《測量誤差理論知識》PPT課件

1、5/8/2022精選精選PPT1測量誤差理論知識主講：黃聲享 教授武漢大學(xué)測繪學(xué)院5/8/2022精選精選PPT2教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容一、誤差理論的基本知識一、誤差理論的基本知識測量誤差的來源及其分類測量誤差的來源及其分類偶然誤差的特性偶然誤差的特性評定精度的標準評定精度的標準誤差傳播定律誤差傳播定律測量精度分析舉例測量精度分析舉例不等精度觀測的平差不等精度觀測的平差 5/8/2022精選精選PPT3教學(xué)基本要求教學(xué)基本要求了解測量誤差來源及其產(chǎn)生的原因掌握系統(tǒng)誤差和偶然誤差的特點及其處理方法理解精度評定的指標（中誤差、相對誤差、容許誤差）的概念了解并掌握誤差傳播定律的應(yīng)用 重點：重點：系統(tǒng)誤差和

2、偶然誤差的特點及其 處理方法。 難點：難點：中誤差、相對誤差、容許誤差的 概念；誤差傳播定律的應(yīng)用。5/8/2022精選精選PPT4一、誤差理論的基本知識一、誤差理論的基本知識測量誤差的來源及其分類測量誤差的來源及其分類偶然誤差的特性偶然誤差的特性評定精度的標準評定精度的標準誤差傳播定律誤差傳播定律測量精度分析舉例測量精度分析舉例不等精度觀測的平差不等精度觀測的平差 5/8/2022精選精選PPT51.1 測量誤差的來源測量誤差的來源p 數(shù)據(jù)采集過程中，要用到各種儀器，要由人進行操作，要在某種環(huán)境中工作，這些因素都會使采集到的數(shù)據(jù)不準確，即數(shù)據(jù)中有誤差。p 數(shù)據(jù)的誤差是觀測結(jié)果（常稱觀測值觀測

3、值）與觀測對象的真值之差，通常稱之為真誤差，可以寫為：=LX （1-1）其中，L觀測值，X真值，真誤差 5/8/2022精選精選PPT61.1 測量誤差的來源測量誤差的來源p 引起數(shù)據(jù)中有誤差的三個因素為：儀器（精密等級）操作人員（工作經(jīng)驗和技能）環(huán)境（氣溫、風(fēng)力、濕度等等）通常把它們綜合起來稱為觀測條件觀測條件。5/8/2022精選精選PPT71.1 測量誤差的來源測量誤差的來源p 如果使用的儀器是同一個精密等級，操作人員有相同的工作經(jīng)驗和技能，工作環(huán)境的自然條件（氣溫、風(fēng)力、濕度等等）基本一致，則稱為相同的觀測條件相同的觀測條件。p 在相同的觀測條件下，由于測量時產(chǎn)生偶然誤差的因素大體相同

4、，因此測量所得結(jié)果的精度也是相等的，故稱此時的測量為同精度觀測同精度觀測或等精度觀測等精度觀測。5/8/2022精選精選PPT81.2 測量誤差的分類測量誤差的分類偶然誤差偶然誤差：指在相同的觀測條件下作一系列的觀測時，從單個誤差看，該列誤差的大小和符號表現(xiàn)出偶然性，無規(guī)律，但就大量誤差的總體而言，具有一定的統(tǒng)計規(guī)律，這種誤差稱為偶然誤差偶然誤差，也稱隨機誤差隨機誤差。 處理方法處理方法：采用多余觀測，利用測量平差的方法求出觀測值的最或然值。5/8/2022精選精選PPT91.2 測量誤差的分類測量誤差的分類系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差：指在相同的觀測條件下作一系列的觀測時，大小和符號表現(xiàn)出系統(tǒng)性，或按一

5、定規(guī)律變化，或者為某一常數(shù)的誤差。 處理方法處理方法： 1)在觀測方法和觀測程序上采取必要的措施，限制或削弱系統(tǒng)誤差的影響； 2）在平差計算前進行必要的預(yù)處理，即利用已有公式對觀測值進行系統(tǒng)誤差改正； 3）將系統(tǒng)誤差當(dāng)作未知參數(shù)納入平差函數(shù)模型中，一并解算。5/8/2022精選精選PPT101.2 測量誤差的分類測量誤差的分類粗差：粗差：除了偶然誤差和系統(tǒng)誤差之外，在觀測值中還可能有錯誤，一般是由于操作人員的過失引起的。 處理方法：尋找錯誤的最簡單辦法就是對測量的對象多測幾次（進行多余觀測），檢查各次的觀測值相差有多大，如果發(fā)現(xiàn)異常便可將異常的觀測值剔除。 測繪工作中稱必須的那幾次觀測為必要必

6、要觀測觀測，增多的幾次觀測為多余觀測多余觀測。5/8/2022精選精選PPT111.2 測量誤差的分類測量誤差的分類p 偶然誤差偶然誤差p 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差p 粗差粗差5/8/2022精選精選PPT121.2 測量誤差的分類測量誤差的分類例：為知道一段直線的長度，僅需測量一次即可，但是測量一次又覺得不放心，于是測量了5次，得到5個長度值： 1543.24m、1543.26m、1543.23m、 1543.27m、1544.25m 僅需的一次測量是必要觀測，多測量的4次是多余觀測。有了多余的4次，將5次的長度值相互加以比較后，發(fā)現(xiàn)最后一次的數(shù)據(jù)與其它4次的長度值明顯地差別太大（約1m），因此便可

7、以懷疑它有錯誤而加以排除。剩余的4個數(shù)據(jù)之所以也不相同，那就是每個數(shù)據(jù)中都含有誤差。5/8/2022精選精選PPT131.2 測量誤差的分類測量誤差的分類 測量平差研究的主要對象是偶然誤差偶然誤差，即總是假定含系統(tǒng)誤差的觀測值已經(jīng)過適當(dāng)改正，含粗差的觀測值已被剔除，在觀測誤差中，僅含偶然誤差或是偶然誤差占主導(dǎo)地位。5/8/2022精選精選PPT14一、誤差理論的基本知識一、誤差理論的基本知識測量誤差的來源及其分類測量誤差的來源及其分類偶然誤差的特性偶然誤差的特性評定精度的標準評定精度的標準誤差傳播定律誤差傳播定律測量精度分析舉例測量精度分析舉例不等精度觀測的平差不等精度觀測的平差 5/8/20

8、22精選精選PPT152 偶然誤差的特性偶然誤差的特性 對于偶然誤差的分析是應(yīng)用數(shù)學(xué)中的數(shù)理統(tǒng)計理論。在數(shù)理統(tǒng)計中，對產(chǎn)生偶然誤差的這些因素被認為是隨機的作用。測量人員在測量某個對象的過程中的“隨機”作用，就是在某個觀測條件下（沒有其它任何人為的和非人為的限制）自然地產(chǎn)生的作用。在隨機作用下，不管那一個隨機數(shù)，數(shù)值大的、數(shù)值小的都可能出現(xiàn)或不出現(xiàn)，偶然誤差便是這樣的隨機數(shù)。由此可以說明，偶然誤差的大小就個別誤差而論是看不出什么規(guī)律的，但是在相同的觀測條件下偶然誤差出現(xiàn)的個數(shù)多了，由觀測條件本身而造成的偶然誤差的規(guī)律便被顯現(xiàn)出來。5/8/2022精選精選PPT162 偶然誤差的特性偶然誤差的特性

9、偶然誤差的規(guī)律（性質(zhì)）可歸納為以下4點：在相同觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限度。觀測條件不同，這個限度的值也不同。絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的可能性大，即絕對值小的誤差的個數(shù)多于絕對值大的誤差的個數(shù)。絕對值相等的正、負誤差，其出現(xiàn)的可能性相等。當(dāng)觀測次數(shù)(N)無限增多時，偶然誤差()的算術(shù)平均值趨近于零。即 0)(lim1NiNiN5/8/2022精選精選PPT172 偶然誤差的特性偶然誤差的特性 為了對一組在相同條件下完成的觀測中全部偶然誤差的分布了解得更為直觀，可按一定的規(guī)則繪成圖形。首先對偶然誤差按間隔d分組，每組的偶然誤差個數(shù)為ni，總的個數(shù)為N， ni/N是在一

10、個間隔內(nèi)偶然誤差的個數(shù)在總個數(shù)中占有的比值，縱坐標則是此比值再除以間隔的寬度d。通常將此圖稱為直方圖直方圖。5/8/2022精選精選PPT182 偶然誤差的特性偶然誤差的特性 在N無限增多，d無限縮小的條件下，直方圖的形狀將趨向于一條曲線，稱之為誤差分布曲線（也稱誤差曲線），它是可以用函數(shù)來描述的。5/8/2022精選精選PPT192 偶然誤差的特性偶然誤差的特性誤差曲線可以表示為：22221)(efNiNiN)(lim,212且為參數(shù)式中由繪制直方圖的規(guī)則知，每個矩形的面積為ni/N。如果將全部矩形面積相加，因為分子的和就是全部觀測值的總個數(shù)N，故全部面積的和為1。將此結(jié)果推論到誤差曲線，則

11、曲線與橫坐標之間的面積亦為1。雖然曲線的兩端并未與橫坐標重合，但它是向橫坐標逐漸趨近，因此整個面積與1之差將非常的微小。5/8/2022精選精選PPT202 偶然誤差的特性偶然誤差的特性 界于曲線之下，橫坐標之上，兩處之間的面積占有總面積的很大部分 ，由數(shù)理統(tǒng)計理論證得，此面積恒為0.6827 。 |愈小，曲線的形狀將愈陡峭，它表示小的誤差愈多。而|愈大，曲線的形狀則愈平緩，它表示小的誤差愈少。5/8/2022精選精選PPT212 偶然誤差的特性偶然誤差的特性可見，參數(shù)的大小代表著曲線的形狀，表征了偶然誤差分布的特征，因此成為一個重要的特征值。數(shù)理統(tǒng)計稱2為誤差的方差方差，稱為誤差的標準差標準

12、差（又稱方根差方根差或均方根差均方根差）。在數(shù)理統(tǒng)計中稱這樣的曲線為正態(tài)分布正態(tài)分布。5/8/2022精選精選PPT222 偶然誤差的特性偶然誤差的特性參數(shù)與觀測條件有關(guān)，如果在兩種觀測條件下各有一組觀測值，那么它們對應(yīng)的將不會相同。下圖表示了兩個不同的的f()曲線形狀，由曲線的函數(shù)表示式可知，當(dāng)=0時f()有最大值。 5/8/2022精選精選PPT232 偶然誤差的特性偶然誤差的特性 直接由的值即可了解得到，絕對值小者(1)陡峭，絕對值大者(2)平緩 以兩個1為界，曲線2在此區(qū)間的面積明顯比曲線1的面積小 從曲線頂部的高度也可看出，很小誤差的個數(shù)也是曲線2少于曲線1 5/8/2022精選精選

13、PPT242 偶然誤差的特性偶然誤差的特性由此可以認為，曲線2的觀測條件不如曲線1的觀測條件好。這個結(jié)論直接由| 2 | 1 |便可得出。同理，如果| 2 |=| 1 | ，那么曲線2的觀測條件與曲線1的觀測條件相同。 5/8/2022精選精選PPT252 偶然誤差的特性偶然誤差的特性 必須再次說明的是，特征值是在某種觀測條件下，代表誤差曲線形狀的一個量，它并不是一個具體的誤差，即使有某一個具體誤差的值正好與相等，也不能說這個誤差是特征值，因為它們本身的含義不同。5/8/2022精選精選PPT26一、誤差理論的基本知識一、誤差理論的基本知識測量誤差的來源及其分類測量誤差的來源及其分類偶然誤差的

14、特性偶然誤差的特性評定精度的標準評定精度的標準誤差傳播定律誤差傳播定律測量精度分析舉例測量精度分析舉例不等精度觀測的平差不等精度觀測的平差 5/8/2022精選精選PPT273 評定精度的標準評定精度的標準前面已經(jīng)說明，有一組同精度觀測，若求得的愈小，則這一組觀測值的精度愈高，即觀測值愈接近真值（在排除系統(tǒng)誤差的條件下）。但是，對于這一組中的任意一個觀測值，它們的真誤差有大、有小，能不能說真誤差大的精度低，真誤差小的精度高呢？ 5/8/2022精選精選PPT283 評定精度的標準評定精度的標準不能，因為真誤差的大小是由觀測條件而隨機產(chǎn)生的，是隨機量，真誤差的大小是在同一個精度工作條件（同一個觀

15、測條件）下偶然出現(xiàn)的。因此衡量一個觀測值的精度只能是用它所在的一組同精度觀測值求得的來表示，也就是用它作為評定某觀測值精度的指標。 5/8/2022精選精選PPT293 評定精度的標準評定精度的標準測繪學(xué)中常將|記為。通常所說的某觀測值的精度，即是指該觀測值的，是一組觀測值偶然誤差的密集程度，而不是它各次觀測本身的偶然誤差的大小。實際上，觀測值的精度也代表了獲得它的觀測條件的好壞。 5/8/2022精選精選PPT303 評定精度的標準評定精度的標準由于實際測量工作的觀測次數(shù)（N）是有限的量，將無法求得，即無法對右式進行計算。如果一定要計算，其結(jié)果就不是，現(xiàn)用m代替，即m是的近似值，N愈大，近似

16、于的程度愈好，因而稱m是的估值估值。 NiNiN)(lim212NmiNi)(2125/8/2022精選精選PPT313 評定精度的標準評定精度的標準一般情況下，在實際測繪工作中只能求得觀測對象的估值m，為區(qū)別于為標準差這個名稱，稱m為中誤差中誤差，并用之作為評定精度的標準。顯然，如果使用的N不夠大，那么這個近似于的程度將難以預(yù)計。 5/8/2022精選精選PPT323 評定精度的標準評定精度的標準為了提高的m可信度，通?？偸沁x擇較好的觀測環(huán)境（外界條件），由經(jīng)過訓(xùn)練的人員進行觀測，此時可以認為產(chǎn)生偶然誤差的因素主要是用于觀測的儀器的質(zhì)量。一般地說，影響觀測值精度的觀測條件，儀器的質(zhì)量是最主要

17、的因素，偶然誤差如此，系統(tǒng)誤差亦如此。 5/8/2022精選精選PPT333 評定精度的標準評定精度的標準用中誤差來衡量觀測值的精度，對有些觀測對象并不一定合適，例如有兩條直線AB和CD，AB長50m，CD長100m，AB和CD的中誤差均為10mm，那么能否因為兩條直線的中誤差相等而認為它們的精度也相等呢？5/8/2022精選精選PPT343 評定精度的標準評定精度的標準就人們的一般常識也不會認為它們是相等的。為此便需要用相對中誤差相對中誤差這個概念來衡量精度，AB直線的相對中誤差按下式計算：50001ABABDm同樣可以算得CD直線的相對中誤差為1/10000。取分子為1，是便于了解相對值的

18、大小，有利于在多個相對誤差之間進行比較。相對中誤差多用于距離這樣的觀測值，對于角度、高差這樣的觀測值則直接用中誤差來衡量精度。 5/8/2022精選精選PPT353 評定精度的標準評定精度的標準 在現(xiàn)實的測繪工作中，常常需要知道某個觀測值是否可用的問題。例如前述的5個長度值：1543.24m、1543.26m、1543.23m、1543.27m、1544.25m，最后一個因與其它4個明顯地相差較大（將近1m）而被認為有錯誤并將其剔除，但是另外4個之間又只能相差多大呢。假如最后一個不是1544.25m，而是1543.51m，是否應(yīng)將其剔除？5/8/2022精選精選PPT363 評定精度的標準評定

19、精度的標準由數(shù)理統(tǒng)計可知： 位于兩個之間的誤差個數(shù)是總個數(shù)的68.27% 兩個2之間（右圖中灰色部分）誤差個數(shù)占總誤差個數(shù)的95.45% 兩個3之間的誤差個數(shù)占了總誤差個數(shù)的99.7% 5/8/2022精選精選PPT373 評定精度的標準評定精度的標準有理由認為在實際的測量結(jié)果中，誤差的絕對值大于2的觀測值是極少或不應(yīng)該出現(xiàn)的，如果出現(xiàn)了這樣的誤差，可將其認為是不合格的結(jié)果而予以剔除。因此通?？偸菍?作為限制觀測值誤差大小的界限，即限差限差。有時也稱絕對值大于2的誤差為粗差粗差。 5/8/2022精選精選PPT383 評定精度的標準評定精度的標準計算中誤差的公式為：要得到測量對象的真誤差（=L

20、X）首先要知道其真值，而真值通常情況下是不知道的。所以，只能通過別的途徑來計算中誤差。 NmiNi)(2125/8/2022精選精選PPT393 評定精度的標準評定精度的標準設(shè)各次的觀測值為Li，它們的真誤差為i，可得各次觀測的真值為 NNLXLXLX2211相加并用N除，得NNLXNiiNii115/8/2022精選精選PPT403 評定精度的標準評定精度的標準在觀測次數(shù)N不是無限多時，由上式計算的值將不會是真值，而是一個接近于真值的量，這種最接近于真值的量稱為最最或然值或然值。 N越大，最或然值與真值的差別越小。為了將N為有限個數(shù)n時計算的算術(shù)平均值與真值相區(qū)別，用x表示，即1NiiLxN

21、5/8/2022精選精選PPT413 評定精度的標準評定精度的標準這時，因x不等于X，故觀測值L與x之差將不是真誤差，而是被稱為離差離差的v，在測繪學(xué)中稱為改正數(shù)改正數(shù)。計算v的規(guī)則如下：v x L 或 x L v即觀測值加上改正數(shù)v后為最或然值。利用改正數(shù)v也可以計算中誤差，計算式為：211niivmn5/8/2022精選精選PPT423 評定精度的標準評定精度的標準上式等號右端根號內(nèi)的分母n-1是多余觀測個數(shù)，這是因為其中的n是參與計算平均值的觀測值總個數(shù)，而一個觀測量只需一次觀測即可，即必要觀測數(shù)為1，多余的觀測數(shù)當(dāng)然是n-1。有時，必要觀測數(shù)不是1，例如是t次，那么這時就要用n-t來代

22、替n-1。 5/8/2022精選精選PPT43一、誤差理論的基本知識一、誤差理論的基本知識測量誤差的來源及其分類測量誤差的來源及其分類偶然誤差的特性偶然誤差的特性評定精度的標準評定精度的標準誤差傳播定律誤差傳播定律測量精度分析舉例測量精度分析舉例不等精度觀測的平差不等精度觀測的平差 5/8/2022精選精選PPT444 誤差傳播定律誤差傳播定律實際的測繪工作中的情況： 測量一圓形建筑的圓周長計算其半徑 根據(jù)距離和坐標方位角的測量值計算兩點間的坐標增量 水準測量中，一個測站的高差要由前、后視讀數(shù)相減計算 對于這些具有函數(shù)關(guān)系的量，它們的方差（中誤差）之間的規(guī)律？5/8/2022精選精選PPT45

23、4 誤差傳播定律誤差傳播定律現(xiàn)以只有兩項的線性函數(shù)為例進行討論。有函數(shù)Y=k1 X1+k2 X2式中：k1，k2為常數(shù)；X1，X2為觀測值。因常數(shù)沒有誤差，故真誤差之間的關(guān)系為：兩端取平方1212YXXkk 12122222212122YXXXXkkk k X1，X2均觀測了N次，則兩端取和再除以N5/8/2022精選精選PPT464 誤差傳播定律誤差傳播定律121222222121 22YXXX Xkkk kN無限大時12121NX iX iiX XN式中121222222111112122NNNNYiX iX iX iXiiiiikkk kNNNN稱為X1，X2和協(xié)方差協(xié)方差。5/8/20

24、22精選精選PPT474 誤差傳播定律誤差傳播定律如果兩個觀測值X1，X2是由各自獨立的觀測測得的值，相互之間不受影響，那么它們的誤差X1，X2也是互不影響的偶然誤差。由于在個數(shù)無限增大時， X1， X2二者均是數(shù)值小的多，正負個數(shù)大體相等，那么其乘積也會是數(shù)值小的多，正負個數(shù)大體相等。在分母N極大時可以認為120X X，從而5/8/2022精選精選PPT484 誤差傳播定律誤差傳播定律121222222121 22YXXX Xkkk k122222212YXXkk122222212YXXmk mk m120X XN有限，以中誤差m代替標準差這就是誤差傳播定律誤差傳播定律5/8/2022精選精

25、選PPT494 誤差傳播定律誤差傳播定律以上的推導(dǎo)過程，對一般的線性函數(shù)也適用，即1122nnYk Xk Xk X12222222212nYXXnXmk mk mk m中誤差關(guān)系為X1，X2，Xn相互之間應(yīng)是獨立的量，否則應(yīng)將協(xié)方差考慮在內(nèi) 。5/8/2022精選精選PPT504 誤差傳播定律誤差傳播定律對于非線性的函數(shù)，則必須先做微分運算化為線性函數(shù)，再轉(zhuǎn)換為中誤差： 12(,)nYf XXX1212nnXXXdYdXdXdXfff12222222212()()()nnYXXXXXXmmmmfff全微分微分量看作中誤差5/8/2022精選精選PPT51一、誤差理論的基本知識一、誤差理論的基本

26、知識測量誤差的來源及其分類測量誤差的來源及其分類偶然誤差的特性偶然誤差的特性評定精度的標準評定精度的標準誤差傳播定律誤差傳播定律測量精度分析舉例測量精度分析舉例不等精度觀測的平差不等精度觀測的平差 5/8/2022精選精選PPT525 測量精度分析舉例測量精度分析舉例例1：直線AB共測量了6次，各次測量的值見右表，現(xiàn)計算各次測量值的中誤差。 測量次序測量次序測量值測量值/m1864.2372864.2353864.2314864.2335864.2346864.2325/8/2022精選精選PPT535 測量精度分析舉例測量精度分析舉例解：AB直線的最或然值x為75 1 342864.2386

27、4.23376xm 2123.342.216 1niivmmmn 計算得各次測量值的改正數(shù)為-3.3mm，-1.3mm，+2.7mm，+0.7mm，-0.3mm，+1.7mm。則中誤差即x = 864.2342.2mm5/8/2022精選精選PPT545 測量精度分析舉例測量精度分析舉例例2：今測量出某圓形建筑物的圓周長L=46.482m4mm（4mm表示它是46.482m的中誤差），欲求該建筑物的圓半徑R及其中誤差mR。 5/8/2022精選精選PPT555 測量精度分析舉例測量精度分析舉例解：已知圓周長與半徑的函數(shù)為：12RL12RL 2221()2RLmm則真誤差關(guān)系為：由誤差傳播律得：

28、將mL=4mm代入，得mL=0.6mm；由第一式可計算半徑，則R=7.398m0.6mm。5/8/2022精選精選PPT565 測量精度分析舉例測量精度分析舉例例3：某測量小組，以同精度對30個三角形的每個內(nèi)角A、B、C進行了觀測，由于觀測值A(chǔ)、B、C中存在有誤差，故每個三角形的內(nèi)角和并不一定等于180，設(shè)差值為W，稱為三三角形閉合差角形閉合差。W的值按下式計算 WABC18030個W的值見下表,試求每個三角形內(nèi)角中誤差。5/8/2022精選精選PPT575 測量精度分析舉例測量精度分析舉例解：按誤差傳播定律，得2222WABCmmmm223Wmm13Wmm同精度，ABCmmmm由于W的真值為

29、零，故表中的值即為W的真誤差。按真誤差求中誤差公式可得mW=11.1，從而可計算得各個內(nèi)角的中誤差m=6.4。NmiNi)(2125/8/2022精選精選PPT585 測量精度分析舉例測量精度分析舉例例4：已知A，B兩點的距離DAB=582.494m14mm，由A至B的坐標方位角=8334165，求AB的縱坐標增量XAB和它的中誤差。 5/8/2022精選精選PPT595 測量精度分析舉例測量精度分析舉例解：由計算XAB的公式得為計算中誤差，作微分化為線性函數(shù)的單位為弧度，按誤差傳播律得ABdcos65.222ABABABXDmcossinABABABABABABddDDd222222coss

30、inABABABXABDABABmmDm5/8/2022精選精選PPT605 測量精度分析舉例測量精度分析舉例已知數(shù)據(jù)582.494,83 341614,5/206265ABABABABDDmmm m 則可得65.22214.1ABXmmm14.1ABXmmm從而5/8/2022精選精選PPT615 測量精度分析舉例測量精度分析舉例例5：求例1所示數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值的中誤差（其數(shù)據(jù)列于右表）。 測量次序測量值/m1864.2372864.2353864.2314864.2335864.2346864.2325/8/2022精選精選PPT625 測量精度分析舉例測量精度分析舉例解：設(shè)觀測值為l1,

31、 l2,ln，它們的算術(shù)平均值L為12nlllLn12111nLlllnnn 22221Lllnmmmnn它們的真誤差關(guān)系為注意到各觀測值為獨立觀測值且精度相同，按誤差傳播律有5/8/2022精選精選PPT635 測量精度分析舉例測量精度分析舉例式中，ml為例1計算的各觀測值的中誤差，將數(shù)據(jù)代入，得2.20.96lLmmmmn 可見，算術(shù)平均值的精度比一次觀測值的精度要高。 21(1)niiLvmn n計算算術(shù)平均值中誤差的公式可以寫為：5/8/2022精選精選PPT64一、誤差理論的基本知識一、誤差理論的基本知識測量誤差的來源及其分類測量誤差的來源及其分類偶然誤差的特性偶然誤差的特性評定精度

32、的標準評定精度的標準誤差傳播定律誤差傳播定律測量精度分析舉例測量精度分析舉例不等精度觀測的平差不等精度觀測的平差 5/8/2022精選精選PPT656 不等精度觀測的平差不等精度觀測的平差當(dāng)一個觀測對象有若干次同精度觀測的觀測值時，它的最后結(jié)果用算術(shù)平均值求得。由例5的計算知道，算術(shù)平均值的中誤差(0.9mm)明顯地小于各次觀測值的中誤差(2.2mm)，這也是選取算術(shù)平均值作為最或然值的一個重要理由。用算術(shù)平均值進行計算時，分子中各觀測值前的系數(shù)均為1，分母則為觀測值的個數(shù)，實際上也等于分子各項系數(shù)的和。也就是說，同精度觀測的各觀測值在參與計算最或然值時，它們的權(quán)利是相等的。這也說明，如果各觀

33、測值的精度不同，那么它們前面的系數(shù)也不應(yīng)該相同，而且稱這些系數(shù)為權(quán)權(quán)。 5/8/2022精選精選PPT666 不等精度觀測的平差不等精度觀測的平差例如，有直線AB，由兩個測量小組對它作了長度測量，各小組的每次測量都是在相同觀測條件下進行的，即每次觀測值的精度都相同。小組1共測量了2次，所得的測量值為l1，它是2次測量值的算術(shù)平均值。小組2共測量了4次，所得的測量值為l2，它是4次測量值的算術(shù)平均值?，F(xiàn)在的問題是，是否可以取l1和l2的算術(shù)平均值作為直線AB的最或然值? 5/8/2022精選精選PPT676 不等精度觀測的平差不等精度觀測的平差回答是否定的，因為l1只是2次測量值的平均，而l2是

34、4次測量值的平均，它的精度明顯地高于l1的精度。也就是說在計算直線AB的最后結(jié)果時，必須顧及到二者的精度狀況，亦即在作平均值計算時，需要將、前面的系數(shù)取不同的數(shù)值（取不同的權(quán)）。 5/8/2022精選精選PPT686 不等精度觀測的平差不等精度觀測的平差為了說明如何確定權(quán)的大小，將兩個小組的原始觀測值合并在一起計算，即直線AB的最后結(jié)果L為 1112212223246llllllL1112121222324224llllllll122424llL5/8/2022精選精選PPT696 不等精度觀測的平差不等精度觀測的平差等號右端，分子l1的系數(shù)即為l1的權(quán)，用p1表示， l2的系數(shù)即為l2的權(quán)，

35、用p2表示，于是可以寫成一般的計算式1 12 212p lp lLpp11ni iiniiplLp推廣至n個不同精度的觀測值，則有稱上式為加權(quán)平均計算，L即為加權(quán)平均值（亦稱帶權(quán)平均值或廣義算術(shù)平均值）5/8/2022精選精選PPT706 不等精度觀測的平差不等精度觀測的平差12122422412llll因可以看出，各觀測值的權(quán)相互之間是一種比例關(guān)系。它們代表著相互之間的精度關(guān)系，即權(quán)是一個代表相對精度的量。既然權(quán)與觀測值的精度有關(guān)，那么權(quán)與中誤差的關(guān)系是怎樣的？5/8/2022精選精選PPT716 不等精度觀測的平差不等精度觀測的平差設(shè)小組1和小組2各次觀測值的中誤差為m，那么，由誤差傳播定

36、律知， l1的中誤差m1 ， l2的中誤差m2分別為寫成一般形式22221212,mmmmpp2221iip mmm 可見，觀測值的權(quán)與觀測值的中誤差平方成反比。顯然，上等號右端的系數(shù)為1，也就是說權(quán)為1，并稱為單位權(quán)單位權(quán)，對應(yīng)的中誤差則稱為單位權(quán)中誤單位權(quán)中誤差差，通常記為。5/8/2022精選精選PPT726 不等精度觀測的平差不等精度觀測的平差下面討論加權(quán)平均值的權(quán)的問題根據(jù)加權(quán)平均值的計算公式，其真誤差與各觀測值的真誤差之間的關(guān)系為：121212llLpppp 22221222222112212221212221221212()()()()Lpppmpmppmpppppppppp由誤

37、差傳播定律5/8/2022精選精選PPT736 不等精度觀測的平差不等精度觀測的平差推論到更多的觀測值個數(shù)，則可見，加權(quán)平均值的權(quán)即是參與計算的各觀測值的權(quán)之和。以上討論說明，權(quán)是各觀測值的相對精度，因此各觀測值的權(quán)就可以由與精度有關(guān)的量來表示，如測量的次數(shù)，水準測量的測站數(shù)或水準測量的路線長度等等。這些量都不需要在預(yù)先知道觀測值中誤差的情況下即可獲得，因此對于計算是有利的。 221Lniimp5/8/2022精選精選PPT746 不等精度觀測的平差不等精度觀測的平差但是在需要知道單位權(quán)中誤差時，計算的辦法： 事先設(shè)定，如前面所述的以一次觀測的中誤差為單位權(quán)中誤差 在以下三種情況，分別用公式計

38、算 1()niiiipn 已知真誤差:1:()1niiiipvvn已知改正數(shù)1()niiiitpvvnt必要觀測數(shù)為 時:5/8/2022精選精選PPT756 不等精度觀測的平差不等精度觀測的平差對于從已知點A施測到B點的單一水準路線，設(shè)水準路線上各測站的高差為hi(i=1,2,n)，則B點的高程HB為1nBAiiHHh因HA為已知點，其誤差可以忽略不計，則5/8/2022精選精選PPT761BinHhi6 不等精度觀測的平差不等精度觀測的平差各測站精度相同，中誤差設(shè)為mh誤差傳播律2221BHhmmn22BHhmn m取mh=,為單位權(quán)中誤差1/n即為B點高程的權(quán)，也就是說，測站數(shù)越多（n越

39、大），B點高程的精度越低（權(quán)越?。?/8/2022精選精選PPT776 不等精度觀測的平差不等精度觀測的平差若hi為第ikm的高差，則類似地可以將B點的高程寫為式中的L表示由A點測至B點時，水準路線共有Lkm長。雖然實際的水準測量是一站一站地進行，誤差的積累與站數(shù)有關(guān)，但各測站的后、前視距離之和仍然表現(xiàn)出與距離有著聯(lián)系，測站數(shù)越多，距離越長。特別是在各測站的后、前視距離大約相等時，以距離計算誤差間的關(guān)系與以測站計算誤差間的關(guān)系相同。 1LBAiiHHh5/8/2022精選精選PPT786 不等精度觀測的平差不等精度觀測的平差進行類似的推算可得1/L即為以1km測量高差中誤差為單位權(quán)中誤差時B

40、點高程的權(quán)。也就是說，距離越長（L越大），B點高程的精度越低（權(quán)越?。?。當(dāng)然L的單位應(yīng)是千米，為1km測量高差的中誤差，即單位權(quán)中誤差。 222BkmHhmmL5/8/2022精選精選PPT796 不等精度觀測的平差不等精度觀測的平差例6：某測量小組由已知點A開始進行水準測量，每個測站的后視、前視距離之和為150m，共用了40個測站才測到B點。設(shè)每測站的后視、前視在水準尺上的讀數(shù)誤差為1mm，問：測得的B點高程中誤差是多少？若以1個測站的觀測高差中誤差為單位權(quán)中誤差，B點高程的權(quán)是多少？以1km的觀測高差中誤差為單位權(quán)中誤差，B點高程的權(quán)是多少？5/8/2022精選精選PPT806 不等精度觀

41、測的平差不等精度觀測的平差解： 因為每個測站的高差計算是后視a減前視b，即hi aibi真誤差的關(guān)系為由誤差傳播律得由題意知： ，故各測站的mh均為1iiabmmmm iiihab 222iiihabmmm2mm40280BHhmn mmm 可得5/8/2022精選精選PPT816 不等精度觀測的平差不等精度觀測的平差題意要求取1個測站的觀測高差中誤差為單位權(quán)中誤差，即以mhi為單位權(quán)中誤差。由 知，B點高程中誤差為1/n，而n=40，故本問的答案為1/40。因題意要求取1km觀測高差中誤差為單位權(quán)中誤差，故需將路線總長L按km為單位，即L=15040/1000=6km由 知B點高程的權(quán)為1/

42、L，即本問答案為1/6。2221BHhmmn2221BHhmmn5/8/2022精選精選PPT826 不等精度觀測的平差不等精度觀測的平差閉合差的處理 測量的三角形三內(nèi)角之和不等于180 單一水準路線的測量高差與兩端已知點之高差不相等 對一條直線的長度測量了兩次，兩次測量值之差 實際上，閉合差就是真誤差，因此，用觀測值減去真值即得閉合差。5/8/2022精選精選PPT836 不等精度觀測的平差不等精度觀測的平差測繪實踐中常常將誤差相對很小的量也當(dāng)作真值看待，如常說的已知的起算值，它們相對于下一級的觀測值來講常忽略本身的誤差而不計。 例如單一水準路線，是從一個已知點A開始，沿水準路線測至另一個已知點B。此時計算閉合差將不考慮A