小波變換理論與方法

1、主要內(nèi)容主要內(nèi)容一一 傅里葉變換傅里葉變換 1822年，法國數(shù)學家傅里葉(J.Fourier)發(fā)表的研究熱傳導理論的“熱的力學分析”,提出“每一個周期函數(shù)都可以表示成三角函數(shù)之和” ，奠定了傅里葉級數(shù)的理論基礎。 1829年，法國數(shù)學家狄利克雷（P.G.Dirichlet）以嚴密的方式給出傅里葉級數(shù)與積分存在條件的完整證明。狄利克雷條件(Dirichlet Conditions)（1 1 ）在一周期內(nèi)，如果有間斷點存在，則間斷點的數(shù)目應是有限個；）在一周期內(nèi)，如果有間斷點存在，則間斷點的數(shù)目應是有限個；（2 2）在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應是有限個；）在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應是

2、有限個；（3 3）在一周期內(nèi)，信號是絕對可積的）在一周期內(nèi)，信號是絕對可積的0111( )cos()sin()nnnf taantbnt若周期信號 滿足狄利克雷條件，則可展開為傅里葉級數(shù)。( )f t傅里葉級數(shù)表達式：010011( )tTtaf t dtT直流分量：余弦分量的幅度：010112( )cos()tTntaf tnt dtT正弦分量的幅度：010112( )sin()tTntbf tnt dtT基波角頻率 ， 為 的周期。( )f t1T112T()( )itFeftd t 1.1 連續(xù)傅里葉變換對于函數(shù)f(t)L1(R),其連續(xù)傅里葉變換為其中1()() |( ) |LRfXf

3、td x i是虛數(shù)單位，是頻率變量。F()的連續(xù)傅里葉逆變換為1( )()2itfteFd 210()()(0 ,1, .1)kinNNnnkXkFff ekN1.2 離散傅里葉變換對于實數(shù)或者復數(shù)離散時間序列f0, f1, FN-1,若滿足 ，則稱為序列fn離散傅里葉變換，稱2101()(0 ,1, .,1)kNNinnKfXkekNN10|( ) |Nnft 為序列fn逆離散傅里葉變換( )cos(210)cos(225)cos(250)cos(2100)X ttttt平穩(wěn)信號是指分布參數(shù)或者分布律隨時間不發(fā)生變化的信號，也就是統(tǒng)計特性(期望與方差）不隨時間變化而變化。2sin(2100)

4、0300sin(250)300600sin(225)600800sin(210)8001000ttttXtttt 2sin(210)0300sin(225)300600sin(250)600800sin(2100)8001000ttttXtttt 1.3 短時傅里葉變換為了提取信號的局部特征,例如變形信號在某一時刻的頻率、形變突發(fā)位置等，1946年Gabor提出了短時傅里葉變換，即Gabor 變換，也稱加窗傅里葉變換。21/4/2( )tg teGabor變換的基本思想為：取時間函數(shù) 作為窗口函數(shù)，然后用 通待分析函數(shù)相乘，是時間延遲，是窗函數(shù)g(t)的中心，窗函數(shù)根據(jù)進行時移，然后再進行傅里

5、葉變換：其中 ，窗口函數(shù)g(t)起著時限作用， 起著頻限作用。該變化具有不變化寬度（由時間寬度決定）和不變的窗口面積4gg()g t,( , )( ) ()( ),g( )i tftRGf t g tedtf tt ,( )()()i ti ttgtg teg tei te短時傅里葉變換示意圖cos(440)0.5( )cos(660)0.51cos(524)0.5ttx ttttt 傅里葉變換圖短時傅里葉變換圖 小波變換由法國科學家MORLET于1980年在進行地震數(shù)據(jù)分析時提出，是強有力的時頻分析(處理)工具，是在克服傅立葉變換缺點的基礎上發(fā)展而來的。已成功應用于很多領域，如信號處理、圖像

6、處理、模式識別等。 小波變換的一個重要性質(zhì)是它在時域和頻域均具有很好的局部化特征，它能夠提供目標信號各個頻率子段的頻率信息。這種信息對于信號分類是非常有用的。 小波變換一個信號為一個小波系數(shù)，這樣一個信號可由小波系數(shù)來刻畫。 小波變換是一個平方可積分函數(shù)f(t)與一個在時頻域上均具有良好局部性質(zhì)的小波函數(shù)(t)的內(nèi)積： 式中，表示內(nèi)積，a0 ,為尺度因子，b為位移因子，*表示復數(shù)共軛，a,b(t)稱為小波基函數(shù)。2.1 連續(xù)小波變換 ,1a btbtaa小波函數(shù)時間頻率窗(t)稱為母小波，(t)必須滿足容許性條件： 2 0t dtdC或*,1( , ),(t)()fa btbWa bffdta

7、a部分小波波形部分小波波形小波分類的標準小波分類的標準支撐長度：即當時間或頻率趨向于無窮大時，它們從一個有限值收斂到0，長度越小，對奇異點的區(qū)分效果越好。對稱性：對稱性越好，越能保證信號不失真（不產(chǎn)生畸變），越能提高信號的重構(gòu)精度。正則性：它在對信號或圖像的重構(gòu)獲得較好的平滑效果作用上是非常有用的。選擇一個小波函數(shù)，并將這個小波與要分析的信號起始點對齊；計算在這一時刻要分析的信號與小波函數(shù)的逼近程度，即計算小波變換系數(shù)C，C越大，就意味著此刻信號與所選擇的小波函數(shù)波形越相近，如圖所示。將小波函數(shù)沿時間軸向右移動一個單位時間，然后重復步驟(1)、(2)求出此時的小波變換系數(shù)C，直到覆蓋完整個信號

8、長度，如圖所示；將所選擇的小波函數(shù)尺度伸縮一個單位，然后重復步驟(1)、(2)、(3)，如圖所示；對所有的尺度伸縮重復步驟(1)、(2)、(3)、(4)。連續(xù)小波變換實例2.2 離散小波變換在實際應用中，需要對尺度因子a和位移因子b進行離散化處理，可以?。?， m,n為整數(shù)，a0為大于1的常數(shù)，b0為大于0的常數(shù)，a和b的選取與小波(t)的具體形式有關。離散小波函數(shù)表示為：相應的離散小波變換可以表示為：當a0=2，b0=1時，離散小波變換稱為二進離散小波變換，這樣便于分析，并且適合于在計算機上進行高效的運算。00,mmoaabnb a 00,0000011mmm nmmmtnb atatnba

9、aa *,fm nm nWm nff tt dt2.2.1 一階濾波：近似與細節(jié)在小波分析中，近似值是大的縮放因子計算的系數(shù)，表示信號的低頻分量，而細節(jié)值是小的縮放因子計算的系數(shù)，表示信號的高頻分量。實際應用中，信號的低頻分量往往是最重要的，而高頻分量只起一個修飾的作用，如 聲音。2.2.2多尺度分解對信號的高頻分量不再分解，而將信號的低頻部分繼續(xù)分解.實際中， 分解的級數(shù)取決于要分析的信號數(shù)據(jù)特征及用戶的具體需要，例如長度為N的信號，最多能分成log2N層。在實際中，可以選擇合適的分解層數(shù)。下圖為三層多尺度分解樹結(jié)構(gòu)，原始信號S的多尺度分解為：S=cA3+Cd3+cD2+Cd1。2.2.3小

10、波包分解小波分析是將信號分解為近似與細節(jié)兩部分，近似部分又可以分解成第二層近似與細節(jié)，可以這樣重復下去。對于一個N層分解來說， 有N+1個分解信號的途徑。而小波包分析的細節(jié)與近似部分一樣，也可以分解，對于N層分解，它產(chǎn)生2N個不同的途徑。三三 小波變換的一些應用小波變換的一些應用3.1小波包去噪加噪信號數(shù)學模型為f(t)=s(t)+n(t)，s(t)是原信號，n(t)是隨機白噪聲，滿足En(t)=0和Dn(t)=2。設(t)為小波函數(shù)，n(t)的小波包變換為Wn(j,t)=n(t)j(t)= jRn ttu dun(t)的小波包系數(shù)的期望和方差分別為： E(|Wn(j,t)|2)=0 D(|W

11、n(j,t)|2)= 2 tj3.1.1小波包去噪步驟 選擇小波基并確定最佳分解的層次,對信號 進行小波包分解;對步驟(1)獲得的小波包樹,選擇一定的嫡標準,計算最優(yōu)樹;估計閾值,并應用該閾值對最優(yōu)樹的小波包系數(shù)進行閾值量化;將經(jīng)量化處理的小波包系數(shù),重構(gòu)回原始信號。小波包閾值消噪有兩個關鍵點：1、如何估計閾值；2 如何利用閾值量化小波包系數(shù)。熵的確定熵：用來確定最優(yōu)樹的標準，熵值越小，對應的小波包基越好。1）香農(nóng)熵：約定0log(0)=0，則香農(nóng)熵定義為： 22E slogiiss 2）P范數(shù)熵：若P1，在lp范數(shù)意義上定義E(s)= ,則： E(s)=PisPPiPiss2logiis3)

12、對數(shù)能量熵 E(si)= ，0log(0)=0,則有 E(s)=2logiis4)閾值熵： E(s)= 式中，是閾值，且 0.10iiss閾值選擇準則(1)基于無偏似然估計原理的Rigrsure規(guī)則；W為一向量，其元素為小波系數(shù)的平方，并按由小到大的順序排列，W=w1,w2,wn，且w1w2wn，再設一向量R，其元素為：ri= n-2i-(n-i)w+ /n (i=1,2,.,n)以R元素中的最小值rb為風險值，由rb的下標變量b求出對應的wb，則閾值T1為： T1= 1ikkwbw（2）通用閾值T1(sqtwolog準則) T2= 2log n（3）啟發(fā)式的stein無偏風險閾值T3（Heu

13、rsure）準則設為n個小波系數(shù)的平方和，令= ，= ，則T3=nn322log nn212min,TT T (4)基于極大極小原理的Minimax方法該準則采用的也是一種固定閾值，它產(chǎn)生一個最小均方誤差的極值。具體的閾值選取規(guī)則為： T4=20.39360.1829log32032nnn閾值量化函數(shù)的選取閾值量化是應用所估計的閾值T，對小波系數(shù)進行的處理。目前，閾值量化函數(shù)主要采用兩種方法。一種是硬閾值法，當小波系數(shù)大于該閾值時，保留原值，否則置零，其公式為：另一種是軟閾值法，當小波包系數(shù)大于該閾值時，向著減小系數(shù)幅值的方向作一個收縮，否則置零，其公式為：0iiiiyyTyyTsgn0iiiiiyyyTyyT式中，sgn（）為符號函數(shù)。閾值準則heursuresqtwologrigrsuremininmaxSNR11.006228.714311.006221.95