多元正態(tài)分布相關(guān)性

1、3.1 3.1 多元正態(tài)的定義多元正態(tài)的定義 第三章第三章 多元正態(tài)分布多元正態(tài)分布 3.2 3.2 多元正態(tài)的性質(zhì)多元正態(tài)的性質(zhì) 3.3 3.3 相關(guān)性和條件分布相關(guān)性和條件分布 3.4 3.4 多元正態(tài)的參數(shù)估計(jì)多元正態(tài)的參數(shù)估計(jì) 3.5 3.5 多元正態(tài)的假設(shè)檢驗(yàn)多元正態(tài)的假設(shè)檢驗(yàn) 3.3 3.3 正態(tài)向量的相關(guān)性正態(tài)向量的相關(guān)性和條件分布和條件分布 前面已給出隨機(jī)向量的相關(guān)系數(shù)前面已給出隨機(jī)向量的相關(guān)系數(shù) 以及相關(guān)矩陣以及相關(guān)矩陣R的的概念。概念。 表示隨機(jī)向量表示隨機(jī)向量 中分量中分量 和和 的線性相關(guān)程度。本的線性相關(guān)程度。本節(jié)我們將學(xué)習(xí)隨機(jī)向量的其他相關(guān)性的度量以及正態(tài)變量的節(jié)我

2、們將學(xué)習(xí)隨機(jī)向量的其他相關(guān)性的度量以及正態(tài)變量的條件分布。由于我們僅對(duì)隨機(jī)變量的協(xié)方差矩陣感興趣，為條件分布。由于我們僅對(duì)隨機(jī)變量的協(xié)方差矩陣感興趣，為討論方便起見，不妨假設(shè)隨機(jī)向量的期望總為零向量。討論方便起見，不妨假設(shè)隨機(jī)向量的期望總為零向量。j i ij 0,E 一、偏相關(guān)和復(fù)相關(guān)一、偏相關(guān)和復(fù)相關(guān)程度，在實(shí)際問題中我們常常會(huì)遇到其他類型的相關(guān)問題，程度，在實(shí)際問題中我們常常會(huì)遇到其他類型的相關(guān)問題，,ij相關(guān)系數(shù)僅僅反映兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)系數(shù)僅僅反映兩個(gè)隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)之間的線性相關(guān)例如隨機(jī)向量中某個(gè)分量與其他分量之間的相關(guān)關(guān)系；或在例如隨機(jī)向量中某個(gè)分量與其他分量之間的相關(guān)關(guān)系；

3、或在消去若干分量的影響后，其余分量的（兩兩）相關(guān)關(guān)系，這消去若干分量的影響后，其余分量的（兩兩）相關(guān)關(guān)系，這時(shí)需要引入新的相關(guān)概念。時(shí)需要引入新的相關(guān)概念。維子向量，維子向量，11212122( , )0,Cov 2(,)p 1(,) , 設(shè)隨機(jī)向量設(shè)隨機(jī)向量其中其中是是的的1p 這時(shí)這時(shí) 22210, 其中其中 是是1p 維向量。維向量。（3.3.13.3.1） 如果想找如果想找 的一個(gè)線性組合的一個(gè)線性組合 作為作為 的估計(jì)，使得的估計(jì)，使得1 21()E 達(dá)到最小，達(dá)到最小， 要如何選??？要如何選取？ 1p 由要求知由要求知 是一個(gè)是一個(gè) 維的常數(shù)向量，為了求出符合維的常數(shù)向量，為了求出

4、符合 12221, 112221222221()()0 111112122212221222221()()()0 1121222 222111()2() EE 21()E 要求的要求的 , 把把 展開得展開得 故當(dāng)且僅當(dāng)故當(dāng)且僅當(dāng) 11 211212221, 21()E 達(dá)到最小值，記為達(dá)到最小值，記為（3.3.33.3.3） 21()E 1 12122 因此把因此把 作為作為 的最優(yōu)線性估計(jì)，它使方差的最優(yōu)線性估計(jì)，它使方差 （3.3.23.3.2）達(dá)到最小。達(dá)到最小。0,E 維子向量，且維子向量，且的的11212122( , )0,Cov 1p 12(,) ,(,)p 是是定理定理3.3.

5、13.3.1 設(shè)隨機(jī)向量設(shè)隨機(jī)向量與與1 22210, 其中其中 是是1p 維向量。則維向量。則的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù)12111/21/21/211122(,)(,), ()()()CovVV 12111/21/21/211122(,)(,), ()()()CovVV 的最大值在的最大值在12221 時(shí)達(dá)到。時(shí)達(dá)到。 證明：按相關(guān)系數(shù)的定義得：證明：按相關(guān)系數(shù)的定義得：1pR 2211()()EE 由上面知，由上面知，對(duì)對(duì)成立。成立。21211/21/21/21/211221122,()() 1/22221211/222(),() 把上式展開得把上式展開得22122212222,kk 對(duì)任意常數(shù)

6、對(duì)任意常數(shù)k，有，有2211()() ,EkE 1/22222(/),k 取取 于是得于是得2121111/21/21/21/211221122(,)(,)()() 復(fù)相關(guān)系數(shù)的定義復(fù)相關(guān)系數(shù)的定義：稱：稱 1 與與的所有線性組合的所有線性組合的的1,1(,) 的的相關(guān)系數(shù)的最大值相關(guān)系數(shù)的最大值 為為的復(fù)相關(guān)系數(shù)。記為的復(fù)相關(guān)系數(shù)。記為111/221222111() 12221 由（由（3.3.43.3.4）知，把）知，把代入得代入得（3.3.63.3.6）121 211(1), 121 2111, 于是于是或或（3.3.73.3.7）1221 211212221( ),Cov 的方差。這里

7、的方差。這里 由（由（3.3.73.3.7）知）知1 1 2 可看作可看作在消去與在消去與 的最大線性效應(yīng)后的最大線性效應(yīng)后111211(),(, ),VarCov 1 2,p 1 或或。11123121223233313233( )0,0,Cov 0,E 2p 12(,) 設(shè)設(shè)是是p維隨機(jī)向量，維隨機(jī)向量，是是維子向量，維子向量，11113133223233, 1133313332, 設(shè)設(shè)是是 1 的最優(yōu)線性估計(jì)，的最優(yōu)線性估計(jì)，是是2 的最優(yōu)線性估計(jì)，的最優(yōu)線性估計(jì)，2p , 是是維常數(shù)向量。由上面相似的方法可知維常數(shù)向量。由上面相似的方法可知 在消去在消去的最大線性效應(yīng)后得到兩個(gè)隨機(jī)變量

8、為的最大線性效應(yīng)后得到兩個(gè)隨機(jī)變量為（3.3.83.3.8）（3.3.93.3.9）0,( ),ECov 偏相關(guān)系數(shù)的定義偏相關(guān)系數(shù)的定義：設(shè)：設(shè)12(,) 是是p維隨機(jī)向量，維隨機(jī)向量， 2p 是是維子向量，維子向量，在在 給定的條件給定的條件12, 12, 下，下，的偏相關(guān)系數(shù)就是上述的偏相關(guān)系數(shù)就是上述的相關(guān)系數(shù)，記為的相關(guān)系數(shù)，記為112313332111/21131333122323332()()() 11131332323312111/21313323233(,)()()CovVarVar 12 3,p 12 或或（3.3.103.3.10） 在實(shí)際應(yīng)用中可根據(jù)需要得到其他形式的復(fù)

9、相關(guān)系數(shù)或偏在實(shí)際應(yīng)用中可根據(jù)需要得到其他形式的復(fù)相關(guān)系數(shù)或偏相關(guān)系數(shù)的表達(dá)式相關(guān)系數(shù)的表達(dá)式 。1,1,1,221,1,11ij qpiq qpjq qpij qmiq qpjq qm 偏相關(guān)系數(shù)有如下的遞推公式：偏相關(guān)系數(shù)有如下的遞推公式： 例如，設(shè)例如，設(shè) 則則 表示表示 與其他與其他分量間的復(fù)相關(guān)系數(shù)，又如分量間的復(fù)相關(guān)系數(shù)，又如 表示在表示在 給定下，給定下， 與與 的偏相關(guān)系數(shù)。計(jì)算中只須取的偏相關(guān)系數(shù)。計(jì)算中只須取 中與中與 ， 和和 有關(guān)的行、列得到新的協(xié)方差矩陣，然有關(guān)的行、列得到新的協(xié)方差矩陣，然后按（后按（3.3.103.3.10）計(jì)算即可。）計(jì)算即可。25 6,p 2

10、1,3,p 6(,)p 2 2 5 ( )Cov 2 5 12(,) ,p 12132312 322132311 特別地，有特別地，有只要知道相關(guān)矩陣，那么各種偏相關(guān)系數(shù)也就完全確定了。只要知道相關(guān)矩陣，那么各種偏相關(guān)系數(shù)也就完全確定了。 1,12 3,ij ppp ij p ij 由此公式可根據(jù)由此公式可根據(jù)計(jì)算計(jì)算再計(jì)算再計(jì)算（3.3.113.3.11） 例例3.3.1 3.3.1 在制訂服裝標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，需對(duì)有關(guān)對(duì)象進(jìn)行抽樣，在制訂服裝標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，需對(duì)有關(guān)對(duì)象進(jìn)行抽樣，然后進(jìn)行人體有關(guān)尺寸的測(cè)量。今從女子身體測(cè)量中取出部然后進(jìn)行人體有關(guān)尺寸的測(cè)量。今從女子身體測(cè)量中取出部分結(jié)果如下：用分結(jié)果如下：

11、用 表示身高，表示身高， 表示胸圍，表示胸圍， 表示腰圍，表示腰圍， 表示上體長，表示上體長， 表示臀圍，經(jīng)計(jì)算得到這五個(gè)變量的相關(guān)矩表示臀圍，經(jīng)計(jì)算得到這五個(gè)變量的相關(guān)矩2 3 4 5 1 由相關(guān)系數(shù)矩陣可看出由相關(guān)系數(shù)矩陣可看出 說明上體長說明上體長與身高、胸圍與腰圍之間存在較大的正相關(guān)；與身高、胸圍與腰圍之間存在較大的正相關(guān)； 說說明身高與腰圍幾乎不相關(guān)。下面計(jì)算偏相關(guān)系數(shù)明身高與腰圍幾乎不相關(guān)。下面計(jì)算偏相關(guān)系數(shù) 和和 。14230.648,0.732, 130.054, 34 5 23 1 123451.0000.2161.0000.0540.7321.0000.6480.2420.

12、1331.0000.3680.6760.6270.3761.000R 陣是：陣是：22(0.7320.2160.054)/10.21610.054 22(0.1330.6270.376)/10.62710.376 0.1423, 0.7388 比較比較 和和 可以看出，即使在排除了身高的影響后腰圍可以看出，即使在排除了身高的影響后腰圍和胸圍仍然高度相關(guān)。再從和胸圍仍然高度相關(guān)。再從 與與 的比較中我們發(fā)現(xiàn)，的比較中我們發(fā)現(xiàn)，把臀圍的影響去除后，上體長與腰圍從正相關(guān)變?yōu)樨?fù)相關(guān)。把臀圍的影響去除后，上體長與腰圍從正相關(guān)變?yōu)樨?fù)相關(guān)。這也說明，腰圍和上體長之間的相關(guān)實(shí)際上是通過女性的一這也說明，腰圍和

13、上體長之間的相關(guān)實(shí)際上是通過女性的一個(gè)主要特征臀圍而引起的。因此在多個(gè)變量時(shí)，用相關(guān)系數(shù)個(gè)主要特征臀圍而引起的。因此在多個(gè)變量時(shí)，用相關(guān)系數(shù)說明相互關(guān)系時(shí)要十分慎重。說明相互關(guān)系時(shí)要十分慎重。23 1 34 34 1 23 23121323 122121311 34354534 522354511 由（由（3.3.113.3.11）得：）得：二、正態(tài)向量的條件分布二、正態(tài)向量的條件分布1121 211122221()Cov 1121122221(),E 11211222221 2(),)rNx 定理定理3.3.23.3.2 設(shè)設(shè) 維隨機(jī)向量維隨機(jī)向量 其中其中 。 分別是分別是 維維和和 維隨

14、機(jī)向量。把維隨機(jī)向量。把 和和 相應(yīng)分塊，則在給定相應(yīng)分塊，則在給定 后后 的條件分布為：的條件分布為：即在給定即在給定 后后 的條件分布為的條件分布為 維正態(tài)分布，且維正態(tài)分布，且( , ),pN 12(,) , p11122221220,0 spk r 12,1 2 12(,) , 2 1 r11 21112222122220000 111112122212222122( )( )00EEVarAVarAEE 1111222222( )EEE 證明：作可逆線性替換證明：作可逆線性替換,A 11222,0EAE 其中其中111111222212222220EE 于是于是111 2112222

15、22220,0pN 由性質(zhì)由性質(zhì)2 2知：知：12211 2()()VarxVar 1111122221122221 2(,)kN 由性質(zhì)由性質(zhì)6 6知知 與與 相互獨(dú)立，且相互獨(dú)立，且2 1 1122112222(),xx 從而在給定從而在給定 后，后，22x 11221122222()(),Exx 因此因此112211222221 2()(),)kxNx 11211222212222112222()/xx 12 1212(),()EV 21122122, 122(,)( , ),N 例例3.3.2 3.3.2 設(shè)設(shè)12(,) , 這里這里 求求和和分布。分布。的條件的條件1121122222()(),Ex 解：解：2211212212(),(1)Nx 2222222121 211221()/(1)Var 1121222()()Ex 這是這是 對(duì)對(duì) 的線性回歸方程。又的線性回歸方程。又2 1 231 132 例例3.3.3 3.3.3 設(shè)設(shè)1642441 ,214 1233( , ),N 其中其中試求在給定試求在給定時(shí)，時(shí)，的條件分布。的條件分布。(1,0, 2) , 2312131,2, 解：令解：令23111122213330111002102A 于是得于