則有h Im.特別地，當直 線厶、厶的斜率都不存在時，厶與厶平行.(2) 兩條直線垂直如果兩條直線, IZ斜率存在，設為厶，kz,則厶

2、丄*k匕=一1,當一條直線斜率為 零，另一條直線斜率不存在時，兩條直線垂直.2. 兩直線相交交點：直線:凡+5y+G = 0和IZi A+5y÷G = 0的公共點的坐標與方程組的解一一對應.相交Q方程組有唯一解,交點坐標就是方程組的解:平行O方程組無解：重合O方程組有無數(shù)個解.3. 三種距誇公式點？Ice yj、Bg必)間的距離:AB = tj xz-yty點F(m %)到直線厶Ax+By+C= 0的距離:寸才+廳7+?(3) 兩平行直線Lz Ax+By+G=O與IzZAX+By+G=Q (GHG)間的距離為d=登陸 WWW免費聆聽名師教你解題難點正本疑點淸源1. 兩條直線平行、垂直

3、的充要條件是有大前提的，就是兩條直線都有斜率.當直線無斜率 時，要單獨考慮.2. 與直線Av+5y+r=0( + 5=0)平行、垂直的直線方程的設法：一般地，平行的直線方程設為曲+助+加=0：垂直的直線方程設為BX-Ay+n=Q.I基礎自測I1. 直線必+3y+*0與直線2-3y+4 = 0的交點在y軸上，則Q的值為答案一 4解析因為兩直線的交點在y軸上，所以點(,尋在第一條直線上，所以*一4.2. 若直線-2y+5=0與直線2.v÷zy-6=0互相垂直，則實數(shù)m=.答案1解析直線jv-2y÷5=與直線2卄砂一6=0互相垂直，53. 已知直線與厶：-÷rl = 0

4、平行，且厶與厶的距離是¢,則直線厶的方程為答案 x+ y- I = O 或 x+ y 3 = 0解析設厶的方程為x+y+c=0,則總-=£.°. c+1 =2,即 C=I 或 c=3.4. 過點(1, 0)且與直線-2y-2=0平行的直線方程是()A. -r-2y-1 = 0B-y2y+l=0C. 2x+ y-2=0D-r+2y-1=0答案A解析所求直線與直線-v-2y-2=0平行，.所求直線的斜率為&=排除C、D.又 直線過點(1,0),排除B,故選A.5. 若經(jīng)過點(3, a)、(-2, 0)的直線與經(jīng)過點(3, 4)且斜率為*的直線垂直，則a的值為)

5、5C2A-2B二 O答案DC. 10D. -10解析&一 O題型分類深度剖析題型一兩條直線的平行與垂直【例1】 已知直線厶：ax+2y+6=O和直線厶：a÷ (a-l)y+-l=O.(1) 試判斷厶與Z是否平行：(2) Ii丄厶時，求a的值.思維啟迪：運用兩條直線平行或垂直的條件求解，要注意斜率為O或斜率不存在的情形.解(1)方法一 當占=1時，Ju A+2y+6=0,: X=Q,厶不平行于厶；當 a=0 時，Ji： y= 3,IZX X-y1 = 0,厶不平行于厶：當aHl且dHO時，兩直線可化為a1: y=-V3> IZt y=x (a÷l) >21

6、 aa _ 1厶厶< 2 l_a'解得 &=_1,fc-3-a+1,綜上可知，a=-l時，厶厶，否則厶與厶不平行.方法二 由 A-A=Q9 得 a(a-l) 1X2 = 0,由止G-JxGHO,得 a(J 1) 一1 X6H0,Ia a-1-l×2 = 0厶厶Q'Ia al -1 × 60,a" a2=0t0、 . »=一1,a al 6t故當a=-l時，U/ Izy否則厶與Z不平行(2)方法一 當 a=l 時，厶：.+2y+6=0,厶：x=0,厶與厶不垂直，故a=l不成立；當a=0時，Ju y= 3, IZX -yl=Of

7、厶不垂直于厶：當aHl且aH0時，a1: y=O-V 3» IZt y=-x (a÷l)»89方法二 由 +5z=0 得 a+2(a-l) =Ona=.探究提髙(1)當直線的方程中存在字母參數(shù)時，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也 要考慮到斜率不存在的特殊情況.同時還要注意的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件.(2) 在判斷兩直線的平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關系得出結(jié)論.變式訓練1己知兩直線厶：ZnAr+8y+刀=0和厶：2x+my-1 = 0.試確怎Z?、力的值，使： (Dz與厶相交于點P伽,-1)；厶厶；(3) 厶丄厶，且厶在y軸上的截距為一1加一

8、8+/2=0解(1)由題意得)，解得加=1, n=7.2mmI=Q(2)當也=0時，顯然厶不平行于厶：當 zHO 時，由F=-H ，2 m 1m巾一8X2 = 0,e= 4, < 或8×-1 n z0tn-2,得n2.M= _4即 z=4, n-2 時或 z=-4, n2 時，1JIz當且僅當m2+8m=0,即m=0時，厶丄厶又一£=一1, n=8.即m=0, c=8時，Z丄厶，且厶在y軸上的截距為一 1題型二兩條直線的交點問題m 2求經(jīng)過直線厶：3卄2y-l=0和厶：5x+2y+l= 0的交點，且垂直于直線厶：3- 5y+6=0的直線2的方程.思維啟迪：可先求出厶與

9、厶的交點，再用點斜式：也可利用直線系方程求解.解方法一先解方程組、3-÷2y-1=0.5x+2y+l=0得厶、厶的交點坐標為(1,2),35再由湎斜率詳出1的斜率為一務于是由宜線的點斜式方程求出2：5y2=(f+1) I 即 5-v+3y-1 = 0.方法二 由于丄厶,故2是直線系5x+3y+C=0中的一條,而2過厶、厶的交點(一 1, 2), 故 5X ( l)+3X2+*0,由此求岀 C=-I,故1的方程為5.÷3y-1 = 0.方法三 由于1過厶、厶的交點，故1是直線系3+2y-l÷ A (5x+2y÷l)=0中的一 條，將其整理，得(3+5l)x

10、+(2+2 人)y+(-l+久)=0.其斜率_l4=4,解得Zl=右代入直線系方程即得1的方程為5x+3y-l=0.探究提高運用直線系方程，有時會給解題帶來方便，常見的直線系方程有：(1) 與直線As+By+C= Q平行的直線系方程是Ar+5y+=0 GR且aCt):(2) 與直線Av+5y+=0垂直的直線系方程是BX-Ayin GR):(3) 過直線厶：兒x+3y+G=0與IZt +5y+G=0的交點的直線系方程為Aix+B-.y + G+ 人(4x+Ey+G) =0 (4R),但不包括 lz.變武訓練2如圖，設一直線過點(一 1,1),它被兩平行直線厶：X+ 2卩一1 = 0,厶：x+2y

11、-3 = 0所截的線段的中點在直線厶：-y 1=0 ±,求其方程.解與厶、厶平行且距離相等的直線方程為÷2y-2=0.設所求直線方程為Cr+2y-2)+ 4 (X y-1)=0,即(1+ 4)jH-(2- )y-2- A=O.又直線過水一 1,1),(1+ 人)(一1) + (2 久) 1一2 久=0.解得人=一扌所求直線方程為2x+7y-5=0.題型三距離公式的應用【例 3】LL知三條直線：J： 2丫一y+a=0 (a>0) ： IZt 4x+2y+l=0:厶：x+y1 = 0.且 厶與厶的距離是學(1) 求a的值；(2) 能否找到一點P,使尸同時滿足下列三個條件：

12、 點尸在第一象限； 點尸到厶的距離是點尸到厶的距離的扌： 點尸到的距離與點尸到厶的距離之比是?。?.若能，求點尸的坐標：若不能，說明理由.思維啟迪：(1)由厶與厶的距離構建方程求a： (2)假設存在點只 并設岀其坐標，根據(jù)條件建立方程求解并作出判斷.解 T 2譏 4x2y+2a=0 (a>0), IZt 4-2y-1 = 0».兩條平行線與厶間的距離為d=- f由已知可得彎=霽又Q°'可解得I（2）設點F的坐標為（M y）,由條件，可知x>0, y>0.由條件和，可得 2w-y+3 丨4*一2卩一1 5- -452字3 =花5*+y-lf42-y+

13、3 = 4-2y-l ,化簡得、O亠Q _ I丄Il.2t-y+3 = x+ yr 1! > 于是可得，4i-r+y-1| = 4-v2yIl , 也就是 4 C+y-l)=4-2y-b 或 4 Gr+y1) = 4x+2y÷l, 解得 7=*，或 8x+2y-5=0.當 尸扌時，代入方程2jv-y+3=>r÷y-l ,2解得X= 3<O或X- 3<0*均舍去.0*+2y-5=O.2xy+3 = -v÷y-1化簡得）8÷2y-5=02y+4=0或）8x+2y-5=03-r=-2解得A=-<o37/7=1831即存在滿足題設條

14、件的點只其坐標為（舍去）探究提高（D在應用兩條直線間的距離公式時.要注意兩直線方程中払y的系數(shù)必須 相同.（2）第（2）問是開放探索性問題，要注意解決此類問題的一般策略.變式訓練3已知月（4, 一 3）, 5（2, 一 1）和直線_Z： 4.+3y-2=0,在坐標平而內(nèi)求一點P、使PA PB,且點尸到直線2的距離為2.解 設點尸的坐標為（a, b）,.（4, -3）, 5（2, 一 1）,.線段曲的中點"的坐標為（3, -2）,.線段初的垂直平分線方程為y+2=x 3,即 -y-5=0.點尸（a, Q在上述直線上，.a 5=0.又點尸（a,砂到直線去4x+3y2=0的距離為2,4a+

15、3b-2:=2,即 4a+3b2=±10,r 27a=lI尸聯(lián)立可W r或C6=48.所求點P的坐標為（1, -4）或俘,-月.思想與方法系列17對稱變換思想的應用典例：（12分）光線沿直線: .v-2,r+5=0射入，遇直線厶3-2y+7=0后反射，求反射 光線所在的直線方程.審題視角（1）入射光線所在直線與反射光線所在直線關于對稱.（2）對稱點的連線被對稱軸垂直平分.規(guī)范解答解方法一由、X2y+5=0,.3.-2y+7=0,310反射點的坐標為（-1,2）2分又取直線-2y÷5 = 0上一點尸（一5,0）,設F關于直線2的對稱點Pg），由M 丄/可知，hr -V0+ 5

16、.4 分而PP的中點0的坐標為（今）,Q點在上，3二7上一2 晉+7=0. 6分8分O 二 2J a+53*I 3I7 -Yb 5 B>÷7 = 0.根據(jù)直線的兩點式方程可得所求反射光線所在直線的方程為29-2y+33 = 0. 12分 方法二 設直線,v-2y+5=0上任意一點尸（ %）關于直線/的對稱點為卩 S卩）, 則= 一彳，4分XL XO又”的中點申苧，守）在止.3X寧一2X寧+7=0, 6 分y+幷÷7=0.12可得尸點的坐標為Ab-5x+12y-4213yb=12x+5y+2813,10 分代入方程-r-2y+5 = 0中，化簡得29.2y+33=0,所

17、求反射光線所在的直線方程為29.-2y÷33=0. 12分溫馨提醒（1）綜合利用物理學知識，利用對稱變換的思想方法求解是本題的關鍵.（2） 構建方程解方程組是本題的又一重要方法.（3）坐標轉(zhuǎn)移法是對稱變換中常用的方法之一. （4）本題的易錯點，一是計算錯誤，二是不能用對稱的思想求解，亦即找不到解決問 題的突破口.思想方法感悟提高方法與技巧1. 兩直線的位宜關系要考慮平行、垂直和重合.對于斜率都存在且不重合的兩條直線厶、Iz. Mgk、=也 厶丄上=一1.若有一條直線的斜率不存在，那么另一條直線 的斜率一定要特別注意.2. 對稱問題一般是將線與線的對稱轉(zhuǎn)化為點與點的對稱.利用坐標轉(zhuǎn)移法

18、. 失誤與防范1. 在判斷兩條直線的位置關系時，首先應分析直線的斜率是否存在.兩條直線都有斜率， 可根據(jù)判立泄理判斷，若直線無斜率時，要單獨考慮.2. 在運用兩平行直線間的距禽公式/= :時,一定要注意將兩方程中的弘y系數(shù)化 為分別相等.練出高分A組專項基礎訓練(時間：35分鐘,滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1. 直線/過點(-1,2)且與直線2-3y÷4=0垂直，則的方程是()A. 3x+2yl = 0B. 3x+2y+7=0C. 2-3y+5 = 0D. 2x3y+8=0答案A33解析 由題意知，直線1的斜率為一刁 因此直線1的方程為y-2 =(x+l),即3x

19、 ÷2y-l = 0.2. (2012 浙江)設 aR,則 “a=l” 是"直線厶：ax+2y 1 = 0 與直線厶：÷ (a+l)y +4=0平行”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案A解析 若直線與厶平行，貝Ja(a+l) 2X1 = 0,即 a=2 或 a=l,所以“a=l”是'直線厶與直線厶平行”的充分不必要條件.3. 從點(2, 3)射出的光線沿與向量a=(8,4)平行的直線射到y(tǒng)軸上，則反射光線所在的直 線方程為()A. x+2y4 = 0B. 2x+y1=0C. x+6y16 = 0D. 6x

20、+ *8 = 0答案A解析 由直線與向量a=(8,4)平行知：過點3)的直線的斜率Jc=*,所以直線的方程 為y-3=*(-2),其與y軸的交點坐標為(0,2),又點3)關于卩軸的對稱點為(一 2, 3),所以反射光線過點(-2, 3)與(0,2),由兩點式知A正確.4. 已知直線過點A3, 4)且與點A(-2, 2), 5(4, 一2)等距離，則直線的方程為()A. 2x+3y-18=0B. 2-y-2=0C. 3-2y+18=0 或 x+2y+2=0D 2x+3y-18=0 或 2-y-2=Q答案D解析 設所求直線方程為y 4=Q-3),即 k-y÷4-3=0,L _IA. Fl

21、 2&2+4 3&4A+2+4-3由已知#i÷I=i÷I=*2.*.k=2 或 A=-.所求直線1的方程為2.v-y-2=0或2x+3y-18=0.二、填空題(每小題5分，共15分)5. 若不同兩點 A Q的坐標分別為(a, b), (3 53 a),則線段加的垂直平分線/的斜率為答案一 13A解析 由題可知&=y ；. j=b又k曲=一»= .6. 若直線a-2y+2=0與直線x+ (a-3)y÷l=0平行，則實數(shù)a的值為.答案1解析 由兩直線平行的條件得a(a 3)= 2,解得a=l或2,經(jīng)檢驗，a=2時兩直線 重合，所以兩直

22、線平行時，實數(shù)曰的值為1.7. 若直線加被兩平行線: A-y+1=0與厶：-y÷3=0所截得的線段的長為22,則加 的傾斜角可以是15。30。45。60。75。其中正確答案的序號是.答案®解析 兩直線-y+l=0與.-y+3=0之間的距離為爲-=5,又動直線厶與IZ所截得的線段長為22,故動直線與兩直線的夾角應為30° ,因此只有®適合.三、解答題（共22分）8. （10分）求過直線: -v-2y+3=0與直線厶：2.÷3y-8=0的交點，且到點A0, 4）的距離為2的直線方程.由 $-2卄3=0,2w+3y-8=0,-Y=L 解得仁20厶的交

23、點為（1,2）.設所求直線方程為y-2=R（x 1） 即 k-y÷2-A=O,VP（Ot 4）到直線的距離為2,°2=,解得：&=0 或1+A3直線方程為y=2或4-3y+2=0.9. （12分）已知兩直線厶：-6y+4=0, IZZ （a-l）x+y÷Z>=O,求分別滿足下列條件的a, E的值.（1）直線厶過點（一3, 1）,并且直線厶與厶垂直：（2）直線厶與直線厶平行，并且坐標原點到厶，厶的距離相等.解 （I）T 厶丄上，."（a l） + （-b） 1=0,即 a-ab=Q.又點（一3, 1）在厶上，: 3a+b+4=0.由得a=2,

24、 b=2.(2) TZ厶a+Za 1)=0, :b=,1 a故厶和厶的方程可分別表示為：4 a1a(a 1) x+y+=0> (& l)x+y+ =0,a1 a又原點到厶與厶的距離相等2.*a=2t b=-2 或 a=亍 b=2.B組專項能力提升（時間：25分鐘，滿分：43分）一、選擇題（每小題5分，共15分）1.設心b、C分別是磁中Z 乂 ZB、ZQ所對邊的邊長，則直線-YSin A+ayc=0與Zuysin 5÷sin C=O的位置關系是()A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直答案C解析由 = b 得 bsin Aasin B=Q.Sln A SIn D兩直線垂

25、直.2.()B. 6D 25如圖，已知J(4,0).萬(0,4),從點P(2, 0)射出的光線經(jīng)直線的反 射后再射到直線防上，最后經(jīng)直線血反射后又回到F點，則光線所經(jīng)過的路程是A. 2IC. 33答案A解析 由題意知點P關于直線M的對稱點為2?(4, 2),關于y軸的對稱 點為7(-2, 0),則光線所經(jīng)過的路程EtfV的長為CD =2i.3. 過點月(1,2)且與原點距離最大的直線方程為()A. r+2y-5=0B 2-4-y4=0C. r+3y-7 = 0D. 3-÷y5 = 0答案A解析所求直線與直線創(chuàng)垂直，屁=2,°所求直線方程為y2=1),即-÷2y-5 = 0.二、填空題(每小題5分，共15分)4. 已知 0K4,直線 J1: A-Y-2y2A,÷8=0 和直線 IZt 2x+ Iy-4Ap4=0 與兩坐標軸|羽成一個四邊形，則使